新教材高中數(shù)學(xué)人教B版選擇性第一冊訓(xùn)練1-2-2空間中的平面與空間向量

第一章空間向量與立體幾何1.2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1.2.2空間中的平面與空間向量課后篇鞏固提升必備知識基礎(chǔ)練1.若a=(1,2,3)是平面γ的一個法向量,則下列向量中能作為平面γ的法向量的是()A.(0,1,2) B.(3,6,9)C.(1,2,3) D.(3,6,8)答案B解析向量(1,2,3)與向量(3,6,9)共線.2.設(shè)平面α的法向量為(1,2,λ),平面β的法向量為(2,μ,4),若α∥β,則λ+μ=()A.2 B.4 C.2 D.4答案C解析∵α∥β,∴12=-2μ=λ4,解得λ=2,μ=3.(多選)已知空間中三點A(0,1,0),B(2,2,0),C(1,3,1),則下列說法不正確的是()A.AB與B.與AB同向的單位向量是2C.AB與BCD.平面ABC的一個法向量是(1,2,5)答案ABC解析對于A,AB=(2,1,0),AC=(1,2,1),所以不存在實數(shù)λ,使得AB=λAC,則AB與AC不是共線向量,所以A對于B,因為AB=(2,1,0),所以與AB同向的單位向量為255,55對于C,向量AB=(2,1,0),BC=(3,1,1),所以cos<AB,BC>=AB·BC|AB||對于D,設(shè)平面ABC的一個法向量是n=(x,y,z),AB=(2,1,0),AC=(1,2,1),所以n·AB=0,n·AC=0,則2x+y4.若平面α,β的法向量分別為a=(1,2,4),b=(x,1,2),并且α⊥β,則x的值為()A.10 B.10C.12 D.答案B解析因為α⊥β,所以它們的法向量也互相垂直,所以a·b=(1,2,4)·(x,1,2)=0,解得x=10.5.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E為A1C1的中點,則下列與直線CE垂直的是()A.直線AC B.直線B1D1C.直線A1D1 D.直線A1A答案B解析如圖,連接AC,B1D1.則點E在B1D1上,∵點C在平面A1B1C1D1內(nèi)的射影是C1,∴CE在平面A1B1C1D1內(nèi)的射影是C1E,∵C1E⊥B1D1,由三垂線定理可得,CE⊥B1D1;在四邊形AA1C1C中,C1C⊥AC,易得AC不可能和CE垂直;∵A1D1∥BC,A1A∥C1C,而BC,C1C明顯與CE不垂直,∴A1D1,A1A不可能和CE垂直.綜上,選B.6.已知直線l與平面α垂直,直線l的一個方向向量u=(1,3,z),向量v=(3,2,1)與平面α平行,則z=.

答案9解析由題知,u⊥v,∴u·v=3+6+z=0,∴z=9.7.若AB=λCD+μCE(λ,μ∈R),則直線AB與平面CDE的位置關(guān)系是.

答案AB∥平面CDE或AB?平面CDE8.若A0,2,198,B1,1,58,C2,1,58是平面α內(nèi)三點,設(shè)平面α的法向量為a=(x,y,z),則x∶y∶z=.

答案2∶3∶(4)解析由已知得,AB=1,3,74,AC=2,1,74,∵a是平面α的一個法向量,∴a·AB=0,a·AC=0,即x-3∴x∶y∶z=23y∶y∶43y=2∶3∶(4).9.在如圖所示的坐標(biāo)系中,ABCDA1B1C1D1表示棱長為1的正方體,給出下列結(jié)論:①直線DD1的一個方向向量為(0,0,1);②直線BC1的一個方向向量為(0,1,1);③平面ABB1A1的一個法向量為(0,1,0);④平面B1CD的一個法向量為(1,1,1).其中正確的是.(填序號)

