正態(tài)分布的發(fā)展與應(yīng)用畢業(yè)論文

.../正態(tài)分布的發(fā)展與應(yīng)用摘要生活中諸多的經(jīng)驗(yàn)和理論都表明，我們所處的環(huán)境中服從正態(tài)分布的事件是極其常見(jiàn)的。例如：工程中的加工尺寸，人的身高，降雨量等都可以看做是正態(tài)分布。所以在統(tǒng)計(jì)學(xué)中對(duì)于正態(tài)分布的使用越來(lái)越廣泛。本文是對(duì)正態(tài)分布的發(fā)展以與應(yīng)用做一些基本的闡述。正態(tài)分布又名高斯分布，德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯對(duì)于正態(tài)分布的形成與發(fā)展有著舉足輕重的地位。正態(tài)分布從無(wú)到有，最后成為數(shù)理統(tǒng)計(jì)中非常重要的模型大致可分為三個(gè)階段：第一個(gè)階段是形成階段，18世紀(jì)30年代數(shù)學(xué)家狄莫弗在一個(gè)賭博問(wèn)題的概率計(jì)算中意外發(fā)現(xiàn)了正態(tài)曲線，所以人們也把正態(tài)分布的起源歸于賭博問(wèn)題，但由于社會(huì)與個(gè)人的問(wèn)題，正態(tài)曲線在那時(shí)并沒(méi)都得到很大的發(fā)展。第二個(gè)階段是18世紀(jì)中葉正態(tài)分布的模型建立，在天文學(xué)發(fā)展的刺激下，數(shù)學(xué)家拉普拉斯，高斯對(duì)于正態(tài)分布又有了新的拓展，讓人們逐漸認(rèn)識(shí)到了其在天文，誤差領(lǐng)域的應(yīng)用。第三階段19世紀(jì)中葉在凱特萊，高爾頓的努力下，使正態(tài)分布進(jìn)入到自然和科學(xué)領(lǐng)域，從此進(jìn)入了統(tǒng)計(jì)學(xué)的大家庭。最后本文總結(jié)了現(xiàn)階段正態(tài)分布的一些最基本最實(shí)用的應(yīng)用。[關(guān)鍵詞]正態(tài)分布狄莫弗拉普拉斯高斯凱特萊DevelopmentandApplicationoftheNormalDistributionFengjiexue(Departmentofmathematicsphysicsandinformation,DonghaiScience&TechnologySchool316004)AbstractManylifeexperiencesandtheoriesthatwenormallydistributedenvironmentinwhichtheeventisextremelycommon.Forexample:thesizeoftheprojectintheprocess,aperson’sheight,rainfallandsocanbeseenasanormaldistribution.Therefore,thenormaldistributioninstatisticsmorewidelyused.Thisarticleisanormaldevelopmentandapplicationtodosomebasicexposition.Normaldistribution,alsoknownastheGaussiandistribution,theGermanmathematicianGaussfortheformationanddevelopmentofthenormaldistributionhasapivotalposition.Normaldistributionfromscratch,eventuallybecameaveryimportantmathematicalstatisticsmodelcanbedividedintothreestages:thefirststageistheformationstage,18inthe1930smathematicianMoivreprobabilitycalculationsinagamblingproblemaccidentallydiscoverednormalcurve,sopeoplehaveattributedtheoriginofthenormaldistributionofgamblingproblems,butbecauseofsocialandpersonalproblems,thenormalcurveatthattimedidnothaveagreatdevelopment.Thesecondstageisthemid-18thcenturythenormaldistributionmodel,thestimulationofthedevelopmentofastronomy,mathematicianLaplace,Gaussiannormaldistributionhasanewdevelopment,sothatpeoplecometorealizethatitsinastronomy,applicationerrorfield.Thethirdstageinthemid-19thcenturyQuetelet,Galton’seffortstomakethenormalintothenaturalandscientificfields,fromenteringthefamilystatistics.Finally,thepapersummarizessomeofthemostbasicandnormalstageofpracticalapplication.[Keywords]NormaldistributionMoivreLaplaceGaussKettle目錄摘要IAbstractII1緒論11.1正態(tài)分布的定義11.2正態(tài)分布的曲線11.3正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布22.正態(tài)分布的起源32．1古典統(tǒng)計(jì)時(shí)期的概率論32．2二項(xiàng)式正態(tài)逼近——狄莫弗42．3為何當(dāng)時(shí)正態(tài)分布未能有大發(fā)展43.正態(tài)分布的重新出發(fā)63．1天文中的誤差63．