2011年-2020年四川省歷年高考文科數(shù)學(xué)試卷真題及答案（共10套）

第1頁(yè)共9頁(yè)2011年(四川卷)普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(文史類)本試卷分第一部分(選擇題)和第二部分(非選擇題)。第一部分1至2頁(yè)，第二部分3至4頁(yè)，共4頁(yè)．考生作答時(shí)，須將答案答在答題卡上及試題卷，草稿紙上答題無(wú)效，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.參考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面積公式P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互獨(dú)立，那么其中R表示球的半徑P(A·B)=P(A)·P(B)球的體積公式如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率其中R表示球的半徑[來(lái)源:Z+xx+k.Com]第一部分（選擇題共60分）注意事項(xiàng)：1.選擇題必須使用2B鉛筆將答案標(biāo)號(hào)填涂在答題卡上對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上。2.本部分共12小題，每小題5分，共60分。一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若全集M=，N=，則?MN=（A）(B)(C)(D)2.有一個(gè)容量為66的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：24918111273根據(jù)樣本的頻率分布估計(jì)，大于或等于31.5的數(shù)據(jù)約占（A）(B)(C)(D)3.圓的圓心坐標(biāo)是(A)(2，3)(B)(-2，-3)(C)(-2，-3)(D)(2，-3)4.函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圖像大致是5.“x=3”是“x2=9”的（A）充分而不必要的條件（B）必要而不充分的條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要的條件6.，，是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是（A）//（B）,//（C）////，，共面（D），，共點(diǎn)，，共面7.如圖，正六邊形ABCDEF中=（A）0（B）（C）（D）8.在△ABC中，sin2A

≤

sin2B+sin2C-sinBsinC,則A的取值范圍是（A）（B）(C)（D）9.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=1,an+1=3Sn(n

≥

1),則a4=（A）3×

44（B）3×

44+1(C)44（D）44+110.某運(yùn)輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車，某天需送往A地至少72噸的貨物，派用的每輛車需載滿且只能送一次，派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運(yùn)送一次可得利潤(rùn)450元；派用的每輛乙型卡需配1名工人；沒(méi)送一次可得利潤(rùn)350元，該公司合理計(jì)劃當(dāng)天派用甲乙卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤(rùn)（A）4650元（B）4700元[來(lái)源:學(xué)|科|網(wǎng)Z|X|X|K](C)4900元（D）5000元11.在拋物線y=x2+ax-5(a

≠

0)上取橫坐標(biāo)為x1=4,x2=2的兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)引一條割線，有平行于該割線的一條直線同時(shí)與拋物線和圓5x2+5y2=36相切，則（A）(-2,-9)（B）(0,-5)(C)(2,-9)（D）(1,6)[來(lái)源:Z+xx+k.Com]12.在集合中任取一個(gè)偶數(shù)a和一個(gè)奇數(shù)b構(gòu)成以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量a=（a，b）從所有得到的以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量中任取兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形，記所有作為平行四邊形的個(gè)數(shù)為n，其中面積等于2的平行四邊形的個(gè)數(shù)m，則=（A）（B）[來(lái)源:Z.xx.k.Com]（C）（D）第二部分（非選擇題共90分）注意事項(xiàng)：1.必須使用0.5毫米黑色墨跡簽字筆在答題卡題目所指示的答題區(qū)域內(nèi)作答，作圖題可先用鉛筆繪出，確認(rèn)后再用.5毫米黑色墨跡簽字描清楚。答在試題卷上無(wú)效。2.本部分共10小題，共90分.一、填空題。本大題共4小題，每小題4分13.的展開(kāi)式中的系數(shù)是（用數(shù)字作答）14.雙曲線上一點(diǎn)P到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是4，那么點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離是.15.如圖，半徑為4的球O中有一內(nèi)接圓柱。當(dāng)圓柱的面積最大時(shí)，球的表面積與圓柱的側(cè)面積之差是.16.函數(shù)的定義域?yàn)锳,若A，且時(shí)總有，則稱為單函數(shù).例如是單函數(shù)，下列命題：①函數(shù)是單函數(shù)；②函數(shù)是單函數(shù)，③若為單函數(shù)，且，則；④在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)一定是單函數(shù)其中的真命題是（寫出所有真命題的編號(hào)）三、解答題：本大題共6小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.（本小題共12分）本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來(lái)越多。某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租不超過(guò)兩小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)兩小時(shí)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為2元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）。有人獨(dú)立來(lái)該租車點(diǎn)則車騎游。各租一車一次。設(shè)甲、乙不超過(guò)兩小時(shí)還車的概率分別為；兩小時(shí)以上且不超過(guò)三小時(shí)還車的概率分別為；兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過(guò)四小時(shí)。（Ⅰ）分別求出甲、乙在三小時(shí)以上且不超過(guò)四小時(shí)還車的概率；（Ⅱ）求甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和小于6元的概率。19.（本小題共12分）如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延長(zhǎng)A1C1至點(diǎn),使C1=A1C1，連結(jié)AP交棱CC1于點(diǎn)D.(Ⅰ)求證：PB1∥BDA1;(Ⅱ)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值。20.（本小題共12分）已知﹛﹜是以為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列，為它的前項(xiàng)和。(Ⅰ)當(dāng)成等差數(shù)列時(shí)，求q的值；(Ⅱ)當(dāng)，，成等差數(shù)列時(shí)，求證：對(duì)任意自然數(shù)也成等差數(shù)列。21.（本小題共12分）過(guò)點(diǎn)的橢圓的離心率為，橢圓與軸交于兩點(diǎn)、，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓右焦點(diǎn)交于另一點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)。（I）當(dāng)直線過(guò)橢圓右焦點(diǎn)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)B時(shí)，求證：為定值。22．（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)=x+,h(x)=.（Ⅰ）設(shè)函數(shù)F(x)=18f(x)-x2[h(x)]2,求F(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；（Ⅱ）設(shè)aR,解關(guān)于x的方程[f(x-1)-]=2h(a-x)-2h(4-x);（Ⅲ）設(shè)nn,證明：f(n)h(n)-[h(1)+h(2)+…+h（n）]≥.2011年四川省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）（2011?四川）若全集M={1，2，3，4，5}，N={2，4}，則?MN=（）A．? B．{1，3，5} C．{2，4} D．{1，2，3，4，5}【考點(diǎn)】補(bǔ)集及其運(yùn)算．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)已知中全集M={1，2，3，4，5}，N={2，4}，結(jié)合補(bǔ)集的運(yùn)算方法代入即可得到CUN的結(jié)果．【解答】解：∵全集M={1，2，3，4，5}，N={2，4}，∴CUN={1，3，5}故選B【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是補(bǔ)集及其運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題，熟練掌握集合運(yùn)算方法是解答的關(guān)鍵．2．（5分）（2011?四川）有一個(gè)容量為66的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：[11.5，15.5）2[15.5，19.5）4[19.5，23.5）9[23.5，27.5）18[27.5，31.5）11[31.5，35.5）12[35.5，39.5）7[39.5，43.5）3根據(jù)樣本的頻率分布估計(jì)，大于或等于31.5的數(shù)據(jù)約占（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)所給的數(shù)據(jù)的分組和各組的頻數(shù)，得到符合條件的數(shù)據(jù)共有的個(gè)數(shù)，又知本組數(shù)據(jù)的總數(shù)，求兩個(gè)點(diǎn)比值得到符合條件的數(shù)據(jù)所占的比．