2021新高考數(shù)學(xué)新課程一輪復(fù)習(xí)學(xué)案第三章第3講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

第3講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)[考綱解讀]1.熟練掌握正弦、余弦及正切函數(shù)的圖象，并能根據(jù)圖象得出三角函數(shù)的性質(zhì)．(重點(diǎn))2.掌握正弦、余弦函數(shù)在[0,2π]上的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值等)，并理解正切函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的單調(diào)性．(重點(diǎn)、難點(diǎn))[考向預(yù)測]從近三年高考情況來看，本講是高考中的一個熱點(diǎn)內(nèi)容．預(yù)測2021年會與三角恒等變換結(jié)合考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，尤其是周期性、單調(diào)性及最值問題，同時也要注意對稱軸及對稱中心的應(yīng)用．題型常以客觀題的形式呈現(xiàn)，有時也會出現(xiàn)于解答題中，難度屬中、低檔題型.1．用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象上，五個關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象上，五個關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RReq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x∈R，且x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z值域eq\o(□,\s\up4(01))[－1,1]eq\o(□,\s\up4(02))[－1,1]eq\o(□,\s\up4(03))R最值當(dāng)x＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)時，ymax＝1；當(dāng)x＝eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)時，ymin＝－1當(dāng)x＝2kπ(k∈Z)時，ymax＝1；當(dāng)x＝π＋2kπ(k∈Z)時，ymin＝－1x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，,\f(π,2)＋kπ))，k∈Z，無最大值，也無最小值周期2kπ，k∈Z2kπ，k∈Zkπ，k∈Z奇偶性eq\o(□,\s\up4(04))奇函數(shù)eq\o(□,\s\up4(05))偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在eq\o(□,\s\up4(06))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)上遞增；在eq\o(□,\s\up4(07))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)上遞減在eq\o(□,\s\up4(08))[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上遞增；在eq\o(□,\s\up4(09))[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上遞減在eq\o(□,\s\up4(10))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上遞增續(xù)表函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx對稱性對稱中心eq\o(□,\s\up4(11))(kπ，0)，k∈Zeq\o(□,\s\up4(12))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Zeq\o(□,\s\up4(13))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z對稱軸eq\o(□,\s\up4(14))直線x＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Zeq\o(□,\s\up4(15))直線x＝kπ，k∈Z無對稱軸1．概念辨析(1)y＝tanx在整個定義域上是增函數(shù)．()(2)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個周期．()(3)函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的最小正周期為2π.()(4)sin20°<sin70°<sin120°.()(5)三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，偶函數(shù)一般可化為y＝Acosωx＋b的形式．()答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√2．小題熱身(1)函數(shù)y＝tan2x的定義域是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z)))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,8)，k∈Z))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,8)，k∈Z)))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,4)，k∈Z))))答案D解析由2x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得x≠eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)，k∈Z，所以y＝tan2x的定義域是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,4)，k∈Z)))).(2)下列函數(shù)中，最小正周期為π且圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)是()A．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))) B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))C．y＝tan2x D．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))答案A解析對于A，y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝－sin2x，最小正周期為π且圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；對于B，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝cos2x的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱；對于C，y＝tan2x的周期是eq\f(π,2)；對于D，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱．(3)函數(shù)y＝1－2cosx的單調(diào)遞減區(qū)間是________．答案[2kπ－π，2kπ](k∈Z)解析y＝1－2cosx的單調(diào)遞減區(qū)間就是y＝cosx的單調(diào)遞增區(qū)間，即[2kπ－π，2kπ](k∈Z)．(4)函數(shù)y＝3－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的最大值為________，此時x＝________.答案5eq\f(5π,4)＋2kπ(k∈Z)解析函數(shù)y＝3－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的最大值為3＋2＝5，此時x＋eq\f(π,4)＝eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，即x＝eq\f(5π,4)＋2kπ(k∈Z).