2誤差論的形成63．2．1拉普拉斯的概率論73．2．2高斯分布73．3基本誤差假設(shè)84.正態(tài)分布的近代統(tǒng)計(jì)學(xué)之路94．1“近代統(tǒng)計(jì)學(xué)之父”—?jiǎng)P特萊94．2凱特萊對(duì)正態(tài)曲線的拓展104．3高爾頓對(duì)正態(tài)分布的創(chuàng)新105.現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)中的正態(tài)分布126.正態(tài)分布的應(yīng)用136.1頻數(shù)分布136.2對(duì)學(xué)生的一些情況進(jìn)行調(diào)查136.3醫(yī)學(xué)的正常值圍參考146.4正態(tài)分布促進(jìn)統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展14.結(jié)束語(yǔ)15參考文獻(xiàn)161緒論1.1正態(tài)分布的定義若隨機(jī)變量x服從一個(gè)位置參數(shù)為，尺度函數(shù)為，其概率密度函數(shù)為則這個(gè)隨機(jī)變量就稱為正態(tài)隨機(jī)變量，正態(tài)隨機(jī)變量服從的分布就稱為正態(tài)分布，記作X~N（），讀作服從N（），或者X服從正態(tài)分布。1.2正態(tài)分布的曲線正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的曲線像一種大鐘，兩頭低，中間高，左右對(duì)稱，曲線與橫軸間的面積總等于1.。正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)，，參數(shù)服從正態(tài)分布的均值，參數(shù)是隨機(jī)變量的方差，所以記作X~N（）。正態(tài)分布取當(dāng)值與越接近時(shí)，概率越大；當(dāng)取值與越遠(yuǎn)是，概率越小，在取到是達(dá)到最大。正態(tài)分布與的關(guān)系是，當(dāng)越小時(shí)，整個(gè)圖形在附近的面積越多；當(dāng)越大時(shí)，整個(gè)圖形在附近的面積越少。正態(tài)分布的密度函數(shù)是對(duì)稱函數(shù)，他的對(duì)稱軸為，在上去的整個(gè)函數(shù)的最大值，在正負(fù)軸的無(wú)窮遠(yuǎn)處為0，當(dāng)曲線與橫軸不相交，圖像形狀為中間高兩邊低，從最高點(diǎn)向兩邊均勻下降。在正態(tài)分布的面積中，曲線與橫軸上的面積表示該區(qū)占總數(shù)的比例或者是某一事件發(fā)生的概率，各個(gè)圍均可用正態(tài)公式計(jì)算。一些重要的面積比例，橫軸與正態(tài)曲線之間的面積恒等于1。正態(tài)曲線下，橫軸區(qū)間（μ-σ，μ+σ）的面積為68.268949%，橫軸區(qū)間（μ-1.96σ，μ+1.96σ）的面積為95.449974%，橫軸區(qū)間（μ-2.58σ，μ+2.58σ）的面積為99.730020%。[1]1.3正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是一般正態(tài)分布的特殊情況，既當(dāng)=0，=1時(shí)，正態(tài)分布就成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)正態(tài)分布關(guān)于豎軸對(duì)稱，它有正態(tài)分布所有的性質(zhì)，在實(shí)際應(yīng)用中更為簡(jiǎn)便，廣泛。正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的轉(zhuǎn)化為：若X~N,則~N(0,1)2.正態(tài)分布的起源狄莫弗是一位法國(guó)–英國(guó)數(shù)學(xué)家。主要作品有《機(jī)遇論》，與伯努力的《推測(cè)術(shù)》和拉普拉斯的《概率的分析理論》，被認(rèn)為是概率論史上三部具有里程碑性質(zhì)的作品，1667年生于法國(guó)維，1754年死于英國(guó)倫敦。狄莫弗的父親是一位醫(yī)生，他父親對(duì)他的影響很大，后來(lái)他進(jìn)入到一間天主教學(xué)習(xí)念書。在求學(xué)期間狄莫弗對(duì)數(shù)學(xué)有了極大的興趣，在《論賭博中的機(jī)會(huì)》《幾何原本》等一些著作的影響下，他開(kāi)始奮發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)。他在19歲那年，他為了保護(hù)卡爾文教徒的南特茲赦令不被廢除而遭監(jiān)禁，做了兩年牢。南特法令別摒除后，他為求生計(jì)，去了英國(guó)倫敦。在倫敦的學(xué)習(xí)狄莫弗找到了更多更加優(yōu)秀的作品，學(xué)到了更加豐富的知識(shí)，后來(lái)通過(guò)自己的不斷努力他當(dāng)上了英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員，他的一生有許多的成就其中最重要的就是正態(tài)曲線的發(fā)現(xiàn)。[2]狄莫弗對(duì)統(tǒng)計(jì)意義主要有：他用頻率估計(jì)概率，觀察值的算術(shù)平均的精度，與觀察次數(shù)N的平方根成比例，這對(duì)當(dāng)時(shí)來(lái)說(shuō)是一個(gè)非常大的進(jìn)步。還有他的最大貢獻(xiàn)當(dāng)然是以他名字命名的中心極限定理，后來(lái)拉普拉斯在他40年自后才才得出了中心極限定理的公式。后來(lái)統(tǒng)計(jì)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，許多的統(tǒng)計(jì)學(xué)中的基礎(chǔ)量，在樣本無(wú)限時(shí)，他的分布都與正態(tài)分布有契合的地方，這成為數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)量的基本模型。