【解答】解：根據(jù)所給的數(shù)據(jù)的分組和各組的頻數(shù)知道，大于或等于31.5的數(shù)據(jù)有[31.5，35.5）12；[35.5，39.5）7；[39.5，43.5）3，可以得到共有12+7+3=22，∵本組數(shù)據(jù)共有66個(gè)，∴大于或等于31.5的數(shù)據(jù)約占，故選B【點(diǎn)評(píng)】本題考查用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征，考查等可能事件的概率，考查利用列舉法得到滿足條件的事件數(shù)，本題是一個(gè)概率統(tǒng)計(jì)的綜合題目．3．（5分）（2011?四川）圓x2+y2﹣4x+6y=0的圓心坐標(biāo)是（）A．（﹣2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】計(jì)算題．【分析】把圓的方程配方得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后，找出圓心坐標(biāo)即可．【解答】解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x﹣2）2+（y+3）2=13，所以此圓的圓心坐標(biāo)為（2，﹣3）．故選D【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生會(huì)將圓的一般式方程化為標(biāo)準(zhǔn)式方程，并會(huì)從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中找出圓心的坐標(biāo)，是一道基礎(chǔ)題．4．（5分）（2011?四川）函數(shù)y=（）x+1的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圖象大致是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】反函數(shù)；指數(shù)函數(shù)的圖像變換．【專題】綜合題；數(shù)形結(jié)合．【分析】函數(shù)y=（）x+1的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圖象，即為函數(shù)y=（）x+1反函數(shù)的圖象，求出函數(shù)的反函數(shù)后，分析其反函數(shù)的性質(zhì)，并逐一分析四個(gè)答案，即可得到答案．【解答】解：∵函數(shù)y=（）x+1反函數(shù)為其圖象過(guò)（2，0）點(diǎn)，且在定義域（1，+∞）為減函數(shù)分析四個(gè)答案發(fā)現(xiàn)只能A滿足要求故選A【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是反函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，其中根據(jù)已知函數(shù)的解析式，求出其反函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．5．（5分）（2011?四川）“x=3”是“x2=9”的（）A．充分而不必要的條件 B．必要而不充分的條件C．充要條件 D．既不充分也不必要的條件【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】閱讀型．【分析】化簡(jiǎn)條件：x2=9；判斷前者是否能推出后者；判斷后者是否能推出前者，利用充要條件的定義判斷出結(jié)論．【解答】解：∵x2=9?x=±3∴x=3?x2=9反之，推不出；故“x=3”是“x2=9”的充分不必要條件．故選A【點(diǎn)評(píng)】本題考查判斷命題間的條件故選時(shí)：一般先化簡(jiǎn)前、后兩個(gè)條件、再利用充要條件的定義判斷．6．（5分）（2011?四川）l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共點(diǎn)?l1，l2，l3共面【考點(diǎn)】平面的基本性質(zhì)及推論；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【專題】證明題．【分析】通過(guò)兩條直線垂直的充要條件兩條線所成的角為90°；判斷出B對(duì)；通過(guò)舉常見(jiàn)的圖形中的邊、面的關(guān)系說(shuō)明命題錯(cuò)誤．【解答】解：對(duì)于A，通過(guò)常見(jiàn)的圖形正方體，從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩垂直，A錯(cuò)；對(duì)于B，∵l1⊥l2，∴l(xiāng)1，l2所成的角是90°，又∵l2∥l3∴l(xiāng)1，l3所成的角是90°∴l(xiāng)1⊥l3，B對(duì)；對(duì)于C，例如三棱柱中的三側(cè)棱平行，但不共面，故C錯(cuò)；對(duì)于D，例如三棱錐的三側(cè)棱共點(diǎn)，但不共面，故D錯(cuò)．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩直線垂直的定義、考查判斷線面的位置關(guān)系時(shí)常借助常見(jiàn)圖形中的邊面的位置關(guān)系得到啟示．7．（5分）（2011?四川）如圖，正六邊形ABCDEF中，=（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】向量的加法及其幾何意義．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)正六邊形對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，我們可得=，=，然后根據(jù)平面向量加法的三角形法則，即可得到答案．【解答】解：根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，我們易得===故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是向量的加法及其幾何意義，其中根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到=，=是解答本題的關(guān)鍵．8．（5分）（2011?四川）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，則A的取值范圍是（）A．（0，] B．[，π） C．（0，] D．[，π）【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值轉(zhuǎn)化成邊，進(jìn)而代入到余弦定理公式中求得cosA的范圍，進(jìn)而求得A的范圍．【解答】解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，∴a2≤b2+c2﹣bc，∴bc≤b2+c2﹣a2∴cosA=≥∴A≤∵A＞0∴A的取值范圍是（0，]故選C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用．作為解三角形中常用的兩個(gè)定理，考生應(yīng)能熟練記憶．9．（5分）（2011?四川）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n≥1），則a6=（）A．3×44 B．3×44+1 C．44 D．44+1【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)已知的an+1=3Sn，當(dāng)n大于等于2時(shí)得到an=3Sn﹣1，兩者相減，根據(jù)Sn﹣Sn﹣1=an，得到數(shù)列的第n+1項(xiàng)等于第n項(xiàng)的4倍（n大于等于2），所以得到此數(shù)列除去第1項(xiàng)，從第2項(xiàng)開(kāi)始，為首項(xiàng)是第2項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列，由a1=1，an+1=3Sn，令n=1，即可求出第2項(xiàng)的值，寫出2項(xiàng)以后各項(xiàng)的通項(xiàng)公式，把n=6代入通項(xiàng)公式即可求出第6項(xiàng)的值．【解答】解：由an+1=3Sn，得到an=3Sn﹣1（n≥2），兩式相減得：an+1﹣an=3（Sn﹣Sn﹣1）=3an，則an+1=4an（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3，得到此數(shù)列除去第一項(xiàng)后，為首項(xiàng)是3，公比為4的等比數(shù)列，所以an=a2qn﹣2=3×4n﹣2（n≥2）則a6=3×44．故選A【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生掌握等比數(shù)列的確定方法，會(huì)根據(jù)首項(xiàng)和公比寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，是一道基礎(chǔ)題．10．（5分）（2011?四川）某運(yùn)輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車，某天需送往A地至少72噸的貨物，派用的每輛車需載滿且只能送一次，派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運(yùn)送一次可得利潤(rùn)450元；派用的每輛乙型卡需配1名工人；每送一次可得利潤(rùn)350元，該公司合理計(jì)劃當(dāng)天派用甲乙卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤(rùn)z=（）A．4650元 B．4700元 C．4900元 D．5000元【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合．【分析】我們?cè)O(shè)派x輛甲卡車，y輛乙卡車，利潤(rùn)為z，根據(jù)題意中運(yùn)輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車，某天需送往A地至少72噸的貨物，派用的每輛車需載滿且只能送一次，派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運(yùn)送一次可得利潤(rùn)450元；派用的每輛乙型卡需配1名工人；每送一次可得利潤(rùn)350元，我們易構(gòu)造出x，y滿足的約束條件，及目標(biāo)函數(shù)，畫出滿足條件的平面區(qū)域，利用角點(diǎn)法即可得到答案．【解答】解：設(shè)派x輛甲卡車，y輛乙卡車，利潤(rùn)為z，由題意得：z=450x+350y由題意得x，y滿足下列條件：上述條件作出可行域，如圖所示：由圖可知，當(dāng)x=7，y=5時(shí)，450x+350y有最大值4900故選C【點(diǎn)評(píng)】在解決線性規(guī)劃的應(yīng)用題時(shí)，其步驟為：①分析題目中相關(guān)量的關(guān)系，列出不等式組，即約束條件?②由約束條件畫出可行域?③分析目標(biāo)函數(shù)Z與直線截距之間的關(guān)系?④使用平移直線法求出最優(yōu)解?⑤還原到現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中．11．（5分）（2011?四川）在拋物線y=x2+ax﹣5（a≠0）上取橫坐標(biāo)為x1=﹣4，x2=2的兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)引一條割線，有平行于該割線的一條直線同時(shí)與拋物線和圓5x2+5y2=36相切，則拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（﹣2，﹣9） B．（0，﹣5） C．（2，﹣9） D．