2022-2023學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（B卷）（含解析）

2022-2023學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（B卷）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.若復(fù)數(shù)Z滿足zi=2-i（i為虛數(shù)單位），貝IJZ在復(fù)平面上所對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.記△?!BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為α,b,c.已知α=8,b=7,B=30。，貝IJSim4=（）

βC.三D.??

?-1?727

3.已知si?Ia==ξ,則cos2a=()

?16

A.—TTZB.-?D.?

2525c.?2525

4.己知一組數(shù)據(jù)分別是2.65,2.68,2.68,2.72,2.73,2.75,2.80,2.80,2.82,2.83,則

它們的75百分位數(shù)為（）

A.2.75B.2.80C.2.81D.2.82

5.已知非零向量口與方的夾角為。，?b?=21a∣>a?K=a2,則9=()

A.0-C3-0D.2-

6.已知八m為兩條不同的直線，a、6為兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.若〃/a,m1a,則

B.若I-LnI,m1a,貝”〃a

C.若IUa,me.a,l∕∕β,τn∕∕β,則a〃0

D.若a//.，，Ua,muβ,則〃/m

7.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，設(shè)“第一枚硬幣正面朝上”為事件4"第二枚硬幣反面

朝上”為事件B,則下述正確的是（）

A.4與B對立B.4與B互斥

C.P（A+B）>PQ4）+P（B）D.4與B相互獨(dú)立

8.如圖，大運(yùn)塔是揚(yáng)州首座以鋼結(jié)構(gòu)為主體建設(shè)的直塔，為揚(yáng)州中國大運(yùn)河博物館的主體

建筑之一.小強(qiáng)同學(xué)學(xué)以致用，欲測量大運(yùn)塔AB的高度.他選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)

觀測點(diǎn)C,D,測得ZBCD=I20。，CD=112m,在C,。兩觀測點(diǎn)處測得大運(yùn)塔頂部A的仰角

分別為45。，30°,則大運(yùn)塔48的高為（）

A

A.56y∕~2mB.112mC.112y∕~2mD.112√^^m

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.如圖，在平行四邊形ZBCn中，E,F分別是CD邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的

有（）

A.EF=^AB

B.BE=CB-CE

C.AC=AB+AD

D.AF=∣ΛD+∣?C

10.已知函數(shù)/"（x）=SinXcosx,下列選項(xiàng)中正確的有（）

A./（x）的最大值為:B./（x）的最小正周期是Tr

C./（X）在區(qū)間（0,方上單調(diào)遞增D./（X）在區(qū)間［0,兀］上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)

11.從甲廠和乙廠生產(chǎn)的同一種產(chǎn)品中各抽取10件，對其使用壽命（單位：年）的檢測結(jié)果如

記甲工廠樣本使用壽命的眾數(shù)為與，平均數(shù)為的，極差為與，方差為XM乙工廠樣本使用壽

命的眾數(shù)為力，平均數(shù)為光，極差為為，方差為'4?則下列選項(xiàng)正確的有（）

z

A.x1<y1B.X2=）2C.x3<y3D.x4>y4

12.在aABC中，已知4=竽，AD為〃的內(nèi)角平分線且力D=2,則下列選項(xiàng)正確的有（）

A1.11

A—H-----=—2

ACABADB.BC-IAC-AB=16

C.AB-AC-DB-DC=4D.ZMBC的面積最小值為4√^^

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.己知復(fù)數(shù)z=3+4i(i為虛數(shù)單位)，則IZl=.

14.已知非零向量N與石的夾角為45。，|石|=2/7，向量石在向量方上投影向量為落則Iml=

.Sl+tanl50_

?*l-tanl5°=-------'

16.已知正四棱柱ABCD-AIBIGDI中，AB=1,直線4的與平面ABCD所成角的正切值為2,

則該正四棱柱的外接球的表面積為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

己知向量3=(2,x),K=(x-1,1)>X∈/?.

(1)若蒼1另，求實(shí)數(shù)X的值；

(2)若蒼〃a求實(shí)數(shù)X的值.