一直到今天，這樣的模型依然有著很重要的地位，可見(jiàn)狄莫弗所給后人帶來(lái)了無(wú)窮無(wú)盡的財(cái)富。2．1古典統(tǒng)計(jì)時(shí)期的概率論概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)是一對(duì)兄弟學(xué)科，兩門學(xué)科一同形成完善，共同創(chuàng)新并影響著，你中有我，我中有你。概率論發(fā)源于賭博活動(dòng)中，概率論的發(fā)展推動(dòng)者統(tǒng)計(jì)學(xué)的進(jìn)步，而統(tǒng)計(jì)學(xué)的進(jìn)步尤為概率論的世紀(jì)應(yīng)用找到了方向。我們通常把統(tǒng)計(jì)學(xué)的形成分成三個(gè)時(shí)期：古典統(tǒng)計(jì)時(shí)期、近代統(tǒng)計(jì)時(shí)期和現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)時(shí)期。古典統(tǒng)計(jì)時(shí)期大約是17世紀(jì)中葉到18世紀(jì)中葉，這一時(shí)期歐洲在各個(gè)方面都有著天翻地覆的變化，概率論和古典統(tǒng)計(jì)學(xué)就是在這特殊的情況下出現(xiàn)的。我們一般認(rèn)為概率論的出現(xiàn)源于帕斯卡和費(fèi)馬，兩個(gè)偉大的數(shù)學(xué)在特殊時(shí)期的發(fā)明。2．2二項(xiàng)式正態(tài)逼近——狄莫弗在任何實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)足夠多時(shí)，時(shí)間出現(xiàn)的頻率就接近于事件發(fā)生的概率。當(dāng)無(wú)限次地進(jìn)行實(shí)驗(yàn)室，人們就能準(zhǔn)確的計(jì)算所有事件的概率。當(dāng)時(shí)在英國(guó)的狄莫弗通過(guò)學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)學(xué)有了極大的興趣，尤其是對(duì)概率論的興趣，他對(duì)概率論有著諸多的靈感，他不斷的摸索其中的奧秘。在1711發(fā)表了關(guān)于概率論研究的論文，在1733年，一個(gè)賭博問(wèn)題刺激著狄莫弗--A,B在賭場(chǎng)里賭錢，A，B贏概率是p,B贏的概率是q=1-p,賭n次，假如A贏的次數(shù)X>np,就A給賭場(chǎng)X-np元，不然B給賭場(chǎng)np-X元。求賭場(chǎng)能獲得理論的期望？最后求得的結(jié)果期望值是棣莫弗用公式得到了當(dāng)p=1/2時(shí)這是狄莫弗由賭博問(wèn)題計(jì)算出來(lái)的式子，在概率論應(yīng)用與統(tǒng)計(jì)學(xué)中有著非常崇高的地位。從這開(kāi)始，在拉普拉斯等其他學(xué)者的共同發(fā)展下，中心極限定理最終形成，稱為狄莫弗-拉普拉斯中心極限定理:[3]設(shè)隨機(jī)變量X_n服從參數(shù)為p的二項(xiàng)分布，則對(duì)任意的x,恒有狄莫弗在二項(xiàng)分布的推算中只看到正態(tài)曲線的外貌，他未能真正看到這條曲線的迷人之處，他的研究也到此為止了。2．3為何當(dāng)時(shí)正態(tài)分布未能有大發(fā)展從現(xiàn)代的眼光來(lái)看狄莫弗對(duì)正態(tài)分布的出現(xiàn)有著歷史性的作用，他為正態(tài)分布的出現(xiàn)埋下了一顆希望的種子，可在當(dāng)時(shí)狄莫弗所做的研究沒(méi)有引起很多人的的重視，正態(tài)分布還處在一個(gè)萌芽狀態(tài)，根本談不上有什么應(yīng)用。我覺(jué)得還有以下原因：首先，在那時(shí)人們隨意概率論有著偏見(jiàn)，認(rèn)為概率論的來(lái)源是賭博，人們反對(duì)將他歸入到科學(xué)領(lǐng)域，束縛的他的發(fā)展，那時(shí)的大數(shù)法則被推上的很高的位置，人們都無(wú)法挑戰(zhàn)鐵律。其次，一個(gè)理論的發(fā)展需要現(xiàn)實(shí)的需要，而當(dāng)時(shí)統(tǒng)計(jì)學(xué)的作用中用于人口的統(tǒng)計(jì)，非常有局限性，那時(shí)統(tǒng)計(jì)學(xué)中的二項(xiàng)分布運(yùn)用的比較多，二正態(tài)分布由于不被社會(huì)所需要所以他的成長(zhǎng)還需要一些過(guò)程。再次，當(dāng)時(shí)除了狄莫弗，當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家對(duì)于概率論的研究都不是非常的感興趣，他所得到幫助非常少。最后是歷史原因，在書寫概率論的發(fā)展史中狄莫弗二項(xiàng)式正態(tài)逼近被遺漏了，他對(duì)概率論所做的貢獻(xiàn)在很長(zhǎng)一段時(shí)間被遺忘了，知道拉普拉斯和高斯等人的出現(xiàn)，對(duì)正態(tài)曲線有進(jìn)一步的發(fā)展，人們才認(rèn)識(shí)到狄莫弗的貢獻(xiàn)。3.正態(tài)分布的重新出發(fā)人們對(duì)事物的檢測(cè)，無(wú)可避免或多或少總會(huì)出現(xiàn)一些誤差，不管是檢測(cè)哪方面的，人們很早就知道了這一點(diǎn)，不過(guò)對(duì)檢測(cè)結(jié)果的不確定性，人們總是不清楚，看法始終不能一致。到了18世紀(jì)，數(shù)學(xué)有了一個(gè)變化，人們研究數(shù)學(xué)是為了解決生活中的問(wèn)題。人們對(duì)概率論有了新的認(rèn)識(shí)，概率論在日常生活中的應(yīng)用也越來(lái)越多了，推動(dòng)了誤差問(wèn)題的前進(jìn)。天文學(xué)的迅速發(fā)展，許多天文學(xué)家在研究天文問(wèn)題時(shí)都涉與到天文數(shù)據(jù)的測(cè)量計(jì)算，這些為正態(tài)分布的發(fā)展提供了溫床。3．