吉林省長(zhǎng)白朝鮮族自治縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試卷

高二年級(jí)上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試卷一：選擇題（每小題5分，12小題共計(jì)60分）1．下列說(shuō)法正確的是（）A．有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱B．三棱錐的四個(gè)面都可以是直角三角形C．有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)D．以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐2．某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積是（）A． B．7 C． D．3．設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，且，（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．球面上有四個(gè)點(diǎn)，若兩兩垂直，且，則該球的表面積為（）A． B． C． D．5．在三棱錐中，已知所有棱長(zhǎng)均為，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．6．如圖，點(diǎn)為正方形的中心，為正三角形，平面平面是線段的中點(diǎn)，則（）A．，且直線是相交直線B．，且直線是相交直線C．，且直線是異面直線D．，且直線是異面直線7．如圖，在三棱柱中，M，N分別為棱，的中點(diǎn)，過(guò)作一平面分別交底面三角形的邊，于點(diǎn)E，F(xiàn)，則（）A．B．四邊形為梯形C．四邊形為平行四邊形D．8．直線的斜率為（）A． B． C． D．9．過(guò)直線和的交點(diǎn)，且與直線平行的直線方程是（）A． B． C． D．10．已知直線y＝2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線，若點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(－4，2)，(3，1)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()A．(－2，4) B．(－2，－4) C．(2，4) D．(2，－4)11．直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是A． B． C． D．12．阿波羅尼斯是亞歷山大時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家，“阿波羅尼斯圓”是他的主要研究成果之一：若動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比為(，且)，則點(diǎn)的軌跡就是圓，事實(shí)上，互換該定理中的部分題設(shè)和結(jié)論，命題依然成立.已知點(diǎn)，點(diǎn)為圓：上的點(diǎn)，若存在軸上的定點(diǎn)和常數(shù)，對(duì)滿足已知條件的點(diǎn)均有，則（）A．1 B． C． D．二：填空題（每小題5分，共4小題20分）13．已知圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為90°，則該圓錐的底面半徑與母線長(zhǎng)的比為_(kāi)_______.14．如圖，在三棱錐中，點(diǎn)，，分別在棱，，上，且平面平面，若，則與的面積之比為_(kāi)_____.15．已知直線：與：垂直，則的值是__________.16．以點(diǎn)P（1，1）為圓心，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)___________．三：解答題（共計(jì)70分）17．（本小題12分）如圖，在四棱錐QUOTE中，底面四邊形QUOTE滿足QUOTE，且QUOTE，QUOTE，點(diǎn)QUOTE和QUOTE分別為棱QUOTE和QUOTE的中點(diǎn)．（1）求證：QUOTE平面QUOTE；（2）求證：平面QUOTE平面QUOTE．18．（本小題12分）如圖,直三棱柱中,分別為的中點(diǎn).(1)證明:平面;(2)求與平面所成角的正弦值.19．（本小題10分）求兩條垂直的直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)．求平行于直線，且與它的距離為的直線方程．20．（本小題12分）已知點(diǎn)，求：（1）直線的方程；（2）以線段為直徑的圓的方程.21．（本小題12分）平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，.（1）求邊上的高所在的直線方程；（2）求的面積.22．（本小題12分）養(yǎng)路處建造圓錐形倉(cāng)庫(kù)（無(wú)底）用于貯藏食鹽（供融化高速公路上的積雪之用），已建的倉(cāng)庫(kù)的底面直徑為，高.養(yǎng)路處擬建一個(gè)更大的圓錐形倉(cāng)庫(kù)，以存放更多食鹽.現(xiàn)有兩種方案：一是新建的倉(cāng)庫(kù)的底面直徑比原來(lái)大（高不變）；二是高度增加（底面直徑不變）.（1）分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉(cāng)庫(kù)的體積；（2）分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉(cāng)庫(kù)的表面積；（3）哪個(gè)方案更經(jīng)濟(jì)些高二第二次月考數(shù)學(xué)參考答案1．B【解析】【分析】對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即得答案.【詳解】如圖所示對(duì)，如圖（1），將兩個(gè)相同的斜平行六面體疊放，符合條件但卻不是棱柱，故錯(cuò)誤；對(duì)，如圖（2），底面，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，則三棱錐的四個(gè)面都是直角三角形.故正確；對(duì)，如圖（3），延長(zhǎng)其側(cè)棱不交于一點(diǎn)，符合條件但卻不是棱臺(tái)，故錯(cuò)誤；對(duì)，如圖（4），以直角的斜邊為軸旋轉(zhuǎn)得到的是兩個(gè)對(duì)底的圓錐，故錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)和圓錐的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題.2．