概率論與數(shù)量統(tǒng)計-公式

概率論與數(shù)量統(tǒng)計-公式－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

第1章隨機事件及其概率

（1）排列組合公式

從m個人中挑出n個人進行排列的可能數(shù)。

從m個人中挑出n個人進行組合的可能數(shù)。

（2）加法和乘法原理

加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來完成，則這件事可由m+n種方法來完成。乘法原理（兩個步驟分別不能完成這件事）：m×n某件事由兩個步驟來完成，第一個步驟可由m種方法完成，第二個步驟可由n種方法來完成，則這件事可由m×n種方法來完成。（3）一些常見排列重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序）對立事件（至少有一個）順序問題

（4）隨機試驗和隨機事件

如果一個試驗在相同條件下可以重復(fù)進行，而每次試驗的可能結(jié)果不止一個，但在進行一次試驗之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個結(jié)果，則稱這種試驗為隨機試驗。

試驗的可能結(jié)果稱為隨機事件。

（5）基本事件、樣本空間和事件

在一個試驗下，不管事件有多少個，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：

①每進行一次試驗，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個事件；②任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。

這樣一組事件中的每一個事件稱為基本事件，用來表示。

基本事件的全體，稱為試驗的樣本空間，用表示。

一個事件就是由中的部分點（基本事件）組成的集合。通常用大寫字母A，B，C，…表示事件，它們是的子集。為必然事件，?為不可能事件。

不可能事件（?）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率為1，而概率為1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的關(guān)系與運算

①關(guān)系：

如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，（A發(fā)生必有事件B發(fā)生）：如果同時有，

，則稱事件A與事件B等價，或稱A等于B：

A=B。

A、B中至少有一個發(fā)生的事件：AB，或者A+B。

屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為A與B的差，記為A-B，也

可表示為A-AB或者

，它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。

A、B同時發(fā)生：AB，或者AB。AB=?，則表示A與B不可能同時發(fā)

生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥?；臼录腔ゲ幌嗳莸摹?/p>

-A。它表示

，

為樣本空間，為事件，對每一個事件都有一個實數(shù)

對于兩兩互不相容的事件，

P(A)為事件的概率。

，它是由組成的，則有

=

B

A=Ω時，P(

為事件發(fā)生的條件概率，記為。

P(

…………

設(shè)事件、滿足、

若事件相互獨立，且

若事件、、、

和不可能事件

設(shè)事件

兩兩互不相容，

，

設(shè)事件，，…，及

，，…，兩兩互不相容，>0，1，2，…，

，

，i=1，2，…n。

（，，…，通常叫先驗概率。，（，，次試驗，且滿足

發(fā)生或

次試驗是重復(fù)進行的，即

這種試驗稱為伯努利概型，或稱為

表示每次試驗發(fā)生的概率為重伯努利試驗中出現(xiàn)次的概率，

，

第二章隨機變量及其分布

（1）離散

型隨機變

量的分布

律

設(shè)離散型隨機變量的可能取值為Xk(k=1,2,…)且取各個值的概率，即事件(X=Xk)的概率為

P(X=xk)=pk，k=1,2,…，

則稱上式為離散型隨機變量的概率分布或分布律。有時也用分布列的形式給出：

。

顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：

（1），，（2）。

（2）連續(xù)

型隨機變

量的分布

密度

設(shè)是隨機變量的分布函數(shù)，若存在非負函數(shù)，對任意實數(shù)，有

，

則稱為連續(xù)型隨機變量。稱為的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概

率密度。

密度函數(shù)具有下面4個性質(zhì)：

1°。

2°。

（3）離散

與連續(xù)型

隨機變量

的關(guān)系積分元在連續(xù)型隨機變量理論中所起的作用與在離散型隨機變量理論中所起的作用相類似。

設(shè)

函數(shù)

是單調(diào)不減的函數(shù)，即時，有；

，；

，即是右連續(xù)的；

對于離散型隨機變量，

對于連續(xù)型隨機變量，

，則

時，，這就是（0-1）分

，，P(

在[a，b]上服從均勻分布，記為

,

,

設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為

，

其中、則稱隨機變量、

的圖形是關(guān)于

時，為最大值；

若，則的分布函數(shù)為

，其密度函數(shù)記為

，

分布函數(shù)為

，則。

下分位表：

上分位表：

的分布列為

若有某些相等，則應(yīng)將對應(yīng)的相加作為第三章二維隨機變量及其分布

（1）聯(lián)合分布離散型

如果二維隨機向量（X，Y）的所有可能取值為至多可列

個有序?qū)Γ▁,y），則稱為離散型隨機量。

設(shè)=（X，Y）的所有可能取值為，

且事件{=}的概率為pij,,稱

為=（X，Y）的分布律或稱為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分

布有時也用下面的概率分布表來表示：

Y

X

y1y2…yj…

x1p11p12…p1j…

x2p21p22…p2j…

xipi1……

這里pij具有下面兩個性質(zhì)：

（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；