題型一三角函數(shù)的定義域和值域1．函數(shù)y＝lg(sin2x)＋eq\r(9－x2)的定義域?yàn)開_______．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2x>0，,9－x2≥0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ<x<kπ＋\f(π,2)，k∈Z，,－3≤x≤3，))所以－3≤x＜－eq\f(π,2)或0<x<eq\f(π,2).所以函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).2．(2019·吉安模擬)函數(shù)f(x)＝sin3x＋3cos2xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,2)))))的值域?yàn)開_______．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(6－3\r(3),8)，3))解析由題意得f(x)＝sin3x＋3cos2x＝sin3x＋3(1－sin2x)＝sin3x－3sin2x＋3，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,2)))，令t＝sinx，則t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1))，所以g(t)＝t3－3t2＋3，t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1))，則g′(t)＝3t2－6t＝3t(t－2)，當(dāng)－eq\f(\r(3),2)<t<0時，g′(t)>0，當(dāng)0<t<1時，g′(t)<0.所以y＝g(t)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，0))上單調(diào)遞增，在[0,1]上單調(diào)遞減．又geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝eq\f(6－3\r(3),8)，g(0)＝3，g(1)＝1.所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(6－3\r(3),8)，3)).3．(2019·長沙質(zhì)檢)函數(shù)y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域?yàn)開_______．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\r(2)，1))解析令t＝sinx－cosx，則t＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]．由(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx得sinxcosx＝eq\f(1,2)(1－t2)，所以y＝t＋eq\f(1,2)(1－t2)，t∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]的值域即為所求．因?yàn)閥＝t＋eq\f(1,2)(1－t2)＝－eq\f(1,2)(t－1)2＋1，當(dāng)t＝－eq\r(2)時，ymin＝－eq\f(1,2)－eq\r(2)，當(dāng)t＝1時，ymax＝1，所以原函數(shù)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\r(2)，1)).1.三角函數(shù)定義域的求法求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解．如舉例說明1.2.三角函數(shù)最值或值域的三種求法直接法直接利用sinx和cosx的值域求解化一法把所給三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k(或y＝Acos(ωx＋φ)＋k)的形式，由正弦(或余弦)函數(shù)的單調(diào)性寫出函數(shù)的值域換元法把sinx，cosx，sinxcosx或sinx±cosx換成t，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或其他函數(shù)的值域問題求解．如舉例說明2,31．函數(shù)y＝eq\r(tanx)＋eq\r(－cosx)的定義域?yàn)開_______．答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋π≤x＜2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z))))解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanx≥0，,－cosx≥0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanx≥0，,cosx≤0.))所以2kπ＋π≤x<2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z.所以y＝eq\r(tanx)＋eq\r(－cosx)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋π≤x＜2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z)))).2.(2020·湖北七市聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)在[0，π]內(nèi)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(2),2)))，則ω的取值范圍是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,2)))解析當(dāng)x∈[0，π]時，ωx＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，ωπ＋\f(π,4)))，又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(2),2)))，所以可得ωπ＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(7π,4)))，解得ω∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,2))).題型二三角函數(shù)的單調(diào)性1．(2019·全國卷Ⅱ)下列函數(shù)中，以eq\f(π,2)為周期且在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上單調(diào)遞增的是()A．f(x)＝|cos2x| B．f(x)＝|sin2x|C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|答案A解析作出函數(shù)f(x)＝|cos2x|的圖象，如圖．由圖象可知f(x)＝|cos2x|的周期為eq\f(π,2)，在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上單調(diào)遞增．同理可得f(x)＝|sin2x|的周期為eq\f(π,2)，在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上單調(diào)遞減，f(x)＝cos|x|的周期為2π.f(x)＝sin|x|不是周期函數(shù)，排除B，C，D.故選A.2．已知eq\f(π,3)為函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))的零點(diǎn)，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(5π,12)，2kπ＋\f(π,12)))(k∈Z)B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,12)，2kπ＋\f(7π,12)))(k∈Z)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(5π,12)，kπ＋\f(π,12)))(k∈Z)D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,12)，kπ＋\f(7π,12)))(k∈Z)答案C解析由于eq\f(π,3)為函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))的零點(diǎn)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝0，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋φ))＝0，解得φ＝eq\f(π,3)，故f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，令－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，解得kπ－eq\f(5π,12)≤x≤kπ＋eq\f(π,12)(k∈Z)，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(5π,12)，kπ＋\f(π,12)))(k∈Z)．