復變函數(shù)試題及答案1

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁一、填空題（每小題2分）1、復數(shù)的指數(shù)形式是2、函數(shù)=將上的曲線變成()上的曲線是3、若,則＝4、=5、積分=6、積分7、冪級數(shù)的收斂半徑R=8、是函數(shù)的奇點9、10、將點,i,0分離變成0,i,的分式線性變換二、單選題（每小題2分）1、設為隨意實數(shù)，則=（）A無意義B等于1C是復數(shù)其實部等于1D是復數(shù)其模等于12、下列命題準確的是（）AB零的輻角是零C僅存在一個數(shù)z,使得D3、下列命題準確的是（）A函數(shù)在平面上到處延續(xù)B倘若存在,那么在解析C每一個冪級數(shù)在它的收斂圓周上到處收斂D倘若v是u的共軛調和函數(shù),則u也是v的共軛調和函數(shù)4、根式的值之一是（）ABCD5、下列函數(shù)在的去心鄰域內可展成洛朗級數(shù)的是（）ABCD6、下列積分之值不等于0的是()ABCD7、函數(shù)在處的泰勒展式為（）A（<1）B（<1）C（<1）D（<1）8、冪級數(shù)在內的和函數(shù)是（）ABCD9、設a，C：=1，則（）A0BiC2ieDicosi10、將單位圓共形映射成單位圓外部的分式線性變換是（）ABCD三、判斷題（每小題2分）1、（）對任何復數(shù)z,成立2、（）若是和的一個奇點,則也是的奇點3、（）方程的根全在圓環(huán)內4、（）z=是函數(shù)的三階極點5、（）解析函數(shù)的零點是孤立的四、計算題（每小題6分）1、已知在上解析,求a,b,c,d的值2、計算積分3、將函數(shù)在的鄰域內展成泰勒級數(shù),并指出收斂范圍4、計算實積分I=5、求在指定圓環(huán)內的洛朗展式6、求將上半平面共形映射成單位圓的分式線性變換，使符合條件，五、證實題（每小題7分）1、設（1）函數(shù)在區(qū)域內解析（2）在某一點有，（）證實：在內必為常數(shù)2、證實方程在單位圓內有個根一填空題（每小題2分，視答題情況可酌情給1分，共20分）1，2，3(2k+1),(k=0,)，4(k=0,)5,60,7,8可去，9，10二單選題（每小題2分，共20分）1D2D3A4A5B6B7C8D9A三判斷題（每小題2分，共10分）12345四計算題（每小題6分，共36分）1解：,分…5分解得:分2解：被積函數(shù)在圓周的內部惟獨一階極點z=0及二階極點z=1分 =2i(-2+2)=0分3解：=…4分（<2）…6分4解:被積函數(shù)為偶函數(shù)在上半z平面有兩個一階極點i,2i…1分I=…2分=…3分=…5分=…6分5解：…1分=…3分=…6分6解:=L(i)=k分…3分…4分…6分五證實題（每小題7分，共14分）1證實:設在解析由泰勒定理…2分由題設，…4分由唯一性定理…7分2證實：令，分(1）及在解析(2）上，<5分故在上，由儒歇定理在內…7分一、填空題（每小題2分）1、的指數(shù)形式是2、=3、若0<r<1，則積分4、若是的共軛調和函數(shù)，那么的共軛調和函數(shù)是5、設為函數(shù)=的m階零點，則m=6、設為函數(shù)的n階極點，那么=7、冪級數(shù)的收斂半徑R=8、是函數(shù)的奇點9、方程的根全在圓環(huán)內10、將點,i,0分離變成0,i,的分式線性變換二、單選題（每小題2分）1、若函數(shù)在區(qū)域D內解析，則函數(shù)在區(qū)域D內（）A在有限個點可導B存在隨意階導數(shù)C在無窮多個點可導D存在有限個點不可導2、使成立的復數(shù)是（）A不存在B唯一的C純虛數(shù)D實數(shù)3、（）A－sin1Bsin1C－2sin1D2sin14、根式的值之一是（）ABCD5、是的（）A可去奇點B一階極點C一階零點D本質奇點6、函數(shù)，在以為中央的圓環(huán)內的洛朗展式有m個，則m=()A1B2C7、下列函數(shù)是解析函數(shù)的為（）ABCD8、在下列函數(shù)中，的是（）ABCD9、設a，C：=1，則（）A0BiC2ieDicosi10、將單位圓共形映射成單位圓外部的分式線性變換是（）ABCD滿分滿分10得分三、判斷題（每小題2分）1、（）冪級數(shù)在<1內一致收斂2、（）z=是函數(shù)的可去奇點3、（）在柯西積分公式中，倘若，即a在之外，其它條件不變，則積分0，4、（）函數(shù)在的去心鄰域內可展成洛朗級數(shù)5、（）解析函數(shù)的零點是孤立的四、計算題（每小題6分）1、計算積分，C：1+的直線段2、求函數(shù)在所有孤立奇點（包括）處的留數(shù)3、將函數(shù)在的去心鄰域內展成洛朗級數(shù),并指出收斂域滿分14得分4、計算積分,C:，滿分14得分5、計算實積分I=6、求將單位圓共形映射成單位圓的分式線性變換使符合條件，五、證實題（每小題7分）1、設函數(shù)在區(qū)域內解析，證實：函數(shù)也在內解析2、證實：在解析，且滿意的，（）的函數(shù)不存在一填空題（每小題2分，視答題情況可酌情給1分，共20分）1，2(k=0,±…)，30，4，596，7，8本質，9，10二單選題（每小題2分，共20分）1B2D3C4D5A6C7C8D三判斷題（每小題2分，共10分）12345四計算題（每小題6分，共36分）1解：C的參數(shù)方程為：z=i+t,0dz=dt分＝=分2解:為一階極點分為二階極點分分分…6分3解：=…2分=…5分（0<<2）…6分4解：在C內有一個二階極點＝0和一個一階極點…1分…3分…5分所以原式＝i…6分解：令…1分=…3分被積函數(shù)在內的有一個一階極點…5分I=…6分6解：分所以分于是所求變換分五證實題（每小題7分，共14分）1證實：設f(z)=u（x，y）+iv（x，y）=u（x，y）-iv（x，y）=v（x，y）-iu（x，y）