重慶市高三第二次預(yù)測性考試數(shù)學(xué)試題

2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（預(yù)測卷二）一、單選題。本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的4個選項中，有且只有一項是符合題目要求。1.已知函數(shù)的定義域為M，

的定義域為N，則

（）A. B. C. D.?2.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱，，則（）A.

B. C.1 D.13.定義“有增有減”數(shù)列如下：存在,滿足，且存在，滿足.已知“有增有減”數(shù)列共四項,若，且，則數(shù)列共有（）A.64個 B.57個 C.56個 D.54個4.《海島算經(jīng)》是中國學(xué)者劉徽編撰的一部測量數(shù)學(xué)著作，現(xiàn)有取自其中的一個問題：今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直，從前表卻行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末參合，從后表卻行一百二十七步，人目著地，取望島峰，亦與表末參合，問島高幾何？用現(xiàn)代語言來解釋，其意思為：立兩個3丈高的標(biāo)桿，之間距離為1000步，兩標(biāo)桿與海島的底端在同一直線上．從第一個標(biāo)桿M處后退123步，人眼貼地面，從地上A處仰望島峰，人眼，標(biāo)桿頂部和山頂三點共線；從后面的一個標(biāo)桿N處后退127步，從地上B處仰望島峰，人眼，標(biāo)桿頂部和山頂三點也共線，則海島的高為（3丈＝5步）（）A.1200步 B.1300步 C.1155步 D.1255步5.《鏡花緣》是清代文人李汝珍創(chuàng)作的長篇小說，書中有這樣一個情節(jié)：一座閣樓到處掛滿了五彩繽紛的大小燈球，燈球有兩種，一種是大燈下綴2個小燈，另一種是大燈下綴4個小燈，大燈共360個，小燈共1200個。若在這座樓閣的燈球中，隨機選取兩個燈球，則至少有一個燈球是大燈下綴4個小燈的概率為（）A. B. C.?????? D.6.一種藥在病人血液中的量保持1500mg以上才有效，而低于500mg病人就有危險.現(xiàn)給某病人注射了這種藥2500mg，如果藥在血液中以每小時20%的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)過（）小時向病人的血液補充這種藥，才能保持療效。（附：，答案采取四舍五入精確到0.1小時）小時 小時 小時

小時7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在邊AC的中線BD上，則

的最小值為（）

A. B.0 C.4 D.18.已知點F為雙曲線的右焦點，直線與E交于M，N兩點，若，設(shè)，且，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）

A. B. C. D.二、多選題。本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分。9.已知斜率為的直線經(jīng)過拋物線的焦點F，與拋物線C交于點A，B兩點（點A在第一象限），與拋物線的準(zhǔn)線交于點D，若，則以下結(jié)論正確的是（）

A. B. C. D.F為AD中點10.下列有關(guān)命題的說法正確的是（）A.命題，都有，則，使得

B.函數(shù)與函數(shù)是同一個函數(shù)

C.，使得成立

D.若x,y,z均為正實數(shù)，且，則n=411.設(shè)是無窮數(shù)列，若存在正整數(shù)k，使得對任意，均有，則稱是間隔遞增數(shù)列，k是的間隔數(shù)，下列說法正確的是（）

A.公比大于1的等比數(shù)列一定是間隔遞增數(shù)列

B.已知，則是間隔遞增數(shù)列

C.已知，則是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是2

D.已知，若是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是3，則12.2020年春節(jié)前后，一場突如其來的新冠肺炎疫情在全國蔓延。疫情就是命令，防控就是責(zé)任。在黨中央的堅強領(lǐng)導(dǎo)和統(tǒng)一指揮下，全國人民眾志成城、團結(jié)一心，掀起了一場堅決打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)的人民戰(zhàn)爭。下側(cè)的圖表展示了2月14日至29日全國新冠肺炎疫情變化情況，根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是（）A.16天中每日新增確診病例數(shù)量呈下降趨勢且19日的降幅最大

B.16天中每日新增確診病例的中位數(shù)小于新增疑似病例的中位數(shù)