（1，6）【考點(diǎn)】拋物線的應(yīng)用；拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】求出兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)連線的斜率公式求出割線的斜率；利用導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的值為切線的斜率求出切點(diǎn)坐標(biāo)；利用直線方程的點(diǎn)斜式求出直線方程；利用直線與圓相切的條件求出a，求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：兩點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，11﹣4a）；（2，2a﹣1），兩點(diǎn)連線的斜率k=，對(duì)于y=x2+ax﹣5，y′=2x+a，∴2x+a=a﹣2解得x=﹣1，在拋物線上的切點(diǎn)為（﹣1，﹣a﹣4），切線方程為（a﹣2）x﹣y﹣6=0，該切線與圓相切，圓心（0，0）到直線的距離=圓半徑，解得a=4或0（0舍去），拋物線方程為y=x2+4x﹣5頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣9）．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩點(diǎn)連線的斜率公式、考查導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的值為切線的斜率、考查直線與圓相切的充要條件是圓心到直線的距離等于半徑．12．（5分）（2011?四川）在集合{1，2，3，4，5}中任取一個(gè)偶數(shù)a和一個(gè)奇數(shù)b構(gòu)成以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量=（a，b）從所有得到的以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量中任取兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形，記所有作成平行四邊形的個(gè)數(shù)為n，其中面積等于2的平行四邊形的個(gè)數(shù)為m，則=（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】本題是一個(gè)古典概型，a的取法有2中，b的取法有3中，得到可以組成向量的個(gè)數(shù)，從中任取兩個(gè)向量共C62種取法，再由列舉法求出面積等于4的平行四邊形的個(gè)數(shù)，根據(jù)概率公式得到結(jié)果．【解答】解：由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是取出數(shù)字，構(gòu)成向量，a的取法有2種，b的取法有3種，故向量有6個(gè)，從中任取兩個(gè)向量共C62=15種取法，即n=15；由滿足條件的事件列舉法求出面積等于4的平行四邊形的個(gè)數(shù)有2個(gè)，∴根據(jù)古典概型概率公式得到P=，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型及其概率計(jì)算公式，考查組合數(shù)問(wèn)題、考查三角形面積問(wèn)題，注意列舉法在解題中的作用．本題是一個(gè)綜合題目．二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）13．（4分）（2011?四川）（x+1）n的展開(kāi)式中x3的系數(shù)是Cn3（用數(shù)字作答）【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出展開(kāi)式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為3，求出展開(kāi)式中x3的系數(shù)．【解答】解：展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tr+1=Cnrxr令r=3得到展開(kāi)式中x3的系數(shù)是Cn3故答案為：Cn3【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題．14．（4分）（2011?四川）雙曲線﹣=1上一點(diǎn)P到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是4，那么點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離是16．【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】利用雙曲線的方程求出參數(shù)a，b，c；求出準(zhǔn)線方程，離心率的值；利用雙曲線的第二定義求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；求出P到左準(zhǔn)線的距離．【解答】解：由雙曲線的方程知a=8，b=6所以c=10準(zhǔn)線方程為x=；離心率e=設(shè)點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為d則由雙曲線定義得即d=設(shè)P（x，y）則d=|=所以x=所以點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離是故答案為16【點(diǎn)評(píng)】本題考查由雙曲線的方程得到三個(gè)參數(shù)值注意最大的參數(shù)是c、考查雙曲線的準(zhǔn)線方程與離心率、考查雙曲線的第二定義、利用第二定義解決雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的有關(guān)問(wèn)題．15．（4分）（2011?四川）如圖，半徑為4的球O中有一內(nèi)接圓柱．當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是32π．【考點(diǎn)】球內(nèi)接多面體．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】設(shè)出圓柱的上底面半徑為r，球的半徑與上底面夾角為α，求出圓柱的側(cè)面積表達(dá)式，求出最大值，計(jì)算球的表面積，即可得到兩者的差值．【解答】解：設(shè)圓柱的上底面半徑為r，球的半徑與上底面夾角為α，則r=4cosα，圓柱的高為8sinα，圓柱的側(cè)面積為：32πsin2α，當(dāng)且僅當(dāng)α=時(shí)，sin2α=1，圓柱的側(cè)面積最大，圓柱的側(cè)面積為：32π，球的表面積為：64π，球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是：32π．故答案為：32π【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查球的內(nèi)接圓柱的知識(shí)，球的表面積，圓柱的側(cè)面積的最大值的求法，考查計(jì)算能力，常考題型．16．（4分）（2011?四川）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)锳，若x1，x2∈A，且f（x1）=f（x2）時(shí)總有x1=x2，則稱f（x）為單函數(shù)．例如f（x）=2x+1（x∈R）是單函數(shù)，下列命題：①函數(shù)f（x）=x2（x∈R）是單函數(shù)；②函數(shù)f（x）=2x（x∈R）是單函數(shù)，③若f（x）為單函數(shù)，x1，x2∈A且x1≠x2，則f（x1）≠f（x2）；④在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)一定是單函數(shù)其中的真命題是②③④（寫出所有真命題的編號(hào)）【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【專題】壓軸題；新定義．【分析】根據(jù)單函數(shù)的定義f（x1）=f（x2）時(shí)總有x1=x2，可知函數(shù)f（x）則對(duì)于任意b∈B，它至多有一個(gè)原象，而①f（﹣1）=f（1），顯然﹣1≠1，可知它不是單函數(shù)，②③④都是，可得結(jié)果．【解答】解：∵若x1，x2∈A，且f（x1）=f（x2）時(shí)總有x1=x2，則稱f（x）為單函數(shù)∴①函數(shù)f（x）=x2不是單函數(shù)，∵f（﹣1）=f（1），顯然﹣1≠1，∴函數(shù)f（x）=x2（x∈R）不是單函數(shù)；②∵函數(shù)f（x）=2x（x∈R）是增函數(shù)，∴f（x1）=f（x2）時(shí)總有x1=x2，即②正確；③∵f（x）為單函數(shù)，且x1≠x2，若f（x1）=f（x2），則x1=x2，與x1≠x2矛盾∴③正確；④同②；故答案為：②③④．【點(diǎn)評(píng)】此題是個(gè)基礎(chǔ)題．考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力和知識(shí)方法的遷移能力．三、解答題（共6小題，滿分74分）17．（12分）（2011?四川）本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來(lái)越多．某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租不超過(guò)兩小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)兩小時(shí)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為2元每小時(shí)（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）．有人獨(dú)立來(lái)該租車點(diǎn)租車騎游．各租一車一次．設(shè)甲、乙不超過(guò)兩小時(shí)還車的概率分別為，；兩小時(shí)以上且不超過(guò)三小時(shí)還車的概率分別為；兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過(guò)四小時(shí)．（Ⅰ）分別求出甲、乙在三小時(shí)以上且不超過(guò)四小時(shí)還車的概率；（Ⅱ）求甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和小于6元的概率．【考點(diǎn)】幾何概型．【專題】計(jì)算題．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，由全部基本事件的概率之和為1求解即可．（Ⅱ）先列出甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和小于6元的所有情況，可按照甲的付費(fèi)分類，因?yàn)楦黝悶榛コ馐录?，分別求概率再取和即可．【解答】解：（Ⅰ）甲在三小時(shí)以上且不超過(guò)四小時(shí)還車的概率為1﹣乙在三小時(shí)以上且不超過(guò)四小時(shí)還車的概率為（Ⅱ）甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和小于6元的情況有：甲不超過(guò)兩小時(shí)、甲兩小時(shí)以上且不超過(guò)三小時(shí)乙不超過(guò)三小時(shí)、甲在三小時(shí)以上且不超過(guò)四小時(shí)乙不超過(guò)兩小時(shí)三種．故概率為：++=【點(diǎn)評(píng)】本題考查獨(dú)立事件和互斥事件的概率，考查利用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．18．（12分）（2011?四川）已知函數(shù)f（x）=sin（x+）+cos（x﹣），x∈R（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知cos（β﹣α）=，cos（β+α）=﹣.0＜α＜β，求證：[f（β）]2﹣2=0．