18.(本小題12.0分)

如圖，在棱長為1的正方體ABC。一AlBIelDl中，E為棱。。[的中點(diǎn)，BD∏AC=F.

(I)求證：BDI〃平面EAC；

(2)求三棱錐E-ADC的體積.

19.(本小題12.0分)

己知函數(shù)∕^(x)=—6(sinx+COSX)-3,x∈[θ,^]?

(1)求/(x)的最大值；

(2)證明:函數(shù)W(X)=/(x)+10有零點(diǎn).

20.(本小題12.0分)

某中學(xué)為了制定培養(yǎng)學(xué)生閱讀習(xí)慣，指導(dǎo)學(xué)生提高閱讀能力的方案，需了解全校學(xué)生的課外

閱讀情況，現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生本學(xué)期開學(xué)以來(60天)的課外閱讀時(shí)間，把他們的閱讀時(shí)

間分為5組：[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),并繪制如圖所示的頻率分布直方

圖.

(1)求X的值及這IOO名學(xué)生課外閱讀時(shí)間的平均數(shù).(各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平

均水平)

(2)為查找影響學(xué)生閱讀時(shí)間的因素，學(xué)校團(tuán)委決定采用分層抽樣的方法，從閱讀時(shí)間為

[10,20),[20,30)的學(xué)生中抽取6名參加座談會,再從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求恰好有一人

讀書時(shí)間在“0,20)的概率.

21.(本小題12.0分)

如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PABj_平面PBC,?CBP=90o,PA=AB=BC=2,PC=

2y∕~3.

(1)求證：PA1BC-,

(2)求二面角P-BC-4的大小.

22.(本小題12.0分)

記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為α,b,c.已知(a—c)(S譏A+si?IC)=(a—b)sinB.

(1)求角C的大?。?/p>

(2)若。是邊4B的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)4),CD=求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

答案和解析

I.【答案】C

【解析】解：因?yàn)閦i=2—i,則Z=Z-I=—1—23

I

所以Z在復(fù)平面上所對應(yīng)的點(diǎn)為(-1,-2),位于第三象限.

故選：C.

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求復(fù)數(shù)z,再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：由正弦定理可得：號=芻，

sιnAStnB

所以-^=三，

SinAStnB

874

即麗=I'解得SinA=

2'

故選:B.

由正弦定理代入求解即可.

本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：Sina=|,則COS2α=1-2sin2a=1—2×(∣)2=?.

故選：C.

直接利用二倍角的余弦函數(shù)化簡求解即可.

本題考查二倍角公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

4.【答案】B

【解析】解：因?yàn)?0個(gè)樣本數(shù)據(jù)是從小到大排列的，且10X75%=7.5,

所以第75百分位數(shù)是第8個(gè)數(shù)2.80.

故選:B.

由于樣本數(shù)據(jù)是從小到大排列的，由百分位數(shù)的定義得到第75百分位數(shù)是第8個(gè)數(shù).

本題主要考查百分位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：。e[O,τr],

?b?=2∣α∣,a?b≈^a2>

,

故COSo=∣a∣?∣h∣2∣a∣∣Lal∣=2∣耳a∣-L∣aI∣=l23解得。=i?

故選：C.

根據(jù)夾角公式計(jì)算可得.

本題主要考查平面向量的夾角公式，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

6.【答案】A

【解析】解：對于4,；mla,二τn垂直平面a內(nèi)任意一條線，又IUa,：.3n,ua,使得〃∕n,

.?.mln.則有/lm,故A正確；

對于B,當(dāng)/1?n,rn_La時(shí)，有〃/a或/ua,故8錯誤；

對于C,當(dāng)IUa,maa,l∕∕β?S時(shí)，a與S可以相交，故C錯誤；

對于0,若a∕",IUa,mu￡時(shí)，有l(wèi)〃ni或1與m異面，故。錯誤.

故選:A.

根據(jù)直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，對選項(xiàng)逐一分析判斷，選出正確的命題即可.

