人教A版高中數(shù)學(xué)必修4學(xué)案1-3第1課時(shí)公式二公式三和公式四

1.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式第1課時(shí)公式二、公式三和公式四學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.能借助單位圓的對(duì)稱性，利用定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式二、三、四2.能夠準(zhǔn)確記憶公式二、公式三和公式四．(重點(diǎn)、易混點(diǎn))3.掌握公式二、公式三和公式四，并能運(yùn)用誘導(dǎo)公式解決一些三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值、證明問(wèn)題．(難點(diǎn))1.通過(guò)對(duì)誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng).2.通過(guò)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).1．公式二(1)角π＋α與角α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．如圖所示．(2)公式：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.2．公式三(1)角－α與角α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱．如圖所示．(2)公式：sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα.3．公式四(1)角π－α與角α的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱．如圖所示．(2)公式：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα.思考：(1)誘導(dǎo)公式中角α只能是銳角嗎？(2)誘導(dǎo)公式一～四改變函數(shù)的名稱嗎？[提示](1)誘導(dǎo)公式中角α可以是任意角，要注意正切函數(shù)中要求α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.(2)誘導(dǎo)公式一～四都不改變函數(shù)名稱．公式二、三、四的推導(dǎo)過(guò)程如下：設(shè)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(x，y)，則sinα＝y(tǒng)，cosα＝x.由π＋α的終邊與單位圓交點(diǎn)為(－x，－y)得sin(π＋α)＝－y＝－sinα，cos(π＋α)＝－x＝－cosα.由－α的終邊與單位圓交點(diǎn)為(x，－y)得sin(－α)＝－y＝－sinα，cos(－α)＝x＝cosα.由π－α的終邊與單位圓交點(diǎn)為(－x，y)得sin(π－α)＝y(tǒng)＝sinα，cos(π－α)＝－x＝－cosα.1．下列說(shuō)法中正確的是()A．公式二～四對(duì)任意角α都成立B．由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)C．在△ABC中，sin(A＋B)＝sinCD．以上說(shuō)法均錯(cuò)誤C[A錯(cuò)誤，關(guān)于正切的三個(gè)公式中α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.B錯(cuò)誤由公式三知cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)是不正確的．C正確因?yàn)锳＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC.故選C.]2．tan(－2025°)的值為()A．0B．1C．－1D.eq\r(,3)C[tan(－2025°)＝－tan2025°＝－tan(5×360°＋225°)＝－tan225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan45°＝－1.]3．已知tanα＝3，則tan(π＋α)＝.3[tan(π＋α)＝tanα＝3.]4．若sin(π＋α)＝－eq\f(1,2)，則sin(4π－α)的值是．－eq\f(1,2)[由sin(π＋α)＝－eq\f(1,2)得－sinα＝－eq\f(1,2)即sinα＝eq\f(1,2)，所以sin(4π－α)＝sin(－α)＝－sinα＝－eq\f(1,2).]給角求值問(wèn)題【例1】求下列各三角函數(shù)值：(1)sin1320°；(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))；(3)tan(－945°)．[解](1)法一：sin1320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－eq\f(\r(3),2).法二：sin1320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－eq\f(\r(3),2).(2)法一：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))＝coseq\f(31π,6)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(7π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,6)))＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2).法二：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6π＋\f(5π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2).(3)tan(－945°)＝－tan945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan45°＝－1.