專題1-7數(shù)列求通項(xiàng)13類題型匯總（原卷版）

專題17數(shù)列求通項(xiàng)13類題型匯總TOC\o"13"\n\h\z\u數(shù)列求通項(xiàng)常見題型梳理【題型1】Sn與an【題型2】前n項(xiàng)積【題型3】因式分解型（正項(xiàng)數(shù)列）【題型4】已知等差或等比求通項(xiàng)【題型5】累加法（疊加法）【題型6】累乘法（疊乘法）【題型7】構(gòu)造：等差、等比，常數(shù)列【題型8】取倒數(shù)型【題型9】取倒數(shù)后進(jìn)行構(gòu)造【題型10】隔項(xiàng)等差數(shù)列求通項(xiàng)（和為等差）【題型11】隔項(xiàng)等比數(shù)列求通項(xiàng)（積為等比）【題型12】和為等比數(shù)列求通項(xiàng)【題型13】奇偶數(shù)列：奇偶項(xiàng)遞推公式不同數(shù)列求通項(xiàng)常見題型梳理1、與與同時存在角度1：已知與的關(guān)系；或與的關(guān)系用，得到例：已知，求角度2：已知與的關(guān)系；或與的關(guān)系替換題中的例：已知；已知角度3：等式中左側(cè)含有：作差法（類似）例子：已知求2、前n項(xiàng)積前n項(xiàng)積角度1：已知和的關(guān)系角度1：用，得到例子：的前項(xiàng)之積.角度2：已知和的關(guān)系角度1：用替換題目中例子：已知數(shù)列的前n項(xiàng)積為，且.3、因式分解型如果式子中出現(xiàn)了2次項(xiàng)或者正項(xiàng)數(shù)列這些條件，可能需要因式分解例：設(shè)正項(xiàng)的前項(xiàng)和為（1）若滿足,,數(shù)列的通項(xiàng)公式為__________（2）若，，的通項(xiàng)公式為_____________（3）若，，的通項(xiàng)公式為____________【答案】（1）；（2）；（3）4、累加法（疊加法）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)時，利用累加法求通項(xiàng)公式。具體步驟：，將這個式子相加（左邊加左邊，右邊加右邊）得：=5、累乘法（疊乘法）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“變比數(shù)列”，求變比數(shù)列的通項(xiàng)時，利用求通項(xiàng)公式的方法稱為累乘法具體步驟：，將這個式子相乘（左邊乘左邊，右邊乘右邊）得：整理得：6、構(gòu)造法類型1：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.類型2：用“同除法”構(gòu)造等差數(shù)列（1）形如，可通過兩邊同除，將它轉(zhuǎn)化為，從而構(gòu)造數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而可求得的通項(xiàng)公式.（2）形如，可通過兩邊同除，將它轉(zhuǎn)化為，換元令：，則原式化為：，先利用構(gòu)造法類型1求出，再求出的通項(xiàng)公式.（3）形如的數(shù)列，可通過兩邊同除以，變形為的形式，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，便可求得的通項(xiàng)公式.7、倒數(shù)型用“倒數(shù)變換法”構(gòu)造等差數(shù)列類型1：形如：（為常數(shù)，）的數(shù)列，通過兩邊同除“倒”過來，變形為，即：，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，即可求得.類型2：形如（為常數(shù)，，，）的數(shù)列，通過兩邊同除“倒”過來，變形為，可通過換元：，化簡為：（可用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列）8、隔項(xiàng)等差數(shù)列（和為等差）已知數(shù)列，滿足，（k≠0）則；；或則稱數(shù)列為隔項(xiàng)等差數(shù)列，其中：①構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，公差為；②構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，公差為；9、隔項(xiàng)等比數(shù)列（積為等比）已知數(shù)列，滿足，則；（其中為常數(shù)）；或則稱數(shù)列為隔項(xiàng)等比數(shù)列，其中：①構(gòu)成以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，公比為；②構(gòu)成以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，公比為；10、和為等比數(shù)列（和為等比）已知數(shù)列，滿足，則，再通過累加法和錯位相減求出的通項(xiàng)公式【題型1】Sn與an已知數(shù)列滿足：對任意，有，求數(shù)列的通項(xiàng)公式（湖南師大學(xué)附中月考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則有（

）A．為等差數(shù)列 B．為等比數(shù)列C．為等差數(shù)列 D．為等比數(shù)列已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式________（重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校月考）（多選）若數(shù)列滿足（為正整數(shù)），為數(shù)列的前項(xiàng)和則（

