（江蘇專用）高考數(shù)學(xué) 考前三個月 必考題型過關(guān)練 第21練 解三角形問題 理

第21練解三角形問題題型一活用正、余弦定理求解三角形問題例1(1)(2013·遼寧改編)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝eq\f(1,2)b，且a＞b，則B＝________.(2)在△ABC中，acosA＝bcosB，則△ABC的形狀為________．破題切入點(1)先由正弦定理對已知三角關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用三角恒等變換公式進(jìn)行化簡，可求得sinB的值，再結(jié)合a>b的條件即可判斷得出結(jié)果．(2)可以先利用余弦定理將條件化為邊的形式，再進(jìn)行判斷；或者先利用正弦定理將條件化為角的形式，再轉(zhuǎn)化判斷即可．答案(1)eq\f(π,6)(2)等腰三角形或直角三角形解析(1)由條件得eq\f(a,b)sinBcosC＋eq\f(c,b)sinBcosA＝eq\f(1,2)，依正弦定理，得sinAcosC＋sinCcosA＝eq\f(1,2)，∴sin(A＋C)＝eq\f(1,2)，從而sinB＝eq\f(1,2)，又a＞b，且B∈(0，π)，因此B＝eq\f(π,6).(2)方法一因為acosA＝bcosB，所以由余弦定理，得a×eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝b×eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，即a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，所以(a2＋b2－c2)(a2－b2)＝0.所以a2＋b2＝c2或a＝b.所以△ABC為等腰三角形或直角三角形．方法二因為acosA＝bcosB，由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，所以sin2A＝sin2B又A，B為△ABC的內(nèi)角，所以2A＝2B或2A＋2即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).所以△ABC為等腰三角形或直角三角形．題型二正、余弦定理在解決實際問題中的應(yīng)用技巧例2(2013·江蘇)如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min.在甲出發(fā)2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再從B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為130m/min，山路AC長為1260m，經(jīng)測量cosA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f(3,5).(1)求索道AB的長；(2)問：乙出發(fā)多少min后，乙在纜車上與甲的距離最短？(3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3min，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？破題切入點(1)在△ABC中，已知兩角及一邊長，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及三角形內(nèi)角和求得第三個角，再由正弦定理即可求得AB的長；(2)設(shè)出在乙出發(fā)tmin后甲、乙距離最短時所行走的距離，再利用余弦定理即可求得結(jié)果；(3)在△ABC中，利用正弦定理求得BC的長，再分別計算出甲、乙到達(dá)C點的時間，然后由甲、乙在C處相互等待不超過3min為條件列出不等式計算即可求得．解(1)在△ABC中，因為cosA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f(3,5)，所以sinA＝eq\f(5,13)，sinC＝eq\f(4,5).從而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(5,13)×eq\f(3,5)＋eq\f(12,13)×eq\f(4,5)＝eq\f(63,65).由正弦定理eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，得AB＝eq\f(AC,sinB)×sinC＝eq\f(1260,\f(63,65))×eq\f(4,5)＝1040(m)．所以索道AB的長為1040m.(2)假設(shè)乙出發(fā)tmin后，甲、乙兩游客距離為d，此時，甲行走了(100＋50t)m，乙距離A處130tm，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×eq\f(12,13)＝200(37t2－70t＋50)，由于0≤t≤eq\f(1040,130)，即0≤t≤8，故當(dāng)t＝eq\f(35,37)(min)時，甲、乙兩游客距離最短．(3)由正弦定理eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，得BC＝eq\f(AC,sinB)×sinA＝eq\f(1260,\f(63,65))×eq\f(5,13)＝500(m)．乙從B出發(fā)時，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，還需走710m才能到達(dá)C.設(shè)乙步行的速度為vm/min，由題意得－3≤eq\f(500,v)－eq\f(710,50)≤3，解得eq\f(1250,43)≤v≤eq\f(625,14)，所以為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3min，乙步行的速度應(yīng)控制在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1250,43)，\f(625,14)))(單位：m/min)范圍內(nèi)．