答案①②③解析DD1∥AA1,AA1=(0,0,1),故①正確;BC1∥AD1,AD1=(0,1,1),故②正確;直線AD⊥平面ABB1A1,AD=(0,1,0),故③正確;點C1的坐標(biāo)為(1,1,1),AC1與平面B1CD10.如圖所示,在四棱錐SABCD中,底面是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥底面ABCD,且SA=AB=BC=1,AD=12,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求平面SCD與平面SBA的一個法向量解以A為坐標(biāo)原點,AD,AB,AS所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則A(0,0,0),D12,0,0,C(1,1,0),S(0,0,1),則DC=12,1,0,DS=12,0,1,向量AD=12,0,0是平面SBA的一個法向量.設(shè)n=(x,y,z)為平面SCD的一個法向量,則n取x=2,得y=1,z=1,故平面SCD的一個法向量為(2,1,1).11.如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別是C1C,B1C1的中點.求證:MN∥平面A1BD.證法一∵MN=12(D1∴MN∥DA1,∴MN∥平面證法二如圖,以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為1,則可求得M0,1,12,N12,1,1,D(0,0,0),A1設(shè)平面A1BD的法向量是n=(x,y,z),則n·DA1=0,且n·DB=0,取x=1,得y=1,z=1.∴n=(1,1,1).又MN·n=12,0,12∴MN⊥n,且MN?平面A1BD.∴MN∥平面A1BD.證法三∵MN=12(DB=1=12=12即MN可以用DA1∴MN與D∴MN∥平面A1BD,即MN∥平面A1BD.12.如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點.求證:(1)AE⊥CD;(2)PD⊥平面ABE.證明(1)∵AB,AD,AP兩兩垂直,∴建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)PA=AB=BC=1,則P(0,0,1).∵∠ABC=60°,∴△ABC為正三角形.∴C12E14,34設(shè)D(0,y,0),AC=12,32,0,CD=12,y32由AC⊥CD,得AC·CD即y=233,則D∴CD=-12∴AE·CD=1∴AE⊥CD,即AE⊥(2)證法一:∵AB=(1,0,0),AE=∴設(shè)平面ABE的一個法向量為n=(x,y,z),則x令y=2,則z=3,∴n=(0,2,3).∵PD=0,23∴PD∥n,∴PD⊥平面ABE,即PD⊥平面ABE.證法二:∵P(0,0,1),∴PD=又AE·PD=34∴PD⊥AE,即PD⊥又∵AB=(1,0,0),∴PD·AB∴PD⊥AB.又AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.關(guān)鍵能力提升練13.已知平面α內(nèi)兩向量a=(1,1,1),b=(0,2,1),且c=ma+nb+(4,4,1).若c為平面α的法向量,則m,n的值分別為()A.1,2 B.1,2C.1,2 D.1,2答案A解析c=ma+nb+(4,4,1)=(m,m,m)+(0,2n,n)+(4,4,1)=(m+4,m+2n4,mn+1),由c為平面α的法向量,得c解得m14.已知直線l的方向向量為a,且直線l不在平面α內(nèi),平面α內(nèi)兩共點向量OA,OB,下列關(guān)系中一定能表示l∥α的是(A.a=OA B.a=kOBC.a=pOA+λOB D.以上均不能答案D解析A,B,C中均能推出l∥α,或l?α,但不能確定一定能表示為l∥α.15.如圖,AO⊥平面α,垂足為點O,BC?平面α,BC⊥OB,若∠ABO=45°,∠COB=30°,則∠BAC的余弦值為()A.77 B.427 C.66答案B解析∵AO⊥平面α,BC?平面α,BC⊥OB,由三垂線定理可得,AB⊥BC,設(shè)OB=2.∵∠ABO=45°,∠COB=30°,∴AO=2,AB=22,BC=23在Rt△ABC中,AB=22,BC=233,∠ABC=90°,∴AC=∴cos∠BAC=ABAC=2216.(多選)在正方體ABCDA1B1C1D1中,點E,F分別在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,則以下結(jié)論不正確的有(A.EF至多與A1D,AC中的一個垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF與BD1相交D.EF與BD1異面答案ACD解析以D為坐標(biāo)原點,分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,設(shè)正方體的棱長為1,則A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E13,0,13,F23,13,0,B(1,1,0),D∴A1D=(1,0,1),AC=(1,1,0),EF=13,13,13,∴EF=13BD1,從而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.17.如圖,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,E是CD的中點,F是AD上一點,當(dāng)BF⊥PE時,AF∶FD的比值為()A.1∶2 B.1∶1C.3∶1 D.2∶1答案B解析以A為坐標(biāo)原點,AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,設(shè)正方形邊長為1,PA=a,則B(1,0,0),E12,1,0,P(0,0,a).設(shè)點F的坐標(biāo)為(0,y,0),則BF=(1,y,0),PE=12,1,a.因為BF⊥PE,所以BF·PE解得y=12,即點F的坐標(biāo)為0,12,0,所以F為AD的中點,所以AF∶FD=1∶1.18.如圖,長方體ABCDA1B1C1D1中,AB=4,BC=2,CC1=3,E,F分別是BC,CD的中點,以D為原點,分別以DA,DC,DD1所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,則平面D1EF的一個法向量是.

