黑龍江省齊齊哈爾市2023-2024學年高一上學期期末考試數(shù)學2

高一數(shù)學試卷本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.全卷共150分，考試時間120分鐘.考生作答時將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效.注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名?準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整?筆跡清楚.3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙?試題卷上答題無效.4.作圖題可先使用2B鉛筆填涂，然后用黑色字跡的簽字筆描黑.5.保持卡面清潔，不要折疊?不要弄破?弄皺，不準使用涂改液?修正帶?刮紙刀.第I卷一?單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合R，，則（）A B. C. D.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，3.若角的終邊上有一點，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.4.函數(shù)的零點的個數(shù)為（）A. B. C. D.5.已知，則，且與，且的圖象可能為（）A. B.C. D.6.設，命題，命題，則是的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.2023年10月26日11時14分，搭載神舟十七號載人飛船的長征二號遙十七運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射，成功入軌.這次任務是我國載人航天工程進入空間站應用與發(fā)展階段的第2次載人飛行任務，是工程立項實施以來的第30次發(fā)射任務，也是長征系列運載火箭的第493次飛行.設火箭質(zhì)量是箭體質(zhì)量與燃料質(zhì)量的和，在不考慮空氣阻力的條件下，燃料質(zhì)量不同的火箭的最大速度之差與火箭質(zhì)量的自然對數(shù)之差成正比.已知某火箭的箭體質(zhì)量為，當燃料質(zhì)量為時，該火箭的最大速度為；當燃料質(zhì)量為時，該火箭的最大速度為；當燃料質(zhì)量為時，則火箭的最大速度為（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，，，使成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.二.多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對得2分.9.已知下列等式左右兩邊都有意義，則下列等式恒成立的是（）A. B.C. D.10.已知，則下列說法正確的是（）A. B.C D.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)值域為B.函數(shù)是增函數(shù)C.不等式的解集為D.12.定義在上的函數(shù)，對，均有，當時，，令，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.第II卷二?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把正確答案寫在答題卡相應題的橫線上.13.函數(shù)，且的圖象恒過定點，點又在冪函數(shù)的圖象上，則__________.14.若扇形的周長為，面積為，圓心角為，則__________.15.若關(guān)于的不等式恰有個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是__________.16.用表示中較大者，記為.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有8個相異實根，則實數(shù)的取值范圍是__________.四?解答題：共70分，解答應寫出文字說明?解答過程或演算步驟.17.已知角滿足.（1）求的值；（2）若，求的值.18.已知集合.（1）當時，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.19.已知定義域為的函數(shù).（1）判斷的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義加以證明；（2）是否存在實數(shù)使函數(shù)為奇函數(shù)？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.20.果園占地約畝，擬選用果樹進行種植，在相同種植條件下，果樹每畝最多可種植棵，種植成本（萬元）與果樹數(shù)量（百棵）之間的關(guān)系如下表所示：（1）根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)判斷：與哪一個更適合作為與的函數(shù)模型；（2）已知該果園的年利潤（萬元）與，的關(guān)系為，則果樹數(shù)量為多少時年利潤最大？21.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）解關(guān)于的不等式.22.已知函數(shù)，（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性（不必證明）；（2）求證：函數(shù)在內(nèi)存在零點，且；（3）在（2）的條件下，求使不等式成立的整數(shù)的最大值.（參考數(shù)據(jù)：）高一數(shù)學試卷本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.全卷共150分，考試時間120分鐘.考生作答時將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效.注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名?準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整?筆跡清楚.3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙?試題卷上答題無效.4.