振動理論與應(yīng)用第8章-彈性體的一維振動

返回總目錄制作與設(shè)計賈啟芬振動理論與應(yīng)用TheoryofVibrationwithApplications第8章彈性體的一維振動第8章彈性體的一維振動目錄返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動8.2桿的縱向受迫振動8.3梁的橫向自由振動8.4梁的橫向受迫振動8.5轉(zhuǎn)動慣量、剪切變形對梁振動的影響8.6軸向力作用對梁的橫向振動的影響

8.7梁橫向振動的近似解法

返回首頁TheoryofVibrationwithApplications第8章彈性體的一維振動8.1桿的縱向振動返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動8.1.1等直桿的縱向振動8.1.2固有頻率和主振型8.1.3主振型的正交性返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動8.1.1等直桿的縱向振動實際的振動系統(tǒng)，都具有連續(xù)分布的質(zhì)量與彈性，因此，稱之為彈性體系統(tǒng)。同時符合理想彈性體的基本假設(shè)，即均勻、各向同性服從虎克定律。由于確定彈性體上無數(shù)質(zhì)點的位置需要無限多個坐標，因此彈性體是具有無限多自由度的系統(tǒng)，它的振動規(guī)律要用時間和空間坐標的函數(shù)來描述，其運動方程是偏微分方程，但是在物理本質(zhì)上及振動的基本概念、分析方法上與有限多個自由度是相似的。

以桿的縱向作為x軸，在桿上x處取微元段dx返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動8.1.1等直桿的縱向振動均質(zhì)等截面細直桿，長為l，單位長度的質(zhì)量為，橫截面積為A，材料的彈性模量為E,如圖所示。設(shè)桿在縱向分布力q(x,t)的作用下作縱向振動時，其橫截面保持為平面，并且不計橫向變形。返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動8.1.1等直桿的縱向振動以桿的縱向作為x軸，在桿上x處取微元段dx，其左端縱向位移為u(x)，而右端即桿上x+dx處的縱向位移為應(yīng)力為N是x處軸的內(nèi)力應(yīng)變?yōu)閐x段的變形為返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動8.1.1等直桿的縱向振動微元段dx受力如圖。根據(jù)牛頓第二定律得到EA是常數(shù)，可寫成這是桿作縱向受迫振動方程，常稱為波動方程。表示彈性波沿桿的縱向傳播的速度返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動8.1.2固有頻率和主振型系統(tǒng)是無阻尼的，因此可象解有限多個自由度系統(tǒng)那樣，假設(shè)一個主振動模態(tài)即設(shè)系統(tǒng)按某一主振型振動時，其上所有質(zhì)點都做簡諧運動?？梢姉U上所有的點將同時經(jīng)過平衡位置，并同時達到極限位置。

得到桿的縱向自由振動微分方程為返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動8.1.2固有頻率和主振型即為桿的主振動的一般形式。