1天文中的誤差天文學(xué)從古代至18世紀(jì)一直是應(yīng)用數(shù)學(xué)中最發(fā)達(dá)的領(lǐng)域，觀測(cè)和數(shù)學(xué)天文學(xué)，給出了建模與數(shù)據(jù)擬合的最初例子。正態(tài)分布的新生則是其中非常經(jīng)典的例子。人們對(duì)天文問(wèn)題的研究促使天文學(xué)家非常關(guān)心在數(shù)值分析是算術(shù)平均是否合理，并開(kāi)始從誤差的角度來(lái)進(jìn)行分析。測(cè)量誤差，一個(gè)無(wú)法避免的問(wèn)題，在天文的一些數(shù)據(jù)測(cè)量中，不同的測(cè)量機(jī)構(gòu)，不同測(cè)量機(jī)器，不同的測(cè)量人員等等都難免會(huì)有差異，所以測(cè)量結(jié)果頁(yè)肯定會(huì)有差異，當(dāng)去平均時(shí)可是受到的干擾最小，結(jié)果更接近真實(shí)值，測(cè)量值有誤差，但基本都在真實(shí)值附近。[4]在進(jìn)行對(duì)天體觀測(cè)數(shù)據(jù)的計(jì)算過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了許多正態(tài)分布的特征，認(rèn)為在觀測(cè)中引起的誤差與在計(jì)算中引起的誤差是不一樣的，小的觀測(cè)值變化同意可以是距離值有很大的變化。偉大的天文學(xué)家伽利略是第一個(gè)在作品中提出觀測(cè)誤差這個(gè)概念的，由于那時(shí)的概率論的知識(shí)有限，沒(méi)能很好的解決這個(gè)問(wèn)題。后來(lái)辛普森對(duì)誤差問(wèn)題的研究也并沒(méi)有取得很多的進(jìn)展。3．2誤差論的形成卡爾·弗里德里?！じ咚?，德國(guó)著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、測(cè)量學(xué)家，與牛頓、阿基米德被稱為為歷史上最偉大三個(gè)數(shù)學(xué)家，是近代數(shù)學(xué)奠基者之一。在他18歲的發(fā)現(xiàn)了質(zhì)數(shù)分布定理和最小二乘法。通過(guò)對(duì)足夠多的測(cè)量數(shù)據(jù)的處理后，可以得到一個(gè)新的、概率性質(zhì)的測(cè)量結(jié)果。在這些基礎(chǔ)之上，高斯隨后專注于曲面與曲線的計(jì)算，并成功得到高斯鐘形曲線，正態(tài)誤差理論正式被提出，在70年后狄莫弗推導(dǎo)出來(lái)的式子進(jìn)入了概率的家庭中。這一函數(shù)被命名為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，在概率計(jì)算中被大量使用。3．2．1拉普拉斯的概率論拉普拉斯(1749－1827)是法國(guó)、數(shù)學(xué)家、分析學(xué)家、概率論學(xué)家和物理學(xué)家，法國(guó)科學(xué)院院士。1749年生于法國(guó),1816年被選為法蘭西學(xué)院院士，1817年任該院院長(zhǎng)。他是天體力學(xué)的主要?jiǎng)?chuàng)作人，天體演化學(xué)的創(chuàng)立者之一，在概率論的發(fā)展史中，拉普拉斯是古典概率論的第一人，所以說(shuō)在數(shù)學(xué)界他是當(dāng)時(shí)的先鋒人。在他1812年發(fā)表了代表作《概率分析理論》，在書中總結(jié)了當(dāng)時(shí)整個(gè)概率論的研究，介紹了概率論在當(dāng)時(shí)的應(yīng)用。書中包含了他畢生對(duì)概率論的研究成果，他用數(shù)學(xué)中的各種工具來(lái)對(duì)概率論進(jìn)行分析，對(duì)概率論的發(fā)展有著舉足輕重的作用。他非常喜歡用歸納和類比的研究方法，是一位分析學(xué)大師。在概率論史上，拉普拉斯被認(rèn)為是古典概率論的集大成者，他運(yùn)用許多的分析方法，把概率論的基本理論統(tǒng)統(tǒng)做了系統(tǒng)性整理，把概率論變成了一門系統(tǒng)的學(xué)科，為概率論的發(fā)展做出了偉大的貢獻(xiàn)。他繼承17世紀(jì)伯努利對(duì)概率論的成果，把概率論應(yīng)用到當(dāng)天文地理、人口統(tǒng)計(jì)、賭博輸贏、人壽保險(xiǎn)、法庭判決等各個(gè)領(lǐng)域中去。[5]3．2．2高斯分布在數(shù)學(xué)界我們把高斯稱為“數(shù)學(xué)王子"，高斯一生的研究涉與到很多的領(lǐng)域甚至他開(kāi)創(chuàng)了許多新的領(lǐng)域。在他的觀念中，他寧愿少的發(fā)表文章，他要讓他所發(fā)表的東西是非常完整的。高斯受拉普拉斯的影響非常深，他的概率論研究資料并沒(méi)有出版成冊(cè)，而是在他大量的論文中。我們都知道高斯的一生很長(zhǎng)一部分他的職務(wù)是任格丁根天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)，所有對(duì)天文學(xué)的研究從未間斷，前面提到了天文學(xué)的誤差論，高斯對(duì)此很感興趣做了大量的研究，1809年，高斯發(fā)表了數(shù)學(xué)和天體力學(xué)專著《繞日天體運(yùn)動(dòng)的理論》其中涉與的誤差分布的問(wèn)題，他推導(dǎo)出來(lái)了正態(tài)分布的表達(dá)式測(cè)量的誤差是有許多原因形成的，但每個(gè)原因的影響都不是十分巨大，按照中心極限定理，他的分布近似于正態(tài)是無(wú)法阻擋。拉普拉斯沒(méi)有把這個(gè)成果用到誤差分布上，而高斯做到了，高斯創(chuàng)造性把正態(tài)分布和中心極限定理聯(lián)系在了一起，演化出了新的中心極限定理，其中就包含正態(tài)分布。緊接著高斯提出了--元誤差學(xué)說(shuō)，既誤差并不是僅由一種原因形成的，而是由許許多多的元誤差組成最后產(chǎn)生的誤差。這理論對(duì)于給正態(tài)誤差論一個(gè)非常合理、非常令人相信的解釋有巨大的意義。