扭轉-扭轉軸的應力及強度計算（建筑力學）

第四節(jié)圓軸扭轉的強度計算一、圓軸的扭轉破壞試驗與極限應力

圓軸的扭轉試件可分別用Q235鋼、鑄鐵等材料做成，扭轉破壞試驗是在扭轉試驗機上進行。試件在兩端外力偶Me作用下，發(fā)生扭轉變形，直至破壞。Q235鋼鑄鐵扭轉

塑性材料（如Q235）試件受扭時，當最大切應力達到一定數值時，也會發(fā)生類似拉伸時的屈服現象，這時的切應力值稱為屈服應力，用τS表示。試件屈服時，也會在試件表面出現縱向和橫向的滑移線。屈服階段后也有強化階段，直到橫截面上的最大切應力達到材料的剪切強度極限τb，試件就沿橫截面被剪斷，斷口較光滑。這主要由于Q235鋼抗剪強度低于抗拉強度，所以試件因抗剪不足而首先沿橫截面發(fā)生剪斷破壞。扭轉

脆性材料（如鑄鐵）試件受扭時，當變形很小時便發(fā)生裂斷，且沒有屈服現象，斷口與軸線成45o螺旋面。由于鑄鐵等脆性材料的抗拉能力低于抗剪能力，于是便沿最大拉應力作用的斜截面發(fā)生拉斷破壞。此時橫截面上的最大切應力的值稱為剪切強度極限，用τb表示。塑性材料的扭轉失效是屈服破壞，故τ0=τS；脆性材料的扭轉失效是拉斷破壞，則τ0=τb。扭轉在常溫靜載下，材料的扭轉許用切應力與拉伸許用正應力之間有如下關系：塑性材料[τ]=（0.5～0.577）[σ]脆性材料[τ]=[σ]許用切應力二、圓軸的扭轉強度條件為了保證圓軸在扭轉變形中不會因強度不足而發(fā)生破壞，應使圓軸橫截面上的最大切應力不超過材料的許用切應力，即扭轉圓軸強度條件可以解決圓軸扭轉時的三類強度問題，即進行扭轉強度校核、圓軸截面尺寸設計及確定許用荷載。

扭轉

例9-6一實心圓軸，承受的最大扭矩Tmax=1.5kN?m，軸的直徑d1=53mm。求：（1）該軸橫截面上的最大切應力。（2）在扭轉強度相同的條件下，用空心軸代替實心軸，空心軸外徑D2=90mm時的內徑值。（3）兩軸的重量之比。解(1)求實心軸橫截面上的最大切應力實心軸抗扭截面系數實心軸橫截面上的最大切應力扭轉(2)求空心軸的內徑因為要求實心軸和空心軸的扭轉強度相同，故兩軸的最大切應力相等，即所以，空心軸的內徑為扭轉(3)求兩軸的重量比因為兩軸的長度和材料都相同，故二者重量之比等于面積之比，即

以上計算結果表明，在扭轉強度相等的情況下，空心軸的重量比實心軸輕得多，因此采用空心軸較合理，即可節(jié)省材料，又能減輕軸的自重。扭轉第三節(jié)扭轉軸的應力壁厚t遠小于其平均半徑r0（t≤r0

/10）的圓筒，稱為薄壁圓筒。一、薄壁圓筒扭轉畫上一些圓周線和縱向線，然后在圓筒兩端平面內作用一對外力偶后，圓筒發(fā)生扭轉變形。扭轉1.薄壁圓筒扭轉時橫截面上的切應力在彈性變形范圍內，可看到如下現象：

1）各圓周線均繞軸線作相對轉動，且各圓周線的形狀、大小及它們相互之間的距離都沒有變化。2）各縱向線都傾斜了相同的角度，原來的矩形格變成了平行四邊形，即直角發(fā)生了改變。但各邊的長度沒有改變。扭轉根據以上現象，可以得出下面的推論和假設：

1）由于各圓周線形狀、大小不變，說明代表橫截面的圓周線仍為平面。因此可以假設，薄壁圓筒扭轉時，變形前為平面的橫截面，變形后仍保持平面，這一假設稱為平面假設。

2）由于各圓周線之間距離不變，且形狀、大小不變，說明圓筒既沒有縱向線應變也沒有橫向線應變，即橫截面和縱向截面均沒有正應力。

3）由于各圓周線僅繞軸線相對轉動，使得所有縱向線均有相同的傾角，說明橫截面上必有切應力，其方向垂直于半徑，大小沿圓周不變。扭轉薄壁圓筒扭轉時橫截面上的切應力計算公式2.切應力互等定理扭轉

上式表明：在互相垂直的兩個平面上的切應力必然成對存在，且大小相等，方向或共同指向兩平面的交線，或共同背離兩平面的交線。這種關系稱為切應力互等定理。

從薄壁圓筒上繞某點取一微小的正六面體（單元體）。由前面分析可知，單元體上左、右側面均無正應力，只存在切應力，前、后面為自由面，無應力存在?？梢宰C明在單元體的上、下、左、右四個側面上，只有切應力而無正應力，單元體的這種受力狀態(tài)稱為純剪切應力狀態(tài)。3.剪切胡克定律在切應力τ和τ′作用下，單元體的兩個側面將發(fā)生相對錯動，使原來的長方六面微體變成平行六面微體，單元體的直角發(fā)生微小的改變，這個直角的改變量γ稱為切應變。切應變的其單位是弧度（rad）扭轉

當切應力不超過材料的剪切比例極限時（τ≤τp)，切應力與切應變成正比關系，稱為剪切胡克定律。

比例常數G稱為材料的切變模量，它反映材料抵抗剪切變形的能力。單位GPa，其數值可由試驗測得。二、圓軸扭轉時橫截面上的應力扭轉從幾何關系、物理關系和靜力學關系這三個方面來分析圓軸受扭時橫截面上的應力。1.幾何變形方面取一圓軸進行扭轉試驗試驗現象表明，圓軸表面上各點的變形與薄壁圓筒扭轉時的變形一樣。扭轉由觀察到的現象，對圓軸內部的變形可做如下假設：扭轉變形前原為平面的橫截面，變形后仍保持平面，且其形狀、大小都不改變，只是繞軸線相對轉過一個角度，兩相鄰橫截面之間的距離也保持不變，這一假設稱為圓軸扭轉的平面假設。按照上述假設，可以認為圓軸扭轉時，其橫截面就像剛性平面一樣繞軸線旋轉了一個角度。

圓軸上任一點的切應變，其大小為根據剪切虎克定律2.物理方面扭轉

稱為單位長度扭轉角，是扭轉角φ沿桿長方向的變化率，對于給定的橫截面，其值為一常量。橫截面上任一點的切應力與該點到圓心的距離ρ成正比。扭轉圓軸扭轉時橫截面上各點切應力沿徑向的分布規(guī)律：

?切應力大小沿半徑方向呈線性分布，在截面中心處切應力為零，在截面邊緣各點切應力最大。

?切應力的方向垂直于半徑，指向與截面扭矩的轉向相同。實心圓軸和空心圓軸橫截面上切應力的分布情況如圖所示。3.靜力學方面扭轉圓軸單位長度的扭轉角計算公式將上式代入式，得圓軸扭轉時橫截面上任一點切應力的計算公式式中，IP為截面對圓心的極慣性矩。扭轉橫截面上邊緣點的切應力最大，其值為

式中WP只與截面的幾何