【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正弦函數(shù)；運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值；三角函數(shù)的周期性及其求法．【專題】計(jì)算題；綜合題．【分析】（Ⅰ）利用誘導(dǎo)公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的周期性和值域求解．（Ⅱ）利用兩角和公式把已知條件展開(kāi)后相加，求得β的值，代入函數(shù)解析式中求得答案．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）=sin（x﹣）+sin（x﹣）=2sin（x﹣）∴T=2π，最小值為﹣2（Ⅱ）∵cos（β﹣α）=cosβcosα+sinβsinα=，cos（β+α）=cosβcosα﹣sinβsinα=﹣，兩式相加得2cosβcosα=0，∵0＜α＜β，∴β=∴[f（β）]2﹣2=4sin2﹣2=0【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩角和公式和誘導(dǎo)公式的化簡(jiǎn)求值．考查了考生基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．19．（12分）（2011?四川）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延長(zhǎng)A1C1至點(diǎn)P，使C1P=A1C1，連接AP交棱CC1于點(diǎn)D．（Ⅰ）求證：PB1∥平面BDA1；（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值．【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定；直線與平面平行的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；證明題．【分析】以A1為原點(diǎn)，A1B，A1C，A1A分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立坐標(biāo)系，則我們易求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出各線的方向向量及各面的法向量．（I）要證明PB1∥平面BDA1，我們可以先求出直線PB1的向量，及平面BDA1的法向量，然后判斷證明這兩個(gè)向量互相垂直（II）由圖象可得二面角A﹣A1D﹣B是一個(gè)銳二面角，我們求出平面AA1D與平面A1DB的法向量，然后求出兩個(gè)法向量夾角的余弦值，得到結(jié)論．【解答】解：以A1為原點(diǎn)，A1B，A1C，A1A分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立坐標(biāo)系，則A1（0，0，0），B1（1，0，0），C1（0，1，0），B（1，0，1），P（0，2，0）（1）在△PAA1中，C1D=AA1，則D（0，1，）∴=（1，0，1），=（0，1，），=（﹣1，2，0）設(shè)平面BDA1的一個(gè)法向量為=（a，b，c）則令c=﹣1，則=（1，，﹣1）∵?=1×（﹣1）+×2+（﹣1）×0=0∴PB1∥平面BDA1（II）由（I）知平面BDA1的一個(gè)法向量=（1，，﹣1）又=（1，0，0）為平面AA1D的一個(gè)法向量∴cos＜，＞===故二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值為【點(diǎn)評(píng)】利用向量法求空間夾角問(wèn)題，包括以下幾種情況：空間兩條直線夾角的余弦值等于他們方向向量夾角余弦值的絕對(duì)值；空間直線與平面夾角的余弦值等于直線的方向向量與平面的法向量夾角的正弦值；空間銳二面角的余弦值等于他的兩個(gè)半平面方向向量夾角余弦值的絕對(duì)值；20．（12分）（2011?四川）已知﹛an﹜是以a為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列，Sn為它的前n項(xiàng)和．（Ⅰ）當(dāng)S1，S3，S4成等差數(shù)列時(shí)，求q的值；（Ⅱ）當(dāng)Sm，Sn，Sl成等差數(shù)列時(shí)，求證：對(duì)任意自然數(shù)k，am+k，an+k，al+k也成等差數(shù)列．【考點(diǎn)】等差關(guān)系的確定；等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；證明題．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，寫出等比數(shù)列﹛an﹜的前n項(xiàng)和是解決本題的關(guān)鍵，利用S1，S3，S4成等差數(shù)列尋找關(guān)于q的方程，通過(guò)解方程求出字母q的值；（Ⅱ）根據(jù)Sm，Sn，S1成等差數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式得出關(guān)于q的方程式是解決本題的關(guān)鍵，注意分類討論思想和整體思想的運(yùn)用．【解答】解：（Ⅰ）由已知得出an=a1qn﹣1，S3=a1+a2+a3=a1（1+q+q2），S4=a1+a2+a3+a4=a1（1+q+q2+q3），根據(jù)S1，S3，S4成等差數(shù)列得出2S3=S1+S4，代入整理并化簡(jiǎn)，約去q和a1，得q2﹣q﹣1=0，解得q=；（Ⅱ）當(dāng)q=1時(shí)，該數(shù)列為常數(shù)列，若Sm，Sn，Sl成等差數(shù)列，則也有am+k，an+k，a1+k成等差數(shù)列；若q≠1，由Sm，Sn，S1成等差數(shù)列，則有2Sn=S1+Sm，即有，整理化簡(jiǎn)得2qn﹣1=qm﹣1+ql﹣1，兩邊同乘以a1，得2a1qn﹣1=a1qm﹣1+a1ql﹣1，即2an=am+al，兩邊同乘以qk即可得到2an+k=am+k+al+k，即am+k，an+k，al+k成等差數(shù)列．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查學(xué)生判斷等差數(shù)列的方法，考查學(xué)生的方程思想和分類討論思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．21．（12分）（2011?四川）過(guò)點(diǎn)C（0，1）的橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為，橢圓與x軸交于兩點(diǎn)A（a，0）、B（﹣a，0），過(guò)點(diǎn)C的直線l與橢圓交于另一點(diǎn)D，并與x軸交于點(diǎn)P，直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q．（I）當(dāng)直線l過(guò)橢圓右焦點(diǎn)時(shí)，求線段CD的長(zhǎng)；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)B時(shí)，求證：為定值．【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；橢圓的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；證明題；綜合題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合．【分析】（I）當(dāng)直線l過(guò)橢圓右焦點(diǎn)時(shí)，寫出直線l的方程，并和橢圓聯(lián)立方程，求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式即可求得線段CD的長(zhǎng)；（Ⅱ）設(shè)出直線l的方程，并和橢圓聯(lián)立方程，求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，寫出直線AC與直線BD的方程，并解此方程組，求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)，代入即可證明結(jié)論．【解答】解：（I）由已知得b=1，，解得a=2，所以橢圓的方程為．橢圓的右焦點(diǎn)為（，0），此時(shí)直線l的方程為y=﹣x+1，代入橢圓方程化簡(jiǎn)得7x2﹣8x=0．解得x1=0，x2=，代入直線l的方程得y1=1，y2=﹣，所以D點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）故|CD|=；（Ⅱ）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)與題意不符，設(shè)直線l的方程為y=kx+1（k≠0，k≠）代入橢圓方程化簡(jiǎn)得（4k2+1）x2+8kx=0，解得x1=0，x2=，代入直線l的方程得y1=1，y2=，所以D點(diǎn)坐標(biāo)為（，），又直線AC的方程為，直線BD的方程為y=，聯(lián)立解得，因此Q點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4k，2k+1），又P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，0），∴=（﹣，0）?（﹣4k，2k+1）=4，故為定值．【點(diǎn)評(píng)】此題是個(gè)難題．本題考查了、直線與橢圓的位置關(guān)系及弦長(zhǎng)公式，和有關(guān)定值定點(diǎn)問(wèn)題，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．其中問(wèn)題（II）考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，22．（14分）（2011?四川）已知函數(shù)f（x）=x+，h（x）=．（Ⅰ）設(shè)函數(shù)F（x）=18f（x）﹣x2[h（x）]2，求F（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；（Ⅱ）設(shè)a∈R，解關(guān)于x的方程lg[f（x﹣1）﹣]=2lgh（a﹣x）﹣2lgh（4﹣x）；（Ⅲ）設(shè)n∈Nn，證明：f（n）h（n）﹣[h（1）+h（2）+…+h（n）]≥．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；其他不等式的解法．【專題】計(jì)算題；證明題；壓軸題；分類討論．【分析】（Ⅰ）首先求出F（x）的解析式，求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于0和小于0，分別求出單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間，從而可求極值．（Ⅱ）將方程轉(zhuǎn)化為lg（x﹣1）+2lg=2lg，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，注意到真數(shù)大于0，轉(zhuǎn)化為等價(jià)的不等式，分離參數(shù)a，求解即可．（Ⅲ）由已知得h（1）+h（2）+…+h（n）=故原不等式轉(zhuǎn)化為f（n）h（n）﹣=≥注意到等式右側(cè)為數(shù)列{bn}：bn=和的形式，將等式的左側(cè)也看作一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的形式，求出通項(xiàng)．問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明項(xiàng)＞項(xiàng)的問(wèn)題．可用做差法直接求解．【解答】解：（Ⅰ）F（x）=18f（x）﹣x2[h（x）]2=﹣x3+12x+9（x≥0）所以F′（x）=﹣3x2+12=0，x=±2且x∈（0，2）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0所以F（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減．故x=2時(shí)，F(xiàn)（x）有極大值，且F（2）=﹣8+24+9=25．（Ⅱ）原方程變形為lg（x﹣1）+2lg=2lg，??，①當(dāng)1＜a＜4時(shí)，原方程有一解x=3﹣，②當(dāng)4＜a＜5時(shí)，原方程有兩解x=3±，③當(dāng)a=5時(shí)，原方程有一解x=3，④當(dāng)a≤1或a＞5時(shí)，原方程無(wú)解．（Ⅲ）由已知得h（1）+h（2）+…+h（n）=，f（n）h（n）﹣=，從而a1=s1=1，當(dāng)k≥2時(shí)，an=sn﹣sn﹣1=，又===＞0即對(duì)任意的k≥2，有，又因?yàn)閍1=1=，所以a1+a2+…+an≥，則sn≥h（1）+h（2）+…+h（n），故原不等式成立．【點(diǎn)評(píng)】本題考查求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題、不等式證明問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，難度較大．

