2023-2024學年上海市浦東新區(qū)重點中學高一（上）期末數(shù)學試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年上海市浦東新區(qū)重點中學高一（上）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共4小題，每小題3分，共12分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若a，b，c∈R，a>bA.1a<1b B.ac22.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點P(4,1A. B.

C. D.3.設角θ滿足條件sinθ=k?A.一、二 B.二、三 C.二、四 D.不能確定4.德國數(shù)學家狄利克雷在數(shù)學領(lǐng)域成就顯著，以其命名函數(shù)y=D(x)=1,x為有理數(shù)0,x為無理數(shù)，該函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù)，關(guān)于狄利克雷函數(shù)有如下四個命題：

①D(D(x))=0；

②對任意x∈R，恒有D(A.①③④ B.②④ C.②二、填空題：本題共12小題，每小題3分，共36分。5.函數(shù)y=ln(x+6.將a?5a3化為有理數(shù)指數(shù)冪的形式為7.已知全集U={1,2,3,48.已知關(guān)于x的方程bx+c=0解集為{2}，則“關(guān)于x的不等式bx+c>9.設函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且x<0時，f(x10.設a、b為正數(shù)，且a+2b=1，則ab______18(填“≤，≥，11.在△ABC中，sinA：sinB：s12.若不等式|x+a|≤3成立的一個充分不必要條件是2≤13.若命題“?x∈R，ax2?214.若sinα=85sin15.設x∈R，方程|1?x16.已知關(guān)于x的不等式log2x<ax+2三、解答題：本題共5小題，共52分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題8分)

平面直角坐標系xOy中，單位圓與x軸正半軸交于點A，角θ的終邊與單位圓的交點P位于第二象限．

(1)若弧AP的長為23π，寫出P的坐標，并計算扇形AOP的面積；

(2)角θ的終邊繞點O18.(本小題8分)

已知sinβ?3cosβ=2sin(β19.(本小題10分)

某城市2023年12月8日的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)y與時間x(單位：小時)的關(guān)系y=f(x)滿足如圖連續(xù)曲線，測得當天AQI的最大值為103.當x∈[0,14]時，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分；當x∈(14,2420.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=3?a2x+1是定義域在R上的奇函數(shù)．

(1)求實數(shù)a的值；

(221.(本小題14分)

對于定義域為D的函數(shù)y=f(x)，如果存在區(qū)間[m,n]?D，同時滿足：①f(x)在[m,n]內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)；②當定義域是[m,n]時，f(x)的值域是[2答案和解析1.【答案】B

【解析】解：A.∵1>?2，1a<1b不成立，

B.∵c2+1≥1，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，∵a>b，∴ac2+1>2.【答案】A

【解析】解：設冪函數(shù)y=xn，將點P(4,12)代入，得12=4n，

∴n=?12，則冪函數(shù)為3.【答案】C

【解析】解：因為sinθ=k?3k+5，cosθ=4?2kk+5，且sin2θ+cos2θ=1，

所以(k?3k+5)2+(4?2kk+5)4.【答案】C

【解析】解：①若x為有理數(shù)，則D(x)=1是有理數(shù)，則D(D(x))=1，若x為無理數(shù)，則D(x)=0是有理數(shù)，則D(D(x))=1；故①錯誤，

②若x為有理數(shù)，則?x為有理數(shù)，此時D(x)=1，D(?x)=1，即D(x)=D(?x)成立，

若x為無理數(shù)，則?x為無理數(shù)，此時D(x)=0，D(?x)=0，即D(x)=D(?x)成立，綜上對任意5.【答案】(?【解析】解：對于函數(shù)y=ln(x+5)，有x+5>0，解得x>?5，6.【答案】a8【解析】解：由題意可得：a?5a3=a?a37.【答案】{3【解析】解：由題全集U={1,2,3,4}，A={18.【答案】假

【解析】解：因為關(guān)于x的方程bx+c=0解集為{2}，則2b+c=0，即c=?2b，且b≠0，

由bx+c>0得b(x?2)>0，

當b>0時，解原不等式可得x>9.【答案】9

【解析】解：因為x<0時，f(x)=x2+3x?1，

所以f(?5)=2510.【答案】≤

【解析】解：因為a、b為正數(shù)，且a+2b=1，

所以ab=12(a×2b)≤12(11.【答案】?1【解析】解：在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，由正弦定理可得，可以設a=3k，b=2k，c=4k．

故角C為最大角，故最大角的余弦值是c12.【答案】[?【解析】解：由|x+a|≤3??3?a≤x≤3?a，

因為不等式13.【答案】[0【解析】解：?x∈R，ax2?2ax+12>0，

當a=0時，12>0恒成立，

當a≠0時，a>14.【答案】1或725【解析】解：由題意sinα=sin(2×α2)=2sinα2cosα215.【答案】(?【解析】解：依題意|1?x|+|2x?1|=|3x?2|，

當x≤12時，方程化為1?x?(2x?1)=?(3x?2)，2?16.【答案】(?【解析】解：設f(x)=log2x，g(x)=ax+2，

易知函數(shù)g(x)=ax+2恒過定點(0,2)，

畫出兩個函數(shù)的圖象，如圖所示：

若不等式log2x<17.【答案】解：(1)∵弧AP的長為23π，

∴23π=1×θ，解得θ=23π，

若點P位于第二象限，且在單位圓上，

設P(x,y)，扇形AOP的面積為S，

故有x=cos2π3【解析】(1)利用弧長公式求出角，聯(lián)立求坐標，再用扇形面積公式計算即可；

(218.【答案】解：(1)因為sinβ?3cosβ=2sin(β+α)，

所以2sin(β?π3)【解析】(1)利用輔助角公式求出α，再利用誘導公式化簡，最后代入計算可得；

(2)求出19.【答案】解：(1)當x∈(14,24]時，f(x)=loga(x?13)+102，將(15,101)代入得：a=12，

∴當x=14時，log12(x?13)+102=102，

∴由y=f(x)的圖象是一條連續(xù)曲線可知，點(14,102【解析】(1)先用待定系數(shù)法求得x∈(14,24]時的解析式，再算得當x=1420.【答案】解：(1)函數(shù)f(x)=3?a2x+1是定義域在R上的奇函數(shù)，

由f(0)=3?a2=0，得a=6，即有f(x)=3?62x+1=3(2x?1)2x+1，

下面檢驗：f(?x)=3(2?x?1)2?x+1=3(2?x?1)?2x(2?x+1)?【解析】(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性得f(0)=3?a2=0，解得a的值；最后代入驗證．21.【答案】解：(1)證明：由函數(shù)f(x)=2x在[1,2]上單調(diào)增函數(shù)知，f(x)的值域為[2,4]，

故[1,2]是函數(shù)f(x)=2x的一個“翻倍區(qū)間”；

(2)假設g(x)存在一個“翻倍區(qū)間”[