新版高中數(shù)學(xué)人教A版選修1-2習(xí)題第二章推理與證明檢測(cè)

第二章檢測(cè)(時(shí)間:90分鐘滿分:120分)一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.有一段演繹推理是這樣的:“若直線平行于平面,則該直線平行于平面內(nèi)的所有直線;已知直線b?平面α,a?平面α,直線b∥平面α,則直線b∥直線a”,這個(gè)結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的,這是因?yàn)?)A.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤C.推理形式錯(cuò)誤 D.非以上錯(cuò)誤解析“若直線平行于平面,則該直線平行于平面內(nèi)的所有直線”是錯(cuò)誤的,即大前提是錯(cuò)誤的.故選A.答案A2.已知f(x+1)=2f(x)f(x)+2,f(1)A.f(x)=C.f(x)=解析當(dāng)x=1時(shí),f(2)=當(dāng)x=2時(shí),f(3)=當(dāng)x=3時(shí),f(4)=故可猜想f(x)=2x答案B3.如圖所示,4只小動(dòng)物換座位,開(kāi)始時(shí)鼠,猴,兔,貓分別坐1,2,3,4號(hào)座位,如果第1次前后排動(dòng)物互換座位,第2次左右列動(dòng)物互換座位,第3次前后排動(dòng)物互換座位……這樣交替進(jìn)行下去,那么第2018次互換座位后,小兔坐在()號(hào)座位上.A.1 B.2 C.3 D.4解析由題意得第4次互換座位后,4只小動(dòng)物又回到了原座位,即每經(jīng)過(guò)4次互換座位后,小動(dòng)物回到原座位,而2018=4×504+2,所以第2018次互換座位后的結(jié)果與第2次互換座位后的結(jié)果相同,故小兔坐在2號(hào)座位上,應(yīng)選B.答案B4.已知x∈(0,+∞),不等式x+1x≥2,x+4x2≥3,x+27x3≥4,…,可推廣為x+aA.2n B.n2 C.22(n1) D.nn解析∵第一個(gè)不等式中a=11,第二個(gè)不等式中a=22,第三個(gè)不等式中a=33,∴第n個(gè)不等式中a=nn.答案D5.若△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值,則()A.△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是鈍角三角形C.△A1B1C1是鈍角三角形,△A2B2C2是銳角三角形D.△A1B1C1是銳角三角形,△A2B2C2是鈍角三角形解析因?yàn)檎抑翟?0°,180°)內(nèi)是正值,所以△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0,因此△A1B1C1是銳角三角形.由于△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值,因此△A2B2C2不可能為直角三角形,故假設(shè)△A2B2C2也是銳角三角形,并設(shè)cosA1=sinA2,則cosA1=cos(90°A2),所以A1=90°A2.同理設(shè)cosB1=sinB2,cosC1=sinC2,則有B1=90°B2,C1=90°C2.又A1+B1+C1=180°,則(90°A2)+(90°B2)+(90°C2)=180°,即A2+B2+C2=90°.這與三角形內(nèi)角和等于180°矛盾,所以原假設(shè)不成立.故選D.答案D6.觀察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,則a10+b10等于()A.28 B.76 C.123 D.199解析利用歸納法:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123.規(guī)律為從第三組開(kāi)始,其結(jié)果為前兩組結(jié)果的和.答案C7.對(duì)大于或等于2的自然數(shù)的正整數(shù)冪運(yùn)算有如下分解方式:22=1+332=1+3+542=1+3+5+723=3+533=7+9+1143=13+15+17+19根據(jù)上述分解規(guī)律,若m2=1+3+5+…+11,n3的分解中最小的正整數(shù)是21,則m+n等于()A.10 B.11 C.12 D.13解析∵m2=1+3+5+…+11=∴m=6.∵23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,∴53=21+23+25+27+29.又n3的分解中最小的正整數(shù)是21,∴n3=53,n=5,∴m+n=6+5=11.答案B8.對(duì)于奇數(shù)列1,3,5,7,9,…,現(xiàn)在進(jìn)行如下分組:第一組有1個(gè)數(shù){1},第二組有2個(gè)數(shù){3,5},第三組有3個(gè)數(shù){7,9,11},……,依此類推,則每組內(nèi)奇數(shù)之和Sn與其組的編號(hào)數(shù)n(n∈N*)的關(guān)系是()A.Sn=n2 B.Sn=n3 C.Sn=n4 D.Sn=n(n+1)解析當(dāng)n=1時(shí),S1=1;當(dāng)n=2時(shí),S2=8=23;當(dāng)n=3時(shí),S3=27=33.歸納猜想Sn=n3.故選B.答案B9.古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù),比如:圖(1)圖(2)他們研究過(guò)圖(1)中的1,3,6,10,…,由于這些數(shù)能夠表示成三角形,將其稱為三角形數(shù);類似地,稱圖(2)中的1,4,9,16,…這樣的數(shù)為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù),又是正方形數(shù)的是()A.289 B.1024 C.1225 D.1378解析根據(jù)圖形的規(guī)律可知,第n個(gè)三角形數(shù)為an=n(n+1)2,第n個(gè)正方形數(shù)為bn=n2,由此可排除選項(xiàng)D(1378不是平方數(shù)),將選項(xiàng)答案C10.六個(gè)面都是平行四邊形的四棱柱稱為平行六面體.如圖甲所示,在平行四邊形ABCD中,有AC2+BD2=2(AB2+AD2),那么在圖乙所示的平行六面體ABCDA1B1C1D1中,AA.2(AB2+AD2+AC.4(AB2+AD2+A解析如圖,連接A1C1,AC,則四邊形AA1C1C是平行四邊形,故A1C2+A連接BD,B1D1,則四邊形BB1D1D是平行四邊形,故又在?ABCD中,AC2+BD2=2(AB2+AD2),A則故選C.答案C二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分.把答案填在題中的橫線上)11.甲、乙、丙三位同學(xué)被問(wèn)到是否去過(guò)A,B,C三個(gè)城市時(shí),甲說(shuō):我去過(guò)的城市比乙多,但沒(méi)去過(guò)B城市;乙說(shuō):我沒(méi)去過(guò)C城市;丙說(shuō):我們?nèi)巳ミ^(guò)同一城市.由此可判斷乙去過(guò)的城市為.

