七年級(jí)下冊(cè)第02講 垂直

第02講垂直課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①垂直的定義②垂直的畫法③垂線的性質(zhì)④點(diǎn)到直線的距離掌握垂線的定義及其表示。能夠利用三角板或兩角器畫垂線。掌握垂線的性質(zhì)并且能夠運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算。知識(shí)點(diǎn)01垂直的定義垂直的定義：兩條直線相交形成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是時(shí)，就說(shuō)這兩條直線，其中一條直線叫做另一條直線的，它們的交點(diǎn)叫做。若直線a與直線b垂直，表示為。由鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角的性質(zhì)可知，若相交線形成的角中有一個(gè)角是直角，則四個(gè)角均是?！炯磳W(xué)即練1】1．（2023?封丘縣二模）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥OD，若∠AOD＝4∠AOC，則∠AOE的度數(shù)為（）A．48° B．54° C．64° D．72°知識(shí)點(diǎn)02垂線的畫法利用三角板過(guò)已知點(diǎn)作直線的垂線的具體步驟：三直角三角板的一半與已知直線。沿已知直線平移直角三角形邊，使另一邊經(jīng)過(guò)。沿與已知直線不重合的邊畫，這條直線即為已知直線的垂線?！炯磳W(xué)即練1】2．（2023春?梁平區(qū)期末）下列選項(xiàng)中，過(guò)點(diǎn)P畫AB的垂線CD，三角板放法正確的是（）A． B． C． D．知識(shí)點(diǎn)03垂線的性質(zhì)性質(zhì)1：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線，條直線與已知直線垂直。有且只有：存在且唯一。性質(zhì)2：過(guò)一點(diǎn)作已知直線的，點(diǎn)到之間的部分叫做垂線段。直線外一點(diǎn)連接直線上所有點(diǎn)的連線中，最短。注意：若不是直線外一點(diǎn)，則不存在垂線段。【即學(xué)即練1】3．（2023春?裕華區(qū)期中）如圖，在直線l外任取一點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q畫直線l的垂線，可畫出的垂線有（）A．0條 B．1條 C．2條 D．無(wú)數(shù)條【即學(xué)即練2】4．（2023春?博羅縣期末）春節(jié)過(guò)后，某村計(jì)劃挖一條水渠將不遠(yuǎn)處的河水引到農(nóng)田（記作點(diǎn)O），以便對(duì)農(nóng)田的小麥進(jìn)行灌溉，現(xiàn)設(shè)計(jì)了四條路段OA，OB，OC，OD，如圖所示，其中最短的一條路線是（）A．OA B．OB C．OC D．OD知識(shí)點(diǎn)04點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的是直線外一點(diǎn)到該直線的距離。【即學(xué)即練1】5．（2023春?寶坻區(qū)校級(jí)月考）P為直線m外一點(diǎn)，A，B，C為直線m上三點(diǎn)，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，則點(diǎn)P到直線m的距離（）A．等于5cm B．等于4cm C．小于4cm D．不大于4cm題型01與垂直有關(guān)的計(jì)算【典例1】（2022秋?新都區(qū)期末）如圖，OC⊥AB，垂足為O，直線DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，∠COD＝50°，則∠BOE＝（）A．30° B．40° C．50° D．60°【變式1】（2023春?呼和浩特期末）如圖，三條直線AB，CD，EF相交于點(diǎn)O，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，若OG平分∠BOF．∠DOG的度數(shù)為（）A．50° B．55° C．60° D．65°【變式2】（2023春?自貢期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，EO⊥CD，垂足為O．若∠EOB＝50°，求∠AOD和∠AOC的度數(shù)．【變式3】（2023秋?南崗區(qū)校級(jí)期中）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OD平分∠AOF，EO⊥OD，∠EOA＝55°，求∠BOF的度數(shù)．題型02垂線段最短的應(yīng)用【典例1】（2023春?棲霞市期末）如圖，某同學(xué)在體育課上跳遠(yuǎn)后留下的腳印，在圖中畫出了他的跳遠(yuǎn)距離，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識(shí)是（）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．垂線段最短 C．兩點(diǎn)確定一條直線 D．經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直【變式1】（2023春?東明縣期中）如圖，小李計(jì)劃把河中的水引到水池C進(jìn)行蓄水，結(jié)果發(fā)現(xiàn)沿線段CD挖渠，能使水渠最短，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理是（）A．過(guò)兩點(diǎn)有且僅有一條直線 B．經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線 C．垂線段最短 D．兩點(diǎn)之間，線段最短【變式2】（2023?青秀區(qū)校級(jí)模擬）如圖，有三個(gè)快遞員都從位于點(diǎn)P的快遞站取到快遞后，同時(shí)以相同的速度把取到的快遞分別送到位于筆直公路l旁的三個(gè)快遞點(diǎn)A、B、C、結(jié)果送到B快遞點(diǎn)的快遞員先到．理由是（）A．垂線段最短 B．兩點(diǎn)之間線段最短 C．兩點(diǎn)確定一條直線 D．經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線【變式3】（2022秋?榆樹(shù)市期末）如圖，將軍要從村莊A去村外的河邊飲馬，有三條路AB、AC、AD可走，將軍沿著AB路線到的河邊，他這樣做的道理是（）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．兩點(diǎn)之間，直線最短 C．兩點(diǎn)確定一條直線 D．直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短題型03點(diǎn)到直線的距離【典例1】（2023秋?