2023年中考數(shù)學復習06 幾何類綜合問題答案解析

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重難點06幾何類綜合問題

命題趨勢

幾何綜合題是中考數(shù)學中的重點題型，也是難點所在.幾何綜合題的難度都比較大，所占分值也比較

重，解答題數(shù)量一般有兩題左右，其中一題一般為三角型、四邊形綜合；另一題通常為圓的綜合；它們在

試卷中的位置一般都在試卷偏后的位置.只所以幾何綜合題難度大，學生一般都感覺難做，主要是因為這

種類型問題的綜合性較強，涉及的知識點或者說考點較多，再加上現(xiàn)在比較熱門的動態(tài)問題、最值（范

圍）問題、函數(shù)問題，這就導致了幾何綜合題的難度再次升級，因此這種題的區(qū)分度較大.所以我們一定

要重視平時多培養(yǎng)自己的綜合運用知識的能力，從不同的角度，運用不同的知識去解決同一個問題.

!滿分技巧

1.熟練掌握平面幾何知識：要想解決好有關幾何綜合題，首先就是要熟練掌握關于平面幾何的所有知

識，尤其是要重點把握三角形、特殊四邊形、圓及函數(shù)、三角函數(shù)相關知識.幾何綜合題重點考查的是關

于三角形、特殊四邊形（平行四邊形、矩形、菱形、正方形）、圓等相關知識.

2.掌握分析問題的基本方法：分析法、綜合法、“兩頭堵”法：

1）分析法是我們最常用的解決問題的方法，也就是從問題出發(fā)，執(zhí)果索因，去尋找解決問題所需要的條

件，依次向前推，直至已知條件；例如，我們要證明某兩個三角形全等，先看看要證明全等，需要哪些條

件，哪些條件已知了，還缺少哪些條件，然后再思考要證缺少的條件，又需要哪些條件，依次向前推，直

到所有的條件都已知為止即可.

2）綜合法：即從已知條件出發(fā)經過推理得出結論，適合比較簡單的問題；

3）“兩頭堵”法：當我們用分析法分析到某個地方，不知道如何向下分析時，可以從已知條件出發(fā)看看能

得到什么結論，把分析法與綜合法結合起來運用是我們解決綜合題最常用的辦策略.

3.注意運用數(shù)學思想方法：對于幾何綜合題的解決，我們還要注意運用數(shù)學思想方法，這樣會大大幫助

我們解決問題，或者簡化我們解決問題的過程，加快我們解決問題的速度，畢竟考場上時間是非常寶貴

的.常用數(shù)學思想方法：轉化、類比、歸納等等.

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限時檢測

限時檢測1：最新各地模擬試題（90分鐘）

1.（2023?浙江寧波??？家荒＃┤鐖D，的直徑/8,8垂直平分OZ,48延長線上一點E,DE交圓。

于尸，且EF=弦。，交OC于G,滿足Gh=GOxGE,S△即-SDCE=26AC長為（）

A.6B.?C.2D.2也

【答案】C

【分析】連接?！?，°尸，°”，如圖，先根據(jù)題意證明△醺°sGED1得到∕OZ）G=/E,進而可證明

AODH*F0E,得出ND?！?NEF。，由8垂直平分O4可得NoDC=30。，設NE=X,根據(jù)等腰三角

形的性質、三角形的外角性質以及三角形的內角和可求得x=20°,進而可求出N尸。"=120°,由

SAW-SDCE=2√J變形可得SAah-SDoC=26,然后設未知數(shù)求出圓的半徑即可求出答案.