本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定，考查空間想象能力與思

維能力，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：由題意可得，拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果是：（正，正），（正，反），（反，

正）,（反,反），

則事件2包含的結(jié)果有：（正，正），（正，反），事件B包含的結(jié)果有：（正，反），（反，反），

顯然事件4事件8都包含“（正，反）”這一結(jié)果，即事件4事件B能同時(shí)發(fā)生，

所以，事件4事件B既不互斥也不對立，故AB錯誤.

2121

==P==?1

又因?yàn)镻（A）4-2-而P(4+B)=：,PG4B)

所以P(A+B)<P(A)+P(B),4-P(2-AB)=P(A)P(B),故C錯誤，。正確.

故選：D.

根據(jù)題意，列舉出拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果，再逐一分析判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果?

本題考查互斥事件、對立事件、相互獨(dú)立事件相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】B

【解析】解：由題意得，在直角△ABC中，乙4CB=45°,

所以BC=AB,

在直角A4BD,?ADB=30°,

所以黑=tcm30°,即BD=「AB,

在ABCO中，NBCO=I20。，CD=112,

由余弦定理BO?=BC2+CD2-2BC-CDcosl20o,可得348?=AB2+1122-2×112?(-?)?

AB,

因?yàn)榱>0,

所以解得AB=112,即大運(yùn)塔AB的高為112m.

故選:B.

根據(jù)仰角分別得出BC=AB,BD=CAB，在△BCD中由余弦定理即可求出AB.

本題考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了方程思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】AC

【解析】解：對選項(xiàng)A：EF=1DC=1AB,正確；

對選項(xiàng)B：BE=BC+CE=-CB+CE>錯誤；

對選項(xiàng)C：AC=AB+BC=AB+正確；

對選項(xiàng)。：AF=AD+DF=AD+^DC=AD+^(AC-AD)=^AD+^AC,錯誤.

故選：AC.

結(jié)合圖形，用向量共線的知識和三等分點(diǎn)的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)A；用向量的加法法則和向量的性

質(zhì)即可判斷選項(xiàng)B和選項(xiàng)C；用向量的加法法則和減法法則即可判斷選項(xiàng)D.

本題主要考查平面向量的基本定理，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】AB

【解析】解：由題意得/(無)=Sinxcosx=∣sin2x,

則/⑶的最大值為：，故A正確；

/(x)的最小正周期是與=τr,故B正確；

由一'+2kπ≤2x≤/+2/c兀解得一亨+kπ≤x≤/kπ,

所以當(dāng)一^+kπ<X<^+kπ,kEZ時(shí)，/(x)單調(diào)遞增，

同理，當(dāng)*+Er≤%≤與+kτr,keZ時(shí)，f(X)單調(diào)遞減，

所以/(x)在區(qū)間(Ow)上單調(diào)遞增，在區(qū)間田,方上單調(diào)遞減，故C錯誤；

令2sin2x=0,X€[0,,解得X=O或X=/或X=兀，故。錯誤.

故選：AB.

先化簡/(x),即可由正弦函數(shù)的取值范圍判斷選項(xiàng)A,由正弦函數(shù)的周期公式判斷選項(xiàng)B,由正

弦函數(shù)的單調(diào)性判斷選項(xiàng)C,解三角方程判斷選項(xiàng)D.

本題主要考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】BD

【解析】解：由題意可得，X1=8,&=象3+5+6+7+7+8+8+8+9+10)=7.1,

222222

X4=?[(3-7.1)+(5-7.1)+(6-7.1)+(7-7.1)+(7-7.1)+(8-7.1)+(8-

7.1)z+(8-7.1)2+(9-7.1)2+(10-7.1)2]=3.69,

%3=10—3=7,

Vi=8,y?——(4+6+6+7+8+8+8+8+8+8)=7.1,

22222

y3=8-4=4,y4=?[(4-7.1)+(6-7.1)+(6-7.1)+(7-7.1)+(8-7.1)+(8-

7.1)2+(8-7.1)2+(8-7.1)2+(8-7.1)2+(8-7.1)2]=1.69,

則=y^λ'χι—y??,'%3>丁3，χ4>)z4?

故選：BD.