題型三解三角形中相關(guān)交匯性問題例3已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，向量m＝(sinB,1－cosB)與向量n＝(2,0)的夾角θ的余弦值為eq\f(1,2).(1)求角B的大??；(2)若b＝eq\r(3)，求a＋c的范圍．破題切入點(1)根據(jù)向量的數(shù)量積求兩向量的夾角，然后利用同角三角函數(shù)關(guān)系式及二倍角公式進(jìn)行恒等變形即可解決問題；(2)消元后，利用兩角和的正弦公式把sinA＋sinC化為sin(A＋eq\f(π,3))，并求出sin(A＋eq\f(π,3))的取值范圍，再根據(jù)正弦定理，求出a＋c的范圍，也可以利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出a＋c的范圍．解(1)因為m＝(sinB,1－cosB)，n＝(2,0)，所以m·n＝2sinB.又|m|＝eq\r(sin2B＋1－cosB2)＝eq\r(sin2B＋cos2B－2cosB＋1)＝eq\r(21－cosB)＝eq\r(4sin2\f(B,2))＝2|sineq\f(B,2)|，因為0<B<π，0<eq\f(B,2)<eq\f(π,2)，所以sineq\f(B,2)>0，因為|m|＝2sineq\f(B,2).而|n|＝2，所以cosθ＝eq\f(m·n,|m|·|n|)＝eq\f(2sinB,4sin\f(B,2))＝eq\f(4sin\f(B,2)cos\f(B,2),4sin\f(B,2))＝coseq\f(B,2)，即coseq\f(B,2)＝eq\f(1,2).由0<B<π，得eq\f(B,2)＝eq\f(π,3)，所以B＝eq\f(2π,3).(2)方法一由B＝eq\f(2π,3)，得A＋C＝eq\f(π,3).所以sinA＋sinC＝sinA＋sin(eq\f(π,3)－A)＝sinA＋(sineq\f(π,3)cosA－coseq\f(π,3)sinA)＝eq\f(1,2)sinA＋eq\f(\r(3),2)cosA＝sin(A＋eq\f(π,3))．又0<A<eq\f(π,3)，所以eq\f(π,3)<A＋eq\f(π,3)<eq\f(2π,3).所以eq\f(\r(3),2)<sin(A＋eq\f(π,3))≤1.所以sinA＋sinC∈(eq\f(\r(3),2)，1]．由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(\r(3),sin\f(2π,3))＝2，所以a＋c＝2sinA＋2sinC＝2(sinA＋sinC)．所以a＋c∈(eq\r(3)，2]．方法二由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accoseq\f(2π,3)＝(a＋c)2－2ac＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－(eq\f(a＋c,2))2＝eq\f(3a＋c2,4)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時，取等號．所以(a＋c)2≤4，故a＋c≤2.又a＋c>b＝eq\r(3)，所以eq\r(3)<a＋c≤2，即a＋c∈(eq\r(3)，2]．總結(jié)提高(1)在根據(jù)正、余弦定理解三角形問題中，要結(jié)合大邊對大角進(jìn)行判斷．一般地，斜三角形中，用正弦定理求角時，若已知小角求大角，有兩解，已知大角求小角有一解；在解三角形問題中，三角形內(nèi)角和定理起著重要作用，在解題中要注意根據(jù)這個定理確定角的范圍，確定三角函數(shù)值的符號防止增解等擴(kuò)大范圍的現(xiàn)象．(2)在求解三角形的實際問題時，首先要準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，關(guān)注應(yīng)用題中的有關(guān)專業(yè)名詞、術(shù)語，如方位角、仰角、俯角等，其次根據(jù)題意畫出其示意圖，示意圖起著關(guān)鍵的作用，再次將要求解的問題歸結(jié)到一個或幾個三角形中，通過合理運用正、余弦定理等有關(guān)知識，建立數(shù)學(xué)模型，從而正確求解，演算過程要簡練，計算要準(zhǔn)確，最后作答．1．(2013·陜西改編)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為________三角形．答案直角解析由bcosC＋ccosB＝asinA，得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，所以sinA＝1，由0<A<π，得A＝eq\f(π,2)，所以△ABC為直角三角形．2．(2014·課標(biāo)全國Ⅱ改編)鈍角三角形ABC的面積是eq\f(1,2)，AB＝1，BC＝eq\r(2)，則AC＝________.答案eq\r(5)解析∵S＝eq\f(1,2)AB·BCsinB＝eq\f(1,2)×1×eq\r(2)sinB＝eq\f(1,2)，∴sinB＝eq\f(\r(2),2)，∴B＝eq\f(π,4)或eq\f(3π,4).當(dāng)B＝eq\f(3π,4)時，根據(jù)余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2＋2＝5，∴AC＝eq\r(5)，此時△ABC為鈍角三角形，符合題意；當(dāng)B＝eq\f(π,4)時，根據(jù)余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2－2＝1，∴AC＝1，此時AB2＋AC2＝BC2，△ABC為直角三角形，不符合題意．故AC＝eq\r(5).3．(2014·江西改編)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝eq\f(π,3)，則△ABC的面積是________．答案eq\f(3\r(3),2)解析∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①∵C＝eq\f(π,3)，∴c2＝a2＋b2－2abcoseq\f(π,3)＝a2＋b2－ab.②由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×6×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).4．