因?yàn)椋咚箯乃阈g(shù)平均的優(yōu)良性出發(fā)的，推導(dǎo)出誤差肯定服從正態(tài)分布；反之，又由誤差服從正態(tài)分布得出算術(shù)平均和最小二乘估計(jì)的優(yōu)良性。[6]1809年，高斯發(fā)表了誤差正態(tài)分布完整理論系統(tǒng)，后來(lái)他又發(fā)表了最小二乘法，中心極限定理的公式與其理論，在整個(gè)概率論的發(fā)展有著舉足輕重的作用，由于這個(gè)原因，正態(tài)分布又稱高斯分布，可見(jiàn)數(shù)學(xué)家高斯對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)界的地位，在高斯的所有成就中，正態(tài)分布?xì)q整個(gè)社會(huì)影響最大，這也體現(xiàn)了正態(tài)分布在概率論中的無(wú)法撼動(dòng)的地位。3．3基本誤差假設(shè)高斯推演出了正態(tài)概率密度函數(shù)，他的目的就是能讓算術(shù)平均值能夠作為真值的自然估計(jì)。1810年，拉普拉斯在他日常對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)值的計(jì)算分析時(shí)，得到了一樣的密度函數(shù)，這是對(duì)高斯函數(shù)的一次證明。當(dāng)然新的理論還需要更多的被證明，而一些經(jīng)驗(yàn)性的得出誤差分布符合正態(tài)分布在數(shù)學(xué)上顯然是站不住腳的。貝塞爾在1838年非常完整的提出來(lái)了基本誤差的一般性假設(shè)，中心極限定理有了另一只新的證明方式。他的這么做的原因就是我們雖檢測(cè)到的誤差出現(xiàn)的原因。原因有：整體的誤差是由一些相互獨(dú)立的一樣量階他們的聯(lián)合形成的，如果用算術(shù)平均假設(shè)和最小二乘法計(jì)算這個(gè)概率結(jié)果是一樣的。[7]貝塞爾提出的基本誤差假設(shè)是關(guān)于有限矩的對(duì)稱分布的隨機(jī)變量，由此得出的有限矩的對(duì)稱分布的和的分布的漸近展開(kāi)。同時(shí)他認(rèn)為，只要基本誤差互相獨(dú)立的，所有的基本誤差的方差對(duì)誤差和的方差有著支配作用，那么此時(shí)我們就認(rèn)為正態(tài)分布就是實(shí)際誤差的分布，誤差非常小可以忽略不計(jì)。[8]誤差論的形成發(fā)展在當(dāng)時(shí)并沒(méi)有得到重視，對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展也沒(méi)用體現(xiàn)出應(yīng)有的作用，高斯的誤差理論也一直沒(méi)有應(yīng)用到其他的方向，由于他產(chǎn)生于天文也一直用于天文，初具雛形的正態(tài)分布也始終沒(méi)有在統(tǒng)計(jì)學(xué)中沒(méi)有得到承認(rèn)。其原因就是在那時(shí)誤差論和統(tǒng)計(jì)學(xué)就是兩個(gè)完全沒(méi)有關(guān)系的領(lǐng)域，誤差論主要是對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)的分析計(jì)算，所用的知識(shí)都是高等數(shù)學(xué)方面的；而統(tǒng)計(jì)學(xué)只是對(duì)所得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。4.正態(tài)分布的近代統(tǒng)計(jì)學(xué)之路近代統(tǒng)計(jì)學(xué)，是指18世紀(jì)中末葉至19世紀(jì)中末葉中統(tǒng)計(jì)學(xué)，是古典統(tǒng)計(jì)學(xué)到現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)的過(guò)中間過(guò)程。在古典統(tǒng)計(jì)時(shí)期的概率論發(fā)展史非常孤單的，與統(tǒng)計(jì)學(xué)的交流也非常少，概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)的水乳交融沒(méi)有真正的實(shí)現(xiàn)。到了近代統(tǒng)計(jì)時(shí)代，拉普拉斯帶帶來(lái)了許多新鮮的事物。拉普拉斯首次提出了概率的古典定義，他把一些概率論的理論做為基本理論，在此對(duì)中心極限定理進(jìn)行證明，進(jìn)一步完備了觀測(cè)誤差理論（其中含有最小二乘法）。首次把概率論的應(yīng)該擴(kuò)到社會(huì)生活方面，最典型的例子就是概率論在人口統(tǒng)計(jì)上的應(yīng)用，拉普拉斯所做的貢獻(xiàn)是他在繼承前人理論知識(shí)的基礎(chǔ)上又進(jìn)行了一次偉大的創(chuàng)新。[9]在19世紀(jì)50念叨，人口統(tǒng)計(jì)空前發(fā)展出現(xiàn)了許多與人口統(tǒng)計(jì)相關(guān)的研究，如人的保險(xiǎn)，醫(yī)療等，在經(jīng)濟(jì)上統(tǒng)計(jì)學(xué)也被用于農(nóng)業(yè)，工業(yè)的分析。統(tǒng)計(jì)學(xué)進(jìn)一步得到了發(fā)展，在這個(gè)時(shí)期凱特萊出現(xiàn)了，他對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的推動(dòng)可謂是巨大的。4．1“近代統(tǒng)計(jì)學(xué)之父”—?jiǎng)P特萊比利時(shí)人口學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，人口統(tǒng)計(jì)家。他用大量的概率論中的原理用于對(duì)自然和社會(huì)現(xiàn)象的測(cè)量，然后統(tǒng)計(jì)大量數(shù)據(jù)，總是表現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)的大數(shù)定律，這些數(shù)據(jù)所反映出來(lái)的一些規(guī)律可以提現(xiàn)一些事物的變化，甚至能預(yù)測(cè)未來(lái)事件發(fā)生的可能性。