利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟1“負(fù)化正”——用公式一或三來(lái)轉(zhuǎn)化；2“大化小”——用公式一將角化為0°到360°間的角；3“小化銳”——用公式二或四將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角；4“銳求值”——得到銳角的三角函數(shù)后求值.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．求下列各三角函數(shù)值：(1)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))；(2)tan(－765°)；(3)sineq\f(4π,3)·coseq\f(25π,6)·taneq\f(5π,4).[解](1)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))＝coseq\f(11π,6)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(,3),2).(2)tan(－765°)＝tan(－720°－45°)＝tan(－45°)＝－tan45°＝－1.(3)sineq\f(4π,3)·coseq\f(25π,6)·taneq\f(5π,4)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(π,6)))taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,4)))＝－sineq\f(π,3)×coseq\f(π,6)×taneq\f(π,4)＝－eq\f(\r(,3),2)×eq\f(\r(,3),2)×1＝－eq\f(3,4).化簡(jiǎn)求值【例2】(1)化簡(jiǎn)：eq\f(cos－αtan7π＋α,sinπ－α)＝；(2)化簡(jiǎn)：eq\f(cos180°＋αsinα＋360°,sin－α－180°cos－180°－α).(1)1[eq\f(cos－αtan7π＋α,sinπ－α)＝eq\f(cosαtanπ＋α,sinα)＝eq\f(cosα·tanα,sinα)＝eq\f(sinα,sinα)＝1.](2)[解]原式＝eq\f(－cosα·sinα,[－sinα＋180°]·cos180°＋α)＝eq\f(sinαcosα,sinα＋180°cos180°＋α)＝eq\f(sinαcosα,－sinα－cosα)＝1.三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的常用方法1利用誘導(dǎo)公式，將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù).2切化弦：一般需將表達(dá)式中的切函數(shù)轉(zhuǎn)化為弦函數(shù).3注意“1”的應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α＝taneq\f(π,4).eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．化簡(jiǎn)：(1)eq\f(sinπ＋αsin2π－αcos－π－α,sin3π＋αcosπ－αsinπ－α)；(2)化簡(jiǎn)：eq\f(\r(1＋2sin290°cos430°),sin250°＋cos790°).[解](1)原式＝eq\f(－sinα－sinα－cosα,sinπ＋α－cosαsinα)＝eq\f(－sinα－sinα－cosα,－sinα－cosαsinα)＝－1.(2)原式＝eq\f(\r(1＋2sin360°－70°cos360°＋70°),sin180°＋70°＋cos720°＋70°)＝eq\f(\r(1－2sin70°cos70°),－sin70°＋cos70°)＝eq\f(|cos70°－sin70°|,cos70°－sin70°)＝eq\f(sin70°－cos70°,cos70°－sin70°)＝－1.給值(式)求值問(wèn)題【例3】(1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，則sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于()A.eq\f(m2－1,2) B.eq\f(m2＋1,2)C.eq\f(1－m2,2) D．－eq\f(m2＋1,2)(2)已知cos(α－75°)＝－eq\f(1,3)，且α為第四象限角，求sin(105°＋α)的值．思路點(diǎn)撥：(1)eq\x(化簡(jiǎn)已知和所求三角函數(shù)式)→eq\x(根據(jù)sinα±cosα，sinαcosα的關(guān)系求值)(2)eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\x(105°＋α－α－75°＝180°),\x(cosα－75°＝－\f(1,3)，α為第四象限角)))→eq\x(求sinα－75°)→eq\x(用sin180°＋α＝－sinα求值)(1)A[sin(α－360°)－cos(180°－α)＝sinα＋cosα＝m，sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sinαcosα＝eq\f(sinα＋cosα2－1,2)＝eq\f(m2－1,2).](2)[解]∵cos(α－75°)＝－eq\f(1,3)＜0，且α為第四象限角，∴sin(α－75°)＝－eq\r(1－cos2α－75°)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))eq\s\up12(2))＝－eq\f(2\r(2),3)，∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝eq\f(2\r(2),3).1．例3(2)條件不變，求cos(255°－α)的值．[解]cos(255°－α)＝cos[180°－(α－75°)]＝－cos(α－75°)＝eq\f(1,3).2．將例3(2)的條件“cos(α－75°)＝－eq\f(1,3)”改為“tan(α－75°)＝－5”，其他條件不變，結(jié)果又如何？[解]因?yàn)閠an(α－75°)＝－5＜0，且α為第四象限角，所以α－75°是第四象限角．