）A． B．C． D．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，求【題型2】前n項(xiàng)積對于數(shù)列，前項(xiàng)積記為；①；②則①②：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，在數(shù)列中，，，，求數(shù)列，的通項(xiàng)公式（江蘇連云港，南通調(diào)研）已知數(shù)列的前項(xiàng)積為，且，求的通項(xiàng)公式2021·全國高考乙卷（理）——前n項(xiàng)積，消求記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項(xiàng)公式．【題型3】因式分解型（正項(xiàng)數(shù)列）正項(xiàng)遞增數(shù)列的前項(xiàng)和為，，求的通項(xiàng)公式；已知各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列，前項(xiàng)和滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【題型4】已知等差或等比求通項(xiàng)注意與消Sn的方法進(jìn)行區(qū)分（湖北省黃岡市9月調(diào)研）設(shè)等差數(shù)列前項(xiàng)和，，滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式（蘇州市高三調(diào)研）已知等比數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及它的前n項(xiàng)和.（佛山二模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式（濰坊一模）已知數(shù)列為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且滿足，求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式.【題型5】累加法（疊加法）在數(shù)列中，，，則A． B． C． D．已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．已知數(shù)列滿足，且，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8已知數(shù)列滿足，，，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【題型6】累乘法（疊乘法）數(shù)列滿足，，則已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2022·新高考1卷）為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，求的通項(xiàng)公式.【題型7】構(gòu)造：等差、等比，常數(shù)列（2020·全國Ⅲ卷）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，，求an.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，求通項(xiàng)公式．已知數(shù)列中，，則等于（

）A． B．C． D．?dāng)?shù)列{an}滿足，，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為.在數(shù)列中，，且對任意的，都有，求數(shù)列的通項(xiàng)公式廣東省廣州市2023屆高三綜合測試（一）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，求.2023·廣東惠州一模已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；已知數(shù)列滿足，，則=（

）A．80 B．100 C．120 D．143【題型8】取倒數(shù)型已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．在數(shù)列中，若，則.已知數(shù)列滿足，且，則（

）A． B． C． D．【題型9】取倒數(shù)后進(jìn)行構(gòu)造已知數(shù)列滿足，且，則（

）A． B． C． D．在數(shù)列中，，，且滿足，則.重慶市巴蜀中學(xué)校高三下學(xué)期高考適應(yīng)性月考（九）（多選）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且（，2，…），則（

）A． B． C． D．【題型10】隔項(xiàng)等差數(shù)列求通項(xiàng)（和為等差）已知,求的通項(xiàng)公式．思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：，可推出，兩式作差，判斷為隔項(xiàng)等差數(shù)列解答過程由，可推出，兩式作差所以是隔項(xiàng)等差數(shù)列：①構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，公差為②構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，公差為下結(jié)論求通項(xiàng)當(dāng)為奇數(shù)：為第項(xiàng)：求通項(xiàng)當(dāng)為偶數(shù)：為第項(xiàng)：綜上：無論為奇數(shù)還是偶數(shù)：.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.已知數(shù)列中，對任意的,都有，，求的通項(xiàng)公式．【題型11】隔項(xiàng)等比數(shù)列求通項(xiàng)（積為等比）已知正項(xiàng)等比數(shù)列對任意的均滿足，，求的通項(xiàng)公式；思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：，可推出，兩式作商，判斷為隔項(xiàng)等比數(shù)列解答過程：由，可推出，兩式作商所以是隔項(xiàng)等比數(shù)列：①構(gòu)成以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，公比為；②構(gòu)成以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，公比為；下結(jié)論求通項(xiàng)當(dāng)為奇數(shù)：為第項(xiàng)：求通項(xiàng)當(dāng)為偶數(shù)：為第項(xiàng)：綜上：.山東省濟(jì)南市二模（多選）已知數(shù)列中，，，，則下列說法正確的是（

）A． B．是等比數(shù)列C． D．2023·廣東深圳二模已知數(shù)列滿足，，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明:數(shù)列中的任意三項(xiàng)均不能構(gòu)成等差數(shù)列.【題型12】和為等比數(shù)列求通項(xiàng)已知數(shù)列中，，求數(shù)列的前n和.思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：，可推出，兩式作差變換下標(biāo)，寫成所以，，．．．．．．．累加，得累加求通項(xiàng)所以數(shù)列的前n和為求和（2023·重慶巴南·一模）在數(shù)列中，已知，，求的通項(xiàng)公式．已知數(shù)列滿足，，．(1)求的通項(xiàng)公式．(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．2023·浙江杭州·統(tǒng)二模設(shè)公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【題型13】奇偶數(shù)列：奇偶項(xiàng)遞推公式不同2021·新高考1卷T17（1）已知數(shù)列滿足，，記，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式已知數(shù)列滿足