第3章動量角動量

第三章動量角動量力的作用總要持續(xù)一段時間,需考慮力(矩)的累積作用力對時間累積作用瞬時關(guān)系式改變動量動量定理力矩對時間累積作用改變角動量力對空間累積作用平動動能力矩對空間累積作用改變轉(zhuǎn)動動能角動量定理動能定理定軸轉(zhuǎn)動動能定理動量定理動量守恒定律3.13.1.1質(zhì)點的動量定理牛頓第二定律物體的動量對時間的變化率與所加的外力成正比，并且發(fā)生在這外力的方向上。改寫考慮一過程，時間從t1-t2，積分質(zhì)點的動量定理力對時間的積累（沖量）動量的增量注意：1.關(guān)于沖量的理解(1)定理中的沖量指的是質(zhì)點所受合力的沖量,或者質(zhì)點所受沖量的矢量和。(2)沖量是過程量,動量是狀態(tài)量,沖量的方向可用動量變化的方向來確定,而不管在這一過程中動量變化的細節(jié)如何注意：2.動量定理的意義(1)將過程量的計算轉(zhuǎn)變?yōu)闋顟B(tài)量的變化,而不必考慮過程中復(fù)雜的具體細節(jié)。(2)動量定理在打擊或碰撞問題中用來求平均力。測出和，算出，由(3)動量定理在處理變質(zhì)量問題時很方便。習(xí)題3-3

質(zhì)量10kg的物體在t＝0時速度為零。如果物體在沿著x軸方向的力F=(3+4t)N

作用下運動了3s，計算3s末物體的速度和加速度。解（1）3秒內(nèi)力的沖量為由動量定理得（2）3s末質(zhì)點的加速度

由相互作用著的兩個或兩個以上的質(zhì)點組成的系統(tǒng)稱為質(zhì)點系。3.1.2質(zhì)點系的動量定理動量守恒定律質(zhì)點系是物理學(xué)中的基本概念，分子是由原子核和許多核外電子組成的，可將分子當(dāng)作質(zhì)點系；氣體和固體是由許多原子或分子組成的，也可以當(dāng)作質(zhì)點系；由許多天體構(gòu)成的星系也能視為質(zhì)點系。將質(zhì)點力學(xué)的規(guī)律應(yīng)用到組成質(zhì)點系內(nèi)每一個質(zhì)點上，就能推演出質(zhì)點系的運動規(guī)律。因此，質(zhì)點系概念的提出為研究質(zhì)點力學(xué)向?qū)嶋H力學(xué)問題的過渡搭建了橋梁。

順便指出，剛體是一種特殊的質(zhì)點系，其特征是剛體內(nèi)任意兩質(zhì)點之間的距離在運動中保持不變。

3.1.2質(zhì)點系的動量定理動量守恒定律設(shè)質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成,某瞬時,第i個質(zhì)點的動量為則質(zhì)點系的動量為3.1.2質(zhì)點系的動量定理動量守恒定律一、質(zhì)點系的動量定理因為和是相互作用的內(nèi)力，故作用于兩質(zhì)點組成的系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)內(nèi)兩質(zhì)點動量的增量。兩式相加3.1.2質(zhì)點系的動量定理動量守恒定律一、質(zhì)點系的動量定理質(zhì)點系12ni設(shè)第i個質(zhì)點的質(zhì)量為mi、初速度為

,經(jīng)過時間t后，速度為,在此過程中,受到外力的矢量和為,內(nèi)力的矢量和為。對第i個質(zhì)點應(yīng)用質(zhì)點的動量定理有對所有質(zhì)點應(yīng)用質(zhì)點的動量定理有考慮到所有內(nèi)力的和，為系統(tǒng)后來的總動量，為系統(tǒng)初始狀態(tài)的總動量。

作用于系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)動量的增量,此即質(zhì)點系的動量定理。只有外力才能改變系統(tǒng)的動量，而系統(tǒng)的內(nèi)力(系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點間的相互作用)不能改變系統(tǒng)的動量。二、質(zhì)點系動量守恒定律

