比較大小15種題型方法全歸納

關(guān)注公眾號《品數(shù)學(xué)》，高中數(shù)學(xué)資料群（284110736）比較大小題型方法全歸納【題型一】以0,1為中間值型【典例分析】1.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由指對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，根據(jù)單調(diào)性比較大小即可.【解析】由題設(shè)，，，，∴.故選：C2..已知，，，則、、的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用中間值法結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.【解析】，，，所以，，故.故選：A.【技法指引】因?yàn)閮纭⒅?、對函?shù)的特殊性，往往比較大小，可以借助于臨界值0與1（或者-1）比較大小.【變式演練】1.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較可得選項(xiàng).【解析】解：，，，所以．故選：C．2.已知，，，則，，三者的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較即可【解析】因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，且，所以，即，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，且，所以，所以，所以故選：C．【題型二】作差比較法【典例分析】1.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】對已知等式兩邊分別取對數(shù)求出a，b，c，然后通過換底公式并結(jié)合基本不等式比較a，b的大小，從而得到a，b，c的大小關(guān)系．【解析】分別對，，兩邊取對數(shù)，得，，．．由基本不等式，得:，所以，即，所以．又，所以.故選：D．2.設(shè)，，，則a，b、c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用基本不等式可得，，然后利用換底公式及作差法即得.【解析】∵，，，又，，所以，即，，即，∴.故選：A.【技法指引】一般情況下，作差，可處理底數(shù)不一樣的的對數(shù)比大小作差的難點(diǎn)在于后續(xù)變形處理，注意此處的常見技巧和方法解3.其中難點(diǎn)在于恒等變形的方向和變形的技巧，變形的目的是為了判斷正負(fù)，所以可以因式分解，或者計(jì)算化簡，或者放縮為具體值，準(zhǔn)確計(jì)算找對變形方向是關(guān)鍵.【變式演練】1.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用比較法，結(jié)合基本不等式、對數(shù)換底公式比較出的大小關(guān)系，再通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)比較出的大小關(guān)系即可.【解析】，因?yàn)?，所以有：，所以，，設(shè)，，當(dāng)時，，所以在上單凋遞減，因此，即，，，，，所以，綜上可知.故選：C.2..已知，，，則，，的大小關(guān)系是A． B．C． D．【答案】B【分析】利用作差法比較a,c大小，再分別比較b,c與的關(guān)系即可求解【解析】a-c==<0,故又故3>,故,即b>,又＜故,故即c＜,所以b＞c,綜上，故選B.【題型三】作商比較法【典例分析】1.已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即得．【解析】，，，又，因?yàn)楹瘮?shù)，在上單調(diào)遞減，且，又因?yàn)椋?，所以，即，所以，，即．故選：C．2.已知，，則實(shí)數(shù)a，b，c的大小關(guān)系為（

）A．c＞a＞b B．a(chǎn)＞b＞cC．a(chǎn)＞c＞b D．c＞b＞a【答案】A【分析】先利用作商法比較a，b的大小，再借助中間值“0.5”得到，得到a＜c，即可得到結(jié)果．【解析】易知，所以，因?yàn)橛傻盟裕詀＜c．所以實(shí)數(shù)a，b，c的大小關(guān)系為c＞a＞b．故選：A．【變式演練】1.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)性質(zhì)確定a，，作商后由換底公式變形，利用均值不等式，再放縮可得，根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性再確定，即可得解.【解析】由題可知，，，易知a，．因?yàn)?，所以．另一方面，，所以；故選：D．2.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先化簡得到，，再根據(jù)，，則求解即可.【解析】，，首先證明，，則，因?yàn)椋忠驗(yàn)?，，，所以，即證.因?yàn)?，即，因?yàn)?，即，所?故選：A【題型四】圖象交點(diǎn)比大小【典例分析】1.設(shè)均為正數(shù)，且，，.則的大小關(guān)系為______________．【答案】【解析】試題分析：分別是函數(shù)的交點(diǎn)，函數(shù)的交點(diǎn)，函數(shù)的交點(diǎn)，做出三函數(shù)圖像，由圖像可知2.已知正實(shí)數(shù)，，滿足，，，則a，b，c的大小關(guān)系為(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)可得，由此可構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)f(x)的單調(diào)性即可判斷a和c的大??；根據(jù)對數(shù)的計(jì)算法則和對數(shù)的性質(zhì)可得b與2的大小關(guān)系；變形為，利用函數(shù)與函數(shù)的圖象可判斷兩個函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)c的范圍，從而判斷b與c的大小.由此即可得到答案．【解析】，故令，則，．易知和均為上的增函數(shù)，故在為增函數(shù)．∵，故由題可知，，即，則．易知，，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，如圖所示，則兩圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)在內(nèi)，即，，．