【詳解】解：連接。。，?！??！?，如圖，

,GD1=GO×GE,..GOGD`?.2DG0=NEGD,GED,NODG=ZE,

-?EF=OAfOA=OD=OH,??.EF=OA=OF=OD=OH，NoDG=NoHG，

ZFOE=ZEfΛZFOE=ZE=ZODG=ZOHGI...^ODH=^FOE,...ZDOH=ZEFO,

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OC=AC=-OA=-OD

???8垂直平分。4.?.22,...ZODC=30°,

設/E=x,典?NFOE=NE=x,NOFD=2x,?,?OD=OFNoDF=NOFD=2x,

在直角三角形OCE中，?.?ZC^+Zf=90o,...30o+2x+x=90o,解得％=20。，

./DOH=NEFO=180o-2x=l40o,ZDOF=180o-4x=lOOo

...ZFOH=360o-ZDOH-ZDOF=360o-140o-lOOo=120。，

+

'AEiHF—SDCE=26QODOFHOF)-(Seof+Sdof+SDOC)=2下),

V?ODH=^FOE,：.S.ODH=SAFOE,SABOF—SDOC=

OC=-r

設圓的半彳仝為r,則在直角三角形OCO中，2

=Jirc=L?L=正2

CD=

2,AM?-5?了，亍-可-，，作。于點

HM=FM=gHF,ZOFH=NOHF=30°

...OH=OF=r/FOH=120°9

OM=-OH=-r,FM=—rFHNoH=

222...=&,

Cc_?/7r2-r2-2y/3AC=—r=2

??八△的FTwc=2V3,...48,解得：r=4(負值己舍去)，:2.故選：C

【點睛】本題是圓的綜合題，主要考查了同圓半徑相等、相似三角形的判定和性質、等腰三角形的性質、

全等三角形的判定和性質、三角形的外角性質等知識，綜合性較強，熟練掌握上述知識、正確添加輔助

線、靈活應用數(shù)形結合思想是解題的關鍵.

2.（2023?遼寧丹東??？家荒＃┤鐖D，等腰“8C中，CA=CB=4,4C8=120。，點。在線段“8上運動

（不與/、8重合），將Aeo與ACBO分別沿直線。1、CB翻折得到AC∕尸與4C80,給出下列結論:

4√3

（X）CD=CP=CQ.②APCQ面積的最小值為??；③當點。在月8的中點時，APD°是等邊三角形;

4√3

④當尸O,BQ時，的長為??；其中所有正確結論的序號是（）

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Q

A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④

【答案】B

【分析】①由折疊直接得到結論；

②由折疊的性質求出+ZBCQ=120°)再用周角的意義求出NPCQ=120°：先作出APCQ的邊PC

2

,..........QE=*CQ…SΔPCQ=4-CDλCCC

上的高，用三角函數(shù)求出2Y、得到"4,判斷出APCQ面積最小時，點。的位置,

據(jù)此求解即可；③先判斷出△為叨是等邊三角形，△即。是等邊三角形，再求出NPQQ=60。，即可；

④當D,C,0共線時，可以證明NP08=9O。，求出此時/。的值即可.

【詳解】解：①???將AaIZ)與ACBO分別沿直線C4CB翻折得到AoIP與ACBQ,

,CP=CD=CQ故①正確；②...將ACZO與△(?%)分別沿直線C4C8翻折得到AC4尸與ACBQ,

,AACP=AACD,NBCQ=NBCD.ZACP+ZBCQ=ZACD+NBCD=ZACB=120°

.ZPCQ=360o-(ZACP+BCQ+ZACB)=360o-(120°+120°)=120°如圖］中,

過點Q作QEIPC交PC延長線于E,NPCQ=120。，...NQcE=60°,

在RfQCE中,Sing噴QE=CQ×sinZQCE=CQ×sin^^-CQ

...CP=CD=CQPpYCPxQE=；CPqCQ=觸

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???8最短時，S"。。最小，即：CZ)LN8時，8最短，過點C作N工/8,此時CF就是最短的CD,

CF=-BC=I

,.AC=BC=4,ZACB=120o,.ZABC=30°,...2,即：8最短為2,

SNs最小=興CD?=與x2?=也

,故②錯誤,

③...將AC∕。與ACBO分別沿直線。、CB翻折得到AC/P與AC80,../。=力尸，NDAC=NPAC,

.../￡?"=30。，.?./PZO=60°,是等邊三角形，.?.PO=ZADP=60°

同理：ABDQ是等邊三角形，...DQ=BD,N8OQ=60。，...NP。。=60。，

???當點。在18的中點，.?.4O=BO,.?.P0=O°,.?.VZ>P0是等邊三角形.故③正確，

④如圖2中，當O,C,0共線時，?.?80=BDNQBD=60。.ASOQ是等邊三角形,

...ZQDB=ZPAD=60。，...PA//DQ.ZACD=NPAC=NCAD=30°,

.?.H=4)=CD=PC四邊形ZOCP是菱形，.?."=8=CQ,

四邊形"產耍是平行四邊形，??.NPQC=NP/C=30°,../尸。8=90。，

過,?'IC作CFJ.AB于F,則NF=FB=BC-cos30°=20，

AD=-AB=^-

...NDCB=NACB-NACD=90°,BD=2CD=2AD,：.33,故④正確，

綜上，①③④正確，故選：B.