在某一過程中，若合外力的沖量等于零，即則

當(dāng)質(zhì)點系所受的合外力為零時，質(zhì)點系的總動量保持不變,該結(jié)論稱為質(zhì)點系動量守恒定律。動量守恒定律的分量形式為當(dāng)時，常量當(dāng)時，常量當(dāng)時，常量如果系統(tǒng)沿某坐標(biāo)方向所受合外力為零,則沿此坐標(biāo)方向的總動量分量守恒。

注意：(1)

動量守恒是指系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點動量的矢量總和保持不變，但每個質(zhì)點的動量可能會發(fā)生變化。(2)系統(tǒng)動量守恒的條件是合外力為零。在碰撞、打擊、爆炸等過程，因為物體相互作用時間極短，相互作用內(nèi)力很大，往往可忽略外力，即認(rèn)為系統(tǒng)的動量守恒。(3)動量守恒定律只適用于慣性系，使用時所有速度必須相對于同一慣性系。(4)動量守恒定律是物理學(xué)中最普遍、最基本的定律之一。在微觀高速范圍同樣適用。例3-3

如圖,在光滑的水平面上,有一質(zhì)量為M、長為l的小車,車上一端站有質(zhì)量為m的人，起初m、M均靜止，若人從車的一端走到另一端，則人和車相對地面走過的距離為多少？選地面為參照系解、為系統(tǒng)系統(tǒng)在水平方向受的合外力為零系統(tǒng)在水平方向動量守恒選向左的方向為正方向或兩邊同時乘以時間dt，設(shè)人從A走到B所用時間為t,人與車相對于地面走過的距離分別為Sm和SM(如圖),積分得即得考慮到例3-4

如圖,靜止的物體炸裂成三塊.其中兩塊具有相等的質(zhì)量,且以相同的速率30m/s沿相互垂直的方向飛開,第三塊的質(zhì)量恰好等于這兩塊質(zhì)量的總和,試求第三塊的速度(大小和方向)。解爆炸力是內(nèi)力，遠大于系統(tǒng)所受外力，認(rèn)為動量守恒，系統(tǒng)初動量為零。三塊碎片的動量之和仍為零。由于、和共面，且

和相互垂直

考慮到解得角動量定理角動量守恒定律3.23.2.1質(zhì)點的角動量定理角動量守恒定律一、力矩說明：(1)力矩是矢量大小方向垂直于、所構(gòu)成的平面，滿足右手螺旋關(guān)系(2)力矩在直角坐標(biāo)系中的計算

設(shè)例3-5質(zhì)量為1.0kg

的質(zhì)點沿著由決定的曲線運動。求此質(zhì)點在時所受的相對于坐標(biāo)原點的力矩。

解t=1.0s時二、質(zhì)點的角動量(動量矩)質(zhì)點的角動量(2)角動量是狀態(tài)量。說明：(1)角動量是矢量方向垂直于、所構(gòu)成的平面，滿足右手螺旋關(guān)系大小(3)角動量是相對量，必須相對于參考點:為和之間的夾角解例3-7

如圖，質(zhì)量為m、速度為的A粒子以瞄準(zhǔn)距離d射向B粒子（所謂瞄準(zhǔn)距離即粒子B到粒子A速度方向線的垂直距離）。試求A粒子對B粒子的角動量的大小和方向。