讓胡路區(qū)校級(jí)期中）如圖，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，則點(diǎn)C到直線AB的距離是（）A．線段AC的長(zhǎng)度 B．線段CB的長(zhǎng)度 C．線段AD的長(zhǎng)度 D．線段CD的長(zhǎng)度【變式1】（2023春?新羅區(qū)期末）如圖，AB⊥AC，AD⊥BC，那么點(diǎn)C到直線AD的距離是指（）A．線段AC的長(zhǎng) B．線段AD的長(zhǎng) C．線段DB的長(zhǎng) D．線段CD的長(zhǎng)【變式2】（2023春?天元區(qū)校級(jí)期末）如圖，筆直小路DE的一側(cè)栽種有兩棵小樹(shù)BM，CN，小明測(cè)得AB＝4m，AC＝6m，則點(diǎn)A到DE的距離可能為（）A．6m B．5m C．4m D．3m【變式3】（2023春?澄邁縣期末）已知P是直線l外一點(diǎn)，A是直線l上一點(diǎn)，若PA＝2cm，則點(diǎn)P到直線l的距離（）A．小于2cm B．不大于2cm C．等于2cm D．大于2cm1．（2023春?孟村縣期末）已知，如圖所示，AB⊥CD，垂足為O，EF為過(guò)O點(diǎn)的一條直線，則∠α與∠β的關(guān)系一定成立的是（）A．相等 B．互余 C．互補(bǔ) D．互為對(duì)頂角2．（2023?游仙區(qū)開(kāi)學(xué)）過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線CD，下列選項(xiàng)中，三角板的放法正確的是（）A． B． C． D．3．（2023?貴州模擬）如圖，工程隊(duì)準(zhǔn)備將一段筆直的河道改彎，從而增加游覽船的航程，讓游客飽覽山間風(fēng)光．這其中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理是（）A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線 C．兩點(diǎn)之間，線段最短 D．垂線段最短4．（2023春?臨沂期中）如圖，在同一平面內(nèi)，OA⊥l，OB⊥l，垂足為O，則OA與OB重合的理由是（）A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．垂線段最短 C．同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 D．已知直線的垂線只有一條5．（2023秋?南崗區(qū)校級(jí)期中）如圖，要把河中的水引到水池A中，應(yīng)在河岸B處（AB⊥CD），開(kāi)始挖渠才能使水渠的長(zhǎng)度最短，這樣做的依據(jù)是（）A．兩點(diǎn)之間線段最短 B．點(diǎn)到直線的距離 C．垂線段最短 D．兩點(diǎn)確定一條直線6．（2023春?巴南區(qū)期末）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝125°，則∠BOD等于（）A．55° B．45° C．35° D．25°7．（2023春?泰來(lái)縣校級(jí)期末）如圖，直線BO⊥AO于點(diǎn)O，OB平分∠COD，∠AOC＝70°，則∠DOA的度數(shù)是（）A．110° B．120° C．125° D．130°8．（2023春?千山區(qū)期中）如圖，P是直線l外一點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)在直線l上，且PB⊥l于點(diǎn)B，∠APC＝90°，則下列結(jié)論中正確的是（）①線段BP的長(zhǎng)度是點(diǎn)P到直線l的距離；②線段AP是A點(diǎn)到直線PC的距離；③在PA，PB，PC三條線段中，PB最短；④線段PC的長(zhǎng)度是點(diǎn)P到直線l的距離A．①②③ B．③④ C．①③ D．①②③④9．（2023春?殷都區(qū)期末）點(diǎn)O是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C為直線l上三點(diǎn)，且OA＝2cm，OB＝5cm，OC＝3cm，則點(diǎn)O到直線l的距離（）A．小于2cm B．等于2cm C．不大于2cm D．等于3cm10．（2023春?渠縣校級(jí)期末）如圖，直線AB、CD相交于O，射線OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，則∠CON的度數(shù)為（）A．35° B．45° C．55° D．65°11．（2023春?涵江區(qū)期中）如圖：李明同學(xué)參加跳遠(yuǎn)比賽，要測(cè)量他的跳遠(yuǎn)成績(jī)，只要測(cè)量PA的長(zhǎng)度，其依據(jù)的數(shù)學(xué)原理是：.12．（2023春?通道縣期末）在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，則點(diǎn)C到AB的距離為．13．（2023春?濱州期末）如圖，已知直線l上，點(diǎn)P為直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)B為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，PB≥4cm，則點(diǎn)P到直線l的距離是．14．（2023春?西寧期末）在直線AB上任取一點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作射線OC、OD，使OC⊥OD，當(dāng)∠AOC＝30°時(shí)，∠BOD的度數(shù)是．15．（2023秋?讓胡路區(qū)校級(jí)期中）已知∠AOB和∠BOC互為鄰補(bǔ)角，且∠AOB＜∠BOC，OD平分∠BOC，射線OE在∠AOB內(nèi)部，且4∠BOE+∠BOC＝180°，∠DOE＝70°，OM⊥OB，則∠MOE＝．16．（2023春?館陶縣期中）如圖，將一塊直角三角板COD的直角頂點(diǎn)O放在直線AB上．（1）若線段OC的長(zhǎng)是點(diǎn)C到直線AB的距離，則點(diǎn)D在直線AB（填“上”或“外”）．（2）比較CD與OD的大小，并說(shuō)明理由．17．（2023春?金安區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線AB與EF交于點(diǎn)O，已知OC和OD位于AB的兩側(cè)，且OC⊥OD，OF平分∠BOC，若∠BOD＝20°，求∠AOE的度數(shù)．18．（2023春?青山區(qū)期中）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，EO⊥AB，垂足為O．（1）直接寫出∠AOC的對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角；（2）若∠AOC：∠COE＝3：1，求∠AOD的度數(shù)．18．（2023春?大足區(qū)期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB．（1）若∠BOF＝∠DOE，求證：OF⊥CD；（2）在（1）的條件下，若∠BOC﹣∠AOF＝∠AOC，求∠C