D【解析】【分析】由三視圖可知該幾何體是由一個(gè)正方體截去一個(gè)三棱錐后剩余的部分，然后計(jì)算體積即可.【詳解】如圖，由三視圖可知該幾何體是由邊長(zhǎng)為2的正方體截去三棱錐后剩余的部分，其中點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，則所求體積為.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查利用空間幾何體的三視圖求體積，考查空間想象能力和計(jì)算能力，解題關(guān)鍵是判斷出幾何體的形狀，屬于?？碱}．3．A【解析】試題分析：由面面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一平面的一條垂線，則兩面垂直，可得，可得考點(diǎn)：空間線面平行垂直的判定與性質(zhì)4．D【解析】【詳解】【分析】分析：首先求得外接球半徑，然后求解其表面積即可.詳解：由題意可知，該球是一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體的外接球，設(shè)球的半徑為，由題意可得：,據(jù)此可得：，外接球的表面積為：.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.5．A【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接、，于是得到異面直線與所成的角為，然后計(jì)算出的三條邊長(zhǎng)，并利用余弦定理計(jì)算出，即可得出答案．【詳解】如下圖所示，取的中點(diǎn)，連接、，由于、分別為、的中點(diǎn)，則，且，所以，異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角，三棱錐是邊長(zhǎng)為的正四面體，則、均是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，為的中點(diǎn)，則，且，同理可得，在中，由余弦定理得，因此，異面直線與所成角的余弦值為，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的計(jì)算，利用平移法求異面直線所成角的基本步驟如下：（1）一作：平移直線，找出異面直線所成的角；（2）二證：對(duì)異面直線所成的角進(jìn)行說(shuō)明；（3）三計(jì)算：選擇合適的三角形，并計(jì)算出三角形的邊長(zhǎng)，利用余弦定理計(jì)算所求的角．6．B【解析】【分析】利用垂直關(guān)系，再結(jié)合勾股定理進(jìn)而解決問(wèn)題．【詳解】如圖所示，作于，連接，過(guò)作于．連，平面平面．平面，平面，平面，與均為直角三角形．設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，易知，．，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查空間想象能力和計(jì)算能力，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角性．7．B【解析】【分析】由已知條件及線面平行的性質(zhì)可得且，可得四邊形為梯形，可得答案.【詳解】解：∵在中，，，，.又平面，平面，平面.又平面，平面平面，，.顯然在中，，，∴四邊形為梯形.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面平行的性質(zhì)定理，需注意其靈活運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題型.8．A【解析】【分析】將直線方程整理為斜截式，然后確定其斜率即可.【詳解】直線方程即：，整理為斜截式即，據(jù)此可知直線的斜率為.本題選擇A選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查直線斜率的計(jì)算，特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.9．B【解析】【分析】解方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo).設(shè)所求直線的方程為，把交點(diǎn)坐標(biāo)代入，求出，即得所求直線的方程.【詳解】解方程組得，即交點(diǎn)坐標(biāo)為.所求直線與直線平行，設(shè)所求直線的方程為，把點(diǎn)代入得，所以所求直線的方程為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查直線的方程，屬于基礎(chǔ)題.10．C【解析】【分析】求出A(－4，2)關(guān)于直線y＝2x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x，y)，可寫(xiě)出BC所在直線方程，與直線y＝2x聯(lián)立，即可求出C點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】設(shè)A(－4，2)關(guān)于直線y＝2x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x，y)，則，解得∴BC所在直線方程為y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.聯(lián)立直線y=2x，解得，則C(2，4)．故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，屬于中檔題.11．A【解析】分析：先求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)得到再計(jì)算圓心到直線距離，得到點(diǎn)P到直線距離范圍，由面積公式計(jì)算即可詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn),則點(diǎn)P在圓上圓心為（2，0），則圓心到直線距離故點(diǎn)P到直線的距離的范圍為則故答案選A.點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題．12．B【解析】【分析】作出圖形，由已知可得，代入坐標(biāo)可得選項(xiàng).【詳解】如下圖所示，由于圓上的任意一點(diǎn)均有，所以A,B兩點(diǎn)也滿足該關(guān)系式.