【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了折疊的性質，等腰三角形的性質，等邊三角形的判定，銳角

三角函數(shù)，極值的確定，三角形的面積公式，解本題的難點是確定出APCQ面積最小時，點。的位置.

3.(2022?廣東深圳?深圳市寶安中學(集團)?？既?如圖，在正方形N8C。中，E是線段8上一

點，連接/E,將E沿/￡翻折至4/E凡連接8尸并延長8斤交4E延長線于點P,過點E作EMlPB

于已知PF=&,BF=I.其中正確結論的個數(shù)有()

r—-√2+l

φzJPF=450(2)/.EFP=LFBC③PM='2-'(4)DE

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C.3D.4

【答案】D

【分析】過點Z作/NlB尸于N,證得“=/P4N=45。，得①正確；由等角的余角相等可證②正確：由

EMNF

?EFM=?FAN及?EMF=?FNA=900可證得AEMFsAZMl,再由MF/N可得PM=EM=近T,③正確；

憶尤3

由MMFsAFNA可得。EEF,④正確.

【詳解】解：如圖，過點、4作4NLBP于N,

四邊形/8CZ)是正方形，MO=",血￡)=90。,

由翻折的性質可知，AD=AF,乙DAE=乙E4F,.?.4B=AF,

?

-ANLBF,.-.BN=FN,乙BAN=AFAN,.?.?PAN=?PAF+?FAN=2/.BAD=45°,

---ZJyVP=90°,：.乙P=乙PAN=45°,???AN=NP,故①正確；

由翻折的性質可知，3=AFE=90。，：.aFP+?AFN=90°,

"B=AF,：.UFN=?ABF,.?.?ABF+?FBC=90°,.?∕EFP=EFBC,②正確；

?.?EM1BP,ZP=45o,.?.EM=PM,-.?BN=FN,BF=2,PF=Q：.AN=NP=&+\,

,:乙EFM+UFN=90°,UFN+?FAN=90°,：.乙EFM=乙FAN,

EMNFPM1

“EMF=乙FNA=90。,SEMFMFNA,；.MF/N,即收一PM√2+l

AFNF1I-,

r—==~~r=----=?χ∕2÷1

解得PM=EM={27,③正確；?.?AFNAMEMF,：.EFEM√2-l,

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∞=^=√2÷1

?：CD=AD=AF,DE=EF,：.DEEF,④正確.故選：D

【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，正方形的性質，等腰三角形等知識，解題的關鍵是正確尋找

相似三角形解決問題，學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考?？碱}型.

4.(2023?安徽滁州??？家荒?如圖，已知菱形力8CO的邊長為2,對角線/C、8。相交于點。，點〃，N

①“MN是等邊三角形；②MN的最小值是百；③當MN最小時SMMN=G"物sc，④當。MLBC

時，OA2=DN?AB

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【答案】D

【分析】①依據(jù)題意，利用菱形的性質及等邊三角形的判定與性質，證出NW=/"%,然后證

△“DAN(ASA)jAM=AN,即可證出.②當MN最小值時，即4例為最小值，當??LBC時，力〃值

最小，利用勾股定理求出“歷=J坂-8"=出守=百,即可得到例N的值.③當MN最小時，點M、N

分別為8C、。中點，利用二角形中位線定理得到ZdW,用勾股定理求出

1

CE=VcM-EN=JfT務=LSAcm,=lχl×√3=^oγ5-9

V22,22"4,而菱形”8的面積為：2X√3-243,即可得到

答案.④當WBC時，可證△的BCO,利用相似三角形對應邊成比例可得oc2=αw?sc,根據(jù)等

量代換，最后得到答案.