答案(6,3,2)解析∵在長方體ABCDA1B1C1D1中,AB=4,BC=2,CC1=3,E,F分別是BC,CD的中點,以D為原點,分別以DA,DC,DD1所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,則D1(0,0,3),E(1,4,0),F(0,2,0),D1E=(1,4,3),D1F=(0,2,3),設(shè)平面D1EF的一個法向量是n=(x,y,取y=3,得n=(6,3,2),則平面D1EF的一個法向量是(6,3,2).19.在△ABC中,A(1,2,1),B(0,3,1),C(2,2,1).若向量n與平面ABC垂直,且|n|=21,則n的坐標(biāo)為.

答案(2,4,1)或(2,4,1)解析據(jù)題意,得AB=(1,1,2),AC=(1,0,2).設(shè)n=(x,y,z),∵n與平面ABC垂直,∴n即-x-∵|n|=21,∴x2解得y=4或y=4.當(dāng)y=4時,x=2,z=1;當(dāng)y=4時,x=2,z=1.∴n的坐標(biāo)為(2,4,1)或(2,4,1).20.如圖所示,ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N,Q分別是PC,AB,CD的中點.求證:(1)MN∥平面PAD;(2)平面QMN∥平面PAD.證明(1)如圖,以A為原點,以AB,AD,AP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)B(b,0,0),D(0,d,0),P(0,0,d),則C(b,d,0),因為M,N,Q分別是PC,AB,CD的中點,所以Mb2,d2,d2,Nb2,0,0,Qb2,所以MN=0,d2,d2.因為平面PAD的一個法向量為m=(1,0,0),且MN·m=0,即MN⊥m.又MN不在平面PAD內(nèi),故MN∥平面PAD.(2)因為QN=(0,d,0),所以QN·m=0,即QN⊥m,又QN不在平面PAD內(nèi),所以QN∥平面PAD.又因為MN∩QN=N,所以平面MNQ∥平面PAD.21.如圖所示,四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O為底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=2.證明:A1C⊥平面BB1D1D.證明由題設(shè)易知OA,OB,OA1兩兩垂直,以O(shè)為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,∵AB=AA1=2,∴OA=OB=OA1=1,∴A(1,0,0),B(0,1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1).∴A1C=(1,0,1),BD=(0,2,0),BB∴A1C·BD=∴A1C⊥BD,A1C⊥BB1,又BD∩BB1=B,∴A1C⊥平面BB1D1D.學(xué)科素養(yǎng)拔高練22.我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量,在平面直角坐標(biāo)系中,過動點P(1,2),法向量為n=(2,3)的直線的點法式方程為2(x1)+3(y2)=0,化簡得2x3y+4=0,類比上述方法,在空間直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過點P(1,2,1),且法向量為n=(2,3,1)的平面的點法式方程應(yīng)為()A.2x3y+z+5=0 B.2x3yz+3=0C.2x+3y+z7=0 D.2x+3yz9=0答案B解析通過類比,易得點法式方程為2(x1)+3(y2)+(z+1)=0,整理可得2x3yz+3=0,故選B.23.在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別為棱BB1和DD1的中點.(1)求證:平面B1FC1∥平面ADE;(2)試在棱DC上求一點M,使D1M⊥平面ADE.(1)證明建立如圖所示的空間直角坐