（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章第3課時(shí) 等比數(shù)列課時(shí)闖關(guān)（含解析）

[A級(jí)雙基鞏固]一、填空題1．(2010·高考福建卷)在等比數(shù)列{an}中，若公比q＝4，且前3項(xiàng)之和等于21，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝________.解析：∵S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝21a1＝21，∴a1＝1，∴an＝1·4n－1＝4n－1.答案：4n－12．在等比數(shù)列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，則m等于________．解析：a1＝1，am＝a1a2a3a4a5＝aeq\o\al(5,1)q10＝a1q10＝a11.∴m＝11.答案：113．(2012·無(wú)錫調(diào)研)已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a3·a9＝2aeq\o\al(2,5)，a2＝2，則a1等于________．解析：由題意可知，a3·a9＝aeq\o\al(2,6)＝2aeq\o\al(2,5)，∴公比q＝eq\r(2)，∴a1＝eq\f(a2,q)＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).答案：eq\r(2)4．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，8a2＋a5＝0，則eq\f(S5,S2)＝________.解析：由8a2＋a5＝0，∴eq\f(a5,a2)＝－8，即q3＝－8，q＝－2.∴eq\f(S5,S2)＝eq\f(\f(a11－q5,1－q),\f(a11－q2,1－q))＝eq\f(1－q5,1－q2)＝eq\f(33,－3)＝－11.答案：－115．已知{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，且9S3＝S6，則數(shù)列{eq\f(1,an)}的前5項(xiàng)和為________．解析：易知公比q≠1，由9S3＝S6得9eq\f(a11－q3,1－q)＝eq\f(a11－q6,1－q)，解得q＝2，∴{eq\f(1,an)}是首項(xiàng)為1，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，∴其前5項(xiàng)和為eq\f(1×[1－\f(1,2)5],1－\f(1,2))＝eq\f(31,16).答案：eq\f(31,16)6．已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列{an}，滿足2a3－aeq\o\al(2,7)＋2a11＝0，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b7＝a7，則b6b8等于________．解析：由題意可知，b6b8＝beq\o\al(2,7)＝aeq\o\al(2,7)＝2(a3＋a11)＝4a7.∵a7≠0，∴a7＝4，∴b6b8＝16.答案：167．在等比數(shù)列{an}中，a9＋a10＝a(a≠0)，a19＋a20＝b，則a99＋a100等于________．解析：令a9＋a10＝b1，a19＋a20＝b2，…，a99＋a100＝b10.它們構(gòu)成以eq\f(b,a)為公比的等比數(shù)列．所以a99＋a100＝a·(eq\f(b,a))9＝eq\f(b9,a8).答案：eq\f(b9,a8)8．關(guān)于數(shù)列有下面四個(gè)判斷：①若a，b，c，d成等比數(shù)列，則a＋b，b＋c，c＋d也成等比數(shù)列；②若數(shù)列{an}既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列，則{an}為常數(shù)列；③數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝an－1(a∈R)，則{an}為等差或等比數(shù)列；④數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且公差不為零，則數(shù)列{an}中不會(huì)有am＝an(m≠n)．其中正確判斷的序號(hào)是________．(注：把你認(rèn)為是正確判斷的序號(hào)都填上)解析：①中，若a＝2，b＝－2，c＝2，d＝－2不滿足條件，③中，若a＝0，則Sn＝－1，a1＝－1，an＝0(n≥2)，∴{an}既不是等差也不是等比數(shù)列．答案：②④二、解答題9．(2011·高考江西卷)已知兩個(gè)等比數(shù)列{an}，{bn}，滿足a1＝a(a>0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.(1)若a＝1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{an}惟一，求a的值．解：(1)設(shè){an}的公比為q，則b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2.由b1，b2，b3成等比數(shù)列得(2＋q)2＝2(3＋q2)，即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋eq\r(2)，q2＝2－eq\r(2)，所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝(2＋eq\r(2))n－1或an＝(2－eq\r(2))n－1.(2)設(shè){an}的公比為q，則由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0.()由a>0，得Δ＝4a2＋4a>0，故方程()有兩個(gè)不同的實(shí)根，由{an}惟一，知方程()必有一根為0，代入()得a＝eq\f(1,3).10．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，a1＝1＋eq\r(2)，S3＝9＋3eq\r(2).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)的和Sn；(2)設(shè)bn＝eq\f(Sn,n)(n∈N*)，求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列．解：(1)由條件可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1＋\r(2)，,3a1＋3d＝9＋3\r(2)，))則d＝2,故an＝2n－1＋eq\r(2)，Sn＝n(n＋eq\r(2))．(2)證明：由(1)得bn＝eq\f(Sn,n)＝n＋eq\r(2)，假設(shè){bn}中存在三項(xiàng)bp，bq，br(p，q，r∈N*且互不相等)成等比數(shù)列，則beq\o\al(2,q)＝bpbr，即(q＋eq\r(2))2＝(p＋eq\r(2))(r＋eq\r(2))．化簡(jiǎn)得(q2－pr)＋(2q－p－r)eq\r(2)＝0.