2024-2024第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)期中考試

2024—2024學(xué)年第二學(xué)期?高等數(shù)學(xué)(2-2)?期中試卷專業(yè)班級(jí)姓名學(xué)號(hào)開課系室根底數(shù)學(xué)系考試日期2012年4月15日頁(yè)號(hào)一二三四五六總分本頁(yè)總分值241314141817本頁(yè)得分閱卷人本卷須知1.請(qǐng)?jiān)谠嚲碚娲痤}，反面及附頁(yè)可作草稿紙；2.答題時(shí)請(qǐng)注意書寫清楚，保持卷面整潔；3.本試卷共五道大題，總分值100分；試卷本請(qǐng)勿撕開，否那么作廢；4.本試卷正文共6頁(yè)。本頁(yè)總分值24分本頁(yè)得分一、填空題〔每空3分，共計(jì)18分〕1.設(shè)，，，那么向量的模為.2.過曲面上點(diǎn)處的切平面平行于，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為.3.函數(shù)在點(diǎn)處沿曲線在該點(diǎn)的內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù)為.4.設(shè)為及，所圍成的閉區(qū)域，那么.5.=.6.設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，，那么等于.二、選擇題〔每題3分，共計(jì)12分)1.在點(diǎn)處可微是該函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的〔〕〔A〕必要非充分條件；〔B〕充分非必要條件；〔C〕充分必要條件；〔D〕既非充分也非必要條件.2.假設(shè)那么與之間的關(guān)系是〔〕．；；；．本頁(yè)總分值13分本頁(yè)得分3.設(shè)由方程確定，可微，那么〔〕〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕1．4.函數(shù)，等于〔〕．(A)；(B)；(C)；(D)．三、計(jì)算題〔每題7分，共計(jì)35分〕1.求與平面平行且與三個(gè)坐標(biāo)平面所圍成的四面體的體積為的平面的方程.本頁(yè)總分值14分本頁(yè)得分2.計(jì)算二重積分，其中為.3.計(jì)算二次積分.本頁(yè)總分值14分本頁(yè)得分4.設(shè),求.5.求區(qū)域的體積，其中是由半球面及旋轉(zhuǎn)拋物面所圍成.本頁(yè)總分值18分本頁(yè)得分四、解答題〔每題9分，共計(jì)27分〕1.求曲線在點(diǎn)處的切線方程與法平面方程.2.求兩曲面，交線上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長(zhǎng)與最短距離.本頁(yè)總分值17分本頁(yè)得分3.設(shè)連續(xù)且，區(qū)域由，圍成，設(shè)，求及.五、證明題〔8分〕設(shè)為連續(xù)函數(shù)，試證明：，其中為矩形域：，常數(shù).答案一、填空題〔每空3分，共計(jì)18分〕1.；2.；3.；4.；5.；6.二、選擇題〔每題3分，共計(jì)12分)1.〔B〕；2.〔C〕；3.〔B〕；4.〔D〕．三、計(jì)算題〔每題7分，共計(jì)35分〕1.求與平面平行且與三個(gè)坐標(biāo)平面所圍成的四面體的體積為的平面的方程.解：由于所求平面與平面平行，故設(shè)該平面方程為；又所求平面與坐標(biāo)平面所圍四面體的體積為1，即，得，所求平面方程為.2.計(jì)算二重積分，其中為.解：，又積分區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱，關(guān)于為奇函數(shù)，利用對(duì)稱性，那么，故，在極坐標(biāo)系下，可表示為：.3.計(jì)算二次積分.解：根據(jù)二次積分的形式，可得積分區(qū)域如以下列圖，將看成型域，那么可表示為即有.4.設(shè),求.解：〔方法一〕：，，，那么.〔方法二〕：利用全微分形式不變性，得5.求區(qū)域的體積，其中是由半球面及旋轉(zhuǎn)拋物面所圍成.解：〔方法一〕利用二重積分半球面與旋轉(zhuǎn)曲面交線為，即，那么在面上的投影域?yàn)?，所求體積，利用極坐標(biāo)系，.〔方法二〕利用三重積分與柱面坐標(biāo)系，.四、解答題〔每題9分，共計(jì)27分〕1.求曲線在點(diǎn)處的切線方程與法平面方程.解：〔方法一〕：曲線方程可化簡(jiǎn)為易知其參數(shù)方程為在點(diǎn)處，對(duì)應(yīng)的，該點(diǎn)處的切向量為，故所求切線方程為；法平面方程為.〔方法二〕：利用方程組確定的隱函數(shù)求導(dǎo)，方程組兩邊對(duì)求導(dǎo)，得即解得，故在點(diǎn)處，切向量為，以下同上〔方法一〕.2.求兩曲面，交線上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長(zhǎng)與最短距離.解：假設(shè)所求點(diǎn)為，為方便起見考察函數(shù)在條件，下的最大值和最小值.構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，解方程組由前兩個(gè)方程得，代入后兩個(gè)方程得解得，記，，計(jì)算得最長(zhǎng)距離與最短距離分別為與.