【詳解】解：如圖：在菱形/28中，AB=BC=AD=CD,ACJ.BD,QA=OC,

...ABAC=AMAN=60°,...AACB=ZADC=60o,ΔABC與叢ADC為等邊:角形，

又/MAC=ZMAN-ZCAN=60c-ZCAN,ZDAN=4DAC-/CAN=60°-ZCAN,

ZCAM=ZDAN

<AC=AC

...ZM4C=NDAN,在MCAM與^DAN中NADN...A@l^DAN(ASA),；,AM=AN,

即A/MN為等邊三角形，故①正確：

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■：AClBD,當MN最小值時，即為最小值，當/MLBC時，4/值最小,

T

∕B=2,BM=QBC=1,...AM=痂匚嬴=亞了=如期MN=幣,故②正確;

當MN最小時，點”、N分別為8C、CD中點，；.MN〃BD,ACLMN.

IYRRLX2?>∕3=-

而菱形45C。的面積為：2×√3-2√31.84,故③正確,

JNBOC=ZOMC=900ocCM

當OMj_BC時，INOCM=NBCo：、叢0QMBCO.?,~BC~~OC

.?."2=CM.BC.?.O42=ZW?∕8故④正確；故選：D.

【點睛】此題考查了菱形的性質與面積，等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定，勾股定理，三角

形中位線定理等相關內容，熟練掌握菱形的性質是解題關鍵.

5.（2022?湖北黃岡?統(tǒng)考模擬預測）如圖，在正方形/88中，AB=2.G為對角線8。的延長線上一點，

E為線段CZ）的中點，BFLAE,連接。尸.已知4D4G=15CJ,其中結論正確的是（）

OP\_

①4G=BD;②8尸=石；（3）OA3;④S△尸OF=3；⑤若E點為線段Cz）上一動點，當ZE=EC+C0時，

A.①②③④B.①②④C.②③⑤D.①③⑤

【答案】D

【分析】根據(jù)正方形的性質與解宜角三角形的方法逐個解題求解.①根據(jù)4》G=I5?？傻煤?0。角的直角

三角形NoG,求出∕G=2∕O;②由皿4￡+的尸=90。，?BAF+?ABF=90o^?BAF=?DAE,

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-D-E-=-A--F=一1

tan?BAF=tan?DAE=ADBF2,通過解直角三角形求出8尸長度；③將OP：轉化為OP：OD,通

過△/￡>PS408P求解；④先通過0P：。0=1：3求出三角形。IP的面積，再通過尸產與ZP的比值求出

三角形PO廠的面積.⑤設EZ>x,EC=2-x,通過相似三角形與勾股定理求出X的值從而求出力0.

【詳解】解：(T)?.?zDJG=150,.-./.GAO=?DAG+ΛDAO=60O,.??ZG=30o,AG=IAO,

,?BD=2AO.??AG=BD,?(?)IEifi?,符合題意.

\_

②?：E為CD中點，.?.DE=3CD,?.??DAE+?BAF=90o,乙B4F+?ABF=90°,

DEAF↑

：.4BAF=3AE,???tanz?8NF=tanz?ME=BF2,.-.BF=IAF,

22

在RtAABF中,由勾股定理得：AB=ylAF+BF=√5af=2,

2√54√5

.-.AF=5,BF=IAF=5,②錯誤，不符合題意.

③,：E為CD中點、,ECIl48,.?.EC為A彳8。的中位線，C為8。中點，??.80=28C=2∕D,

DPAD1DP1

---=1=----------=—

?.?AD??BQ,：.博DPS小QBP,BPQB2,-.BD-DP2,

-OD

OPOP6_1

?Ili而=而=荻=3

.-.DP=?BD,OP=OD-DP=2BD-?BD=6BD,：.2,二③正確，符合題意.

④?.?∕8=2,BQ=IAB=A,.??4Q=q"B'+BQ2=2〉,

2√5

ZJk一3

舊

AP_-A-D-=一1?2AP~5^5FPi322

而二

BQ2??AP=^AQ=3,.?.35-5,BPSΔPOF=^SAAOPf

OP????]_

?.?OA3,.?.s^AOP=3S440D=3x4$正方形ABCD=?,

22

-.SAPOF=5SAAOP=[5,.?.④錯誤，不符合題意.