故選：B．【技法指引】利用冪指對與一元一次，一元二次，反比例函數(shù)，對勾函數(shù)等函數(shù)圖像，尋找函數(shù)交點(diǎn)以比較大小【變式演練】1.已知則，，的大小關(guān)系是（）.A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知，令，可得，，畫出函數(shù)的圖像，結(jié)合的范圍，即可比較a,b,c的大小.【解析】由題意知，令，.函數(shù)的圖像如下，當(dāng)，由圖像可知，即，故答案選B.2.若正實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，，則正實(shí)數(shù)之間的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可知，正實(shí)數(shù)分別是方程，和在內(nèi)的根，再根據(jù)零點(diǎn)的存在定理，分別可求出正實(shí)數(shù)的取值范圍，由此即可得到結(jié)果.【解析】∵與的圖象在只有一個交點(diǎn)，∴在只有一個根，設(shè)為a．令，∵，，，∴．∵與的圖象在只有一個交點(diǎn)，∴在只有一個根，設(shè)為b．令，∵，，∴，∴．∵與的圖象在只有一個交點(diǎn)，∴在只有一個根，設(shè)為c．令，∵，，，∴．∴．故選：A.【題型五】對數(shù)“同構(gòu)”分離常數(shù)型【典例分析】1.??的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】C【分析】應(yīng)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得、、，進(jìn)而比較大小關(guān)系.【解析】，，，∵，∴，故選：C.2.已知m＝log4ππ，n＝log4ee，p＝e，則m，n，p的大小關(guān)系是（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）（）A．p＜n＜m B．m＜n＜p C．n＜m＜p D．n＜p＜m【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，應(yīng)用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)的換底公式，可比較m，n，的大小關(guān)系，再由指數(shù)的性質(zhì)有p＝e，即知m，n，p的大小關(guān)系.【解析】由題意得，m＝log4ππ，，∵lg4＞lgπ＞lge＞0，則lg4+lg4＞lg4+lgπ＞lg4+lge，∴，∴，而p＝e，∴n＜m＜p．故選：C．【技法指引】對數(shù)運(yùn)算中對數(shù)真數(shù)的乘除，可以化為對數(shù)值的加減，這是對數(shù)值所獨(dú)有的技巧，類似于分式型的分離常數(shù)，借助此法可以把較復(fù)雜的數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)化為某一單調(diào)區(qū)間，或者某種具有單調(diào)性的形式，以利于比較大小【變式演練】1.已知，若，則，，的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先化簡，再根據(jù)的大小關(guān)系，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到其大小關(guān)系．【解析】因?yàn)?，函?shù)在和上均單調(diào)遞減，又，所以而,所以，即，可知最?。捎?，所以比較真數(shù)與的大小關(guān)系.當(dāng)時，，所以,即.綜上,．故選：D．2.已知，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】把c用對數(shù)表示，根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)化為比較的大小，分別與1和比較即可.【解析】，，由得，.因?yàn)?，所以，，?下面比較a、b的大小關(guān)系：（其中），，所以所以所以.故選：C.【題型六】指數(shù)“同構(gòu)”單調(diào)性型【典例分析】1.已知三個實(shí)數(shù)a，，，其中，則這三個數(shù)的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷．【解析】∵，∴由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，有，∴．再由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得，即．故選：A2.已知，則的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可得，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，即可比較.【解析】依題意，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則有，即，．故選：C.【變式演練】1..若，則的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性分別比較和的大小，即可比較，再根據(jù)，即可得出答案.【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)是減函數(shù)，所以，又函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，所以，即，，所以.故選：B.2..若，則三者大小關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】D【分析】先借助中間量“2”比較出間的大小關(guān)系和間的大小關(guān)系，再將a、b分別化為，進(jìn)而化為根式即可比較出a、b的大小關(guān)系，最后得到答案.【解析】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以a>b，綜上：.故選：D.【題型七】構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)型【典例分析】1.已知，，，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意得，，，然后構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，最后利用其單調(diào)性即可比較大小.