2012年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（四川卷）數(shù)學(xué)（文史類）參考公式：如果事件互斥，那么球的表面積公式如果事件相互獨(dú)立，那么其中表示球的半徑球的體積公式如果事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率其中表示球的半徑第一部分（選擇題共60分）注意事項(xiàng)：1、選擇題必須使用2B鉛筆將答案標(biāo)號(hào)涂在機(jī)讀卡上對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上。2、本部分共12小題，每小題5分，共60分。一、選擇題：每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、設(shè)集合，，則（）A、B、C、D、2、的展開(kāi)式中的系數(shù)是（）A、21B、28C、35D、423、交通管理部門為了解機(jī)動(dòng)車駕駛員（簡(jiǎn)稱駕駛員）對(duì)某新法規(guī)的知曉情況，對(duì)甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)做分層抽樣調(diào)查。假設(shè)四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為，其中甲社區(qū)有駕駛員96人。若在甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12,21,25,43，則這四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為（）A、101B、808C、1212D、20124、函數(shù)的圖象可能是（）5、如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，延長(zhǎng)至，使，連接、則（）A、B、C、D、6、下列命題正確的是（）A、若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行B、若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行C、若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行D、若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行7、設(shè)、都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使成立的充分條件是（）A、且B、C、D、8、若變量滿足約束條件，則的最大值是（）A、12B、26C、28D、339、已知拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)。若點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為，則（）A、B、C、D、10、如圖，半徑為的半球的底面圓在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線交半球面于點(diǎn)，過(guò)圓的直徑作平面成角的平面與半球面相交，所得交線上到平面的距離最大的點(diǎn)為，該交線上的一點(diǎn)滿足，則、兩點(diǎn)間的球面距離為（）A、B、C、D、11、方程中的，且互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有（）A、28條B、32條C、36條D、48條12、設(shè)函數(shù)，是公差不為0的等差數(shù)列，，則（）A、0B、7C、14D、21

第二部分（非選擇題共90分）注意事項(xiàng)：（1）必須使用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上題目所指示的答題區(qū)域內(nèi)作答，作圖題可先用鉛筆繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚。答在試題卷上無(wú)效。（2）本部分共10個(gè)小題，共90分。二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分。把答案填在答題紙的相應(yīng)位置上。）13、函數(shù)的定義域是____________。（用區(qū)間表示）14、如圖，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的大小是____________。15、橢圓為定值，且的的左焦點(diǎn)為，直線與橢圓相交于點(diǎn)、，的周長(zhǎng)的最大值是12，則該橢圓的離心率是______。16、設(shè)為正實(shí)數(shù)，現(xiàn)有下列命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則。其中的真命題有____________。（寫出所有真命題的編號(hào)）三、解答題（本大題共6個(gè)小題，共74分。解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。）17、(本小題滿分12分)某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)（簡(jiǎn)稱系統(tǒng)）和，系統(tǒng)和系統(tǒng)在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和。（Ⅰ）若在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求的值；（Ⅱ）求系統(tǒng)在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)的概率。18、(本小題滿分12分)已知函數(shù)。（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期和值域；（Ⅱ）若，求的值。19、(本小題滿分12分)如圖，在三棱錐中，，，，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在上。（Ⅰ）求直線與平面所成的角的大??；（Ⅱ）求二面角的大小。20、(本小題滿分12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，常數(shù)，且對(duì)一切正整數(shù)都成立。（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，，當(dāng)為何值時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和最大？21、(本小題滿分12分)如圖，動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)、構(gòu)成，且直線的斜率之積為4，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為。（Ⅰ）求軌跡的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，與軌跡相交于點(diǎn)，且，求的取值范圍。22、(本小題滿分14分)已知為正實(shí)數(shù)，為自然數(shù)，拋物線與軸正半軸相交于點(diǎn)，設(shè)為該拋物線在點(diǎn)處的切線在軸上的截距。（Ⅰ）用和表示；（Ⅱ）求對(duì)所有都有成立的的最小值；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，比較與的大小，并說(shuō)明理由。2012年四川省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題：每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）（2012?四川）設(shè)集合A={a，b}，B={b，c，d}，則A∪B=（）A．B．{b，c，d}C．{a，c，d}D．{a，b，c，d}考點(diǎn)：并集及其運(yùn)算．專題：計(jì)算題．分析：由題意，集合A={a，b}，B={b，c，d}，由并運(yùn)算的定義直接寫出兩集合的并集即可選出正確選項(xiàng)．解答：解：由題意A={a，b}，B={b，c，d}，∴A∪B={a，b，c，d}故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查并集及其運(yùn)算，是集合中的基本計(jì)算題，解題的關(guān)鍵是理解并能熟練進(jìn)行求并的計(jì)算．2．（5分）（2012?四川）（1+x）7的展開(kāi)式中x2的系數(shù)是（）A．21B．28C．35D．42考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理．專題：計(jì)算題．分析：由題設(shè)，二項(xiàng)式（1+x）7，根據(jù)二項(xiàng)式定理知，x2項(xiàng)是展開(kāi)式的第三項(xiàng)，由此得展開(kāi)式中x2的系數(shù)是，計(jì)算出答案即可得出正確選項(xiàng)解答：解：由題意，二項(xiàng)式（1+x）7的展開(kāi)式中x2的系數(shù)是=21故選A點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)，熟練掌握二項(xiàng)式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵3．（5分）（2012?四川）交通管理部門為了解機(jī)動(dòng)車駕駛員（簡(jiǎn)稱駕駛員）對(duì)某新法規(guī)的知曉情況，對(duì)甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)做分層抽樣調(diào)查．假設(shè)四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為N，其中甲社區(qū)有駕駛員96人．若在甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12，21，25，43，則這四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)N為（）A．101B．808C．1212D．2012考點(diǎn)：分層抽樣方法．專題：計(jì)算題．