DEADX_24-2x

⑤設Ez)=X,EC=2-x,則ECCQ,B∣J2~x0°,：.CQ=X,

4-2x4--

-.AE=EC+CQ=2-x+XX,在RAWE中，由勾股定理得:

,________,____4-x2/—?2√32√3/—?4√3

AE=7AD+DE-=√4÷x,X,解得X=3或L3(舍).：=?

-D-E-=一1

:?乙D4E=乙BQA,.?.sm?DAE=sm?BOA=AE2,

???∕0=2∕8=4,.?.⑤正確，符合題意.故選：D.

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【點睛】本題考查正方形與三角形的綜合問題，解題關鍵是熟練掌握正方形的性質與解直角三角形的方

法.

6.（2022?四川達州?統(tǒng)考二模）如圖，正方形48C。中，3=4,點E是對角線NC上一點，連接OE,過

點、E作EFLED,交48于點尸，連接。R交ZC于點G,將AEFG沿E尸翻折，得到△EFN,連接。川,

2√55√25√2

交E尸于點N,若點尸是48的中點，則下列說法中：①FG=3@CE=J③ME=3@MN=6

,其中正確的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】過點E作尸。ICz）,交DC于點P,交4B于點、Q,連接8E,利用正方形的性質及等腰三角形的

性質得出PE=PC,結合全等三角形的判定和性質以及勾股定理可判斷②；利用勾股定理及相似三角形的

判定和性質可判斷①；由勾股定理及翻折的性質可判斷③；連接GM,GN,交EF于點、H,利用等腰三角

形的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理即可判斷④.

【詳解】解：過點E作P01CO,交DC丁點、P,交/8于點0，連接8E,

???OC∣∣∕8,.?∕0L48,???四邊形48CD是正方形，二乙4C￡>=45。，

.??ΔPEC為等腰直角三角形，???PE=PC,設PC=X,則PE=X,PD=A-x,EQ=4-x,.-.PD=EQ,

,:乙DPE=乙EQF=90,乙PED=乙EFQ,：.\DPE=\EQF,：.DE=EF,

?；DELEF,.SDEF是等腰直角三角形，

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DC=BC

ZDCE=ZBCE=45°

EC=EC

在△￡>(?￡■與A8CE中,,:ADCEwABCE,.--DE=BE,.--EF=BE,

-BF

■EQ1.FB,..FQ=BQ=2,?.?AB=4,F是AB中點，［BF=2,.'FQ=BQ=PE=I,

??.CE=JP6+CP2=近,故②正確；PD=4-?=3,在7?ΔZM尸中，OF=√42+22=2√5,.RE=EF=回,

CGDCDG_42

DC??AB,.?.ADGC-^FGA,.-.AGAFFG2,.?.CG=2AG,DG=IFG,

Iv0匕_2亞,______2.rr8√2

77

.-.FG=3-3,故①正確；,?^c=√4+4=4√2,.?.CG=W'

越一加=逑5√2

-.EG=33,由于翻折，.??ME=EG=3,故③正確;

如圖所示，連接GΛ∕,GM交EF于點、H,?GFE=45o,

5√2

M一近=亞

.?.AG4F為等腰直角三角形，.?.GH=∕H=√23,'EH=EF-FH=??,

√10

由折疊可得：GMLEF,MH=GH=?,：.乙EHM=4DEF=9Q,.?.DE??HM,:ADEN?XMNH,

√ioENZ

DE_EN_叵~NH~2布√10

.?.NH,...3,.?.EN=3NH,???EN+NH=EH=3,：.EN=2,

2√io√io√ιo-JGH2+NH2=

.-.NH=EH-EN=326,在RtAGNH中，：.GN=

5√2

由折疊可得AfiV=GN=6,故④正確；故選：D.

【點睛】題目主要考查正方形的性質，等腰三角形的判定和性質，全等三角形及相似三角形的判定和性

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質，勾股定理解三角形等，理解題意，作出相應輔助線，綜合運用這些知識點是解題關鍵.