【解析】對，，兩邊都取自然對數(shù)得，，，令，得，設(shè)，得，∴在遞減，∴，∴，∴在遞減，又，，，∴，∴.故選A.2.已知，若，，，則的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，結(jié)合時，可得結(jié)果.【解析】構(gòu)造函數(shù)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.因?yàn)椋?，所?故選：A.【技法指引】學(xué)習(xí)和積累“構(gòu)造函數(shù)比大小”，要從“結(jié)構(gòu)同構(gòu)”處入手，通過函數(shù)的相同結(jié)構(gòu)，學(xué)習(xí)觀察，歸納，總結(jié)“同構(gòu)”規(guī)律，還要進(jìn)一步總結(jié)“異構(gòu)”規(guī)律，為后續(xù)積累更復(fù)雜的“構(gòu)造函數(shù)”能力做訓(xùn)練.【變式演練】1.已知，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性，即可比較大小.【解析】設(shè)函數(shù)，則．令，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，所以．故選：D．2.已知.滿足.則，，的大小關(guān)系為（）.A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域可確定，；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可知在上單調(diào)遞減，利用可知，由此可得結(jié)果.【解析】，，，，，，，，；，，，令，則，當(dāng)時，，，，在上單調(diào)遞減，，即，，.故選：.【題型八】函數(shù)三大性質(zhì)應(yīng)用型比大小【典例分析】1.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1，0)對稱，且當(dāng)x∈(-∞，0)時，成立，(其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)數(shù)）；若,，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．c>b>a【答案】B【解析】分析：令，則，可得在(∞，0)上單調(diào)遞增．由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對稱，可得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(，0)對稱，故函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)為偶函數(shù)，且在(∞，0)上單調(diào)遞增，在(0,+∞)上單調(diào)遞減．由于，可得．詳解：令，則，∴當(dāng)x∈(∞，0)時，函數(shù)單調(diào)遞增．∵函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對稱，∴函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(，0)對稱，∴函數(shù)為奇函數(shù)，∴函數(shù)為偶函數(shù)，且在(∞，0)上單調(diào)遞增，在(0,+∞)上單調(diào)遞減．又，，∴．故選B．2.定義在上的函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，且當(dāng)時，（其中是的導(dǎo)函數(shù)），若，則的大小關(guān)系是A． B． C． D．【答案】C【解析】本試題主要是考查了抽象函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判定和運(yùn)用．因?yàn)橐阎瘮?shù)y=f(x-1)關(guān)于（1,0）對稱，故f(x)關(guān)于原點(diǎn)對稱，同時當(dāng)x<0，f(x)單調(diào)遞減，那么y=xf(x)在小于零的區(qū)間上遞減，并且利用f(x)是奇函數(shù)，得到y(tǒng)=xf(x)是偶函數(shù)，由于，那么根據(jù)圖像的對稱性和單調(diào)性可知結(jié)論為選c>a>b，選C.【技法指引】（1）本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題時要認(rèn)真分析題意，從中得到函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)．（2）解題時注意偶函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用，即若函數(shù)為偶函數(shù)，則，運(yùn)用這一性質(zhì)可將問題轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上研究．【變式演練】1.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時不等式f(x)+xf'(x)<0成立，若a=3f(3)，b=?2f(?2),c=f(1)，則的大小關(guān)系是A．B．C．c>a>bD．【答案】A【解析】試題分析：令函數(shù)F（x）=xf（x），則F′（x）=f（x）+xf′（x）∵f（x）+xf′（x）＜0，∴F（x）=xf（x），x∈（-∞，0）單調(diào)遞減，∵y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴F（x）=xf（x），在（-∞，0）上為減函數(shù)，可知F（x）=xf（x），（0，+∞）上為增函數(shù)∵a=3f(3)，b=?2f(?2),c=f(1)，∴a=F（-3），b=F（-2），c=F（1），F(xiàn)（-3）＞F（-2）＞F（-1），即2.定義在上的函數(shù)滿足：成立且在上單調(diào)遞增，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，可得函數(shù)周期，將自變量的值利用周期轉(zhuǎn)化到，結(jié)合單調(diào)性，即得解【解析】由題意，，則，可得函數(shù)周期，，由于在上單調(diào)遞增【題型九】三角函數(shù)型比大小【典例分析】1.設(shè)，記，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)的取值范圍可得到的取值范圍.