解析由丙的說(shuō)法“三人去過(guò)同一城市”知乙至少去過(guò)一個(gè)城市,而甲說(shuō)去過(guò)的城市比乙多,且沒(méi)去過(guò)B城市,因此甲一定去過(guò)A城市和C城市.又乙沒(méi)去過(guò)C城市,所以三人共同去過(guò)的城市必為A,故乙去過(guò)的城市就是A.答案A12.已知函數(shù)f(x)=x3+x,a,b,c∈R,且a+b>0,b+c>0,c+a>0,則f(a)+f(b)+f(c)的值一定比零(填“大”或“小”).

解析∵f(x)=x3+x是R上的奇函數(shù),且是增函數(shù),又由a+b>0可得a>b,∴f(a)>f(b)=f(b),∴f(a)+f(b)>0.同理,得f(b)+f(c)>0,f(c)+f(a)>0.三式相加,整理得f(a)+f(b)+f(c)>0.答案大13.在平面幾何中,△ABC的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比為解析∵CE平分∠ACB,而平面CDE平分二面角ACDB,∴答案14.已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三個(gè)關(guān)系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一個(gè)正確,則100a+10b+c等于.

解析由題意可知三個(gè)關(guān)系只有一個(gè)正確分為三種情況:(1)當(dāng)①成立時(shí),則a≠2,b≠2,c=0,此種情況不成立;(2)當(dāng)②成立時(shí),則a=2,b=2,c=0,此種情況不成立;(3)當(dāng)③成立時(shí),則a=2,b≠2,c≠0,即a=2,b=0,c=1,所以100a+10b+c=100×2+10×0+1=201.故答案為201.答案20115.把數(shù)列1111…第k行有2k1個(gè)數(shù),第t行的第s個(gè)數(shù)(從左數(shù)起)記為A(t,s),則A(6,10)=.

