北京市西城區(qū)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)

北京市西城區(qū)2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷高三數(shù)學(xué)本試卷共6頁，150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，，則（）A. B.C. D.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.設(shè)，，且，則（）A. B. C. D.4.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，漸近線為，則的方程是（）A. B. C. D.5.已知點(diǎn)，點(diǎn)滿足.若點(diǎn)，其中，則的最小值為（）A.5 B.4 C.3 D.26.在中，，，，則的面積為（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)，則（）A.在上是減函數(shù)，且曲線存在對稱軸B.在上是減函數(shù)，且曲線存在對稱中心C.在上是增函數(shù)，且曲線存在對稱軸D.在上是增函數(shù)，且曲線存在對稱中心8.設(shè)，是非零向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.設(shè)是首項(xiàng)為正數(shù)，公比為的無窮等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為.若存在無窮多個(gè)正整數(shù)，使，則的取值范圍是（）A. B. C. D.10.如圖，水平地面上有一正六邊形地塊，設(shè)計(jì)師規(guī)劃在正六邊形的頂點(diǎn)處矗立六根與地面垂直的柱子，用以固定一塊平板式太陽能電池板.若其中三根柱子，，的高度依次為，，，則另外三根柱子的高度之和為（）A. B. C. D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.在的展開式中，的系數(shù)為______.（用數(shù)字作答）12.設(shè)，函數(shù).若曲線關(guān)于直線對稱，則的一個(gè)取值為______.13.已知函數(shù)，則的定義域是______；的最小值是______.14.已知拋物線：.①則的準(zhǔn)線方程為______.②設(shè)的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為.點(diǎn)在上，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱若平分，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為______.15.設(shè)，函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：①在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，存在最大值；③當(dāng)時(shí)，直線與曲線恰有3個(gè)交點(diǎn)；④存在正數(shù)及點(diǎn)（）和（），使.其中所有正確結(jié)論的序號是______.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.（本小題13分）已知函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為.（Ⅰ）求的值及的最小正周期；（Ⅱ）若對恒成立，求的最大值和的最小值.17.（本小題13分）生活中人們喜愛用跑步軟件記錄分享自己的運(yùn)動(dòng)軌跡.為了解某地中學(xué)生和大學(xué)生對跑步軟件的使用情況，從該地隨機(jī)抽取了200名中學(xué)生和80名大學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們最喜愛使用的一款跑步軟件，結(jié)果如下：跑步軟件一跑步軟件二跑步軟件三跑步軟件四中學(xué)生80604020大學(xué)生30202010假設(shè)大學(xué)生和中學(xué)生對跑步軟件的喜愛互不影響.（Ⅰ）從該地區(qū)的中學(xué)生和大學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，用頻率估計(jì)概率，試估計(jì)這2人都最喜愛使用跑步軟件一的概率；（Ⅱ）采用分層抽樣的方式先從樣本中的大學(xué)生中隨機(jī)抽取8人，再從這8人中隨機(jī)抽取3人.記為這3人中最喜愛使用跑步軟件二的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）記樣本中的中學(xué)生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為，，，，其方差為；樣本中的大學(xué)生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為，，，，其方差為；，，，，，，，的方差為.寫出，，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）18.（本小題14分）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，平面平面，為中點(diǎn)，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的大??；（Ⅲ）求四面體的體積.19.（本小題15分）已知橢圓：（）的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).（Ⅰ）求的方程：（Ⅱ）過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，（點(diǎn)，與點(diǎn)不重合）.設(shè)的中點(diǎn)為，連接并延長交于點(diǎn).若恰為的中點(diǎn)，求直線的方程.20.（本小題15分）已知函數(shù)，其中.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）當(dāng)且時(shí)，判斷與的大小，并說明理由.21.（本小題15分）給定正整數(shù)，已知項(xiàng)數(shù)為且無重復(fù)項(xiàng)的數(shù)對序列：，，…，滿足如下三個(gè)性質(zhì)：①，且（）；②（）；③與不同時(shí)在數(shù)對序列中.（Ⅰ）當(dāng)，時(shí)，寫出所有滿足的數(shù)對序列；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：；（Ⅲ）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，記的最大值為，求.北京市西城區(qū)2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷高三數(shù)學(xué)答案及評分參考一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1.C2.A3.D4.D5.C6.B7.D8.A9.B10.A二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11.1213.3（答案不唯一）13.14.215.①②④三、解答題（共6小題，共85分）16.（共13分）解：（Ⅰ）由題設(shè)，解得.所以.所以的最小正周期為.（Ⅱ）因?yàn)?，所?所以，即.當(dāng)，即時(shí)，取得最大值1，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.由題設(shè)，且.所以的最大值是；的最小值是1.17.（共13分）解：（Ⅰ）記“這2人都最喜愛使用跑步軟件一”為事件，則.（Ⅱ）因?yàn)槌槿〉?人中最喜愛跑步軟件二的人數(shù)為，所以的所有可能取值為0，1，2.，，.所以的分布列為012故的數(shù)學(xué)期望.（Ⅲ）.18.（共14分）解：（Ⅰ）因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且平?所以平面.所以.因?yàn)槠矫?，所?所以平面.（Ⅱ）因?yàn)槠矫?，，所以平?又平面，所以，，兩兩相互垂直.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，.所以，，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則.于是.設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的大小為30°.（Ⅲ）因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離為.因?yàn)?，所以四面體的體積為.19.（共15分）解：（Ⅰ）由題設(shè)，解得，.所以橢圓的方程為.（Ⅱ）若直線與軸重合，則點(diǎn)與原點(diǎn)重合，符合題意，此時(shí)直線的方程為.若直線與軸不重合，設(shè)其方程為.由得.設(shè)，，則.所以，.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，.因?yàn)?，所?整理得.解得.但此時(shí)直線經(jīng)過點(diǎn)，不符合題意，舍去.綜上，直線的方程為.20.（共15分）解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，所以.所以，.所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（Ⅱ）的定義域?yàn)?，?令，得.與的情況如下：－－0＋所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為和.（Ⅲ）當(dāng)且時(shí)，，證明如下：令，則.設(shè)，則.所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.從而，即.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和.當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即.綜上，當(dāng)且時(shí)，.21.（共15分）解：（Ⅰ）：，，，或：，，.（Ⅱ）因?yàn)楹筒煌瑫r(shí)出現(xiàn)在中，故，所以1，2，3，4，5，6每個(gè)數(shù)至多出現(xiàn)5次.又因?yàn)椋ǎ?，所以只有，對?yīng)的數(shù)可以出現(xiàn)5次，故.（Ⅲ）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，先證明.因?yàn)楹筒煌瑫r(shí)出現(xiàn)在中，所以.當(dāng)時(shí)，構(gòu)造：，，恰有項(xiàng)，且首項(xiàng)的第1個(gè)分量與末項(xiàng)的第2個(gè)分量都為1.對奇數(shù)，如果可以構(gòu)造一個(gè)恰有項(xiàng)的序列，且首項(xiàng)的第1個(gè)分量與末項(xiàng)的第2個(gè)分量都為1，那么對奇數(shù)而