作圖題可先使用2B鉛筆填涂，然后用黑色字跡的簽字筆描黑.5.保持卡面清潔，不要折疊?不要弄破?弄皺，不準使用涂改液?修正帶?刮紙刀.第I卷一?單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合R，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)補集、交集的定義進行計算即可.【詳解】由得；又，所以.故選：A.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題和存在量詞命題的關(guān)系直接寫出原命題的否定.【詳解】原命題的否定是：，.故選：B3.若角的終邊上有一點，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由三角函數(shù)定義列方程即可得解.【詳解】由題意結(jié)合三角函數(shù)定義得，解得.故選：D.4.函數(shù)的零點的個數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】時，可以直接求出零點，時，通過圖象即可得出零點個數(shù)，進而得出結(jié)果.【詳解】當時，令，解得或（舍），所以時，有一個零點；當時，令，得，作和圖象如下，所以時，有兩個零點.綜上，共有3個零點.故選：C5.已知，則，且與，且的圖象可能為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用對數(shù)運算得到，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷選項.【詳解】因為，所以，，若，則，排除C，若，則，排除AB.故選：D6.設，命題，命題，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由題意通過作差法得出命題的充要條件為，結(jié)合充分不必要條件的定義即可得解.【詳解】由題意，即命題的充要條件為，所以命題是命題的充分不必要條件.故選：A.7.2023年10月26日11時14分，搭載神舟十七號載人飛船的長征二號遙十七運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射，成功入軌.這次任務是我國載人航天工程進入空間站應用與發(fā)展階段的第2次載人飛行任務，是工程立項實施以來的第30次發(fā)射任務，也是長征系列運載火箭的第493次飛行.設火箭質(zhì)量是箭體質(zhì)量與燃料質(zhì)量的和，在不考慮空氣阻力的條件下，燃料質(zhì)量不同的火箭的最大速度之差與火箭質(zhì)量的自然對數(shù)之差成正比.已知某火箭的箭體質(zhì)量為，當燃料質(zhì)量為時，該火箭的最大速度為；當燃料質(zhì)量為時，該火箭的最大速度為；當燃料質(zhì)量為時，則火箭的最大速度為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】燃料質(zhì)量不同的火箭的最大速度之差與火箭質(zhì)量的自然對數(shù)之差成正比，可設出函數(shù)模型，代入可得函數(shù)解析式，進而得解.【詳解】設當燃料質(zhì)量為時，火箭的最大速度為，則，又當燃料質(zhì)量為時，該火箭的最大速度為；當燃料質(zhì)量為時，該火箭的最大速度為；所以，解得，所以，令，則，，故選：C.8.已知函數(shù)，，，使成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性與最值情況，所以，，根據(jù)不等式能成立，可得，，所以，可得，進而可得參數(shù)范圍.【詳解】由已知當時，，當且僅當，即時等號成立，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，所以在上的最大值為，又，，使成立，即，所以，使，即在上的最大值，即，解得或，又，所以，故選：A.二.多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對得2分.9.已知下列等式的左右兩邊都有意義，則下列等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】對于A、B，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進行化簡證明即可，對于C、D，由誘導公式進行化簡證明即可.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：ABC.10.已知，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】對于A，C，利用特殊值進行判斷；對于B，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行判斷；對于D，根據(jù)的范圍判斷的符號.【詳解】對于A，C，由，令，則，，故A，C錯誤；對于B，由，，，所以，故B正確；對于D，由，得，，，所以，故D正確.故選：BD.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)值域為B.函數(shù)是增函數(shù)C.不等式的解集為D.【答案】ACD【解析】【分析】對于A，令，利用換元法和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得；對于B，令由復合函數(shù)的單調(diào)性進行判斷即可；對于C，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性進行解不等式；對于D，由即可求解.【詳解】對于A，令，又因為在上遞增，所以，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，的值域為R，故A正確；對于B，因為在上遞增，在上遞減，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，為減函數(shù)，故B錯誤；對于C，因為的定義域為，且,，所以為奇函數(shù)，且在上為減函數(shù)，不等式等價于即，等價于，解得，故C正確；對于D，因為且，所以，故D正確.故選：ACD.12.定義在上的函數(shù)，對，均有，當時，，令，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)對，均有，且，令，即可得的值，從而判斷A；令得，則，于是可化簡的式子，從而可判斷B；令，結(jié)合當時，，可得，則可得的大小關(guān)系，從而可判斷C；利用歸納法推出，從而可判斷D.