微積分 第7版 課件 后續(xù)內(nèi)容（下）-無(wú)窮級(jí)數(shù)

后續(xù)內(nèi)容（下）

無(wú)

窮

級(jí)

數(shù)一、無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念與基本運(yùn)算法則二、正項(xiàng)級(jí)數(shù)三、交錯(cuò)級(jí)數(shù)1本章思維導(dǎo)圖3一

無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念與基本運(yùn)算法則本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203掌握級(jí)數(shù)的基本運(yùn)算法則理解級(jí)數(shù)的斂散性了解無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念能熟練判斷較簡(jiǎn)單無(wú)窮級(jí)數(shù)的斂散性04一、無(wú)窮級(jí)數(shù)1.定義后.5已知數(shù)列y1,y2,y3,y4,…,yn,…它的全部項(xiàng)相加稱(chēng)為無(wú)窮級(jí)數(shù),簡(jiǎn)稱(chēng)為級(jí)數(shù),記作

5

Sn=y1+y2+…+yn-1+yn當(dāng)項(xiàng)數(shù)n取值為確定的正整數(shù)時(shí),相應(yīng)的部分和是一個(gè)確定的和數(shù).所有部分和構(gòu)成一個(gè)數(shù)列S1,S2,…,Sn-1,Sn,…顯然,當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大時(shí),部分和數(shù)列的極限情況就代表了級(jí)數(shù)的情況62.級(jí)數(shù)斂散性定義后.6

73.收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)定理后.3

84.收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)證明

Sn=y1+y2+…+yn-1+yn前n-1項(xiàng)部分和Sn-1=y1+y2+…+yn-19因此一般項(xiàng)yn可以表示為yn=Sn-Sn-1所以一般項(xiàng)yn的極限

105.推論

11例1判別級(jí)數(shù)

的斂散性.

12注意到級(jí)數(shù)前n項(xiàng)部分和

13因此部分和數(shù)列的極限

14例2判別級(jí)數(shù)的斂散性

15注意到級(jí)數(shù)前n項(xiàng)部分和

=(ln1-ln2)+(ln2-ln3)+(ln3-ln4)+…+[ln(n-1)-lnn]+[lnn-ln(n+1)]=-ln(n+1)16因此部分和數(shù)列的極限

例3判別級(jí)數(shù)的斂散性

=(0.01)0=1≠0

176.下面討論一類(lèi)非常重要的幾何級(jí)數(shù)

的斂散性幾何級(jí)數(shù)的特征是一般項(xiàng)為變量n的指數(shù)函數(shù),即任意相鄰兩項(xiàng)的后項(xiàng)與前項(xiàng)之比值皆相等,等于常數(shù)q,這個(gè)比值q稱(chēng)為公比說(shuō)明幾何級(jí)數(shù)就是公比為q的等比數(shù)列全部項(xiàng)相加.根據(jù)公比q的取值范圍,分下列三種情況討論18（1）|q|<1應(yīng)用§1.3例1結(jié)論的推廣,得到級(jí)數(shù)一般項(xiàng)yn=aqn-1的極限

于是進(jìn)一步考察部分和數(shù)列的極限.注意到等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

19因此部分和數(shù)列的極限

20（2）|q|>1由于級(jí)數(shù)一般項(xiàng)yn=aqn-1的極限

21（3）|q|=1當(dāng)q=-1時(shí),由于級(jí)數(shù)一般項(xiàng)yn=aqn-1的極限

22當(dāng)q=1時(shí),由于級(jí)數(shù)一般項(xiàng)yn=aqn-1的極限

綜合上面的討論,得到幾何級(jí)數(shù)

23二、級(jí)數(shù)基本運(yùn)算法則法則1

24法則2

25法則3級(jí)數(shù)的前面加上或去掉有限項(xiàng),得到新級(jí)數(shù),那么:如果原級(jí)數(shù)收斂,則新級(jí)數(shù)也收斂,且其和等于原級(jí)數(shù)的和加上或減去有限項(xiàng)的和如果原級(jí)數(shù)發(fā)散,則新級(jí)數(shù)也發(fā)散26例4