C.16天中新增確診、新增疑似、新增治愈病例的極差均大于2000

D.19日至29日每日新增治愈病例數(shù)量均大于新增確診與新增疑似病例之和三、填空題。本大題共4小題，每小題5分，共20分。13.若光線由點射到x軸上，反射后過點，則反射光線所在直線方程是.14.已知△ABC的面積等于1，若BC=1，則當(dāng)這個三角形的三條高的乘積取最大值時，=.15.在三棱錐PABC中，，∠BAC=120°，AP=，AB=2，M是線段BC上動點，線段PM的長度最小值為，則三棱錐PABC的外接球的表面積為．16.如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，E為AB的中點，P為以A為圓心，AB為半徑的圓?。ㄔ谡叫蝺?nèi)，包括邊界點）上的任意一點，則的取值范圍是；若向量，則的最小值為．四、解答題。本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程、演算步驟等。17.（10分）已知非空集合，

（1）當(dāng)a=10時，求A∩B，A∪B；

（2）求能使A∪B=B成立的a的取值范圍．18.（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知B=150°．

（1）若，，求△ABC的面積；

（2）若，求C．19.從2021年起，重慶推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用3+2+1模式，其中語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必考科目，每門科目滿分均為150分。另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求，結(jié)合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中自選3門參加考試，每門科目滿分均為100分。為了應(yīng)對新高考，某中學(xué)從高一年級1000名學(xué)生（其中男生550人，女生450人）中，采用分層抽樣的方法從中抽取n名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，其中，女生抽取45人。（1）求n的值；（2）學(xué)校計劃在高一上學(xué)期開設(shè)選修中的“物理”和“地理”兩個科目，為了了解學(xué)生對這兩個科目的選課情況，對抽取到的n名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查（假定每名學(xué)生在“物理”和“地理”這兩個科目中必須選擇一個科目且只能選擇一個科目），下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的一個不完整的2×2列聯(lián)表，請將下面的2×2列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)？說明你的理由；選擇“物理”選擇“地理”總計男生10女生25總計（3）在抽取到的45名女生中，按（2）中的選課情況進(jìn)行分層抽樣，從中抽出9名女生，再從這9名女生中抽取4人，設(shè)這4人中選擇“物理”的人數(shù)為X，求X的分布列及期望。附：0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.82820.（12分）如圖，在三棱錐PABC中，PA⊥底面ABC，BAC=90°．點D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點，M是線段AD的中點，PA=AC=4，AB=2．

（1）求證：MN//平面BDE；

（2）求二面角CEMN的正弦值；

21.（12分）已知橢圓過點（0，1），離心率e為．（1）求橢圓方程；（2）已知不過原點的直線與橢圓E相交于A，B兩點，點A關(guān)于x軸的對稱點為M，直線AB，MB分別與x軸相交于點P，Q，求的值．22.（12分）已知函數(shù)．

（1）若x=2為的極值點，求實數(shù)a的值；

（2）若在上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）當(dāng)時，方程有實根，求實數(shù)b的最大值．2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)答案（預(yù)測卷二）1.C 2.B 3.D4.D 5.C 6.A7.A 8.B 9.BCD10.AD 11.BCD12.BC13.14.15.16.；17.解：（1）當(dāng)a=10時，集合A={x|21≤x≤25}，B={x|3≤x≤22}，

∴求A∩B={x|21≤x≤22}，

A∪B={x|3≤x≤25}．

（2）∵非空集合A={x|2a+1≤x≤3a5}，B={x|3≤x≤22}，A∪B=B，

∴A?B，

∵A≠?，∴，解得6≤a≤9．

∴a的取值范圍是[6，9]．18.解：（1）△ABC中，B=150°，a=c，b=2，

cosB===，

∴c=2，a=2，

∴=．

（2）sinA+sinC=，

即sin（180°150°C）+=，

化簡得=，

sin（C+30°）=，

∵0°＜C＜30°，

∴30°＜C+30°＜60°，

∴C+30°=45°，

∴C=15°．19.

