3.3 垂徑定理 北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊課件

第3章圓*3.3

垂徑定理復(fù)習(xí)回顧——圓的對稱性與相關(guān)定理說說圓的對稱性.圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線.圓是中心對稱圖形，對稱中心為圓心.O描述圓心角、弧、弦之間相等關(guān)系定理.在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.OB′A′M′ABM復(fù)習(xí)回顧——圓的對稱性與相關(guān)定理探索新知——垂徑定理及其逆定理（1）在探索圓的軸對稱性的過程中，若沿兩條直徑折疊可以是哪些位置關(guān)系呢？垂直是特殊情況，你能得出哪些等量關(guān)系？斜交，垂直AO=BO，CO=DO，AC=BC，AD=BDOABCD（2）若把AB向下平移到任意位置，變成非直徑的弦，觀察一下，還有與剛才類似的結(jié)論嗎？AE=BE，AC=BC，AD=BDOABCDE探索新知——垂徑定理及其逆定理活動：在圓紙片上畫出圖形，并沿CD折疊，實驗后提出猜想.OABCDE猜想：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧.你能寫出已知求證，并證明嗎？探索新知——垂徑定理及其逆定理求證：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧.已知：如圖，AB是⊙O的一條弦，CD是⊙O的一條直徑，并且CD⊥AB，垂足為E.求證：AE=BE，AC=BC，AD=BD.證明：連接OA，OB，則OA=OB.在Rt△OAE和Rt△OBE中，∵OA=OB，OE=OE，∴Rt△OAE≌Rt△OBE.∴AE=BE，∠AOC=∠BOC.∴AC=

BC.∵∠AOD=

180°-∠AOC，∠BOD=

180°-∠BOC，∴∠AOD=∠BOD.∴AD=BD.OABCDE該證明用了圓的什么性質(zhì)？探索新知——垂徑定理及其逆定理求證：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧.已知：如圖，AB是⊙O的一條弦，CD是⊙O的一條直徑，并且CD⊥AB，垂足為M.OABCDE若只證明AE=BE，還有什么方法？探索新知——垂徑定理及其逆定理求證：AE=BE，AC=BC，AD=BD.猜想得以證明，命題是真命題，我們把真命題叫做___________.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧.定理

CD是直徑CD⊥AB垂徑定理的推理格式AM=BM探索新知——垂徑定理及其逆定理由下列各圖，能否得到AE=BE的結(jié)論？為什么？可以O(shè)ABCDEOABCDEOABCDE不可以不可以探索新知——垂徑定理及其逆定理垂直定理還可表達(dá)為：一條直線若滿足①過圓心②垂直于弦③平分弦⑤平分弦所對的劣弧④平分弦所對的優(yōu)弧兩個條件缺一不可.探索新知——垂徑定理及其逆定理OABCDE如果將“垂直定理”中的條件②垂直于弦與結(jié)論③平分弦互換，得到的結(jié)論仍然成立嗎？上述猜想的條件和結(jié)論是什么？請將文字語言轉(zhuǎn)換成符號語言，寫出已知和求證.①過圓心②垂直于弦③平分弦⑤平分弦所對的劣?、芷椒窒宜鶎Φ膬?yōu)弧得到的結(jié)論仍然成立：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對應(yīng)的弧.探索新知——垂徑定理及其逆定理求證：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對應(yīng)的弧.已知：如圖，AB是⊙O的一條弦（不是直徑），CD是⊙O的一條直徑，AB與CD交于點E，并且AE=BE.求證：CD⊥AB，AC=BC，AD=BD.OABCDE你能寫出證明過程嗎？用SSS證明Rt△OAE≌Rt△OBE.探索新知——垂徑定理及其逆定理應(yīng)用實際解：連接OC.設(shè)彎路的半徑為Rm，則OF=（R-90）m.∵OE⊥CD，例1.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。磮D中CD，點O是CD所在圓的圓心），其中CD=600m，E為CD上的一點，且OE⊥CD，垂足為F，EF=90m.求這段彎路的半徑.CDEFO在Rt△OCF中，根據(jù)勾股定理得OC2=CF2+

OF2，即R2=3002+(R-90)2.解這個方程，得R=545.所以，這段彎路的半徑為545m.應(yīng)用實際弦心距：圓心到弦的垂線段的長度稱為這條弦的弦心距.如OF.弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形.如弓形CED.弓形的高：從圓心向弦作垂線,垂線被弦和弧所截的線段的長,稱為弓形的高.如EF.CDEFO應(yīng)用實際例2.已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點.求證：AC=BD.DOCAB問：（1）證明兩條線相等，最習(xí)慣用什么方法？（2）在此用三角形全等怎么證明？（3）用垂徑定理怎么證明？應(yīng)用實際解：過點O作OE⊥AB，連接OA，OB，OC，OD.則AE=BE，CE=DE，所以AE-CE=BE-DE，即AC=BD.例2.已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點.求證：AC=BD.DOCABE添半徑和過圓心作弦的垂線段是兩條常用的輔助線.鞏固練習(xí)1.已知在⊙O中，弦AB=8，O到AB的距離等于3，求⊙O的半徑.

半徑為5OAB鞏固練習(xí)變式訓(xùn)練：（1）如圖（1），AB是兩個以O(shè)為圓心的同心圓中大圓的直徑，AB交小圓于C、D兩點，求證：AC=BD.DOCAB圖（1）證明：∵AB是兩個以O(shè)為圓心的同心圓中大圓的直徑，AB交小圓于C、D兩點，∴OA=OB，OC=OD，∴OA-OC=OB-OD，∴AC=BD.鞏固練習(xí)變式訓(xùn)練：（2）把圖中直徑AB向下平移，變成非直徑的弦AB，如圖（2），是否仍有AC=BD？DOCAB圖（2）E解：過點O作OE⊥AB，連接OA，OB，OC，OD.則AE=BE，CE=DE，所以AE-CE=BE-DE，即AC=BD.鞏固練習(xí)變式訓(xùn)練：（3）在圖（2）中連接OC，OD，將小圓隱去，設(shè)OC=OD，求證：AC=BD.DOCAB圖（2）E解：過點O作OE⊥AB，連接OA，OB，則AE=BE.又OC=OD，OE=OE，OE⊥AB，所以Rt△OEC≌Rt△OED.所以CE=DE，所以AE-CE=BE-DE，即AC=BD.鞏固練習(xí)2.已知AB為⊙O的弦，P為AB上的一點，AB=10cm，OP=5cm，PA=4cm，求⊙O的半徑r及∠OPB的正弦值.半徑r為7cmOABPD鞏固練習(xí)3.在半徑為6cm的圓中，已知互相垂直的弦，其中一條被另一條分為3cm和7cm兩段，則圓心到兩弦的距離之和等于多少？OABCDE鞏固練習(xí)4.已知⊙O的半徑為15cm，弦PQ∥MN且PQ=18cm，MN=24cm，求以兩平行弦為底的梯形的面積.梯形面積為441cm2OMNPQ梯形面積為63cm2OMNPQ1.垂徑定理是說一條直線如果具備：（1）過圓心；（2）垂直于弦，則它有以下性質(zhì)：（1）平分弦；（2）平分弦所對的劣??；（3）平分弦所對的優(yōu)弧.2.如果這條直線具備其中兩個性質(zhì)能否得出第三個呢？請同學(xué)們課后探索.3.利用垂徑定理進(jìn)行計算時，一般情況下要作出圓心到弦的垂線