7.（2022?江蘇無錫?統(tǒng)考一模）我們定義：兩邊平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形，

根據(jù)定義：①等邊三角形一定是奇異三角形：②在加ZU8C中，Ne=90。，AB=c,AC=b,BC=a,且6

>a,若/?也/8C是奇異三角形，則a：b：c=l:石：2；③如圖，/8是Oo的直徑，C是。。上一點

（不與點/、5重合），。是半圓寂的中點，C、。在直徑48的兩側，若在。。內存在點E,使ZE=

AD,CB=CE.則A4CE是奇異三角形；④在③的條件下，當△/!CE是直角三角形時，^AOC=120°,其

中，說法正確的有（）

D

A.①②B.①③C.②④D.③④

【答案】B

【分析】①設等邊三角形的邊長為。，代入檢驗即可；②在RtMBC中，由勾股定理可得/+〃=/,因

為RtΔ∕LBC是奇異三角形，且0>a,所以/+。2=2/，然后可得6=缶，C=島，代入可求；③要證

明a∕CE是奇異三角形，只需證∕C2+CE2=2∕E2即可：④由③可得ZUCE是奇異三角形，所以

AC2+CE2=2AE2,當"CE是直角?角形時，由②可得小花CE=?五拒或

4C：MECE=百√∑l,然后分兩種情況討論.

【詳解】解：設等邊三角形的邊長為a,則/+/=2/,滿足奇異三角形的定義，

；?等邊—三角形一定是奇異三角形，故①正確；

222222222

在RtΔJBC中，a+b≈c,??c>b>a>0f,?,2c>a+bf2a<b+cf

222222

若use是奇異三角形，一定有2∕=∕+C2,.2b=a+（a+b）t.,b=2a,得b=6a.

..c2=b2+a2=3a2,...c=√3α,...a：b≡CF1√2√3,故②錯誤；

21

在RtΔ∕18C中，a+b=c?.?ab是。。的直徑，；.UCB=乙408=90。，

在RfΔJC8中，AC2+BC2=AB2.在RΛMD8中，AD2+BD2≈AB2.

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2i22

?.?。是半圓/。8的中點，.?.NC=8O,.MjD=80,.-.AB=AD+BD=2AD,

又?.?CB=CE,AE=AD,.-.AC2+CE2=2AE?.?.?ACE^^-≡^,故③正確：

由③可得?ACE是奇異三角形，；.AC2+CE2=1AE?

當ZUCE是直角三角形時，由②可得"C：NECE=Te5或4C：AECE=√3√21,

(?)-^lAC-.JAECE=I√Σ√J時，AC：C￡=1√3,即/GCB=I百，

...ZACB=90,...ZABC=30°,...ZAOC=2ZABC?60°.

D

(11)?lAC-.AECE=時，AC：CE=也\,即/C：C5=√31,

-.?ΛACB=90O,.??ZJ5C=60O,???Z√lOC=2zJtfC=120o,

??.乙4。C的度數(shù)為60。或120。，故④錯誤;故選：B.

【點睛】本題主要考查了：L命題；2.勾股定理；3.圓周角定理及推論；4.直角三角形的性質.能牢

固掌握以上知識點并綜合運用是做出本題的關鍵.

8.(2022?廣東深圳?深圳市寶安中學(集團)校考模擬預測)如圖，已知正方形∕8CQ,E為邊BC上一個

動點(E點不與5、C重合)，F(xiàn)為BC延長線上的一個動點，KWBE=CF,AE交BD于H,連接。F,過

尸作尸GIBD于G,連接/G、EG,則下列結論：①四邊形4￡7也>為菱形；(2)AG=EG↑③當E為BC中

點時，tan48GE=5;④當EC2時，SXHG5其中正確的有

BE

【答案】②③④

【分析】證明"O=BC=EE結合力E>∕8可判斷①，如圖，連接CG,過G作GNLBC于N,證明

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AG=CG,EN=CN,可判斷②，如圖，延長NG交/。于證明三角形ZGE為等腰直角三角形，可得

ZBGE=ZBAE,從而可判斷③，如圖，過G作GQLNE于。，過“作“KL5C于K,設8E=α,則

5?adAE^y∕Wa,AQ=GQ=EQ=-a,BD=342a,orιj

AD=3a=AB,則2證明ABEHSAD4H,再求解

3

m√lθDτ-r√23√Wj.jj3√2√23

EH=-----a,BH=------α,AH=--------ɑ,KH=------cι×—=-a,

444424再利用面積公式計算可判斷④.