分析：根據(jù)甲社區(qū)有駕駛員96人，在甲社區(qū)中抽取駕駛員的人數(shù)為12求出每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，然后求出樣本容量，從而求出總?cè)藬?shù)．解答：解：∵甲社區(qū)有駕駛員96人，在甲社區(qū)中抽取駕駛員的人數(shù)為12∴每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為=樣本容量為12+21+25+43=101∴這四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)N為=808故選B．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了分層抽樣，分層抽樣是最經(jīng)常出現(xiàn)的一個(gè)抽樣問(wèn)題，這種題目一般出現(xiàn)在選擇或填空中，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）（2012?四川）函數(shù)y=ax﹣a（a＞0，a≠1）的圖象可能是（）A．B．C．D．考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的圖像變換．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：通過(guò)圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（1，0），排除不符合條件的選項(xiàng)，從而得出結(jié)論．解答：解：由于當(dāng)x=1時(shí)，y=0，即函數(shù)y=ax﹣a的圖象過(guò)點(diǎn)（1，0），故排除A、B、D．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，通過(guò)圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（1，0），排除不符合條件的選項(xiàng)，是一種簡(jiǎn)單有效的方法，屬于中檔題．5．（5分）（2012?四川）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，延長(zhǎng)BA至E，使AE=1，連接EC、ED則sin∠CED=（）A．B．C．D．考點(diǎn)：兩角和與差的正切函數(shù)；任意角的三角函數(shù)的定義．專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：法一：用余弦定理在三角形CED中直接求角的余弦，再由同角三角關(guān)系求正弦；法二：在三角形CED中用正弦定理直接求正弦．解答：解：法一：利用余弦定理在△CED中，根據(jù)圖形可求得ED=，CE=，由余弦定理得cos∠CED=，∴sin∠CED==．故選B．法二：在△CED中，根據(jù)圖形可求得ED=，CE=，∠CDE=135°，由正弦定理得，即．故選B．點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了正弦定理和余弦定理，屬于基礎(chǔ)題，題后要注意總結(jié)做題的規(guī)律．6．（5分）（2012?四川）下列命題正確的是（）A．若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行B．若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行C．若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行D．若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．專題：簡(jiǎn)易邏輯．分析：利用直線與平面所成的角的定義，可排除A；利用面面平行的位置關(guān)系與點(diǎn)到平面的距離關(guān)系可排除B；利用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理可判斷C正確；利用面面垂直的性質(zhì)可排除D．解答：解：A、若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行、相交或異面，故A錯(cuò)誤；B、若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行或相交，故B錯(cuò)誤；C、設(shè)平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由線面平行的性質(zhì)定理，在平面α內(nèi)存在直線b∥l，在平面β內(nèi)存在直線c∥l，所以由平行公理知b∥c，從而由線面平行的判定定理可證明b∥β，進(jìn)而由線面平行的性質(zhì)定理證明得b∥a，從而l∥a，故C正確；D，若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行或相交，排除D．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了空間線面平行和垂直的位置關(guān)系，線面平行的判定和性質(zhì)，面面垂直的性質(zhì)和判定，空間想象能力，屬基礎(chǔ)題．7．（5分）（2012?四川）設(shè)、都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使成立的充分條件是（）A．且B．C．D．考點(diǎn)：充分條件；平行向量與共線向量．專題：簡(jiǎn)易邏輯．分析：利用向量共線的充要條件，求已知等式的充要條件，進(jìn)而可利用命題充要條件的定義得其充分條件解答：解：??與共線且同向?且λ＞0，A選項(xiàng)和C選項(xiàng)中和可能反向，B選項(xiàng)不符合λ＞0．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量共線的充要條件，命題的充分和必要性，屬基礎(chǔ)題．8．（5分）（2012?四川）若變量x，y滿足約束條件，則z=3x+4y的最大值是（）A．12B．26C．28D．33考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．專題：計(jì)算題．分析：先畫出約束條件的可行域，再求出可行域中各角點(diǎn)的坐標(biāo)，將各點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)的解析式，分析后易得目標(biāo)函數(shù)z=3x+4y的最大值．解答：解：作出約束條件，所示的平面區(qū)域，作直線3x+4y=0，然后把直線L向可行域平移，結(jié)合圖形可知，平移到點(diǎn)C時(shí)z最大由可得C（4，4），此時(shí)z=28故選C點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是，明確目標(biāo)函數(shù)的幾何意義9．（5分）（2012?四川）已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，y0）．若點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3，則|OM|=（）A．B．C．4D．考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題：計(jì)算題．分析：關(guān)鍵點(diǎn)M（2，y0）到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3，利用拋物線的定義，可求拋物線方程，進(jìn)而可得點(diǎn)M的坐標(biāo)，由此可求|OM|．解答：解：由題意，拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，開(kāi)口向右，設(shè)方程為y2=2px（p＞0）∵點(diǎn)M（2，y0）到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3，∴2+=3∴p=2∴拋物線方程為y2=4x∵M(jìn)（2，y0）∴∴|OM|=故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的性質(zhì)，考查拋物線的定義，解題的關(guān)鍵是利用拋物線的定義求出拋物線方程．10．（5分）（2012?四川）如圖，半徑為R的半球O的底面圓O在平面α內(nèi)，過(guò)點(diǎn)O作平面α的垂線交半球面于點(diǎn)A，過(guò)圓O的直徑CD作平面α成45°角的平面與半球面相交，所得交線上到平面α的距離最大的點(diǎn)為B，該交線上的一點(diǎn)P滿足∠BOP=60°，則A、P兩點(diǎn)間的球面距離為（）A．B．C．D．考點(diǎn)：反三角函數(shù)的運(yùn)用；球面距離及相關(guān)計(jì)算．專題：計(jì)算題．分析：由題意求出AP的距離，然后求出∠AOP，即可求解A、P兩點(diǎn)間的球面距離．解答：解：半徑為R的半球O的底面圓O在平面α內(nèi)，過(guò)點(diǎn)O作平面α的垂線交半球面于點(diǎn)A，過(guò)圓O的直徑CD作平面α成45°角的平面與半球面相交，所得交線上到平面α的距離最大的點(diǎn)為B，所以CD⊥平面AOB，因?yàn)椤螧OP=60°，所以△OPB為正三角形，P到BO的距離為PE=，E為BQ的中點(diǎn)，AE==，AP==，AP2=OP2+OA2﹣2OP?OAcos∠AOP，，cos∠AOP=，∠AOP=arccos，A、P兩點(diǎn)間的球面距離為，故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查反三角函數(shù)的運(yùn)用，球面距離及相關(guān)計(jì)算，考查計(jì)算能力以及空間想象能力．11．（5分）（2012?四川）方程ay=b2x2+c中的a，b，c∈{﹣2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有（）A．28條B．32條C．36條D．48條考點(diǎn)：排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：方程變形得，若表示拋物線，則a≠0，b≠0，然后進(jìn)行排列．解答：解：方程變形得，若表示拋物線，則a≠0，b≠0，先排a，b，有種，c有種，所以表示拋物線的曲線共有，又因?yàn)楫?dāng)b=±2時(shí)，b2都等于4，所以重復(fù)的拋物線有種，所以不同的拋物線有﹣=32條．故選B．點(diǎn)評(píng)：此題難度很大，若采用排列組合公式計(jì)算，很容易忽視重復(fù)的9條拋物線．列舉法是解決排列、組合、概率等非常有效的辦法，要能熟練運(yùn)用．12．（5分）（2012?四川）設(shè)函數(shù)f（x）=（x﹣3）3+x﹣1，{an}是公差不為0的等差數(shù)列，f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，則a1+a2+…+a7=（）A．0B．7C．14D．21考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：根據(jù)f（x）=（x﹣3）3+x﹣1，可得f（x）﹣2=（x﹣3）3+x﹣3，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）﹣2，從而g（x）關(guān)于（3，0）對(duì)稱，利用f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，可得g（a1）+g（a2）+…+g（a7）=0，從而g（a4）為g（x）與x軸的交點(diǎn)，由此可求a1+a2+…+a7的值．