即可判斷與的大小關(guān)系，即選出答案.【解析】因?yàn)椋?，即，，，則.故選：D.2.設(shè)，若，則與的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．以上均不對【答案】D【分析】設(shè)，，由題意，利用誘導(dǎo)公式可得，而，，可得，或，分類討論即可求解．【解析】解：設(shè)，，因?yàn)?，，所以，，，又因?yàn)?，所以，而，，因此，或，所以?）當(dāng)時，，，因此，（2）當(dāng)時，，，因此：①當(dāng)時，，則，②當(dāng)時，，則，③當(dāng)時，，則．故選：D．【技法指引】1.三角函數(shù)值比大小，主要是利用周期性，把角化到一個單調(diào)區(qū)間里2.利用正余弦的有界性和正負(fù)值，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，比較大小.【變式演練】1.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先計(jì)算出，然后分別計(jì)算三個函數(shù)值的大概范圍,即可比較大小.【解析】因?yàn)?，所以，，，所以，故選：D2.已知，其中，已知，且，，，則，，的大小關(guān)系是（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】判定函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，利用基本不等式得到，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到的大小關(guān)系.【解析】∵,可得,∴為單調(diào)減函數(shù)，∵，∴，∴,,∴，故選：D.【題型十】冪、指、對與三角函數(shù)混合型（難點(diǎn)）【典例分析】1.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)得出大小，又即得出結(jié)論.【解析】構(gòu)造函數(shù)，則，在上恒成立，則在上單調(diào)遞減，故，則，，則，由對于函數(shù)，恒成立，所以，即在上恒成立.所以，（注：）所以，故選：C2.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由于，，，所以只要比較的大小即可，然后分別構(gòu)造函數(shù)，，判斷出其單調(diào)性，利用其單調(diào)性比較大小即可【解析】因?yàn)?，，，所以只要比較的大小即可，令，則，所以在上遞增，所以，所以，所以，即，令，則，因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，且，所以當(dāng)時，，所以在上為減函數(shù)，因?yàn)椋?，要比較與的大小，只要比較與的大小，令，則，所以在上遞增，所以，所以當(dāng)時，，所以，所以，所以，所以當(dāng)時，，所以在上遞增，所以，所以，所以，所以，所以，所以，故選：D【變式演練】1.已知實(shí)數(shù)，，，那么實(shí)數(shù)的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可得到，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得到，假設(shè)在中，，，角B的平分線交邊AC于點(diǎn)D，利用長度關(guān)系和正弦定理可得到，然后用作差法能得到，即可求解【解析】由于可得即，又由于，所以，假設(shè)在中，，，角B的平分線交邊AC于點(diǎn)D，所以，，，所以,所以即，所以，所以，所以即，解得，在中，即，所以，由于即，所以，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：B2.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性判斷b，c大小，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性判斷c，a大小作答.【解析】令，求導(dǎo)得，顯然，而，則有，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即當(dāng)時，，取，于是得，因此，令，求導(dǎo)得，顯然在上單調(diào)遞減，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即當(dāng)時，，取，于是得，即，所以a，b，c的大小關(guān)系是.故選：C【題型十一】帕德逼近型比大小【典例分析】1.（2021·全國·高考真題（理））設(shè)，，．則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用帕德逼近可計(jì)算【解析】2.設(shè)a＝，b＝ln1.01，c＝，則（

）A．a(chǎn)bc B．bca C．bac D．cab【答案】B【解析】設(shè)，所以，【技法指引】帕德逼近：【變式演練】1.已知則A． B． C． D．【答案】D【分析】利用帕德逼近來近似計(jì)算.【解析】2.（2022·全國·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】所以【題型十二】選取中間臨界值型【典例分析】1.設(shè)，，，則，，大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分別求得的取值范圍，即可求解.【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得，所以；由，因?yàn)?，所以，又由，可得，所以，所?故選：D.2.已知，，，，則、、、的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較、、與的大小關(guān)系，利用中間值法判斷出、的大小關(guān)系，綜合可得出、、、的大小關(guān)系.【解析】，，，，，則，，，則，因此，.故選：D.【變式演練】1.已知，，設(shè)，，，找出這三個數(shù)大小關(guān)系_________【答案】【分析】把用換底公式變形，已知不等關(guān)系及，也取對數(shù)后，可把與中間值比較大小，從而得出結(jié)論．【解析】由已知，，，又，則，∴，，則，，又，∴，，而，∴，，綜上有．故答案為：．2..已知，，，，則、、、的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較、、與的大小關(guān)系，利用中間值法判斷出、的大小關(guān)系，綜合可得出、、、的大小關(guān)系.