【詳解】對，均有，令可得，所以，則，故A正確；，可令得，所以，則，故B不正確；令，可得，因為當時，，又，所以，故，所以，所以，則，故C不正確；令，得，則，，以此類推可得：，所以，故D正確.故選：AD.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用合理賦值、作差法并結(jié)合其所給性質(zhì)逐項分析即可.第II卷二?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把正確答案寫在答題卡相應題的橫線上.13.函數(shù)，且的圖象恒過定點，點又在冪函數(shù)的圖象上，則__________.【答案】4【解析】【分析】由已知求出定點的坐標，根據(jù)待定系數(shù)法求出，從而可得結(jié)果.【詳解】由，得，所以定點，設，又，得，所以，所以，故答案為：4.14.若扇形的周長為，面積為，圓心角為，則__________.【答案】【解析】【分析】由扇形的周長和面積公式進行求解即可.【詳解】設扇形的半徑為，因為扇形的周長為，扇形的面積為，由得，或，又因為，所以.故答案為：.15.若關(guān)于的不等式恰有個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】分和兩種情況作出圖象，根據(jù)不等式的解集即可求解.【詳解】當時，作出和的圖象，由圖像可知沒有整數(shù)解，不符合題意；當時，作出和的圖象，因為恰有個整數(shù)解，所以是不等式的整數(shù)解，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：16.用表示中的較大者，記為.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有8個相異實根，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】由題意設，根據(jù)對稱軸、單調(diào)性等知識畫出圖象，由題意當且僅當是關(guān)于的方程的兩個根，，進一步換元分離參數(shù)，并結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】由題意設，由此可知的對稱軸均為，且當時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，且，由此可以畫出這兩函數(shù)的大致圖像如圖所示：所以，所以直線與函數(shù)至多有4個不同交點，關(guān)于的方程至多有2個不同的根，由題意若關(guān)于的方程有8個相異實根，則當且僅當兩個關(guān)于的方程共有8個不同的根，其中，是關(guān)于的方程的兩個根，令，則關(guān)于的方程有兩個不同的根，即有兩個不同的根，設，由對勾函數(shù)性質(zhì)得，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以，，所以有兩個不同的根，當且僅當，綜上所述：實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：關(guān)鍵是分析出直線與函數(shù)至多有4個不同的交點，關(guān)于的方程至多有2個不同的根，由此可將題目等價轉(zhuǎn)換為有兩個不同的根，從而即可順利得解.四?解答題：共70分，解答應寫出文字說明?解答過程或演算步驟.17.已知角滿足.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用誘導公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系進行化簡，再由即可得到結(jié)果.（2）由及，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】原式，，原式.【小問2詳解】，且，，.18.已知集合.（1）當時，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化簡集合，利用并集運算求解即可；（2）由可得，然后利用與兩種情況討論即可.【小問1詳解】，且，，，當時，，.【小問2詳解】.由（1）知，又.則當即時，，要使，則得.當即時，，滿足.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為19.已知定義域為的函數(shù).（1）判斷的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義加以證明；（2）是否存在實數(shù)使函數(shù)為奇函數(shù)？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.【答案】（1）是上的增函數(shù)，證明見解析（2）存在實數(shù)【解析】【分析】（1）根據(jù)單調(diào)性的定義直接證明即可；（2）法一：利用奇函數(shù)的定義可得參數(shù)值；法二：利用特值法，令可得解.【小問1詳解】由可知，是上的增函數(shù).證明：設，且，則，在上單調(diào)遞增，且，，即，又，，，即，當為任意實數(shù)時，是上的增函數(shù).【小問2詳解】法一：假設存在實數(shù)使為奇函數(shù).對，由得.，即.，，存在實數(shù)使為奇函數(shù).法二：假設存在實數(shù)使為奇函數(shù).的定義域為，，，當時，，則，存在實數(shù)使為奇函數(shù).20.果園占地約畝，擬選用果樹進行種植，在相同種植條件下，果樹每畝最多可種植棵，種植成本（萬元）與果樹數(shù)量（百棵）之間的關(guān)系如下表所示：（1）根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)判斷：與哪一個更適合作為與的函數(shù)模型；（2）已知該果園的年利潤（萬元）與，的關(guān)系為，則果樹數(shù)量為多少時年利潤最大？【答案】（1）比更適合作為與的函數(shù)模型.（2）百棵【解析】【分析】（1）分別代入數(shù)據(jù)，確定對應回歸方程，進而確定模型；（2）根據(jù)確定的函數(shù)模型，進而可得，再利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得最值情況.【小問1詳解】①若選擇作為與的函數(shù)模型：將點，的坐標分別帶入，得，解得，所以，此時當時，，當時，，所得數(shù)據(jù)分別與表格中的和相差較大.②若選擇作為與的函數(shù)模型：將，的坐標分