扭轉(zhuǎn)-扭轉(zhuǎn)軸的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算（建筑力學(xué)）

第四節(jié)圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度計(jì)算一、圓軸的扭轉(zhuǎn)破壞試驗(yàn)與極限應(yīng)力

圓軸的扭轉(zhuǎn)試件可分別用Q235鋼、鑄鐵等材料做成，扭轉(zhuǎn)破壞試驗(yàn)是在扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行。試件在兩端外力偶Me作用下，發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，直至破壞。Q235鋼鑄鐵扭轉(zhuǎn)

塑性材料（如Q235）試件受扭時(shí)，當(dāng)最大切應(yīng)力達(dá)到一定數(shù)值時(shí)，也會(huì)發(fā)生類似拉伸時(shí)的屈服現(xiàn)象，這時(shí)的切應(yīng)力值稱為屈服應(yīng)力，用τS表示。試件屈服時(shí)，也會(huì)在試件表面出現(xiàn)縱向和橫向的滑移線。屈服階段后也有強(qiáng)化階段，直到橫截面上的最大切應(yīng)力達(dá)到材料的剪切強(qiáng)度極限τb，試件就沿橫截面被剪斷，斷口較光滑。這主要由于Q235鋼抗剪強(qiáng)度低于抗拉強(qiáng)度，所以試件因抗剪不足而首先沿橫截面發(fā)生剪斷破壞。扭轉(zhuǎn)

脆性材料（如鑄鐵）試件受扭時(shí)，當(dāng)變形很小時(shí)便發(fā)生裂斷，且沒有屈服現(xiàn)象，斷口與軸線成45o螺旋面。由于鑄鐵等脆性材料的抗拉能力低于抗剪能力，于是便沿最大拉應(yīng)力作用的斜截面發(fā)生拉斷破壞。此時(shí)橫截面上的最大切應(yīng)力的值稱為剪切強(qiáng)度極限，用τb表示。塑性材料的扭轉(zhuǎn)失效是屈服破壞，故τ0=τS；脆性材料的扭轉(zhuǎn)失效是拉斷破壞，則τ0=τb。扭轉(zhuǎn)在常溫靜載下，材料的扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力與拉伸許用正應(yīng)力之間有如下關(guān)系：塑性材料[τ]=（0.5～0.577）[σ]脆性材料[τ]=[σ]許用切應(yīng)力二、圓軸的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件為了保證圓軸在扭轉(zhuǎn)變形中不會(huì)因強(qiáng)度不足而發(fā)生破壞，應(yīng)使圓軸橫截面上的最大切應(yīng)力不超過(guò)材料的許用切應(yīng)力，即扭轉(zhuǎn)圓軸強(qiáng)度條件可以解決圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的三類強(qiáng)度問(wèn)題，即進(jìn)行扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度校核、圓軸截面尺寸設(shè)計(jì)及確定許用荷載。

扭轉(zhuǎn)

例9-6一實(shí)心圓軸，承受的最大扭矩Tmax=1.5kN?m，軸的直徑d1=53mm。求：（1）該軸橫截面上的最大切應(yīng)力。（2）在扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度相同的條件下，用空心軸代替實(shí)心軸，空心軸外徑D2=90mm時(shí)的內(nèi)徑值。（3）兩軸的重量之比。解(1)求實(shí)心軸橫截面上的最大切應(yīng)力實(shí)心軸抗扭截面系數(shù)實(shí)心軸橫截面上的最大切應(yīng)力扭轉(zhuǎn)(2)求空心軸的內(nèi)徑因?yàn)橐髮?shí)心軸和空心軸的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度相同，故兩軸的最大切應(yīng)力相等，即所以，空心軸的內(nèi)徑為扭轉(zhuǎn)(3)求兩軸的重量比因?yàn)閮奢S的長(zhǎng)度和材料都相同，故二者重量之比等于面積之比，即

以上計(jì)算結(jié)果表明，在扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度相等的情況下，空心軸的重量比實(shí)心軸輕得多，因此采用空心軸較合理，即可節(jié)省材料，又能減輕軸的自重。扭轉(zhuǎn)第三節(jié)扭轉(zhuǎn)軸的應(yīng)力壁厚t遠(yuǎn)小于其平均半徑r0（t≤r0

/10）的圓筒，稱為薄壁圓筒。一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)畫上一些圓周線和縱向線，然后在圓筒兩端平面內(nèi)作用一對(duì)外力偶后，圓筒發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。扭轉(zhuǎn)1.薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力在彈性變形范圍內(nèi)，可看到如下現(xiàn)象：