解答：解：∵f（x）=（x﹣3）3+x﹣1，∴f（x）﹣2=（x﹣3）3+x﹣3，令g（x）=f（x）﹣2∴g（x）關(guān)于（3，0）對(duì)稱∵f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14∴f（a1）﹣2+f（a2）﹣2+…+f（a7）﹣2=0∴g（a1）+g（a2）+…+g（a7）=0∴g（a4）為g（x）與x軸的交點(diǎn)因?yàn)間（x）關(guān)于（3，0）對(duì)稱，所以a4=3∴a1+a2+…+a7=7a4=21，故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查函數(shù)的對(duì)稱性，考查數(shù)列的性質(zhì)，需要一定的基本功．二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分．把答案填在答題紙的相應(yīng)位置上．）13．（4分）（2012?四川）函數(shù)的定義域是（﹣∞，）．（用區(qū)間表示）考點(diǎn)：函數(shù)的定義域及其求法．專題：計(jì)算題．分析：結(jié)合函數(shù)的表達(dá)式可得不等式1﹣2x＞0的解集即為所求．解答：解：∵1﹣2x＞0∴x＜∴函數(shù)的定義域?yàn)椋ī仭?，）故答案為（﹣∞，）點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了根據(jù)函數(shù)的解析式求函數(shù)的定義域，屬?？碱}，較易．解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的解析式得出1﹣2x＞0的解集即為所求！14．（4分）（2012?四川）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分別是CD、CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1M與DN所成的角的大小是90°．考點(diǎn)：異面直線及其所成的角．專題：計(jì)算題．分析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法求出與夾角求出異面直線A1M與DN所成的角．解答：解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)棱長(zhǎng)為2，則D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A1（2，0，2），=（0，2，1），=（﹣2，1，﹣2）?=0，所以⊥，即A1M⊥DN，異面直線A1M與DN所成的角的大小是90°，故答案為：90°．點(diǎn)評(píng)：本題考查空間異面直線的夾角求解，采用了向量的方法．向量的方法能降低空間想象難度，但要注意有關(guān)點(diǎn)，向量坐標(biāo)的準(zhǔn)確．否則容易由于計(jì)算失誤而出錯(cuò)．15．（4分）（2012?四川）橢圓為定值，且的左焦點(diǎn)為F，直線x=m與橢圓相交于點(diǎn)A、B，△FAB的周長(zhǎng)的最大值是12，則該橢圓的離心率是．考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：先畫出圖象，結(jié)合圖象以及橢圓的定義求出△FAB的周長(zhǎng)的表達(dá)式，進(jìn)而求出何時(shí)周長(zhǎng)最大，即可求出橢圓的離心率．解答：解：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)E．如圖：由橢圓的定義得：△FAB的周長(zhǎng)為：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB﹣AE﹣BE；∵AE+BE≥AB；∴AB﹣AE﹣BE≤0，當(dāng)AB過(guò)點(diǎn)E時(shí)取等號(hào)；∴△FAB的周長(zhǎng)：AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；∴△FAB的周長(zhǎng)的最大值是4a=12?a=3；∴e===．故答案：．點(diǎn)評(píng)：本題主要考察橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．在解決涉及到圓錐曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)之間的關(guān)系的問(wèn)題中，圓錐曲線的定義往往是解題的突破口．16．（4分）（2012?四川）設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，現(xiàn)有下列命題：①若a2﹣b2=1，則a﹣b＜1；②若，則a﹣b＜1；③若，則|a﹣b|＜1；④若|a3﹣b3|=1，則|a﹣b|＜1．其中的真命題有①④．（寫出所有真命題的編號(hào)）考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用．專題：簡(jiǎn)易邏輯．分析：①將a2﹣b2=1，分解變形為（a+1）（a﹣1）=b2，即可證明a﹣1＜b，即a﹣b＜1；②③可通過(guò)舉反例的方法證明其錯(cuò)誤性；④若a＞b，去掉絕對(duì)值，將a3﹣b3=1分解變形為（a﹣1）（a2+1+a）=b3，即可證明a﹣b＜1，同理當(dāng)a＜b時(shí)也可證明b﹣a＜1，從而命題④正確．解答：解：①若a2﹣b2=1，則a2﹣1=b2，即（a+1）（a﹣1）=b2，∵a+1＞a﹣1，∴a﹣1＜b＜a+1，即a﹣b＜1，①正確；②若，可取a=7，b=，則a﹣b＞1，∴②錯(cuò)誤；③若，則可取a=9，b=4，而|a﹣b|=5＞1，∴③錯(cuò)誤；④由|a3﹣b3|=1，若a＞b＞0，則a3﹣b3=1，即a3﹣1=b3，即（a﹣1）（a2+1+a）=b3，∵a2+1+a＞b2，∴a﹣1＜b，即a﹣b＜1若0＜a＜b，則b3﹣a3=1，即b3﹣1=a3，即（b﹣1）（b2+1+b）=a3，∵b2+1+b＞a2，∴b﹣1＜a，即b﹣a＜1∴|a﹣b|＜1，∴④正確．故答案為①④．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了不等式的證明方法，間接證明和直接證明的方法，放縮法和舉反例法證明不等式，演繹推理能力，有一定難度，屬中檔題．三、解答題（本大題共6個(gè)小題，共74分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．）17．（12分）（2012?四川）某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)（簡(jiǎn)稱系統(tǒng)）A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和p．（Ⅰ）若在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求p的值；（Ⅱ）求系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)的概率．考點(diǎn)：n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率；互斥事件的概率加法公式；相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：（Ⅰ）求出“至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障”的對(duì)立事件的概率，利用至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，可求p的值；（Ⅱ）利用相互獨(dú)立事件的概率公式，即可求得結(jié)論．解答：解：（Ⅰ）設(shè)“至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，則∴；（Ⅱ）設(shè)“系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)”為事件D，那么P（D）==．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相互獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、互斥事件的概念與計(jì)算，考查運(yùn)用概率知識(shí)與方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力．18．（12分）（2012?四川）已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和值域；（Ⅱ）若，求sin2α的值．考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；二倍角的正弦；三角函數(shù)的周期性及其求法．專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：（Ⅰ）將化為f（x）=cos（x+）即可求得f（x）的最小正周期和值域；（Ⅱ）由可求得cos（α+）=，由余弦函數(shù)的二倍角公式與誘導(dǎo)公式可求得sin2α的值．解答：解：（Ⅰ）由已知，f（x）=﹣sincos﹣=（1+cosx）﹣sinx﹣=cos（x+）．∴函數(shù)f（x）的最小正周期為2π，值域?yàn)閇﹣，]．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（α）=cos（α+）=，∴cos（α+）=，∴sin2α=﹣cos（+2α）=﹣cos2（α+）=1﹣2=1﹣=．點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)、兩角和的正（余）弦公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．19．（12分）（2012?四川）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影O在AB上．（Ⅰ）求直線PC與平面ABC所成的角的大??；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角；直線與平面所成的角；二面角的平面角及求法．專題：綜合題．分析：解法一（Ⅰ）連接OC，由已知，∠OCP為直線PC與平面ABC所成的角．設(shè)AB中點(diǎn)為D，連接PD，CD．不妨設(shè)PA=2，則OD=1，OP=，AB=4．在RT△OCP中求解．（Ⅱ）以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面APC的一個(gè)法向量與面ABP的一個(gè)法向量夾角求解．解法二（Ⅰ）設(shè)AB中點(diǎn)為D，連接CD．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OE，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．利用與平面ABC的一個(gè)法向量夾角求解．（Ⅱ）分別求出平面APC，平面ABP的一個(gè)法向量，利用兩法向量夾角求解．解答：解法一（Ⅰ）連接OC，由已知，∠OCP為直線PC與平面ABC所成的角．設(shè)AB中點(diǎn)為D，連接PD，CD．因?yàn)锳B=BC=CA，所以CD⊥AB，因?yàn)椤螦PB=90°，∠PAB=60°，所以△PAD為等邊三角形，不妨設(shè)PA=2，則OD=1，OP=，AB=4．所以CD=2，OC===在RT△OCP中，tan∠OCP===．故直線PC與平面ABC所成的角的大小為arctan．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系．則=（1，0，），=（2，2，0）．設(shè)平面APC的一個(gè)法向量為=（x，y，z），則由得出即，取x=﹣，則y=1，z=1，所以=（﹣，1，1）．設(shè)二面角B﹣AP﹣C的平面角為β，易知β為銳角．