在他的理論中，人的出生、成長(zhǎng)和死亡是有一定規(guī)律可循的，就是揭示這些規(guī)律。他覺(jué)得人口動(dòng)波動(dòng)的原因有自然的原因以與擾亂的原因。自然原因可以從性別、年齡、季節(jié)等方面進(jìn)行分析，擾亂原因可以從從社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、政治與道德背景進(jìn)行分析。在此分析的結(jié)果上，他又以恒常原因、可變?cè)蚝团既辉驅(qū)θ丝诮y(tǒng)計(jì)進(jìn)行分析。由此提出了“平均人”學(xué)的說(shuō)法，他認(rèn)為在社會(huì)上的人概況起來(lái)都有一個(gè)平均值，每個(gè)人都按照平均值上下波動(dòng)。這個(gè)平均人在現(xiàn)實(shí)中是非常典型的例子。根據(jù)這個(gè)典型的例子，我們能看到地球上人口狀態(tài)的共同形式，一所有社會(huì)所特有的形象都在這種平均人中巧妙地、曲折地反映出來(lái)。凱特萊根據(jù)人口統(tǒng)計(jì)資料研究了嬰兒性別比、婦女生育率、分年齡死亡率等等。由于他首創(chuàng)地在人口統(tǒng)計(jì)中使用到了概率論的知識(shí)，用數(shù)學(xué)知識(shí)理論研究人口問(wèn)題，使得人口調(diào)查和人口統(tǒng)計(jì)有了新的發(fā)展。西方統(tǒng)計(jì)學(xué)界根據(jù)他在建立數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)方面所做的貢獻(xiàn)，稱他為“近代統(tǒng)計(jì)學(xué)之父”，他對(duì)正態(tài)分布的見(jiàn)解非常的獨(dú)特。[10]4．2凱特萊對(duì)正態(tài)曲線的拓展18世紀(jì)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析問(wèn)題主要是二項(xiàng)分布，狄莫弗引入的正態(tài)分布并沒(méi)有別當(dāng)時(shí)所注意；到了19世紀(jì)初，由于拉普拉斯的中心極限定理，高斯的正態(tài)誤差理論，正態(tài)分布逐步有了它發(fā)回的機(jī)會(huì)，但是真正把正態(tài)分布拓展出去的是凱特萊，他把正態(tài)分布應(yīng)用到天文，地理，物理，數(shù)學(xué)，生物，社會(huì)等各個(gè)領(lǐng)域，凱特萊把正態(tài)曲線推廣到誤差理論應(yīng)用到新的領(lǐng)域和他所提出的“平均人”的概念中。1826年，凱特萊成為比利時(shí)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局的地區(qū)通信員，他的工作大多與統(tǒng)計(jì)相關(guān)。他的做法是通過(guò)某一個(gè)地區(qū)的人口調(diào)查分析來(lái)對(duì)全國(guó)人口進(jìn)行估計(jì)。這遭到了一些社會(huì)學(xué)家的反對(duì)，他們認(rèn)為影響人口的因數(shù)非常多，如環(huán)境的好壞，文化程度，工作，飲食等等，在這些因數(shù)影響下的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析非常的不合理，得到的結(jié)果也不準(zhǔn)確，凱特萊用了一個(gè)大膽的方法，在一批數(shù)據(jù)中，用這些數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布作為這些數(shù)據(jù)是否是同一性質(zhì)的標(biāo)準(zhǔn)，最后他通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了這樣方法。[11]后來(lái)，他把這一方法進(jìn)行延生，引入了正態(tài)曲線，把正態(tài)分布從觀測(cè)誤。差推廣到各種來(lái)源的數(shù)據(jù)，為在社會(huì)科學(xué)與人文學(xué)中使用統(tǒng)計(jì)方法邁出了決定性的一步。1835年，凱特萊首次提出來(lái)“平均人"的概念，他把誤差法則、正態(tài)分布的理論引入到人事研究中去。凱特萊通過(guò)他的努力使統(tǒng)計(jì)學(xué)得到各個(gè)領(lǐng)域的關(guān)注，使理論的完善和新理論的誕生有著不可磨滅的作用。4．3高爾頓對(duì)正態(tài)分布的創(chuàng)新高爾頓本來(lái)是學(xué)醫(yī)的，后來(lái)進(jìn)入了劍橋大學(xué)學(xué)習(xí)，接觸到了統(tǒng)計(jì)學(xué)方面的知識(shí)，他的家庭可以說(shuō)是書香門第，父親也是研究統(tǒng)計(jì)學(xué)方面的，祖父、叔祖父都是英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員，可能是從小受到家庭的影響，他對(duì)學(xué)術(shù)研究有著非常濃厚的興趣。他是凱特萊的接班人，受凱特萊影響非常大，在凱特萊之后他致力于研究正態(tài)分布。高爾頓相信正態(tài)分布適用于自然，社會(huì)中的所有問(wèn)題，在所有問(wèn)題中，它都有它的適用性。他創(chuàng)造性地在生物學(xué)角度方面用到了正態(tài)分布，他發(fā)現(xiàn)兩代人遺傳方面符合正態(tài)曲線，總朝著一平均數(shù)發(fā)展。高爾頓原來(lái)是學(xué)醫(yī)的，所以他從生物學(xué)的角度來(lái)分析正態(tài)分布，他在親子兩代的身高問(wèn)題的研究中發(fā)現(xiàn)，親子兩代的身高服從正態(tài)分布，對(duì)此它產(chǎn)生了兩點(diǎn)思考：l、在中心極限定理中，正態(tài)分布的形成有許許多多的原因，而整個(gè)曲線的形成是有這些原因共同結(jié)果而成，這樣的話遺傳問(wèn)題如何解釋？