解：（1）由題意得，

解得n＝100．

（2）2×2列聯(lián)表為：選擇“物理”選擇“地理”總計男生451055女生252045總計7030100，

故有的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)．

（3）從45名女生中分層抽樣抽9名女生，所以這9名女生中有5人選擇“物理”，4人選擇“地理”，9名女生中再選擇4名女生，則這4名女生中選擇“物理"的人數(shù)X可為0，1，2，3，4．

設(shè)事件X發(fā)生的概率為P（X），則

，

，

，

，

．

所以X的分布列為X01234P期望20.（1）證明：取AB中點F，連接MF、NF，

∵M(jìn)為AD中點，

∴MF∥BD，

∵BD?平面BDE，MF?平面BDE，

∴MF∥平面BDE．

∵N為BC中點，

∴NF∥AC，

又D、E分別為AP、PC的中點，

∴DE∥AC，則NF∥DE．

∵DE?平面BDE，NF?平面BDE，

∴NF∥平面BDE．

又MF∩NF=F，且MF，NF?平面MFN，

∴平面MFN∥平面BDE，

又MN?平面MFN，則MN∥平面BDE；

（2）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．

∴以A為原點，分別以AB、AC、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

∵PA=AC=4，AB=2，

∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），

M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），

則，，

設(shè)平面MEN的一個法向量為，

由，得，取z=2，得．

由圖可得平面CME的一個法向量為．

∴cos＜＞=．

∴二面角CEMN的余弦值為，則正弦值為；21.解：（1）因為橢圓過點（0，1），所以；又，所以.

即橢圓方程為.

（2）法一：設(shè)，則由，得，

所以，

在直線中，令，則，即，

直線，令，

則，即，所以，即

.

（2）法二：設(shè)，則，，由A,B,P三點共線，則有，即所以；

由B,M,Q三點共線，則有，即，所以

所以

因為A，B在橢圓E上，所以，所以，同理，代入（1）中，得,即.

22.解：（1）=．…（1分）

因為x=2為f（x）的極值點，所以f'（2）=0．…（2分）

即，解得a=0．…（3分）

又當(dāng)a=0時，f'（x）=x（x2），從而x=2為f（x）的極值點成立．…（4分）

（2）因為f（x）在區(qū)間[3，+∞）上為增函數(shù)，

所以在區(qū)間[3，+∞）上恒成立．…（5分）

①當(dāng)a=0時，f'（x）=x（x2）≥0在[3，+∞）上恒成立，所以f（x）在[3，+∞）上為增函數(shù)，故a=0符合題意．…（6分）

②當(dāng)a≠0時，由函數(shù)f（x）的定義域可知，必須有2ax+1＞0對x≥3恒成立，故只能a＞0，

所以2ax2+（14a）x（4a2+2）≥0對x∈[3，+∞）上恒成立．…（7分）

令g（x）=2ax2+（14a）x（4a2+2），其對稱軸為，…（8分）

因為a＞0所以，從而g（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可，

因為g（3）=4a2+6a+1≥0，

解得．…（9分）

因為a＞0，所以．

由①可得，a=0時，符合題意；

綜上所述，a的取值范圍為[0，]．…（10分）（2）若時，方程可化為，．

問題轉(zhuǎn)化為b=xlnxx（1x）2+x（1x）=xlnx+x2x3在（0，+∞）上有解，

即求函數(shù)g（x）=xlnx+x2x3的值域．…（11分）

以下給出兩種求函數(shù)g（x）值域的方法：

方法1：因為g（x）=x（lnx+xx2），令h（x）=lnx+xx2（x＞0），

則，…（12分）

所以當(dāng)0＜x＜1，h′（x）＞0，從而h（x）在（0，1）上為增函數(shù)，

當(dāng)x＞1，h′（x）＜0，從而h（x'）在（1，+∞上為減函數(shù)，…（13分）

因此h（x）≤h（1）=0．

而x＞1，故b=x?h（x）≤0，

因此當(dāng)x=1時，b取得最大值0．…（14分）

方法2：因為