2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與達(dá)標(biāo)檢測(cè)第35講等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和（講）（原卷版）

第35講等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和（講）思維導(dǎo)圖知識(shí)梳理1．等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為eq\f(an＋1,an)＝q(q≠0，n∈N*)．(2)等比中項(xiàng)如果a、G、b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．即：G是a與b的等比中項(xiàng)?G2＝ab．“a，G，b成等比數(shù)列”是“G是a與b的等比中項(xiàng)”的充分不必要條件．2．等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1．(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))3．等比數(shù)列的性質(zhì)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和(m，n，p，q，r，k∈N*)(1)若m＋n＝p＋q＝2r，則am·an＝ap·aq＝aeq\o\al(2,r)．(2)數(shù)列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比數(shù)列．(3)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比數(shù)列(此時(shí){an}的公比q≠－1)．常用結(jié)論1．正確理解等比數(shù)列的單調(diào)性當(dāng)q>1，a1>0或0<q<1，a1<0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)q>1，a1<0或0<q<1，a1>0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)q＝1時(shí)，{an}是常數(shù)列；當(dāng)q＝－1時(shí)，{an}是擺動(dòng)數(shù)列．2．記住等比數(shù)列的幾個(gè)常用結(jié)論(1)若{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}(λ≠0)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍是等比數(shù)列．(2)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.(3)一個(gè)等比數(shù)列各項(xiàng)的k次冪，仍組成一個(gè)等比數(shù)列，新公比是原公比的k次冪．(4){an}為等比數(shù)列，若a1·a2·…·an＝Tn，則Tn，eq\f(T2n,Tn)，eq\f(T3n,T2n)，…成等比數(shù)列．(5)當(dāng)q≠0，q≠1時(shí)，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比數(shù)列的充要條件，此時(shí)k＝eq\f(a1,1－q).(6)有窮等比數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的積相等．特別地，若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，還等于中間項(xiàng)的平方．題型歸納題型1等比數(shù)列的基本運(yùn)算【例11】（2020春?遼源期末）在等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a10＝3，則a5a6＝（）A．3 B．27 C．3 D．243【例12】（2020春?赤峰期末）若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S3＝3，S6＝9，則S9＝（）A．12 B．18 C．21 D．24【例13】（2020?新課標(biāo)Ⅲ）設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a2＝4，a3﹣a1＝8．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）記Sn為數(shù)列{log3an}的前n項(xiàng)和．若Sm+Sm+1═Sm+3，求m．【跟蹤訓(xùn)練11】（2020春?廣州期末）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列且bn=an+1an，若b5bA．16 B．21 C．31 D．32【跟蹤訓(xùn)練12】（2020?新課標(biāo)Ⅱ）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，則SnA．2n﹣1 B．2﹣21﹣n C．2﹣2n﹣1 D．21﹣n﹣1【跟蹤訓(xùn)練13】（2020?山東）已知公比大于1的等比數(shù)列{an}滿足a2+a4＝20，a3＝8．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）記bm為{an}在區(qū)間（0，m]（m∈N*）中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列{bm}的前100項(xiàng)和S100．【名師指導(dǎo)】等比數(shù)列基本量運(yùn)算的解題策略(1)等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問(wèn)題，等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程(組)便可迎刃而解．(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類討論，當(dāng)q＝1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q)..題型2等比數(shù)列的判定與證明【例21】（2019春?玉田縣期末）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn=32an+b（n∈N*，b∈（I）求證：{an}是等比數(shù)列；（II）求證：{an+1}不是等比數(shù)列．【跟蹤訓(xùn)練21】（2019?廣西二模）已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an+1＝2an+1，（n∈N*）．（1）求證：數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．【名師指導(dǎo)】等比數(shù)列的4種常用判定方法定義法若eq\f(an＋1,an)＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或eq\f(an,an－1)＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列中項(xiàng)公式法若數(shù)列{an}中，an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列通項(xiàng)公式法若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成an＝c·qn－1(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式法若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0，1)，則{an}是等比數(shù)列題型3等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用【例31】（2020春?宣城期末）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，an＜an+1，n∈N*，a4?a14＝9，a8+a10＝10，則數(shù)列{an}的公比為（）A．12 B．13 C．2 D【例32】（2020春?綿陽(yáng)期末）若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S5＝10，S10＝30，則S20＝（）A．80 B．120 C．150 D．180【跟蹤訓(xùn)練31】（2020春?五華區(qū)校級(jí)期末）已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a3=a4a2，若a1+a2+a3＝7A．511 B．512 C．1023 D．1024【跟蹤訓(xùn)練32】（2020春?廣東期末）設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2020S1010=A．9 B．7 C．5 D．4【名師指導(dǎo)】1．在解決等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度．2．在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題