因?yàn)閜，q，r均為正整數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q2－pr＝0，,2q－p－r＝0，))所以(eq\f(p＋r,2))2＝pr，即(p－r)2＝0，所以p＝r.故{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列．[B級(jí)能力提升]一、填空題1．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，bn＝eq\f(a\o\al(3,n),a\o\al(2,n＋1))，且{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若對(duì)一切正整數(shù)n都有Sn>Tn，則數(shù)列{an}的公比q的取值范圍是________．解析：由于{an}是等比數(shù)列，公比為q，所以bn＝eq\f(a\o\al(3,n),a\o\al(2,n＋1))＝eq\f(1,q2)an，于是b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(1,q2)(a1＋a2＋…＋an)，即Tn＝eq\f(1,q2)·Sn.又Sn>Tn，且Tn>0，所以q2＝eq\f(Sn,Tn)>1.因?yàn)閍n>0對(duì)任意n∈N*都成立，所以q>0，因此公比q的取值范圍是q>1.答案：q>12．在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則有等式________成立．答案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n3．若干個(gè)能惟一確定一個(gè)數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基本量”．設(shè){an}是公比為q的無(wú)窮等比數(shù)列，下列{an}的四組量中，一定能成為該數(shù)列“基本量”的是第________組．(寫出所有符合要求的組號(hào))①S1與S2；②a2與S3；③a1與an；④q與an.(其中n為大于1的整數(shù)，Sn為{an}的前n項(xiàng)和)解析：①∵a1＝S1，a2＝S2－S1，q確定，∴等比數(shù)列{an}確定．②由S3＝a1＋a2＋a3＝eq\f(a2,q)＋a2＋a2q，q＋eq\f(1,q)＋1－eq\f(S3,a2)＝0，即q2＋(1－eq\f(S3,a2))q＋1＝0.不能惟一確定q，從而該數(shù)列不能惟一確定．③qn－1＝eq\f(an,a1)，n為奇數(shù)時(shí)，n－1為偶數(shù)，q不能惟一確定．④a1＝eq\f(an,qn－1)惟一確定，即{an}惟一確定．∴①④滿足題意．答案：①④4．設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)．若數(shù)列{bn}有連續(xù)四項(xiàng)在集合{－53，－23,19,37,82}中，則6q＝________.解析：∵bn＝an＋1，∴an＝bn－1，而{bn}有連續(xù)四項(xiàng)在集合{－53，－23,19,37,82}中，∴{an}有連續(xù)四項(xiàng)在集合{－54，－24,18,36,81}中．∵{an}是公比為q的等比數(shù)列，|q|>1.∴{an}中的連續(xù)四項(xiàng)為－24,36，－54,81，∵q＝eq\f(36,－24)＝－eq\f(3,2)，∴6q＝－9.答案：－9二、解答題5．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，求證：Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,2n)＝Sn(S2n＋S3n)．證明：法一：當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，則Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,2n)＝n2aeq\o\al(2,1)＋4n2aeq\o\al(2,1)＝5n2aeq\o\al(2,1)，Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2aeq\o\al(2,1)，所以q＝1時(shí)，等式成立．當(dāng)q≠1時(shí)，則Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，S2n＝eq\f(a11－q2n,1－q)＝eq\f(a1,1－q)(1－qn)(1＋qn)，S3n＝eq\f(a11－q3n,1－q)＝eq\f(a11－qn,1－q)(1＋qn＋q2n)．所以Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,2n)＝[eq\f(a11－qn,1－q)]2＋[eq\f(a11－qn,1－q)(1＋qn)]2＝eq\f(a\o\al(2,1)1－qn2,1－q2)[1＋(1＋qn)2]＝eq\f(a\o\al(2,1)1－qn2,1－q2)(2＋2qn＋q2n)．Sn(S2n＋S3n)＝eq\f(a11－qn,1－q)[eq\f(a1,1－q)(1－qn)(1＋qn)＋eq\f(a1,1－q)(1－qn)(1＋qn＋q2n)]＝eq\f(a\o\al(2,1)1－qn2,1－q2)(2＋2qn＋q2n)．所以當(dāng)q≠1時(shí)，等式成立，綜上所述：等式成立．法二：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則S2n＝(a1＋a2＋…＋an)＋(an＋1＋an＋2＋…＋a2n)＝(a1＋a2＋…＋an)＋(a1qn＋a2qn＋…＋anqn)＝(a1＋a2＋…＋an)(1＋qn)＝Sn(1＋qn)．同理S3n＝(1＋qn＋q2n)Sn.所以Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,2n)－Sn(S2n＋S3n)＝Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,n)(1＋qn)2－Seq\o\al(2,n)[(1＋qn)＋(1＋qn＋q2n)]＝Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,n)(1＋qn)2－Seq\o\al(2,n)[1＋(1＋qn)2]＝0.所以Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,2n)＝Sn(S2n＋S3n)．6．按所給流程，可打印出一個(gè)數(shù)列，設(shè)這個(gè)數(shù)列為{xn}．(1)寫出這個(gè)數(shù)列的前四項(xiàng)；(2)建立數(shù)列{xn}的遞推公式；(3)證明{xn＋1－xn}是等比數(shù)列；(4)求通項(xiàng)xn.解：(1)x1＝eq\f(0＋1,2)＝eq\f(1,2)，x2＝eq\f(1＋\f(1,2),2)＝eq\f(3,4)，x3＝eq\f(\f(1,2)＋\f(3,4),2)＝eq\f(5,8)，x4＝eq\f(\f(3,4)＋\f(5,8),2)＝eq\f(11,16).(2)遞推公式為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(1,2)，x2＝\f(3,4)，,xn＋2＝\f(xn＋xn＋1,2)n∈N*.))(3)證明：由(2)，得eq\f(xn＋2－xn＋1,xn＋1－xn)＝eq\f(\f(