在△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,4)，AB＝eq\r(2)，BC＝3，則sin∠BAC＝________.答案eq\f(3\r(10),10)解析設(shè)CD為AB邊上的高，則由題設(shè)知BD＝CD＝eq\f(3\r(2),2)，∴AD＝eq\f(3\r(2),2)－eq\r(2)＝eq\f(\r(2),2)，AC＝eq\r(\f(9,2)＋\f(1,2))＝eq\r(5)，∴sin∠BAC＝sin(π－∠BAC)＝eq\f(\f(3\r(2),2),\r(5))＝eq\f(3\r(10),10).5．若△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊a、b、c滿足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，則ab的值為________．答案eq\f(4,3)解析∵a2＋b2＋2ab－c2＝4，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(4－2ab,2ab)＝eq\f(1,2)，∴ab＝eq\f(4,3).6．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知C＝2A，cosA＝eq\f(3,4)，b＝5，則△ABC的面積為________．答案eq\f(15\r(7),4)解析cosA＝eq\f(3,4)，cosC＝2cos2A－1＝eq\f(1,8)，sinC＝eq\f(3\r(7),8)，tanC＝3eq\r(7)，如圖，設(shè)AD＝3x，AB＝4x，CD＝5－3x，BD＝eq\r(7)x.在Rt△DBC中，tanC＝eq\f(BD,CD)＝eq\f(\r(7)x,5－3x)＝3eq\r(7)，解之得：BD＝eq\r(7)x＝eq\f(3\r(7),2)，S△ABC＝eq\f(1,2)BD·AC＝eq\f(15\r(7),4).7．在△ABC中，設(shè)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，C＝eq\f(π,3)，c＝eq\r(3)，則eq\f(a＋2\r(3)cosA,sinB)的值為________．答案4解析由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)?a＝2sinA.所以eq\f(a＋2\r(3)cosA,sinB)＝eq\f(2sinA＋2\r(3)cosA,sinB)＝eq\f(4sinA＋\f(π,3),sinB)＝4.8．在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b＝2，B＝eq\f(π,3)且sin2A＋sin(A－C)＝sinB，則△ABC的面積為________．答案eq\r(3)解析∵sin2A＝sinB－sin(A－C∴2sinAcosA＝sin(A＋C)－sin(A－C)，∴2sinAcosA＝2cosAsinC.∵△ABC是銳角三角形，∴cosA≠0，∴sinA＝sinC，即A＝C＝B＝eq\f(π,3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).9．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若A＝eq\f(π,3)，a＝eq\r(3)，則b2＋c2的取值范圍為________．答案(3,6]解析由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2，b＝2sinB，c＝2sinC，所以b2＋c2＝4(sin2B＋sin2C＝2(1－cos2B＋1－cos2C＝4－2cos2B－2cos2(eq\f(2π,3)－B)＝4＋eq\r(3)sin2B－cos2B＝4＋2sin(2B－eq\f(π,6))．又0<B<eq\f(2π,3)，所以－eq\f(π,6)<2B－eq\f(π,6)<eq\f(7π,6).所以－1<2sin(2B－eq\f(π,6))≤2.所以3<b2＋c2≤6.10．(2014·課標(biāo)全國Ⅰ)已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，則△ABC面積的最大值為________．答案eq\r(3)解析∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，a＝2，又(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC可化為(a＋b)(a－b)＝(c－b)·c，∴a2－b2＝c2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.∴eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2)＝cosA，∴A＝60°.∵△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos60°＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時取“＝”)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)·bc·sinA≤eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).11.如圖，中國漁民在中國南海黃巖島附近捕魚作業(yè)，中國海監(jiān)船在A地偵察發(fā)現(xiàn)，在南偏東60°方向的B地，有一艘某國軍艦正以每小時13海里的速度向正西方向的C地行駛，企圖抓捕正在C地捕魚的中國漁民．此時，C地位于中國海監(jiān)船的南偏東45°方向的10海里處，中國海監(jiān)船以每小時30海里的距離趕往C地救援我國漁民，能不能及時趕到？(eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73，eq\r(6)≈2.45)解如圖，過點A作AD⊥BC，交BC的延長線于點D.因為∠CAD＝45°，AC＝10海里，所以△ACD是等腰直角三角形．所以AD＝CD＝eq\f(\r(2),2)AC＝eq\f(\r(2),2)×10＝5eq\r(2)(海里)．在Rt△ABD中，因為∠DAB＝60°，所以BD＝AD