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2α－75°＋cos2α－75°＝1，,\f(sinα－75°,cosα－75°)＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα－75°＝－\f(5\r(26),26)，,cosα－75°＝\f(\r(26),26)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα－75°＝\f(5\r(26),26)，,cosα－75°＝－\f(\r(26),26).))(舍)所以sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝eq\f(5\r(26),26).解決條件求值問(wèn)題的兩個(gè)技巧1尋找差異：解決條件求值問(wèn)題，首先要仔細(xì)觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名及有關(guān)運(yùn)算之間的差異及聯(lián)系.2轉(zhuǎn)化：可以將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)化.提醒：設(shè)法消除已知式與所求式之間的種種差異是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)或證明問(wèn)題[探究問(wèn)題]1．利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)sin(kπ＋α)(其中k∈Z)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果與k是否有關(guān)？提示：有關(guān)．因?yàn)閗是奇數(shù)還是偶數(shù)不確定．當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sinα；當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sinα.2．利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)tan(kπ＋α)(其中k∈Z)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果與k是否有關(guān)？提示：無(wú)關(guān)．根據(jù)公式tan(π＋α)＝tanα可知tan(kπ＋α)＝tanα(其中k∈Z)．【例4】設(shè)k為整數(shù)，化簡(jiǎn)：eq\f(sinkπ－αcos[k－1π－α],sin[k＋1π＋α]coskπ＋α).思路點(diǎn)撥：本題常用的解決方法有兩種：①為了便于運(yùn)用誘導(dǎo)公式，必須把k分成偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況討論；②觀察式子結(jié)構(gòu)，kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，可使用配角法．[解]法一：(分類討論)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，設(shè)k＝2m(m∈Z)，則原式＝eq\f(sin2mπ－αcos[2m－1π－α],sin[2m＋1π＋α]cos2mπ＋α)＝eq\f(sin－αcosπ＋α,sinπ＋αcosα)＝eq\f(－sinα－cosα,－sinαcosα)＝－1；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，設(shè)k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1.法二：(配角法)由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，故cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)．所以原式＝eq\f(－sinkπ＋α[－coskπ＋α],－sinkπ＋αcoskπ＋α)＝－1.明確三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的原則和方向1切化弦，統(tǒng)一名.2用誘導(dǎo)公式，統(tǒng)一角.3用因式分解將式子變形，化為最簡(jiǎn).提醒：注意分類討論思想的應(yīng)用.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．求證：eq\f(tan2π－αsin－2π－αcos6π－α,cosα－πsin5π－α)＝－tanα.[證明]左邊＝eq\f(tan－αsin－αcos－α,cosπ－αsinπ－α)＝eq\f(－tanα－sinαcosα,－cosαsinα)＝－tanα＝右邊，∴eq\f(tan2π－αsin－2π－αcos6π－α,cosα－πsin5π－α)＝－tanα.1．各誘導(dǎo)公式的作用誘導(dǎo)公式作用公式一將角轉(zhuǎn)化為0～2π之間的角求值公式二將0～2π內(nèi)的角轉(zhuǎn)化為0～π之間的角求值公式三將負(fù)角轉(zhuǎn)化為正角求值公式四將角轉(zhuǎn)化為0～eq\f(π,2)之間的角求值2.誘導(dǎo)公式的記憶這四組誘導(dǎo)公式的記憶口訣是“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”．其含義是誘導(dǎo)公式兩邊的函數(shù)名稱一致，符號(hào)則是將α看成銳角時(shí)原角所在象限的三角函數(shù)值的符號(hào)，α看成銳角，只是公式記憶的方便，實(shí)際上α可以是任意角．1．下列命題成立的是()A．誘導(dǎo)公式二、三、四中，角α可以為任意角B．當(dāng)α為鈍角時(shí)，cos(π－α)＝cosαC．若α＋β＝π，則sinα＝sinβD．若α＋β＝0，則tanα＝tanβC[A錯(cuò)，因?yàn)棣列枋拐杏幸饬x；B錯(cuò)，不論α為任意角，都有cos(π－α)＝－cosα；C正確，因?yàn)閟inβ＝sin(π－α)＝sinα；D錯(cuò)，tanβ＝tan(－α)＝－tanα.]2．taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3)))等于()A．－eq