2、我們都知道身高是遺傳的，一般來(lái)說(shuō)會(huì)把優(yōu)勢(shì)遺傳，由此形成的結(jié)果是兩級(jí)分化嚴(yán)重，但是第二代，通過(guò)數(shù)據(jù)的分析還是與正態(tài)分布想符合，這有如何解釋？[12]高爾頓做了一個(gè)名為“正態(tài)漏斗”的實(shí)驗(yàn)，他得到的結(jié)果是雖然遺傳是一個(gè)大的因數(shù)，可以認(rèn)為這個(gè)大的因數(shù)室友許許多多的小因數(shù)組成的。高爾頓通過(guò)這個(gè)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，雖然在表面上表現(xiàn)為同一性質(zhì)，也可能有許多不同性質(zhì)成分的存在，這就是正態(tài)分布為什么能在各個(gè)方面有應(yīng)用的原因。高爾頓又做了一個(gè)—豌豆試驗(yàn)，他發(fā)現(xiàn)：只要種子的大小是一樣的，這些種子所產(chǎn)出的果實(shí)依舊符合正態(tài)分布，子代各個(gè)數(shù)據(jù)的平均值和母代有一定的聯(lián)系，并且非常地接近母代的平均值，基本上與一般平均值相符合，這個(gè)實(shí)驗(yàn)基本回答了高爾頓第二點(diǎn)的疑惑。[13]由于凱特萊和高爾頓的創(chuàng)新和應(yīng)用中，使我們看到了正態(tài)曲線那無(wú)與倫比的身姿正慢慢地浮現(xiàn)在我們眼前，在19世紀(jì)中到19世紀(jì)末的發(fā)過(guò)程中，正態(tài)分布使概率論的數(shù)學(xué)計(jì)算的實(shí)現(xiàn)提供的可能。5.現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)中的正態(tài)分布從19世紀(jì)期起，以契比雪夫、馬爾可夫等為代表的俄羅斯學(xué)派，通過(guò)引入隨機(jī)變量的概念，建立了隨機(jī)變量的獨(dú)立非獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)，以與收斂到正態(tài)分布的充要條件，從而在大數(shù)定律和中心極限定理上實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。此后這項(xiàng)工作隨概率論一起，在后人近一步的發(fā)展，概率論才真正成為一門演繹的數(shù)學(xué)理論，為數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的形成奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。在現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)的時(shí)代中，在威爾頓，埃其沃斯等人的引導(dǎo)下正態(tài)分布有了進(jìn)一步的完善挖掘。邁入到了20世紀(jì)，一場(chǎng)小樣本理論的革命正在悄悄醞釀中，通過(guò)哥塞特，費(fèi)歇爾等人的努力，正態(tài)分布在現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)中的地位得到了進(jìn)一步的鞏固，人們普遍運(yùn)用的正態(tài)分布擬合數(shù)據(jù)方法依舊是正態(tài)分布應(yīng)用的主流；與正態(tài)分布相關(guān)的回歸分析、方差分析、等統(tǒng)計(jì)學(xué)中方法，慢慢地形成，并且都成為非常重要的統(tǒng)計(jì)方法，加速了現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)蓬勃發(fā)展。[14]在古典統(tǒng)計(jì)時(shí)期，統(tǒng)計(jì)學(xué)一般都是用拉普拉斯中心極限定理，對(duì)人們通過(guò)自然采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。到了20世紀(jì)后，統(tǒng)計(jì)學(xué)家們?cè)谌斯?shí)驗(yàn)中獲得的數(shù)據(jù)越來(lái)越精確，由統(tǒng)計(jì)分析得到的結(jié)論也別人所承認(rèn)。6.正態(tài)分布的應(yīng)用6.1頻數(shù)分布在現(xiàn)實(shí)生活中，當(dāng)我們對(duì)數(shù)據(jù)用統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)分析時(shí)間時(shí)，當(dāng)我們需要了解某個(gè)數(shù)據(jù)在整體的分布，如果整個(gè)數(shù)據(jù)的分布是符合正態(tài)曲線的，此時(shí)我們能比較簡(jiǎn)便的通過(guò)正態(tài)分布來(lái)計(jì)算，運(yùn)用一步正態(tài)分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布之間的轉(zhuǎn)化然后查表。學(xué)校在一次體檢中檢測(cè)了300名高一女生的身高，測(cè)得的平均升高為159..23cm，通過(guò)計(jì)算其標(biāo)準(zhǔn)差為4.20cm,如何來(lái)估計(jì)身高在155.00cm~160.00cm的高一女生的比例與人數(shù)？由于人的身高我們可以認(rèn)為它是一個(gè)正態(tài)分布，它符合正態(tài)分布曲線，所以我們可以通過(guò)正態(tài)分布公式來(lái)解決這一問(wèn)題。設(shè)均值=159.23,=4.20,變量為xP{x<155}=p{<}===1-=1-0.8413=0.1587P{x<160}=P{<}===0.7794