【解析】，，，，，則，，，則，因此，.故選：D.【題型十三】放縮型【典例分析】1.若，則之間的大小關(guān)系是__________.【答案】【解析】注意到.下面證明.，.故.2.若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】利用對數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)將化簡為，從而和c比較大小，同理比較a,c的大小關(guān)系，再根據(jù)兩個指數(shù)冪的大小結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可比較a,b大小，即可得答案.【解析】由題意：，，故．又，即，所以，即，因?yàn)椋裕驗(yàn)?，故，即，所以，所以，所以，所以，故選：B.【變式演練】1..已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】結(jié)合已知條件，比較和的大小，進(jìn)而可得到和的大小，然后利用介值比較與的大小，利用介值和對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得和的大小，進(jìn)而得出答案.【解析】由，，可知，又由，從而，可得，因?yàn)椋?；因?yàn)?，從而，即，由對?shù)函數(shù)單調(diào)性可知，，綜上所述，.故選：B.2..若，，，則它們的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判斷大小，再分別判斷和的大小即可【解析】因?yàn)?，?又，，故.再分析和的大小，因?yàn)椋?，故，又，故，?綜上有故選：D【題型十四】綜合技巧應(yīng)用型【典例分析】1.已知則之間的大小關(guān)系是A． B． C． D．無法比較【答案】A【分析】根據(jù)題意，可設(shè)，表示出，，然后再計(jì)算出和的值，進(jìn)而可比較和的大小，從而可得答案.【解析】設(shè)，則，.∴，∵，∴，即.故選A.2.定義在上的函數(shù)滿足：，當(dāng)時，有，且．設(shè)，則實(shí)數(shù)與的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．不確定【答案】C【解析】函數(shù)滿足，令得；令得在為奇函數(shù)，單調(diào)減函數(shù)且在時，，則在時，，又，，即，故選C.【方法點(diǎn)晴】裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，掌握一些常見的裂項(xiàng)技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯誤.【變式演練】1.設(shè)實(shí)數(shù)，滿足，，則，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．無法比較【答案】A【分析】從選項(xiàng)A或C出發(fā)，分析其對立面，推理導(dǎo)出矛盾結(jié)果或成立的結(jié)果即可得解.【解析】假設(shè)，則，，由得，因函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，則，所以；由得，因函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，則，所以；即有與假設(shè)矛盾，所以，故選：A2.設(shè)函數(shù)，，，取，，，，則，，的大小關(guān)系為________.（用“”連接）【答案】【分析】分別根據(jù)三個函數(shù)的單調(diào)性、對稱性，結(jié)合裂項(xiàng)相消法，化簡求得，并判斷的范圍，從而可得結(jié)論.【解析】當(dāng)時，在區(qū)間上遞增且恒大于零，故當(dāng)時，是一個關(guān)于的對稱函數(shù)，滿足，且其在上遞增，在上遞減，故，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故，故答案為：【題型十五】一題多解型【典例分析】1.設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.【解析】方法一：構(gòu)造法設(shè)，因?yàn)椋?dāng)時，，當(dāng)時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.方法二：比較法解：，，，①，令則，故在上單調(diào)遞減，可得，即，所以；②，令則，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以故2.已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得;構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得,即可得解.【解析】[方法一]：構(gòu)造函數(shù)因?yàn)楫?dāng)故，故，所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，故，所以，所以，所以，故選A[方法二]：不等式放縮因?yàn)楫?dāng)，取得：，故，其中，且當(dāng)時，，及此時，故，故所以，所以，故選A[方法三]：泰勒展開設(shè)，則，，，計(jì)算得，故選A.[方法四]：構(gòu)造函數(shù)因?yàn)椋驗(yàn)楫?dāng)，所以,即，所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，則,所以，所以,所以，故選：A．[方法五]：【最優(yōu)解】不等式放縮因?yàn)?，因?yàn)楫?dāng)，所以,即，所以；因?yàn)楫?dāng)，取得，故，所以．故選：A．【整體點(diǎn)評】方法4：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是常見思路，難點(diǎn)在于構(gòu)造合適的函數(shù)，屬于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式放縮，即可得出大小關(guān)系，屬于最優(yōu)解．跟蹤訓(xùn)練一、單選題1．（2023·天津·校聯(lián)考一模）已知，，，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及中間值比較大小【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，故，而單調(diào)遞增，故，，所以.