1）各圓周線均繞軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，且各圓周線的形狀、大小及它們相互之間的距離都沒有變化。2）各縱向線都傾斜了相同的角度，原來(lái)的矩形格變成了平行四邊形，即直角發(fā)生了改變。但各邊的長(zhǎng)度沒有改變。扭轉(zhuǎn)根據(jù)以上現(xiàn)象，可以得出下面的推論和假設(shè)：

1）由于各圓周線形狀、大小不變，說(shuō)明代表橫截面的圓周線仍為平面。因此可以假設(shè)，薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)，變形前為平面的橫截面，變形后仍保持平面，這一假設(shè)稱為平面假設(shè)。

2）由于各圓周線之間距離不變，且形狀、大小不變，說(shuō)明圓筒既沒有縱向線應(yīng)變也沒有橫向線應(yīng)變，即橫截面和縱向截面均沒有正應(yīng)力。

3）由于各圓周線僅繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，使得所有縱向線均有相同的傾角，說(shuō)明橫截面上必有切應(yīng)力，其方向垂直于半徑，大小沿圓周不變。扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力計(jì)算公式2.切應(yīng)力互等定理扭轉(zhuǎn)

上式表明：在互相垂直的兩個(gè)平面上的切應(yīng)力必然成對(duì)存在，且大小相等，方向或共同指向兩平面的交線，或共同背離兩平面的交線。這種關(guān)系稱為切應(yīng)力互等定理。

從薄壁圓筒上繞某點(diǎn)取一微小的正六面體（單元體）。由前面分析可知，單元體上左、右側(cè)面均無(wú)正應(yīng)力，只存在切應(yīng)力，前、后面為自由面，無(wú)應(yīng)力存在。可以證明在單元體的上、下、左、右四個(gè)側(cè)面上，只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力，單元體的這種受力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。3.剪切胡克定律在切應(yīng)力τ和τ′作用下，單元體的兩個(gè)側(cè)面將發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，使原來(lái)的長(zhǎng)方六面微體變成平行六面微體，單元體的直角發(fā)生微小的改變，這個(gè)直角的改變量γ稱為切應(yīng)變。切應(yīng)變的其單位是弧度（rad）扭轉(zhuǎn)

當(dāng)切應(yīng)力不超過(guò)材料的剪切比例極限時(shí)（τ≤τp)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比關(guān)系，稱為剪切胡克定律。

比例常數(shù)G稱為材料的切變模量，它反映材料抵抗剪切變形的能力。單位GPa，其數(shù)值可由試驗(yàn)測(cè)得。二、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力扭轉(zhuǎn)從幾何關(guān)系、物理關(guān)系和靜力學(xué)關(guān)系這三個(gè)方面來(lái)分析圓軸受扭時(shí)橫截面上的應(yīng)力。1.幾何變形方面取一圓軸進(jìn)行扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)試驗(yàn)現(xiàn)象表明，圓軸表面上各點(diǎn)的變形與薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形一樣。扭轉(zhuǎn)由觀察到的現(xiàn)象，對(duì)圓軸內(nèi)部的變形可做如下假設(shè)：扭轉(zhuǎn)變形前原為平面的橫截面，變形后仍保持平面，且其形狀、大小都不改變，只是繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度，兩相鄰橫截面之間的距離也保持不變，這一假設(shè)稱為圓軸扭轉(zhuǎn)的平面假設(shè)。按照上述假設(shè)，可以認(rèn)為圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，其橫截面就像剛性平面一樣繞軸線旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。

圓軸上任一點(diǎn)的切應(yīng)變，其大小為根據(jù)剪切虎克定律2.物理方面扭轉(zhuǎn)

稱為單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角，是扭轉(zhuǎn)角φ沿桿長(zhǎng)方向的變化率，對(duì)于給定的橫截面，其值為一常量。橫截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)力與該點(diǎn)到圓心的距離ρ成正比。扭轉(zhuǎn)圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上各點(diǎn)切應(yīng)力沿徑向的分布規(guī)律：

?切應(yīng)力大小沿半徑方向呈線性分布，在截面中心處切應(yīng)力為零，在截面邊緣各點(diǎn)切應(yīng)力最大。

?切應(yīng)力的方向垂直于半徑，指向與截面扭矩的轉(zhuǎn)向相同。實(shí)心圓軸和空心圓軸橫截面上切應(yīng)力的分布情況如圖所示。3.靜力學(xué)方面扭轉(zhuǎn)圓軸單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角計(jì)算公式將上式代入式，得圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任一點(diǎn)切應(yīng)力的計(jì)算公式式中，IP為截面對(duì)圓心的極慣性矩。扭轉(zhuǎn)橫截面上邊緣點(diǎn)的切應(yīng)力最大，其值為

式中WP只與截面的幾何