根據(jù)題意，由眾數(shù)，平均數(shù)，極差以及方差的計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

本題考查眾數(shù)，平均數(shù)，極差以及方差的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】ACD

【解析】解：依題意SAABC=SAABD+SAADC，^AB-ACsi∏^=

^AB-ADsin^+AD-ACsin^,/\

BDC

所以48?AC=ADQAB+AC),

所以^?+^?=^??故A正確；

∕ι(->ADAU

AB-AC=2(AB+AQ,

所以=AB+AC≥2√AB?4C,當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC時(shí)取等號，

所以SB?AC≥16或AB?AC<0(舍去)，

則SAABC=以B?ACsin多=?AC≥4「，當(dāng)且僅當(dāng)月B=AC=4時(shí)取等號，故。正確；

L34

XBD2=AB2+AD2-2AB-ADcos^,DC2=AC2+AD2-2AC-ADcos^,

B∣JβO2=AB2+AD2-AB-AD,DC2=AC2+AD2-AC-AD,

所以+DC2=AB2+AC2+2AD2-AC-AD-AB-AD,

XfiC2=AB2+AC2-2ABACcos^-,GPBC2=AB2+AC2+AB-AC,

所以(BD+DC)2=BD2+2BD-DC+DC2=AB2+AC2+AB-AC,

所以2B。-DC=AB-AC-2AD2+(AC+AB)-AD,

即28。?DC=2AB?AC-2AD2,

所以AB?AC-DB?De=AD2=%故C正確；

由余弦定理Bf2=AB2+AC2-2AB-ACcos^,

BPBC2=AB2+AC2+AB-AC

=(AB+AQ2-AB-AC

=-AB-AC

=^AB-AQ2-AB-AC,

所以Be2-2AC-AB=?{AB-AC)2-3AB-AC,

由于由已知條件無法得知48?4C的值,

故無法確定8。2-24548的值，故B錯誤.

故選：ACD.

利用等面積法得到ABSC=AD(AB+AQ,即可判斷出再利用基本不等式求出AB?AC的最小值,

即可判斷D；利用余弦定理判斷B、C.

本題考查了三角形的面積公式，余弦定理以及基本不等式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力

和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

13.【答案】5

【解析】解：7z=3+4i,

.?.∣z∣=√32+42=√-25=5.

故答案為：5.

直接利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式得答案.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

14.【答案】2

【解析】解：根據(jù)題意，非零向量4與方的夾角為45。，商I=21∑

向量石在向量日上投影向量為乙則I口I=Il石ICos＜五，］＞∣=2?

故答案為：2.

根據(jù)題意，由投影向量的計(jì)算公式計(jì)算可得答案.

本題考查投影向量的計(jì)算，涉及向量數(shù)量積的運(yùn)算和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】O

【解析】

【分析】

本題考查了兩角和與差的正切公式，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵，屬于

基礎(chǔ)題.

利用tan45。=1對原式進(jìn)行替換，利用兩角和的正切公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡即可求出值.

【解答】

解：原式=罌鬻需=tan(450+15。)=tan6。。=

故答案為，耳.

16.【答案】10兀

【解析】解:連接4C,在正四棱柱ABCO-48165中，/CI5FffiXSCD,

所以4C1AC為直線4G與平面ABCD所成角，

因?yàn)樵诘妊苯侨切蜛BC中，AB=BC=I,所以AC=IΣ,

在直角三角形ACCI中，tan/GAC=爺=篝=2,

22

所以ClC=2。，AC1=√AC+C1C=√^Tθ.

又正四棱柱4BC0-4BιG5的外接球的直徑為AG，則半徑r=子.

所以球的表面積為：S—4Tir2=4∏?(-'222=10π?

故答案為:10τr.

在正四棱柱ABCD-&BIGCl中，連接4C,則4CI4C為直線AC】與平面ZBCD所成角，結(jié)合題中的

條件可得側(cè)棱長，進(jìn)一步得到外接球的半徑，得到答案.

本題考查正四棱柱的外接球問題，屬中檔題.

17.【答案】解：⑴因?yàn)槿胧?(x-l)+x=0,解得：x=∣.

(2)因?yàn)閃〃石，所以X(X-I)=2,解得：*=2或X=—1.