故選：D2．（2023春·浙江·校聯(lián)考期中）已知偶函數(shù)定義域?yàn)?，?dāng)時，單調(diào)遞減，，，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得到，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和，即可求解.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，可得，又因?yàn)楫?dāng)時，單調(diào)遞減，且，所以，即，所以.故選：B.3．（2023·天津河北·統(tǒng)考一模）若，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)并結(jié)合“媒介”數(shù)比較大小作答.【解析】依題意，，，而，即，所以，，的大小關(guān)系為.故選：B4．（2023春·吉林·四平市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】可設(shè)，求導(dǎo)得出，從而判斷出在上單調(diào)遞減，從而得出，進(jìn)而得出，而根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出，這樣即可得出，，的大小關(guān)系．【解析】設(shè)，，時，，單調(diào)遞減，，，即，又，．故選：．5．（2023春·廣西玉林·統(tǒng)考期中）設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，研究其單調(diào)性，進(jìn)而可以比較a，b，c的大小.【解析】令，則，所以時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，，，，因?yàn)?，所?故選：D.6．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）定義在R上的函數(shù)滿足，①對于互不相等的任意，都有，且當(dāng)時，，②對任意恒成立，③的圖象關(guān)于直線對稱，則??的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的三個條件得到函數(shù)為上的偶函數(shù)，周期為4，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，然后將利用周期、奇偶性和單調(diào)性即可比較大小.【解析】因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)關(guān)于軸對稱，所以函數(shù)為上的偶函數(shù)，又因?yàn)閷θ我夂愠闪ⅲ瑒t函數(shù)的周期為4，又因?yàn)閷τ诨ゲ幌嗟鹊娜我猓加?，且?dāng)時，，所以對任意，則，故有，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，則，即，故選：B.7．（2023春·江蘇南京·南京市第二十九中學(xué)校考）已知實(shí)數(shù)，則它們的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由三角函數(shù)線和正弦函數(shù)的圖象，結(jié)合扇形的面積公式和三角形面積公式，以及兩點(diǎn)間的斜率公式，用排除法，即可得出.【解析】作單位圓及角的三角函數(shù)線，如圖，設(shè)扇形OAP面積為，三角形OAT面積為，弧長為，扇形圓心角為，單位圓半徑，由三角函數(shù)線可知，，，，因?yàn)樯刃蜲AP面積小于三角形OAT面積，所以，所以，故，即，，所以，即，故，排除選項(xiàng)C，D.在在的圖象取點(diǎn)和點(diǎn)，由在的圖象形狀可知，，則，化簡得到，所以，所以，，排除A.故選：B.8．（2023·全國·模擬預(yù)測）若實(shí)數(shù)a，b，，且滿足，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A．c>b>a B．b>a>c C．a(chǎn)>b>c D．b>c>a【答案】B【分析】注意到，，.通過構(gòu)造函數(shù)可比較與c的大小.后構(gòu)造可比較大小，即可得大小.【解析】由，，，得，，，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，于是，即，又b，，所以；，因?yàn)?，所以，，，因此，于是，又a，，所以；令，則，所以在上是增函數(shù)，，，即，，，于是，又a，，所以；綜上.故選：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查構(gòu)造函數(shù)比較代數(shù)式大小，難度較大.對于不好估值的代數(shù)式，常通過觀察構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)單調(diào)性得到大小關(guān)系.二、多選題9．（2023春·湖北恩施?？茧A段練習(xí)）下列大小關(guān)系正確的為（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用基本不等式判斷A，根據(jù)三角函數(shù)定義判斷B，C，根據(jù)兩角和差正弦公式及余弦函數(shù)性質(zhì)判斷D.【解析】因?yàn)椋?，所以，又在上單調(diào)遞增，所以，A錯誤；如圖以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，軸的正半軸為始邊，作角，，記角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，則劣弧的長度為，過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作單位圓的切線，交射線與點(diǎn)，則，，又線段的長度小于劣弧的長度，線段的長度大于劣弧的長度，所以，所以，B正確，，故C錯誤；因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，所以，D正確；故選：BD.10．（2022秋·遼寧沈陽·高三東北育才學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】對作商比較，再通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，可比較的大小，從而可得結(jié)論.【解析】