山東省青島市第二中學(xué)2024屆高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

山東省青島市第二中學(xué)2024屆高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，若，則等于（）A．3 B．4 C．5 D．62．如圖，在底面邊長為1，高為2的正四棱柱中，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，則三棱錐的正視圖與側(cè)視圖的面積之和為（）A．2 B．3 C．4 D．53．若函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．4．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象A．向左平移個(gè)單位長度B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度D．向右平移個(gè)單位長度5．設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓：交于不同的兩點(diǎn)，，若原點(diǎn)在以為直徑的圓的外部，則直線的斜率的取值范圍為（）A． B．C． D．6．《算數(shù)書》竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍.其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長與高，計(jì)算其體積的近似公式.它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的圓周率近似取為（）A． B． C． D．7．若函數(shù)在時(shí)取得最小值，則（）A． B． C． D．8．某程序框圖如圖所示，若輸出的，則判斷框內(nèi)為（）A． B． C． D．9．本次模擬考試結(jié)束后，班級要排一張語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物六科試卷講評順序表，若化學(xué)排在生物前面，數(shù)學(xué)與物理不相鄰且都不排在最后，則不同的排表方法共有（）A．72種 B．144種 C．288種 D．360種10．已知滿足，則的取值范圍為（）A． B． C． D．11．設(shè)全集U=R，集合，則（）A． B． C． D．12．已知集合，，則=()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為_____．14．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),,若點(diǎn)B(x,y)滿足，則的最大值是__________．15．如圖是一個(gè)算法的偽代碼，運(yùn)行后輸出的值為___________．16．在邊長為2的正三角形中，，則的取值范圍為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)f(x)=ex-x2-kx（其中e為自然對數(shù)的底，k為常數(shù)）有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）證明：f(x)的極大值不小于1．18．（12分）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)在橢圓：上，該橢圓的左頂點(diǎn)到直線的距離為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓外一點(diǎn)滿足，平行于軸，，動點(diǎn)在直線上，滿足.設(shè)過點(diǎn)且垂直的直線，試問直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請寫出該定點(diǎn)，若不過定點(diǎn)請說明理由.19．（12分）已知；.（1）若為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若為真命題且為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知等比數(shù)列中，，是和的等差中項(xiàng)．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）已知集合，，，將的所有子集任意排列，得到一個(gè)有序集合組，其中.記集合中元素的個(gè)數(shù)為，，，規(guī)定空集中元素的個(gè)數(shù)為.當(dāng)時(shí)，求的值；利用數(shù)學(xué)歸納法證明：不論為何值，總存在有序集合組，滿足任意，，都有.22．（10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且點(diǎn)在函數(shù)的圖像上；（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足：，，求的通項(xiàng)公式；（3）在第（2）問的條件下，若對于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

先求出，再由，利用向量數(shù)量積等于0，從而求得.【詳解】由題可知，因?yàn)椋杂校?，故選：C.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)向量的問題，涉及到的知識點(diǎn)有向量的減法坐標(biāo)運(yùn)算公式，向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題目.2、A【解析】

根據(jù)幾何體分析正視圖和側(cè)視圖的形狀，結(jié)合題干中的數(shù)據(jù)可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】由三視圖的性質(zhì)和定義知，三棱錐的正視圖與側(cè)視圖都是底邊長為高為的三角形，其面積都是，正視圖與側(cè)視圖的面積之和為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體正視圖和側(cè)視圖的面積和，解答的關(guān)鍵就是分析出正視圖和側(cè)視圖的形狀，考查空間想象能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

推導(dǎo)出函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，由題意得出，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的值，并對的值進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得出結(jié)果.【詳解】，則，，，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.若函數(shù)的零點(diǎn)不為，則該函數(shù)的零點(diǎn)必成對出現(xiàn)，不合題意.所以，，即，解得或.①當(dāng)時(shí)，令，得，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：此時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意；②當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，則函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)，考查函數(shù)圖象對稱性的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是推導(dǎo)出，在求出參數(shù)后要對參數(shù)的值進(jìn)行檢驗(yàn)，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.4、D【解析】