【解析】根據(jù)向量共線和垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

本題主要考查了向量共線及垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)證明：因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，所以F為BO中點(diǎn)

因?yàn)镋為棱DDl的中點(diǎn)，所以EF〃BD1，

月方FU平面及4C,BDIa平面瓦4C,

所以8%〃平面EAC.

(2)因?yàn)?。DlL平面4BC。，底邊ABC。為正方形

則4ADC為直角三角形，且AD1DC

所以三棱錐E-ADC的體積為：

11111

^E-ADC=§XEDXSAADC=5X5X5XlXl=12'

【解析】(1)根據(jù)線面平行的判定定理分析證明；

(2)根據(jù)錐體的體積公式運(yùn)算求解.

本題考查線面平行的證明，三棱錐的體積的求解，屬中檔題.

191答案】解：(l)∕(x)=-6(SinX+cosx)-3=-6?∕~2(j-γ-sinx+?cosx)—3=-6√-^sin(x+

A3,

因?yàn)閤e［0,J所以x+*e［犯］,所以f(x)在［0幣上單調(diào)遞減，所以/(χ)rng=/(O)=-%

(2)因?yàn)镾(X)=/(%)+10=-6√^^2sin(x+^)+7,x∈［0,g,

因?yàn)榛?)=1>0,φζ)=7-6√^2<0,且S(X)圖象在［0幣上不間斷，

所以S(X)在區(qū)間［0,守上有零點(diǎn).

【解析】(1)利用輔助角公式將函數(shù)化簡，由X的取值范圍求出x+今的取值范圍，即可得到函數(shù)的

單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最大值；(2)首先得到R(X)的解析，求出區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，結(jié)合零點(diǎn)存

在性定理即可證明.

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

20.【答案】解：(1)由題意得：X=1-10(0.005x2+0.02+0.04)=θθ?,

這100名學(xué)生閱讀時(shí)間的平均數(shù)為：5X0.05+15×0.2+25×0.4+35×0.3+45×0.05=26,

所以這100名學(xué)生閱讀時(shí)間的平均數(shù)為26：

(2)由直方圖得：課外閱讀時(shí)間為［10,20)與［20,30)的學(xué)生數(shù)的比為1：2,

所以，課外閱讀時(shí)間在［10,20)有2名，閱讀時(shí)間在［20,30)有“4名，

記從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，

恰好有一人讀書時(shí)間在［10,20)為事件M,

課外閱讀時(shí)間在［10,20)的2名學(xué)生分別記為a、b,

閱讀時(shí)間在［20,30)的4名學(xué)生分別記為4、B、C、D,

所以從這6人中任意抽取2人，

樣本空間:

0={(α,b),(α,A),(a,B),(α,C),(α,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),

(AB),(AC),(4D),(B,C),(B,D),(C,D)},共15個(gè)樣本點(diǎn)，

其中M={(a,4),(a,B),(α,C),(α,D),(b,A),(b,B),(b,C),(h,D)},共8個(gè)樣本點(diǎn)，

所以P(M)=總

【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為1求出》,再根據(jù)平均數(shù)公式計(jì)算可得;

(2)利用列舉法列出所有可能結(jié)果，再由古典概型的概率公式計(jì)算可得.

本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了古典概型的概率公式，屬于中檔題.

21.【答案】解：(I)證明：由于平面PABJ_平面PBC,平面Λ4Bn平面PBC=PB,

又NCBP=90。，BeU平面PBC,BC1PB,

則根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得BC1平面P4B,

又PAU平面P4B,

?PA1BC.

(2)由(I)知BC_L平面PAB,

?.?PBu平面P4B,ABu平面Pg

???“B4就是二面角P-BC-4的平面角.

?.?PB1BC,BC=2,PC=2√^^,

.?.PB=2√^2,

又ZM=AB=2,

所以P/+心=PB2,

.?.PalAB,

SinNPB4=警=奈=半LPBA=

二二面角P-BC-4的大小為

【解析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理得到BCI平面/MB,再利用線面垂直的定義即可證明.

(2)先利用平面角的