【詳解】解：?：正方形ABCD,

...AB=BC=CD=AD,ZBAD=ZABC=NBCD=ZADC=90。,NDBF=45°,

BE=CF,..,BC=EF,在RtA∕8E中，AE>AB=BC=EF,

：.AE≠EE；.四邊形AEFD不為菱形；故①不符合題意；

如圖，連接CG,過G作GNIBC于N,由正方形的對稱性可得：=CG,

..ZDBF=45o,FGJLBD,,NGBF=ZGFB=45o,GB=GF,BN=FN,

...BE=CF,則EN=CN,.GE=GC=GA,故②符合題意；

如圖，延長NG交4。丁何，山正方形的對稱性可得：NM^G=NGCD

o

..GN1BC,ZBCD=90,,GN//CD,lj；jZNGC=ZGCD,ZAMG=90°,

..GE=GC,,ZEGN=ZCGN,.ZEGN=ZMAG,

.ΛMAG+ZAGM=90o=NEGN+ZAGM,,NAGE=90°,ZGAE=NGEA=45o=NABD,

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“AHB=∕GHE,,NBGE=NB4E,...E為Be的中點、,產=產=3A民

tanZ.BGE=tanZBAE=—,

2故③符合題意;

如圖，過G作G0?L4E于。，過//作“K_L3C于K,.40=G0=E0,

BE?BETdγ4a,dAE=?a,AQ=GQ=EQ=叵％BD=

-~EC~2"IJIiJJP^3設8E=α,則NO=3。=/8,...，***2，

由正方形的性質可得:AD//BC,.ABEHS^DAH,

BEEH_BHEH=^BH=^a,AH=^-a,

?..而一而一麗—3444

S_3√Σ√2_3

..NDBC=45o,HK?BC,,KH~~ax~~4a,

13

c-×a×-a1

MBEH=24______

SiIX亞公叵J5?

242故④符合題意；故答案為：②③④

【點睛】本題考查的是正方形的性質，等腰三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線的應用，相似

三角形的判定與性質，銳角三角函數(shù)的應用，屬于填空題中的壓軸題.

9.（2023?山東日照?日照市新營中學?？家荒＃┤鐖D，在邊長為8的正方形"BCQ中，點。為正方形的中

心，點E為/。邊上的動點，連接°E,作°尸?1?0￡交8于點R連接叱，尸為EF的中點，G為邊CD

上一點，且8=4CG,連接P4PG,則4+PG的最小值為.

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【答案】24

【分析】如圖，連接04,OD,由題意知，NOAE=NODF=45。,ZAOD=90°OA=OD,由

ZAOE=ZAOD-ZDOE,NSQf=EOF-DoE得,NADE=DOF,證明ANOE絲A。OF(ASA),

則OE=O尸，/°F是等腰直角三角形，由尸是E尸中點，則OPLM,NOPF=90。,

NPFO=45。=NPOF,如圖，過。作QWl4)于M,過。作ONJLa)于N,由NO尸尸+NOVF=I80°,

可知。，P,FN四點共圓，由際=而，可得NPNF=NPOF=45°,進而可得P在線段MN上運動，如

圖，延長MM,作點A關于MN對稱的點/,過/作/",8于H,連接/G交MV于尸'，連接由

DH=∕H=LB=4

題意知2,/P'=∕P',且∕P+PG=∕P+PG,可知當4PG三點共線時，

NP'+P'G值最小，在RS/GH中，由勾股定理得，乂G=YAH'+HG2,計算求解/G的值即可.

