基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則

1.2.2第1一、選擇題1．曲線y＝eq\f(1,3)x3－2在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(7,3)))處切線的傾斜角為()A．30° B．45°C．135° D．60°[答案]B[解析]y′|x＝－1＝1，∴傾斜角為45°.2．設(shè)f(x)＝eq\f(1,\r(3,x2))－eq\f(1,x\r(x))，則f′(1)等于()A．－eq\f(1,6) B.eq\f(5,6)C．－eq\f(7,6) D.eq\f(7,6)[答案]B3．若曲線y＝x4的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為()A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0[答案]A[解析]∵直線l的斜率為4，而y′＝4x3，由y′＝4得x＝1而x＝1時(shí)，y＝x4＝1，故直線l的方程為：y－1＝4(x－1)即4x－y－3＝0.4．已知f(x)＝ax3＋9x2＋6x－7，若f′(－1)＝4，則a的值等于()A.eq\f(19,3) B.eq\f(16,3)C.eq\f(10,3) D.eq\f(13,3)[答案]B[解析]∵f′(x)＝3ax2＋18x＋6，∴由f′(－1)＝4得，3a－18＋6＝4，即a＝eq\f(16,3).5．已知物體的運(yùn)動(dòng)方程是s＝eq\f(1,4)t4－4t3＋16t2(t表示時(shí)間，s表示位移)，則瞬時(shí)速度為0的時(shí)刻是()A．0秒、2秒或4秒 B．0秒、2秒或16秒C．2秒、8秒或16秒 D．0秒、4秒或8秒[答案]D[解析]顯然瞬時(shí)速度v＝s′＝t3－12t2＋32t＝t(t2－12t＋32)，令v＝0可得t＝0,4,8.故選D.6．曲線y＝x3－2x＋1在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為()A．y＝x－1 B．y＝－x－1C．y＝2x－2 D．y＝－2x－2[答案]A[解析]由題可知，點(diǎn)(1,0)在曲線y＝x3－2x＋1上，求導(dǎo)可得y′＝3x2－2，所以在點(diǎn)(1,0)處的切線的斜率k＝1，切線過點(diǎn)(1,0)，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式可得過點(diǎn)(1,0)的曲線y＝x3－2x＋1的切線方程為y＝x－1，故選A.7．若函數(shù)f(x)＝exsinx，則此函數(shù)圖象在點(diǎn)(4，f(4))處的切線的傾斜角為()A.eq\f(π,2) B．0C．鈍角 D．銳角[答案]C[解析]y′|x＝4＝(exsinx＋excosx)|x＝4＝e4(sin4＋cos4)＝eq\r(2)e4sin(4＋eq\f(π,4))<0，故傾斜角為鈍角，選C.8．曲線y＝xsinx在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))處的切線與x軸、直線x＝π所圍成的三角形的面積為()A.eq\f(π2,2) B．π2C．2π2 D.eq\f(1,2)(2＋π)2[答案]A[解析]曲線y＝xsinx在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))處的切線方程為y＝－x，所圍成的三角形的面積為eq\f(π2,2).9．設(shè)f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，則f2011(x)等于()A．sinx B．－sinxC．cosx D．－cosx[答案]D[解析]f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝f1′(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝(－cosx)′＝sinx，∴4為最小正周期，∴f2011(x)＝f3(x)＝－cosx.故選D.10．f(x)與g(x)是定義在R上的兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，若f(x)、g(x)滿足f′(x)＝g′(x)，則f(x)與g(x)滿足()A．f(x)＝g(x) B．f(x)－g(x)為常數(shù)C．f(x)＝g(x)＝0 D．f(x)＋g(x)為常數(shù)[答案]B[解析]令F(x)＝f(x)－g(x)，則F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝0，∴F(x)為常數(shù)．二、填空題11．設(shè)f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\f(1,2)，則a＝________，b＝________.[答案]0－1[解析]f′(x)＝2ax－bcosx，由條件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－bcos0＝1,\f(2π,3)a－bcos\f(π,3)＝\f(1,2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－1,a＝0)).12．設(shè)f(x)＝x3－3x2－9x＋1，則不等式f′(x)＜0的解集為________．[答案](－1,3)[解析]f′(x)＝3x2－6x－9，由f′(x)＜0得3x2－6x－9＜0，∴x2－2x－3＜0，∴－1＜x＜3.13．曲線y＝cosx在點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(1,2)))處的切線的斜率為______．[答案]－eq\f(\r(3),2)[解析]∵y′＝(cosx)′＝－sinx，∴切線斜率k＝y(tǒng)′|x＝eq\f(π,3)＝－sineq\f(π,3)＝－eq\f(\r(3),2).14．已知函數(shù)f(x)＝ax＋bex圖象上在點(diǎn)P(－1,2)處的切線與直線y＝－3x平行，則函數(shù)f(x)的解析式是____________．[答案]f(x)＝－eq\f(5,2)x－eq\f(1,2)ex＋1[解析]由題意可知，f′(x)|x＝－1＝－3，∴a＋be－1＝－3，又f(－1)＝2，∴－a＋be－1＝2，解之得a＝－eq\f(5,2)，b＝－eq\f(1,2)e，故f(x)＝－eq\f(5,2)x－eq\f(1,2)ex＋1.三、解答題15．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x(x2＋eq\f(1,x)＋eq\f(1,x3))；(2)y＝(eq\r(x)＋1)(eq\f(1,\r(x))－1)；(3)y＝sin4eq\f(x,4)＋cos4eq\f(x,4)；(4)y＝eq\f(1＋\r(x),1－\r(x))＋eq\f(1－\r(x),1＋\r(x)).[解析](1)∵y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3)))＝x3＋1＋eq\f(1,x2)，∴y′＝3x2－eq\f(2,x3)；(3)∵y＝sin4eq\f(x,4)＋cos4eq\f(x,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin2\f(x,4)＋cos2\f(x,4)))2－2sin2eq\f(x,4)cos2eq\f(x,4)＝1－eq\f(1,2)sin2eq\f(x,2)＝1－eq\f(1,2)·eq\f(1－cosx,2)＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,4)cosx，∴y′＝－eq\f(1,4)sinx；(4)∵y＝eq\f(1＋\r(x),1－\r(x))＋eq\f(1－\r(x),1＋\r(x))＝eq\f((1＋\r(x))2,1－x)＋eq\f((1－\r(x))2,1－x)＝eq\f(2＋2x,1－x)＝eq\f(4,1－x)－2，∴y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,1－x)－2))′＝eq\f(－4(1－x)′,(1－x)2)＝eq\f(4,(1－x)2).16．求滿足下列條件的函數(shù)f(x)：(1)f(x)是三次函數(shù)，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；(2)f′(x)是一次函數(shù)，x2f′(x)－(2x－1)f(x[解析](1)設(shè)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)則f′(x)＝3ax2＋2bx＋c由f(0)＝3，可知d＝3，由f′(0)＝0可知c＝0，由f′(1)＝－3，f′(2)＝0可建立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′(1)＝3a＋2b＝－3,f′(2)＝12a＋4b＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝－3))，所以f(x)＝x3－3x2＋3.(2)由f′(x)是一次函數(shù)可知f(x)是二次函數(shù)，則可設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)f′(x)