解析前5行共有20+21+22+23+24=31個(gè)數(shù),A(6,10)為數(shù)列的第41項(xiàng).∵an=答案三、解答題(本大題共5小題,共45分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)16.(8分)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù):①sin213°+cos217°sin13°cos17°;②sin215°+cos215°sin15°cos15°;③sin218°+cos212°sin18°cos12°;④sin2(18°)+cos248°sin(18°)cos48°;⑤sin2(25°)+cos255°sin(25°)cos55°.(1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè),求出這個(gè)常數(shù);(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論.解法一(1)選擇②式,計(jì)算如下:sin215°+cos215°sin15°cos15°=1-12sin30(2)三角恒等式為sin2α+cos2(30°α)sinαcos(30°α)=證明如下:sin2α+cos2(30°α)sinαcos(30°α)=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2sinα·(cos30°cosα+sin30°sinα)=sin2α+34cos2α+32sin=解法二(1)同解法一.(2)三角恒等式為sin2α+cos2(30°α)sinα·cos(30°α)=證明如下:sin2α+cos2(30°α)sinαcos(30°α)=1-cos2α2+1+cos(60°-2α)2-sin=12-12cos2α+12+12(cos60°cos2α+sin60°=12-12cos2α+12+14=1-14cos2α17.(8分)已知函數(shù)f(x)=ax+(1)證明函數(shù)f(x)在(1,+∞)內(nèi)為增函數(shù);(2)用反證法證明方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根.分析對(duì)第(1)小題,可用定義法證明;對(duì)第(2)小題,可按反證法證明命題的步驟加以證明.證明(1)設(shè)x1,x2是(1,+∞)內(nèi)的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且x1<x2.∵a>1,∴又x1+1>0,x2+1>0,∴==于是f(x2)f(x1)=故函數(shù)f(x)在(1,+∞)內(nèi)為增函數(shù).(2)假設(shè)存在x0<0(x0≠1)滿足f(x0)=0,則ax于是0<-這與假設(shè)x0<0矛盾,故方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根.18.(9分)先解答(1),再通過(guò)結(jié)構(gòu)類比解答(2):(1)求證:tan(2)設(shè)x∈R,a為非零常數(shù),且f(x+a)=(1)證明由兩角和的正切公式得tan即tanx(2)解猜想f(x)是以4a為周期的周期函數(shù).證明過(guò)程如下:∵f(x+2a)=f[(x+a)+a]=∴f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]=-∴f(x)是以4a為周期的周期函數(shù).故f(x)是周期函數(shù),其中一個(gè)周期為4a.19.(10分)已知0<b<a<e,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)試猜想ab與ba的大小關(guān)系;(2)證明你的結(jié)論.(1)解取a=2,b=1可知ab>ba,又當(dāng)a=1,b=12時(shí),ab由此猜測(cè)ab>ba對(duì)一切0<b<a<e成立.(2)證明要證ab>ba對(duì)一切0<b<a<e成立,需證lnab>lnba,需證blna>alnb,需證設(shè)函數(shù)f(x)=lnxf'(x)=當(dāng)x∈(0,e)時(shí),f'(x)>0恒成立.所以f(x)=lnxx所以f(a)>f(b),即lnaa>ln20.(10分)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足:a1=λ,an+1=(1)求證:對(duì)任意實(shí)數(shù)λ,數(shù)列{an}不是等比數(shù)列;(2)求證:當(dāng)λ≠18時(shí),數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;(3)設(shè)Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,是否存在實(shí)數(shù)λ,使得對(duì)任意正整數(shù)n,都有Sn>12?若存在,求實(shí)數(shù)λ的范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.分析解答本題,需綜合運(yùn)用等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算技能,并注意分類討論思想的應(yīng)用.(1)證明假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ,使得數(shù)列{an}是等比數(shù)列,則有又因?yàn)閍2=所以即則9=0,這是不可能的.所以假設(shè)不成立,原結(jié)論成立.故對(duì)任意實(shí)數(shù)λ,數(shù)列{an}不是等比數(shù)列.(2)證明因?yàn)棣恕?8,所以b1=(λ+18)≠0.又bn+1=(1)n+1[a