先將化為，根據(jù)函數(shù)圖像的平移原則，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以只需將的圖象向右平移個(gè)單位.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移，熟記函數(shù)平移原則即可，屬于基礎(chǔ)題型.5、D【解析】

設(shè)直線：，，，由原點(diǎn)在以為直徑的圓的外部，可得，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求得答案.【詳解】顯然直線不滿足條件，故可設(shè)直線：，，，由，得，，解得或，，，，，，解得，直線的斜率的取值范圍為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是掌握橢圓的基礎(chǔ)知識和圓錐曲線與直線交點(diǎn)問題時(shí)，通常用直線和圓錐曲線聯(lián)立方程組，通過韋達(dá)定理建立起目標(biāo)的關(guān)系式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．6、C【解析】

將圓錐的體積用兩種方式表達(dá)，即，解出即可.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，則，又，故，所以，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題利用古代數(shù)學(xué)問題考查圓錐體積計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新能力.7、D【解析】

利用輔助角公式化簡的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值，求得在函數(shù)取得最小值時(shí)的值．【詳解】解：，其中，，，故當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取最小值，所以，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的最值的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解析】程序在運(yùn)行過程中各變量值變化如下表：KS是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前11第一圈24是第二圈311是第三圈426是第四圈557是第五圈6120否故退出循環(huán)的條件應(yīng)為k>5?本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：使用循環(huán)結(jié)構(gòu)尋數(shù)時(shí)，要明確數(shù)字的結(jié)構(gòu)特征，決定循環(huán)的終止條件與數(shù)的結(jié)構(gòu)特征的關(guān)系及循環(huán)次數(shù)．尤其是統(tǒng)計(jì)數(shù)時(shí)，注意要統(tǒng)計(jì)的數(shù)的出現(xiàn)次數(shù)與循環(huán)次數(shù)的區(qū)別．9、B【解析】

利用分步計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列求解即可【詳解】第一步排語文，英語，化學(xué)，生物4種，且化學(xué)排在生物前面，有種排法；第二步將數(shù)學(xué)和物理插入前4科除最后位置外的4個(gè)空擋中的2個(gè)，有種排法，所以不同的排表方法共有種.選.【點(diǎn)睛】本題考查排列的應(yīng)用，不相鄰采用插空法求解，準(zhǔn)確分步是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題10、C【解析】

設(shè)，則的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的斜率，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【詳解】解：設(shè)，則的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的斜率，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由圖可知當(dāng)過點(diǎn)的直線平行于軸時(shí)，此時(shí)成立；取所有負(fù)值都成立；當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，取正值中的最小值，，此時(shí)；故的取值范圍為；故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查簡單線性規(guī)劃的非線性目標(biāo)函數(shù)函數(shù)問題，解題時(shí)作出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解是解題關(guān)鍵．對于直線斜率要注意斜率不存在的直線是否存在．11、A【解析】

求出集合M和集合N,，利用集合交集補(bǔ)集的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】，，則，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．12、C【解析】

計(jì)算，，再計(jì)算交集得到答案.【詳解】，，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了交集運(yùn)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法求解再根據(jù)純虛數(shù)的定義求解即可.【詳解】解：復(fù)數(shù)為純虛數(shù),解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)求解參數(shù)的問題,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】,可行域如圖，直線與圓相切時(shí)取最大值，由15、13【解析】根據(jù)題意得到：a=0,b=1,i=2A=1,b=2,i=4,A=3,b=5,i=6,A=8,b=13,i=8不滿足條件，故得到此時(shí)輸出的b值為13.故答案為13.16、【解析】

建立直角坐標(biāo)系，依題意可求得，而，，，故可得，且，由此構(gòu)造函數(shù)，，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得取值范圍．【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，，，根據(jù)，即，，，則，，即，，，則，，所以，，，，，，且，故，設(shè)，，易知二次函數(shù)的對稱軸為，故函數(shù)在，上的最大值為，最小值為，故的取值范圍為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意通過設(shè)元、消元，將問題轉(zhuǎn)化為元二次函數(shù)的值域問題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析【解析】