條件探究將本例中的函數(shù)的定義域改為[0，π]，則其單調(diào)遞增區(qū)間為________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,12)))和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)，π))解析記A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(5π,12)≤x≤kπ＋\f(π,12)，k∈Z))))，B＝[0，π]．觀察數(shù)軸可知A∩B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,12)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)，π))，所以函數(shù)y＝f(x)，x∈[0，π]的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,12)))和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)，π)).3．若已知ω>0，函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(7,4)))解析函數(shù)y＝cosx的單調(diào)遞增區(qū)間為[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z.則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(ωπ,2)＋\f(π,4)≥－π＋2kπ，,ωπ＋\f(π,4)≤2kπ，))k∈Z，解得4k－eq\f(5,2)≤ω≤2k－eq\f(1,4)，k∈Z，又由4k－eq\f(5,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k－\f(1,4)))≤0，k∈Z，且4k－eq\f(5,2)>0，k∈Z，得k＝1，所以ω∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(7,4))).求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法(1)復(fù)合函數(shù)法(2)圖象法畫出三角函數(shù)的正、余弦曲線，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間．如舉例說明1.1．(2019·中山模擬)函數(shù)f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,6)))的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(2π,3)，2kπ＋\f(4π,3)))，k∈ZB.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(2π,3)，2kπ＋\f(4π,3)))，k∈ZC.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4kπ－\f(2π,3)，4kπ＋\f(4π,3)))，k∈ZD.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4kπ－\f(2π,3)，4kπ＋\f(4π,3)))，k∈Z答案B解析由kπ－eq\f(π,2)<eq\f(x,2)－eq\f(π,6)<kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得2kπ－eq\f(2π,3)<x<2kπ＋eq\f(4π,3)，k∈Z.所以函數(shù)f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,6)))的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(2π,3)，2kπ＋\f(4π,3)))，k∈Z.2．已知函數(shù)f(x)＝x2－cosx，則f(0.6)，f(0)，f(－0.5)的大小關(guān)系是()A．f(0)<f(0.6)<f(－0.5)B．f(0)<f(－0.5)<f(0.6)C．f(0.6)<f(－0.5)<f(0)D．f(－0.5)<f(0)<f(0.6)答案B解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2－cosx是偶函數(shù)，且在(0，π)上是增函數(shù)，所以f(0)<f(0.5)＝f(－0.5)<f(0.6)，故選B.3．(2019·天津市紅橋區(qū)模擬)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]上是減函數(shù)，則a的最大值是________．答案eq\f(π,4)解析f(x)＝cosx－sinx＝－(sinx－cosx)＝－eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4))).由－eq\f(π,2)＋2kπ≤x－eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq\f(π,4)＋2kπ≤x≤eq\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z，取k＝0，得f(x)的一個減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4))).由f(x)在[－a，a]上是減函數(shù)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a≥－\f(π,4)，,a≤\f(3π,4)，))∴a≤eq\f(π,4)，故a的最大值為eq\f(π,4).題型三三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性角度1三角函數(shù)的周期性1．(2018·全國卷Ⅲ)函數(shù)f(x)＝eq\f(tanx,1＋tan2x)的最小正周期為()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,2)C．π D．2π答案C解析由已知得f(x)＝eq\f(tanx,1＋tan2x)＝eq\f(\f(sinx,cosx),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,cosx)))2)＝sinxcosx＝eq\f(1,2)sin2x，所以f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.故選C.角度2三角函數(shù)的奇偶性2．若函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋φ－\f(π,3)))(0<φ<π)是奇函數(shù)，則φ＝________.答案eq\f(5π,6)解析因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以φ－eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，φ＝eq\f(5π,6)＋kπ，k∈Z.又因?yàn)?<φ<π，故φ＝eq\f(5π,6).角度3三角函數(shù)圖象的對稱性3．(2019·廣東七校聯(lián)考)已知函數(shù)y＝sin(2x＋φ)在x＝eq\f(π,6)處取得最大值，則函數(shù)y＝cos(2x＋φ)的圖象()A．關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))對稱 B．關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))對稱C．