解可以用x的函數(shù)U(x)與t的諧函數(shù)的乘積表示，即返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動8.1.2固有頻率和主振型桿有無窮多個自由度系統(tǒng)，振型不再是折線而變成一條連續(xù)曲線。振型函數(shù)振動規(guī)律當(dāng)U(x)具有非零解，而且符合桿端邊界條件的情況下，求解值p2及振型函數(shù)U(x)稱為桿作縱向振動的特征值問題。p2為特征值，U(x)又稱為特征函數(shù)或主振型；而p是固有頻率。代入返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動8.1.2固有頻率和主振型解可表示為由桿的邊界條件，可以確定p2值及振型函數(shù)U(x)。返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動8.1.2固有頻率和主振型現(xiàn)在來確定各種簡單邊界條件下桿的固有頻率和主振型1.桿兩端固定的情況邊界條件為即兩端固定桿的頻率方程。由此解出固有頻率為相應(yīng)的主振型為返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動8.1.2固有頻率和主振型分別令i=1,2,3，可得系統(tǒng)的前三階固有頻率和相應(yīng)的主振型為桿的前三階主振型表示如圖所示。返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動8.1.2固有頻率和主振型2.桿的左端固定，右端自由的情況邊界條件為即為一端固定，一端自由桿的頻率方程。解出固有頻率為相應(yīng)的主振型為返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動8.1.2固有頻率和主振型3.桿的兩端都是自由的情況邊界條件為即為兩端自由桿的頻率方程。解出固有頻率為相應(yīng)的主振型為當(dāng)p=0時，對應(yīng)了桿的剛體振型。返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動8.1.2固有頻率和主振型例8-1一均質(zhì)等截面細直桿，長為l，單位長度的質(zhì)量為，橫截面積為A，材料的彈性模量為E。其一端固定，另一端連接彈簧常數(shù)為k的彈簧，試求桿的縱向振動的固有頻率及主振型。當(dāng)桿作縱向振動時，桿的右端的彈簧支承相當(dāng)于作用kU(l)之力。因此，邊界條件為解：桿的端部連接彈簧或帶有集中質(zhì)量時，稱復(fù)雜邊界條件。返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動8.1.2固有頻率和主振型頻率方程x=l處桿的抗壓剛度相應(yīng)于固有頻率pi的主振型為返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動8.1.2固有頻率和主振型相應(yīng)的主振型為當(dāng)時，相當(dāng)于固定端，有,即討論兩個極端的情況則頻率方程為若，相當(dāng)于自由端，即返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動8.1.2固有頻率和主振型例8-2與例8-1中所設(shè)參數(shù)相同的桿，若其一端固定，另一端附有集中質(zhì)量M如圖所示，試求桿作縱向振動時的固有頻率和主振型。當(dāng)桿作縱向振動時，附有集中質(zhì)量的一端相當(dāng)作用有慣性力因此桿的邊界條件為得到C=0解：此系統(tǒng)仍屬于復(fù)雜邊界條件問題。返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動8.1.2固有頻率和主振型得頻率方程無量綱因子質(zhì)量比相應(yīng)的主振型為返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動8.1.2固有頻率和主振型對于的情況，將很小，即桿的質(zhì)量遠小于集中質(zhì)量時，可以取則得到對于基頻情況，有其中是不計桿本身質(zhì)量時桿的抗壓剛度，以上結(jié)果與不計桿本身質(zhì)量而將其看成是單自由度系統(tǒng)所得的結(jié)果相同。

返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動8.1.3主振型的正交性因為不涉及主振型的具體形式，所以不對桿作任何設(shè)定。即桿的質(zhì)量密度、橫截面積等都可以是x的函數(shù)。因此可寫出桿的縱向振動微分方程式為這里只討論簡單邊界條件的桿的主振型的正交性。將桿的主振動的表達式代入取特征值問題的兩個解代入返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動8.1.3主振型的正交性乘以乘以分別沿桿長l對x積分，得再利用分部積分，可將式中左邊積分為返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動8.1.3主振型的正交性桿端簡單邊界條件總可以寫成1.固定端

2.自由端等于零相減，得就是桿的主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性。

返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動8.1.3主振型的正交性上二式則是桿的主振型關(guān)于剛度的正交性。返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動8.1.3主振型的正交性當(dāng)i=j時，式總能成立，令為第j階主質(zhì)量第j階主剛度

Kpj與Mpj的大小取決于第j階主振動中常數(shù)的選擇關(guān)系返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.1桿的縱向振動8.1.3主振型的正交性與多自由度系統(tǒng)相似，可將主振型函數(shù)Uj進行標準化。如果主振型中的常數(shù)按下列歸一化條件確定則得到的主振型稱為正則振型，這時相應(yīng)的第j階主剛度

返回首頁TheoryofVibrationwithApplications第8章彈性體的一維振動8.2桿的縱向受迫振動返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動8.2.1桿對初始條件的響應(yīng)8.2.2桿對任意激勵的響應(yīng)返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動8.2.1桿對初始條件的響應(yīng)與有限多自由度系統(tǒng)一樣，在對桿進行的縱向自由振動分析的基礎(chǔ)上，可以用振型疊加法求解桿對縱向任意激勵的響應(yīng)。桿的自由振動微分方程假定在給定的邊界條件下，已經(jīng)得到各階固有頻率及相應(yīng)的正則振型。根據(jù)類似于多自由系統(tǒng)的線性變換，設(shè)通解為第i階正則坐標第i階正則振型函數(shù)返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動8.2.1桿對初始條件的響應(yīng)通乘以并沿桿長l積分這就是以正則坐標表示的桿作縱向自由振動的運動方程。考慮到正交性條件及標準化條件，上式成為返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動8.2.1桿對初始條件的響應(yīng)設(shè)桿的初始條件為正則坐標變換乘以沿x桿長對積分，得將正交性和歸一化條件代入返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動8.2.1桿對初始條件的響應(yīng)得到桿以正則坐標表示下的對初始條件的響應(yīng)得到桿對初始條件的總響應(yīng)返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動8.2.1桿對初始條件的響應(yīng)例8-3一端固定，一端自由的等直桿，長為l。自由端受到軸向常拉力P的。設(shè)在t=0時突然去掉此力，求桿的縱向自由振動。桿的初始條件為桿的固有頻率及主振型為解：根據(jù)題意，t=0時桿內(nèi)的應(yīng)變?yōu)榉祷厥醉揟heoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動8.2.1桿對初始條件的響應(yīng)桿的固有頻率及主振型為將主振型代入歸一化條件，得得到正則振型為返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動8.2.1桿對初始條件的響應(yīng)得到正則坐標表示的初始條件為得到桿以正則坐標表示下的對初始條件的響應(yīng)于是桿的自由振動為返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動8.2.1桿對初始條件的響應(yīng)令x=l，其中，若將t=0代入上式，可得初始時自由端的位移。得桿的自由端的自由振動返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動8.2.1桿對初始條件的響應(yīng)此題也可以用直接求解方法解出。根據(jù)已解出的固有頻率及主振型函數(shù)可寫出桿的振動方程為常數(shù)Ai,Bi由初始條件確定。初始條件為再利用三角函數(shù)的正交性可得返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動8.2.1桿對初始條件的響應(yīng)三角函數(shù)的正交性