則P{x<160}-P{x<155}=0.621，300*0.61=186人既身高在155.00cm~160.00cm的高一女生的比例約為62.1%，人數(shù)約為186人6.2對(duì)學(xué)生的一些情況進(jìn)行調(diào)查學(xué)生的成績(jī)一直是社會(huì)普遍關(guān)心的問(wèn)題，由此帶來(lái)的教育方面的統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展，根據(jù)對(duì)大量學(xué)生的統(tǒng)計(jì)結(jié)果的分析，學(xué)生的智力水平，學(xué)習(xí)創(chuàng)新能力，接受新鮮事物等情況均符合正態(tài)曲線。當(dāng)然學(xué)生的成績(jī)的分布更是正態(tài)分布的典型，一般來(lái)說(shuō)學(xué)生的考試成績(jī)都是在某一個(gè)分?jǐn)?shù)附近比較集中，高分和低分相對(duì)人數(shù)少一點(diǎn)，這樣的情況比較正常。如果曲線比較平或者比較偏某一邊，明顯的不對(duì)稱，那這次考試的情況可能就顯示不正常。下面兩個(gè)表示信息1,2班的數(shù)理統(tǒng)計(jì)與概率論的成績(jī)表表6-1信息（1）班概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)成績(jī)表學(xué)號(hào)12345678910成績(jī)53759277676075446567學(xué)號(hào)11121314151617181920成績(jī)82625376528860636560學(xué)號(hào)21222324252627282930成績(jī)76697845776569775167學(xué)號(hào)31323334353637383940成績(jī)78557862605685466056學(xué)號(hào)41424344454647484950成績(jī)80635575697663607662表6-2信息（2）班概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)成績(jī)表學(xué)號(hào)12345678910成績(jī)85726388747065866154學(xué)號(hào)11121314151617181920成績(jī)75687448745595757886學(xué)號(hào)21222324252627282930成績(jī)70527286639380477952學(xué)號(hào)31323334355437383940成績(jī)55758572926878506865學(xué)號(hào)41424344454647484950成績(jī)75956878928579758874對(duì)信息專業(yè)兩個(gè)班概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程成績(jī)應(yīng)用正態(tài)分布的相關(guān)理論進(jìn)行分析過(guò)程如下:首先，我們要對(duì)樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分類能得到如下表格：表6-3信息（1）班概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)成績(jī)頻率分布表成績(jī)區(qū)間頻數(shù)頻率[40,50)30.06[50,60)80.16[60,70)210.42[70,80)120.28[80,90)50.1[90,100]10.02表6-4信息（2）班概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)成績(jī)頻率分布表表成績(jī)區(qū)間頻數(shù)頻率[40,50)20.04[50,60)70.14[60,70)100.2[70,80)180.36[80,90)90.18[90,100]40.08其次，根據(jù)成績(jī)頻率分布表畫出頻率分布直方圖和頻率分布折線圖。圖6-1信息（1）班概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)成績(jī)頻率分布直方圖圖6-2信息（1）班概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)成績(jī)頻率分布折線圖圖6-3信息（2）班概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)成績(jī)頻率分布直方圖圖6-4信息（2）班概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)成績(jī)頻率分布折線圖最后，計(jì)算總結(jié)分析，根據(jù)直方圖和折線圖我們可以看到這兩個(gè)班級(jí)的成績(jī)都基本符合正態(tài)分布曲線，所以我們可以通過(guò)正態(tài)分布來(lái)分析本次考試的成績(jī)。通過(guò)計(jì)算我們可以得到信息（1）班學(xué)生的均值=66.5，方差=15.2，信息（2）班學(xué)生的均值=73.1，方差=18.2。通過(guò)圖像可知圖6.2-4的圖像比圖6.2-2的圖像右移了一點(diǎn)，正態(tài)分布中對(duì)圖像的影響就是越大圖像越往右移，而在這兩個(gè)班中>：圖6.2-4的圖像比圖6.2-2的圖像更陡尖，，正態(tài)分布中對(duì)圖像的影響就是越小圖像就越陡尖，而在這兩個(gè)班中<。所以今后在分析學(xué)生成績(jī)時(shí)只要把學(xué)生成績(jī)制成圖就可以分析出成績(jī)的特點(diǎn)，不但可以分析出班級(jí)在某次考試中的情況，也可以對(duì)不同班級(jí)進(jìn)行比較分析，進(jìn)而對(duì)教師的教學(xué)有更好的幫助。如若某次考試的均值很小，得低分的學(xué)生特別多，的高分的學(xué)生特別少，那么可以認(rèn)為此次考試的試題比較偏難，學(xué)生答題的情況不好。如若某次考試的均值很大，90多分，那么可能這次考試的題目較簡(jiǎn)單，同學(xué)答的都很好或者教師的教授水平很高。方差是對(duì)整體波動(dòng)的考察，越小說(shuō)明整體成績(jī)的波動(dòng)圍比較小，最高分差與最低分差的