（1）求出，記，問題轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不同解，求導(dǎo)，研究極值即可得結(jié)果；（2）由（1）知，在區(qū)間上存在極大值點(diǎn)，且，則可求出極大值，記，求導(dǎo)，求單調(diào)性，求出極值即可.【詳解】（1），由，記，，由，且時(shí)，，單調(diào)遞減，，時(shí)，，單調(diào)遞增，，由題意，方程有兩個(gè)不同解，所以；（2）解法一：由（1）知，在區(qū)間上存在極大值點(diǎn)，且，所以的極大值為，記，則，因?yàn)?，所以，所以時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即函數(shù)的極大值不小于1.解法二：由（1）知，在區(qū)間上存在極大值點(diǎn)，且，所以的極大值為，因?yàn)?，，所?即函數(shù)的極大值不小于1.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，考查學(xué)生綜合分析能力與轉(zhuǎn)化能力，是一道中檔題.18、（1）；（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可求出a的值，即可得橢圓方程；（2）由題意M（x0，y0），N（x0，y1），P（2，t），根據(jù)，可得y1＝2y0，由，可得2x0+2y0t＝6，再根據(jù)向量的運(yùn)算可得，即可證明．【詳解】（1）左頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣a，0），∵＝，∴|a﹣5|＝3，解得a＝2或a＝8（舍去），∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2＝1，（2）由題意M（x0，y0），N（x0，y1），P（2，t），則依題意可知y1≠y0，得（x0﹣2x0，y1﹣2y0）（0，y1﹣y0）=0，整理可得y1＝2y0，或y1＝y(tǒng)0（舍），，得（x0，2y0）（2﹣x0，t﹣2y0）＝2，整理可得2x0+2y0t＝x02+4y02+2＝6，由（1）可得F（，0），∴＝（﹣x0，﹣2y0），∴?＝（﹣x0，﹣2y0）（2，t）＝6﹣2x0﹣2y0t＝0，∴NF⊥OP，故過點(diǎn)N且垂直于OP的直線過橢圓C的右焦點(diǎn)F．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程的求法，直線和橢圓的關(guān)系，向量的運(yùn)算，考查了運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于中檔題.19、（1）（2）或【解析】

（1）根據(jù)為真命題列出不等式，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）應(yīng)用復(fù)合命題真假判定的口訣：真“非”假，假“非”真，一真“或”為真，兩真“且”才真.【詳解】（1），且，解得所以當(dāng)為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）由，可得，又∵當(dāng)時(shí)，，.∵當(dāng)為真命題，且為假命題時(shí)，∴與的真假性相同，當(dāng)假假時(shí)，有，解得；當(dāng)真真時(shí)，有，解得；故當(dāng)為真命題且為假命題時(shí)，可得或.【點(diǎn)睛】本題主要考查結(jié)合不等式的含有量詞的命題的恒成立問題，存在性問題，考查復(fù)合命題的真假判斷，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.20、（1）（2）【解析】

（1）用等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比分別表示出已知條件，解方程組即可求得公比，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得結(jié)果；（2）把（1）中求得的結(jié)果代入bn＝an?log2an，求出bn，利用錯(cuò)位相減法求出Tn．【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的公比為，由題意知：，∴，即.∴，即.(2)，∴.①.②①－②得∴.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng)的概念以及錯(cuò)位相減法求和，考查運(yùn)算能力，屬中檔題．21、；證明見解析.【解析】

當(dāng)時(shí)，集合共有個(gè)子集，即可求出結(jié)果；分類討論，利用數(shù)學(xué)歸納法證明.【詳解】當(dāng)時(shí)，集合共有個(gè)子集，所以；①當(dāng)時(shí)，，由可知，，此時(shí)令，，，，滿足對任意，都有，且；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，存在有序集合組滿足題意，且，則當(dāng)時(shí)，集合的子集個(gè)數(shù)為個(gè)，因?yàn)槭?的整數(shù)倍，所以令，，，，且恒成立，即滿足對任意，都有，且，綜上，原命題得證.【