27且級(jí)數(shù)

2829本次課程結(jié)束30二

正項(xiàng)級(jí)數(shù)本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203掌握比較判別法則掌握達(dá)朗貝爾判別法則掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念能熟練判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性04一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)1.定義后.7若yn>0(n=1,2,…),則稱(chēng)級(jí)數(shù)

為正項(xiàng)級(jí)數(shù).322.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的特征正項(xiàng)級(jí)數(shù)是基本而重要的一類(lèi)級(jí)數(shù),其特征是各項(xiàng)取值皆為正正項(xiàng)級(jí)數(shù)有許多性質(zhì),如無(wú)論加括號(hào)或去括號(hào)都不改變其斂散性33二、判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性1.達(dá)朗貝爾(D'Alembert)判別法則

34例1

35例2

36例3

(2n+3)!=(2n+3)(2n+2)(2n+1)!37計(jì)算極限

=0<1

38例4

39計(jì)算極限

=10>1

40

412.比較判別法則比較判別法則內(nèi)容

423.廣義調(diào)和級(jí)數(shù)下面討論另一類(lèi)非常重要的廣義調(diào)和級(jí)數(shù)

的斂散性廣義調(diào)和級(jí)數(shù)的特征是一般項(xiàng)為變量n的冪函數(shù)之倒數(shù),它當(dāng)然是正項(xiàng)級(jí)數(shù)43經(jīng)過(guò)深入的討論,可以得到廣義調(diào)和級(jí)數(shù)

44廣義調(diào)和級(jí)數(shù)作為廣義調(diào)和級(jí)數(shù)的特殊情況,容易得到:

45廣義調(diào)和級(jí)數(shù)作為廣義調(diào)和級(jí)數(shù)的特殊情況,正項(xiàng)級(jí)數(shù)

為p=1的廣義調(diào)和級(jí)數(shù),它是一個(gè)重要的正項(xiàng)級(jí)數(shù),稱(chēng)為調(diào)和級(jí)數(shù),當(dāng)然發(fā)散464.與調(diào)和級(jí)數(shù)相關(guān)的正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性舉例

47

48提示：當(dāng)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)與廣義調(diào)和級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)容易比較大小時(shí),須以廣義調(diào)和級(jí)數(shù)作為比較標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)用比較判別法則判別它的斂散性

49例5

50由于n2+1>n2,從而有

51例6

由于容易得到不等式1+n3≤n+n3=n(1+n2)52從而有

即有

5354本次課程結(jié)束55三

交錯(cuò)級(jí)數(shù)本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊不尼茲判別法則理解條件收斂與絕對(duì)收斂的概念掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的概念能熟練判斷較簡(jiǎn)單的交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性04一、絕對(duì)值判別法則各項(xiàng)具有任意正負(fù)號(hào)的級(jí)數(shù)稱(chēng)為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)如何判別其斂散性?有絕對(duì)值判別法則.571.絕對(duì)值判別法則

2.絕對(duì)收斂與條件收斂定義后.8

58說(shuō)明：絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)有很多性質(zhì),如任意交換各項(xiàng)的位置都不改變其斂散性而條件收斂級(jí)數(shù)卻沒(méi)有這個(gè)性質(zhì),因此有必要區(qū)分收斂級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂還是條件收斂59二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)有兩種特殊類(lèi)型:一種是正項(xiàng)級(jí)數(shù),另一種是交錯(cuò)級(jí)數(shù).1.定義后.9若yn>0(n=1,2,…),則稱(chēng)級(jí)數(shù)

為交錯(cuò)級(jí)數(shù).602.交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)是重要的一類(lèi)級(jí)數(shù),其特征是各項(xiàng)的正負(fù)號(hào)交替出現(xiàn)如何判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性?

顯然,判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的達(dá)朗貝爾判別法則與比較判別法則都可以應(yīng)用于判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)是否絕對(duì)收斂61例1