而面ABP的一個(gè)法向量為=（0，1，0），則cosβ===．故二面角B﹣AP﹣C的大小為arccos．解法二：（Ⅰ）設(shè)AB中點(diǎn)為D，連接CD．因?yàn)镺在AB上，且O為P在平面ABC內(nèi)的射影，所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥AB，且PO⊥CD．因?yàn)锳B=BC=CA，所以CD⊥AB，設(shè)E為AC中點(diǎn)，則EO∥CD，從而OE⊥PO，OE⊥AB．如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OE，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．不妨設(shè)PA=2，由已知可得，AB=4，OA=OD=1，OP=，CD=2，所以O(shè)（0，0，0），A（﹣1，0，0），C（1，2，0），P（0，0，），所以=（﹣1，﹣2，）=（0，0，）為平面ABC的一個(gè)法向量．設(shè)α為直線PC與平面ABC所成的角，則sinα===．故直線PC與平面ABC所成的角大小為arcsin（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=（1，0，），=（2，2，0）．設(shè)平面APC的一個(gè)法向量為=（x，y，z），則由得出即，取x=﹣，則y=1，z=1，所以=（﹣，1，1）．設(shè)二面角B﹣AP﹣C的平面角為β，易知β為銳角．而面ABP的一個(gè)法向量為=（0，1，0），則cosβ===．故二面角B﹣AP﹣C的大小為arccos．點(diǎn)評(píng)：本題考查線面關(guān)系，直線與平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查思維能力、空間想象能力，并考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題能力．20．（12分）（2012?四川）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，常數(shù)λ＞0，且λa1an=S1+Sn對(duì)一切正整數(shù)n都成立．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)a1＞0，λ=100，當(dāng)n為何值時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和最大？考點(diǎn)：數(shù)列遞推式；數(shù)列的函數(shù)特性；數(shù)列的求和．專題：計(jì)算題．分析：（I）由題意，n=1時(shí)，由已知可知a1（λa1﹣2）=0，分類討論：由a1=0，及a1≠0，結(jié)合數(shù)列的和與項(xiàng)的遞推公式可求（II）由a1＞0且λ=100時(shí)，令，則，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可求和的最大項(xiàng)解答：解（I）當(dāng)n=1時(shí)，∴a1（λa1﹣2）=0若取a1=0，則Sn=0，an=Sn﹣Sn﹣1=0∴an=0（n≥1）若a1≠0，則，當(dāng)n≥2時(shí)，2an=，兩式相減可得，2an﹣2an﹣1=an∴an=2an﹣1，從而可得數(shù)列{an}是等比數(shù)列∴an=a1?2n﹣1==綜上可得，當(dāng)a1=0時(shí)，an=0，當(dāng)a1≠0時(shí)，（II）當(dāng)a1＞0且λ=100時(shí)，令由（I）可知∴{bn}是單調(diào)遞減的等差數(shù)列，公差為﹣lg2∴b1＞b2＞…＞b6=＞0當(dāng)n≥7時(shí)，∴數(shù)列的前6項(xiàng)和最大點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式及利用數(shù)列的單調(diào)性求解數(shù)列的和的最大項(xiàng)，還考查了一定的邏輯運(yùn)算與推理的能力．21．（12分）（2012?四川）如圖，動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A（﹣1，0）、B（1，0）構(gòu)成△MAB，且直線MA、MB的斜率之積為4，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C．（Ⅰ）求軌跡C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線y=x+m（m＞0）與y軸交于點(diǎn)P，與軌跡C相交于點(diǎn)Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范圍．考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；圓錐曲線的軌跡問(wèn)題．專題：綜合題；壓軸題．分析：（Ⅰ）設(shè)出點(diǎn)M（x，y），表示出兩線的斜率，利用其乘積為4，建立方程化簡(jiǎn)即可得到點(diǎn)M的軌跡方程；（Ⅱ）直線y=x+m與4x2﹣y2﹣4=0（x≠±1）聯(lián)立，消元可得3x2﹣2mx﹣m2﹣3=0，結(jié)合題設(shè)（m＞0）可知，m＞0且m≠1設(shè)Q，R的坐標(biāo)，求出xR，xQ，利用，即可確定的取值范圍．解答：解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），則kMA=，kMB=∵直線MA、MB的斜率之積為4，∴∴4x2﹣y2﹣4=0又x=±1時(shí)，必有一個(gè)斜率不存在，故x≠±1綜上點(diǎn)M的軌跡方程為4x2﹣y2﹣4=0（x≠±1）（Ⅱ）直線y=x+m與4x2﹣y2﹣4=0（x≠±1）聯(lián)立，消元可得3x2﹣2mx﹣m2﹣4=0①∴△=16m2+48＞0當(dāng)1或﹣1是方程①的根時(shí)，m的值為1或﹣1，結(jié)合題設(shè)（m＞0）可知，m＞0且m≠1設(shè)Q，R的坐標(biāo)分別為（xQ，yQ），（xR，yR），∵|PQ|＜|PR|，∴xR=，xQ=，∴==∵m＞0且m≠1∴，且≠4∴，且∴的取值范圍是（1，）∪（，3）點(diǎn)評(píng)：本題以斜率為載體，考查直線、雙曲線、軌跡方程的求解，考查思維能力，運(yùn)算能力，考查思維的嚴(yán)謹(jǐn)性．22．（14分）（2012?四川）已知a為正實(shí)數(shù)，n為自然數(shù)，拋物線與x軸正半軸相交于點(diǎn)A，設(shè)f（n）為該拋物線在點(diǎn)A處的切線在y軸上的截距．（Ⅰ）用a和n表示f（n）；（Ⅱ）求對(duì)所有n都有成立的a的最小值；（Ⅲ）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，比較與的大小，并說(shuō)明理由．考點(diǎn)：圓錐曲線的綜合；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用．專題：綜合題；壓軸題．分析：（Ⅰ）根據(jù)拋物線與x軸正半軸相交于點(diǎn)A，可得A（），進(jìn)一步可求拋物線在點(diǎn)A處的切線方程，從而可得f（n）；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=an，則成立的充要條件是an≥2n+1，即知，an≥2n+1對(duì)所有n成立，當(dāng)a=3，n≥1時(shí)，an=3n=（1+2）n≥1+=2n+1，當(dāng)n=0時(shí)，an=2n+1，由此可得a的最小值；（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（k）=ak，證明當(dāng)0＜x＜1時(shí)，，即可證明：＞．解答：解：（Ⅰ）∵拋物線與x軸正半軸相交于點(diǎn)A，∴A（）對(duì)求導(dǎo)得y′=﹣2x∴拋物線在點(diǎn)A處的切線方程為，∴∵f（n）為該拋物線在點(diǎn)A處的切線在y軸上的截距，∴f（n）=an；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=an，則成立的充要條件是an≥2n+1即知，an≥2n+1對(duì)所有n成立，特別的，取n=1得到a≥3當(dāng)a=3，n≥1時(shí)，an=3n=（1+2）n≥1+=2n+1當(dāng)n=0時(shí)，an=2n+1∴a=3時(shí)，對(duì)所有n都有成立∴a的最小值為3；（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（k）=ak，下面證明：＞首先證明：當(dāng)0＜x＜1時(shí)，設(shè)函數(shù)g（x）=6x（x2﹣x）+1，0＜x＜1，則g′（x）=18x（x﹣）當(dāng)0＜x＜時(shí)，g′（x）＜0；當(dāng)時(shí)，g′（x）＞0故函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上的最小值g（x）min=g（）=＞0∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g（x）＞0，∴由0＜a＜1知0＜ak＜1，因此，從而=＞6（a+a2+…+an）==點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的綜合，考查不等式的證明，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題．

2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（四川卷）數(shù)學(xué)（文史類）第Ⅰ卷（選擇題共50分）注意事項(xiàng)： 必須使用2B鉛筆在答題卡上將所選答案對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的。1、設(shè)集合，集合，則（）（A）（B）（C）（D）2、一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體可以是（）（A）棱柱（B）棱臺(tái)（C）圓柱（D）圓臺(tái)3、如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)表示復(fù)數(shù)，則圖中表示的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)是（）（A）（B）（C）（D）4、設(shè)，集合是奇數(shù)集，集合是偶數(shù)集。若命題，則（）（A）（B）（C）（D）5、拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離是（）（A）（B）（C）（D）6、函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值分別是（）（A）（B）（C）（D）7、某學(xué)校隨機(jī)抽取個(gè)班，調(diào)查各班中有網(wǎng)上購(gòu)物經(jīng)歷的人數(shù)，所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示。以組距為將數(shù)據(jù)分組成，，…，，時(shí)，所作的頻率分布直方圖是（）8、若變量滿足約束條件且的最大值為，最小值為，則的值是（）（A）（B）（C）（D）9、從橢圓上一點(diǎn)向軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)，是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，且（是坐標(biāo)原點(diǎn)），則該橢圓的離心率是（）（A）（B）（C）（D）10、設(shè)函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）。若存在使成立，則的取值范圍是（）（A）