A粒子對B粒子的角動量大小

問題3-6

如圖,兩剛性輕桿互相垂直,且在中點O處固結(jié),4個質(zhì)量均為m的質(zhì)點分別固定于兩桿的4個端點。系統(tǒng)繞過點O且與兩桿均垂直的軸沿逆時針方向轉(zhuǎn)動。建立圖示坐標(biāo)系，(1)寫出圖示瞬時各質(zhì)點的動量、角動量。設(shè)系統(tǒng)轉(zhuǎn)動角速度為ω，桿長均為l。(2)如系統(tǒng)作加速轉(zhuǎn)動,系統(tǒng)的動量和角動量變化嗎？垂直紙面向里質(zhì)點的角動量定理（微分形式）三、質(zhì)點的角動量(動量矩)定理求導(dǎo)質(zhì)點所受合力對點O的力矩，等于質(zhì)點對點O的角動量的時間變化率。改寫考慮一過程，時間從t1-t2，兩端積分質(zhì)點的角動量定理（積分形式）力矩對時間的積累(沖量矩)角動量增量質(zhì)點所受合力對點O的沖量矩，等于質(zhì)點對點O的角動量的增量。四、質(zhì)點的角動量(動量矩)守恒定律(2)角動量守恒定律也是自然界最基本、最普遍的守恒定律☆☆(1)力矩為零,有三種情況

(3)動量守恒,角動量不一定守恒;角動量守恒,動量也不一定守恒。若則質(zhì)點的角動量守恒定律說明：☆方向相同或相反問題3－9

如圖，質(zhì)量為m

的小球系在繩子的一端，繩穿過水平面上一小孔O，使小球限制在光滑水平面上運動，先使小球以速度υ0繞小孔做半徑為r0

的圓周運動，然后緩慢向下拉繩使圓周的半徑減為r1，求此時小球的速度？解初角動量角動量守恒末角動量由解得小球在運動過程中只受徑向拉力作用3.2.2剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理角動量守恒定律一、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量剛體上任一質(zhì)元對轉(zhuǎn)軸的角動量剛體上任一點都在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)作圓周運動剛體對定軸的角動量等于剛體對定軸的轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積。說明：有正負正負與ω同二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理（1）剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量（2）剛體定軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動定律(角動量陳述)剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律剛體所受的對某給定軸的總外力矩等于剛體對此軸的角動量的時間變化率。改寫考慮一過程，時間從t1-t2，兩端積分剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理力矩對時間的積累(沖量矩)角動量增量剛體所受合力矩的沖量矩，等于剛體在這段時間間隔內(nèi)的角動量的增量。說明：(1)對于剛體，它對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量保持不變(2)如果物體在轉(zhuǎn)動過程中，物體內(nèi)各質(zhì)點相對于轉(zhuǎn)軸的位置發(fā)生了變化，那么物體的轉(zhuǎn)動慣量J也必然隨時間變化三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律

(1)物體繞定軸轉(zhuǎn)動,如果轉(zhuǎn)動慣量不變,則角動量守恒,即角速度為常數(shù),物體勻速轉(zhuǎn)動;如果轉(zhuǎn)動慣量可以改變,則物體的角速度也隨之改變，但兩者之積保持不變

若則剛體對固定轉(zhuǎn)軸的角動量守恒定律說明：或(3)運動物體與定軸轉(zhuǎn)動物體碰撞時,由于相互作用時間極短,有限的外力矩的沖量矩可以忽略,運動物體與定軸轉(zhuǎn)動物體組成的系統(tǒng)的角動量守恒;但由于固定轉(zhuǎn)軸可能受到很大約束力,其沖量不能忽略,所以動量一般不守恒。(2)當(dāng)轉(zhuǎn)動系統(tǒng)由多個物體組成,則系統(tǒng)的角動量守恒定律為

子彈擊入桿以子彈和桿為系統(tǒng)角動量守恒動量不守恒以子彈和沙袋為系統(tǒng)動量守恒角動量守恒子彈擊入沙袋細繩質(zhì)量不計思考：角動量守恒定律的實例選子彈和木桿為研究對象，系統(tǒng)所受外力矩為零，角動量守恒。例3-9

如圖，長為l、質(zhì)量為M

的勻質(zhì)木桿,一端掛在光滑的水平軸O上,開始時靜止于豎直位置,現(xiàn)有一粒質(zhì)量為m

的子彈以速度υ0

從桿的中點未穿過，求勻質(zhì)木桿開始轉(zhuǎn)動時的