返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動8.2.2桿對任意激勵的響應(yīng)并沿桿長l積分受迫振動微分方程通乘以這就是在激勵q(x,t)作用下按正則坐標表示的桿的受迫振動的運動微分方程。利用正交性及歸一化的條件返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動8.2.2桿對任意激勵的響應(yīng)將形如上式的各個正則坐標表示的響應(yīng)代入,便得到桿的初始條件下對任意激勵的響應(yīng)為寫出第i個以正則坐標表示的響應(yīng)為。返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動8.2.2桿對任意激勵的響應(yīng)例8-4如圖所示兩端固定的桿，突然受到均布縱向力q(常數(shù))的作用，試求其響應(yīng)。設(shè)初始條件均為零。解：得該桿的固有頻率和主振型為將主振型代入歸一化條件，得返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動8.2.2桿對任意激勵的響應(yīng)考慮到q為常量，并且初始條件均為零，得得到正則振型為返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動8.2.2桿對任意激勵的響應(yīng)例8-5圖示的等直桿在自由端作用有簡諧激振力，其中為F0常數(shù)，求桿的縱向穩(wěn)態(tài)受迫振動。解：由例8-3已知桿的正則振型為得第i個正則方程為在本例中由于激勵不是沿桿身作用的分布力，而是集中力。返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動8.2.2桿對任意激勵的響應(yīng)對于如圖所示的在處的集中力，利用函數(shù)，第i個正則方程為由上式求出正則坐標的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為F(t)F(t)表示為分布力返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.2桿的縱向受迫振動8.2.2桿對任意激勵的響應(yīng)于是桿的穩(wěn)態(tài)受迫振動為當(dāng)激振力頻率等于桿的任一階固有頻率pi時，都會發(fā)生共振。

返回首頁TheoryofVibrationwithApplications第8章彈性體的一維振動8.3梁的橫向自由振動返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的橫向自由振動8.3.1梁的橫向振動微分方程8.3.2固有頻率和主振型返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的橫向自由振動8.3.1梁的橫向振動微分方程圖中的直梁在xy平面內(nèi)作橫向振動。假設(shè)梁的各截面的中心主慣性軸在同一平面Oxy內(nèi)，外載荷也作用在該平面，且略去剪切變形的影響及截面繞中性軸轉(zhuǎn)動慣量的影響，因此梁的主要變形是彎曲變形，這即是通常稱為歐拉—伯努利梁(Bernoulli—EulerBeam)的模型。返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的橫向自由振動8.3.1梁的橫向振動微分方程在梁上x處取長為dx的微元段。在任意瞬時t，此微元段的橫向位移用y(x,t)表示；單位長度梁上分布的外力用p(x,t)表示；單位長度梁上分布的外力矩用表示m(x,t)。記梁的密度為ρ，橫截面積為A，材料彈性模量為E，截面對中性軸的慣性矩為J。根據(jù)微段dx的受力圖，寫出微段沿y向的運動微分方程。返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的橫向自由振動8.3.1梁的橫向振動微分方程再由各力對垂直于xy平面的軸的力矩平衡方程，得略去dx的二次項后，并簡化得得代入材料力學(xué)知識歐拉—伯努利梁的橫向振動微分方程

返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的橫向自由振動8.3.1梁的橫向振動微分方程對于等截面梁，則E、J為常數(shù)，上式又可寫成歐拉—伯努利梁的橫向振動微分方程