，，，，，解得，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查曲線的新定義，關(guān)鍵在于理解和運(yùn)用新定義，屬于中檔題.13．【解析】【分析】由題意知圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是以母線為半徑的圓，由它的弧對(duì)應(yīng)圓錐底面的周長(zhǎng)即可求底面半徑與母線長(zhǎng)的比；【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)是R，則扇形的弧長(zhǎng)是，設(shè)底面半徑是r，則，所以，所以圓錐的底面半徑與母線長(zhǎng)的比為1∶4.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐，利用圓錐側(cè)面展開(kāi)扇形的弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)求母線與底面半徑的比；14．【解析】【分析】利用面面平行的性質(zhì)定理可得，從而可得，，根據(jù)相似三角形的面積比等于邊長(zhǎng)比的平方即可.【詳解】由平面平面，可得，所以，同理，所以∽的面積之比為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了面面平行的性質(zhì)定理，掌握定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.15．1或4【解析】直線與垂直，，化簡(jiǎn)可得，解得k=1或k=4.16．【解析】【分析】已知圓的圓心，且圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以圓心到原點(diǎn)的距離就是圓的半徑，然后直接代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．【詳解】∵P（1，1）為圓心，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，∴半徑r=，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解答此題的關(guān)鍵是求出圓的半徑，是基礎(chǔ)題．17．（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）先證明QUOTE∥平面QUOTE，QUOTE∥平面QUOTE，進(jìn)而得到平面QUOTE∥平面QUOTE，然后根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得結(jié)論成立．（2）先證明QUOTE平面QUOTE，根據(jù)QUOTE∥QUOTE，可得QUOTE平面QUOTE，于是可得面面垂直．【詳解】（1）在底面四邊形QUOTE中，由QUOTE，可得QUOTE∥QUOTE；又QUOTE，QUOTE為QUOTE的中點(diǎn)，所以QUOTE，從而四邊形QUOTE為平行四邊形，所以QUOTE∥QUOTE，又QUOTE平面QUOTE，QUOTE平面QUOTE，所以QUOTE∥平面QUOTE．由題意，QUOTE是QUOTE的中位線，所以QUOTE∥QUOTE，又QUOTE平面QUOTE，QUOTE平面QUOTE，所以QUOTE∥平面QUOTE．又QUOTE與QUOTE是平面QUOTE內(nèi)兩相交直線，所以平面QUOTE∥平面QUOTE；因?yàn)镼UOTE平面QUOTE，所以QUOTE∥平面QUOTE．（2）由（1）知QUOTE∥QUOTE，因?yàn)镼UOTE，所以QUOTE，又QUOTE，且QUOTE是平面QUOTE內(nèi)兩相交直線，所以QUOTE平面QUOTE，從而QUOTE平面QUOTE，又QUOTE平面QUOTE，所以平面QUOTE平面QUOTE．【點(diǎn)睛】解答類(lèi)似問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形，并結(jié)合三種平行（垂直）間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系進(jìn)行求解，解題時(shí)注意解題步驟的完整性，特別是定理中的關(guān)鍵性詞語(yǔ)，在證題過(guò)程中要得到體現(xiàn)，屬于基礎(chǔ)題．18．（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】(1)法一：要證平面，只需證明即可，通過(guò)構(gòu)造平行四邊形可證之；法二：可先證平面平面，利用面面平行的性質(zhì)即可得到平面;（2）法一：由于即為與平面所成的角，利用數(shù)據(jù)求之；法二：（等積法）利用等積法計(jì)算出到平面的距離，從而要求的答案為：即可.【詳解】（1）法一：取中點(diǎn)，連接，在直三棱柱中，.∵為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴.∵平面，平面，∴平面.法二：取中點(diǎn)，連結(jié)，在直三棱柱中，.∵為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴.又平面，平面，∴平面.∵分別為中點(diǎn)，∴.又平面，平面，∴平面.平面平面.平面平面.（2）法一：直三棱柱中，平面，∴.又∵，且，∴平面.過(guò)作于.∵平面，∴.又平面.又即為與平面所成的角..法二：（等積法）與平面所成的角相等.連結(jié)，直三棱柱中，平面，∴.又平面.，.設(shè)到平面的距離為，.∵，即.設(shè)與平面所成的角為，.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行，線面角所成正弦值的相關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生的空間想象能力，分析能力，轉(zhuǎn)化能力，計(jì)算能力.19．（1）；（2）或.【解析】【分析】由題意利用兩條直線垂直的性質(zhì)，求得a的值，再聯(lián)立方程組求得兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo)．由題意利用用待定系數(shù)法設(shè)出直線的方程，再利用兩條平行線間的距離公式求得m的值，可得要求的直線的方程．【詳解】?jī)蓷l垂直的直線和，，解得，兩條垂直的直線：和，由，解得，故直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)．設(shè)平行于直線，且與它的距離為的直線方程為，則，解得，或，故所求直線方程為：，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩條直線平行與垂直的