【詳解】解：如圖，連接°40D,

由題意知，N04E=NODF=45。,ZAOD=90°OA=OD,

.-OFlOE,...NEOF=90°=NAOD,

...ZAOE=ZAOD-ΛDOE,ZDOf=ZEOF-ZDOE,...ZAOE=DOF,

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N40E=NDOF

OA=OD

在AAOE和GOF中，...[^OAE=NODFAAOEaDoF(ASA)

.-.OE=OF,.?.AEOF是等腰直角三角形，

?.?P是E尸中點，.?.OP工EF,...ΔOPF=90o,NPFO=45。=ZPOF,

如圖，過。作OM。于M,過。作ONJ.C。于N,...NONF=90。,

...NOPF+NONF=180°,；.O,P,FN四點共圓，

...港=而，...NPM=NPOF=45。，.?.P在線段MV上運動,

如圖，延長NM,作點A關于MN對稱的點/,過/作/"_L8于，，連接./G交MN于尸，連接

由題意知2"“一'AP'^AP?,...AP+PG^AP+PG,

.../，PG三點共線時，/P'+PG值最小，?.?"G=DH+OG=4+6=10,

22

在RtA^G〃中，由勾股定理得，AG=?∣AH+HG=2√29ι

??∕P+PG的最小值為2后，故答案為：2√29.

【點睛】本題考查J'正方形的性質，全等三角形的判定與性質，圓的內接四邊形，對稱的性質，等腰三角

形的判定與性質，兩點之間線段最短等知識.解題的關鍵在于確定點尸的運動軌跡.

10.（2023?廣東深圳?校考模擬預測）如圖所示，乙4圓=60。，半徑為2的圓。內切于2/圓，P為圓。

上一動點，過點P作尸”、PN分別垂直于/ZC8的兩邊，垂足為M、N,則尸M+2PN的最大值

【答案】6+26

PN+-PM=NHC

【分析】作M"NP于點，，作MELBC于點R則得到2,即當0與相切時,

取的最大值，解題計算即可.

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【詳解】解：作M"?lNP于點〃，作M尸18C于點R

PMVAC,PNlBC,...ZPMC=APNC=90°,

...ZMPN=360o-ZPMC-ZPNC-ZC=I20o,.,ZMPH=180o-NMPN=60°,

HP=MP×cos/.MPH=MP×cos600=-PMPN+-PM=PN+HP=NH

.?.22

?.?MF=N",...如圖，當M尸與0°相切時，MF取的最大值,

連接。P,OG,可知，四邊形°PMG是正方形，...MG=PO=2

在RtZkCOG中,CG=0G×tan60o=2√3,...CM=CG+GM=2+2√3,

MF=CMXCOSNC=(2+2⑹X與=3+應

在Rt?GWF中,

r-PM+2PN=2?PN+-PM?=2NH=6+2y∕3r-

：.MF=NH=3+6，I2）,故答案為：6÷2√3.

-PM

【點睛】本題考查的是“阿氏圓”模型，解題的關鍵是作輔助線構造2.

11.（2023?廣東深圳?模擬預測）如圖，08C為等腰直角三角形，D為48中點,E、尸分別為』C、BC

上的點且滿足。尸，已知∕E=2,CE=S,"為8C上一點，連接ME,且滿足NCAffi=2N/OE,

EM=

則.

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H

M

F

29

【答案】4

【分析】連接°,EF,作"”平分NCME,交NC于點”，過H作HK上ME于K點,過點E作

CD=-AB=BD=AD=—?-

氏?_148于點6,根據(jù)等腰三角形的性質可得22；證明DCF,可得

LL/,j八i/—DF=DE=-EF=-EG=AG=立AE=近

EF=y∣CF+CE=√29,進而可得22,求出2

t/AnP_EG_√2_2

tanZ-ADE==-........=-r>rτC

DG=AD-AG=-^lDG??5CHKH=2

2,即可得2,即可得荻―加一1,設CH=HK=X,即

MC^-xC?e_cME=-(5-χ]λ

有2,EH=CE—CH=5—X,根據(jù)Bvcw/+為初出—3VcW￡,可表示出2、，在RtZ?MEC

中，CM2+C爐=M爐，問題隨之解得.

【詳解】連接8,EF,作MH平分NCME,交AC于點H,過H作HKLME于K點,過點E作

EG1.AB于點、G,如圖，???ZE=2,CE=5ι,?,AC=AE+CE=2+5=7,

???在為等腰直角三角形，D為AB中點、,

CD=LAB=BD=AD

...CDLAB,2,N4=NB=45°,AC=BC=1，

22

,,AB=y/AC+BC≈7√2；ZADC=ZADE+ZCDE=90°

17/7

CD=-AB=BD=AD=-^-

/ACD=ZBCD=45°,22

H