關(guān)于直線x＝eq\f(π,6)對稱 D．關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對稱答案A解析因?yàn)楹瘮?shù)y＝sin(2x＋φ)在x＝eq\f(π,6)處取得最大值，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ))＝1.所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ))＝0.所以函數(shù)y＝cos(2x＋φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))對稱．1.周期的計(jì)算方法利用函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期為eq\f(2π,ω)，函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期為eq\f(π,ω)求解．如舉例說明1.2．函數(shù)具有奇偶性的充要條件函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函數(shù)?φ＝kπ(k∈Z)；函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函數(shù)?φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函數(shù)?φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．如舉例說明2；函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函數(shù)?φ＝kπ(k∈Z)．3．與三角函數(shù)有關(guān)的圖象的對稱性問題對于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，其圖象的對稱軸一定經(jīng)過函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對稱中心一定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此在判斷直線x＝x0或點(diǎn)(x0,0)是否是函數(shù)圖象的對稱軸或?qū)ΨQ中心時，可通過檢驗(yàn)f(x0)的值進(jìn)行判斷．如舉例說明3.1．(2019·北京中關(guān)村中學(xué)月考)下列函數(shù)中，對任意的x∈R，同時滿足條件f(x)＝f(－x)和f(x－π)＝f(x)的函數(shù)是()A．f(x)＝sinx B．f(x)＝sinxcosxC．f(x)＝cosx D．f(x)＝cos2x－sin2x答案D解析由f(x)＝f(－x)可知函數(shù)是偶函數(shù)，且f(x－π)＝f(x)，則函數(shù)的周期為π.A項(xiàng)中的函數(shù)是奇函數(shù)，故錯誤；B項(xiàng)中f(x)＝sinxcosx＝eq\f(1,2)sin2x，為奇函數(shù)，故錯誤；C項(xiàng)中的函數(shù)為偶函數(shù)，但是該函數(shù)的周期為2π，故錯誤；D項(xiàng)中f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x，該函數(shù)是周期為π的偶函數(shù)，故選D.2．關(guān)于函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，下列說法正確的是()A．是奇函數(shù)B．在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上單調(diào)遞減C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))為其圖象的一個對稱中心D．最小正周期為π答案C解析y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))是非奇非偶函數(shù)，A錯誤；y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上單調(diào)遞增，B錯誤；由2x－eq\f(π,3)＝eq\f(kπ,2)得x＝eq\f(kπ,4)＋eq\f(π,6)(k∈Z)，得函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,4)＋\f(π,6)，0))，k∈Z，故C正確；函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的最小正周期為eq\f(π,2)，D錯誤．3．(2019·遼寧遼陽一模)已知偶函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ－\f(π,6)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，\f(π,2)<φ<π))的圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為eq\f(π,2)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)))＝()A.eq\f(\r(2),2) B．－eq\r(2)C．－eq\r(3) D.eq\r(2)答案B解析因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以φ－eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即φ＝kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)．又由題知eq\f(π,2)<φ<π，所以φ＝eq\f(2π,3)，則f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(2π,3)－\f(π,6)))＝2cosωx，又eq\f(2π,ω)＝2×eq\f(π,2)，所以ω＝2，故f(x)＝2cos2x，因此feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)))＝2coseq\f(3π,4)＝－eq\r(2).故選B.高頻考點(diǎn)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)考點(diǎn)分析觀近年高考中三角函數(shù)的試題，其有關(guān)性質(zhì)幾乎每年必考，題目較為簡單，綜合的知識多數(shù)為三角函數(shù)本章內(nèi)的知識，通過有效地復(fù)習(xí)完全可以掌握此類題型的解法，并在高考中拿全分．[典例1](2017·全國卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，則下列結(jié)論錯誤的是()A．f(x)的一個周期為－2πB．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(8π,3)對稱C．f(x＋π)的一個零點(diǎn)為x＝eq\f(π,6)D．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上單調(diào)遞減答案D解析因?yàn)閒(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的周期為2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一個周期為－2π，A正確．因?yàn)閒(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的圖象的對稱軸為直線x＝kπ－eq\f(π,3)(k∈Z)，所以y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(8π,3)對稱，B正確．f(x＋π)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4π,3))).令x＋eq\f(4π,3)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得x＝kπ－eq\f(5,6)π(k∈Z)，當(dāng)k＝1時，x＝eq\f(π,6)，所以f(x＋π)的一個零點(diǎn)為x＝eq\f(π,6)，C正確．因?yàn)閒(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)，遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