返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的橫向自由振動8.3.2固有頻率和主振型得到梁的橫向自由振動的運動微分方程解用x的函數(shù)Y(x)與t的諧函數(shù)的乘積表示梁上各點按振型函數(shù)Y(x)作同步諧振動

代入在Y(x)符合梁的邊界條件并具有非零解的條件下，由此方程求解p2和振型函數(shù)Y(x)的問題，稱為梁作橫向振動的特征值問題。返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的橫向自由振動8.3.2固有頻率和主振型對于等截面梁通解為或表示為根據(jù)梁的邊界條件可以確定β值及振型函數(shù)Y(x)中待定常數(shù)因子。邊界條件要考慮四個量，即撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力，梁的每個端點都與其中的兩個量有關(guān)。返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的橫向自由振動8.3.2固有頻率和主振型1.固定端在梁的固定端上撓度y與轉(zhuǎn)角等于零，即常見的簡單邊界條件有如下幾種2.簡支端在梁的簡支端上撓度y與彎矩等于零，即3.自由端在梁的自由端上彎矩M與剪力等于零，即返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的橫向自由振動8.3.2固有頻率和主振型下面討論在兩種支承情況下，梁的固有頻率和主振型。1.兩端鉸支這時的邊界條件為代入由此式得簡支梁的頻率方程返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的橫向自由振動8.3.2固有頻率和主振型對應(yīng)于的固有頻率為可見，各固有頻率與梁長的平方成反比。因此主振型函數(shù)為返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的橫向自由振動8.3.2固有頻率和主振型2.左端固定，右端自由因此有代入邊界條件為返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的橫向自由振動8.3.2固有頻率和主振型懸臂梁的頻率方程方程的前四個根為時，可以取固有頻率為基頻為則主振型函數(shù)為返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的橫向自由振動8.3.2固有頻率和主振型則主振型函數(shù)為前三階主振型由圖所示

返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的橫向自由振動8.3.2固有頻率和主振型例8-6如圖所示的懸臂梁的自由端附加一集中質(zhì)量M，將附加質(zhì)量視為質(zhì)點，求頻率方程和主振型函數(shù)。解：與桿的復(fù)雜邊界條件相同，梁的端點帶有支承彈簧或附加質(zhì)量，或者兩者都有，為復(fù)雜邊界條件。該題即為復(fù)雜邊界條件問題。其邊界條件為

代入返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的橫向自由振動8.3.2固有頻率和主振型

令上面兩式是關(guān)于C1,C2的齊次方程組，具有非零解的充分必要條件是，是其系數(shù)行列式必須為零。返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的橫向自由振動8.3.2固有頻率和主振型

具有非零解的充分必要條件是，是其系數(shù)行列式必須為零，由此得到即頻率方程

則主振型函數(shù)為

返回首頁TheoryofVibrationwithApplications第8章彈性體的一維振動8.4梁的橫向受迫振動返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.4梁的橫向受迫振動8.4.1主振型的正交性8.4.2梁橫向振動的受迫響應(yīng)返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.4梁的橫向受迫振動8.4.1主振型的正交性梁作橫向振動時，振型函數(shù)也具有正交性。這里只討論具有簡單邊界條件下主振型的正交性，但梁可以是變截面的或非均質(zhì)的。

取特征值問題的任意兩個解代入并且都沿梁的長度l對x積分，得乘以乘以返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.4梁的橫向受迫振動8.4.1主振型的正交性左邊進行分部積分，得對前面提出的任一種簡單邊界條件，以上二式已積分出來的各項均為零。有返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.4梁的橫向受迫振動8.4.1主振型的正交性二式相減，得如果時，有

，則由上式必得即梁的主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性。

代入代入上面兩式即梁的主振型關(guān)于剛度的正交性。

當(dāng)i=j時，返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.4梁的橫向受迫振動8.4.1主振型的正交性第j階主質(zhì)量第j階主剛度可得到它們的關(guān)系，即如果主振型Yj(x)中的常數(shù)按下列歸一化條件來確定，即這時相應(yīng)的第j階主剛度為

總能成立，令由此得到的主振型函數(shù)稱為正則振型函數(shù)返回首頁TheoryofVibrationwithApplications8.4梁的橫向受迫振動8.4.2梁橫向振動的受迫響應(yīng)梁的橫向受迫振動微分方程與解桿的縱向受迫振動的響應(yīng)類似，可設(shè)通解為正則振型函數(shù)