新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 同步講義

17、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

【考點(diǎn)分析】

考點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算

①?gòu)?fù)數(shù)的加法與減法運(yùn)算法則

若設(shè)z∣=α+4,Z2=c+由是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，

則z}+z2-(α+c)+(b+d)i,zi-z2-[a-c)+[b-d?

②復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律

1.交換律：zl+z2-z2+zl;

2.結(jié)合律：(z∣+z2)+z3=z1+(z2+z3).

考點(diǎn)二：復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算

①?gòu)?fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則

設(shè)Z]=4+λ>i,Z2—c+di(a,b,c,J∈R),則z∣?Z2=m+6i)(c+4i)=(ac-∕κ∕)+(44+&c)i.

②共軌復(fù)數(shù)的概念

已知z=α+萬(wàn)，則Z的共輒復(fù)數(shù)為z=“一4

③復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則

設(shè)Z]=4+bi,z2=c+J∕(a,b,c,d∈R),貝∣J

z1_a+bi_(a+bi?c-di)_ac+bd+(be-ad)i

22

z2c+di(c+dι^c-dι)c+d

【題型目錄】

題型一：復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算

題型二：復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算

題型三：虛數(shù)單位的事的周期性

題型四：共規(guī)復(fù)數(shù)的應(yīng)用

題型五：解復(fù)數(shù)方程

【典型例題】

題型一：復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算

【例1】已知i為虛數(shù)單位，計(jì)算下列各式.

(l)(l+2i)+(7-lli)-(5+6i);

(2)5i-[(6+8i)-(-l+3i)]i

(4)(a+bi)—(2a—3bi)—3i(a,b∈R).

75

【答案】(l)3T5i;(2)-7；(3)--—i；(4)-α+(4b-3)i.

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則運(yùn)算即得.

(1)

(l÷2i)+(7-11i)-(5÷6i)=(l+7-5)+(2-ll-6)i=3-15i；

5i-[(6+8i)-(-1+3i)]=5i-(7+5i)=-7；

(3)

75.

--------i

612

(4)

(α+bi)-(2a-3bi)-3i=(α-2a)+[b—(―3?)—3]i=—a+(4?-3)i.

ι4

【例2】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z∣=g,z2=^i-2,z=z,+z2,則復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)加法計(jì)算出實(shí)部和虛部，根據(jù)復(fù)數(shù)平面判斷即可.

【詳解】因?yàn)閦=z∕+z2=∕+gi-2=-2+i,所以實(shí)部小于0,虛部大于0,故復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)

的點(diǎn)位于第二象限

【例3］當(dāng)l<m<2時(shí)，復(fù)數(shù)(3+i)+〃z(2-i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的兒何意義，即可求解.

【詳解】由題意得(3+i)+w(2T)=3+2%+(l-m)i,

.l<m<2,

.'.3+2m>0,i-m<0,

.?.復(fù)數(shù)(3+i)+%(2-i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(3+2〃%I-Tn)位于第四象限.

【例4】(l+i)+(-2÷2i)=()

A.-l+3iB.1+iC.-l+iD.-l-i

【答案】A

【分析】利用復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算直接計(jì)算作答.

【詳解】(l+i)+(-2+2i)=-l+3i.

【題型專練】

1.復(fù)數(shù)Z滿足Z+(1—2i)=3-4i,則復(fù)數(shù)Z的虛部為()

A.—6iB.―6C.—2iD.—2

【答案】D

【分析】由復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可得出答案.

【詳解】z=(3-4i)-(l-2i)=2-2i,故虛部為-2.

2.(2-i)-(l+2i)等于()

A.3+iB.4+3iC.4iD.l-3i

【答案】D

【分析】直接由復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算求解即可.

［詳解】(2_i)_(l+2i)=2_i_l_2i=l_3i.

3.已知i是虛數(shù)單位，則(l+2i)+(l-i)=()

A.2+3iB.2+iC.3iD.-i

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算，直接求得答案.

【詳解】由題意得，(l+2i)+(l-i)=(l+D+(2-l)i=2+i,

4.在復(fù)平面上，四個(gè)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，其中三個(gè)復(fù)數(shù)分別是

l+2i,-2+i,-l-2i,則第四個(gè)復(fù)數(shù)是

【答案】2-i##-i+2

【分析】設(shè)第四個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Q(α,6).利用與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量相等即可求得答案.

【詳解】設(shè)正方形ABe。的三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為04=l+2i,08=-2+i,OC=-I-2i

設(shè)OD=(4,。)

AB=OB-OA=-3-i,BC=OC-OB=H,

l×(-3)+(-l)×(-3)=0..AB.LBC

由題意得，AB=DC即—3T=OC-O￡)=-1-2i-(α+0i)

.??OD=(2,-1),即第四個(gè)復(fù)數(shù)是2—i.

題型二：復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算

【例1】已知復(fù)數(shù)z=(2+3i)(4i-7),其中i為虛數(shù)單位，則Z的虛部為()

A.-26B.26C.-13D.13

【答案】C

【分析】將復(fù)數(shù)Z化簡(jiǎn)，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閦=(2+3i)(4i-7)=-26T3i,

則復(fù)數(shù)的虛部為-13.

【例2】若4為實(shí)數(shù),且2i4=3+i廁α=()

1+1

A.-4B.-3C.3D.4

【答案】D

【解析】

由題意可得2+tri=(l+i)(3+i)=2+4i=α=4

【例3】已知復(fù)數(shù)Z滿足(z-l)i=l+i,則Z=()

A.—2-iB.-2+iC.2-zD.2+i

【答案】C

【解析】

/八..l+2z(l+2z)(-z)C.

Λ(z-l)z=l1+z,.?.z=——=?------=

i—i

【例4】設(shè)復(fù)數(shù)z∣,N?在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，z∣=2+i,則ZR?=()

A.-5B.5C.-4+iD.-4-i

【答案】A

【解析】

由題意，得Z2=-2+i,則Z]Z2=(2+i)(-2+i)=-5

【例5】已知復(fù)數(shù)Z=2+」，則復(fù)數(shù)Z的虛部為()

2-1

A.—B.—iC.-D.—i

5555

【答案】C

【分析】先由復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出z,再求出虛部即可.

C12÷iC2+i121.1

【詳解】z=2H------=2+--------------=2H--------1—i故慮部為―

k計(jì)胛/2-i(2+i)(2-i)555,IW顯都力5.

【例6】若復(fù)數(shù)Z=空在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限內(nèi)，則實(shí)數(shù)。的值可以是（）

I-Z

A.1B.OC.-1D.-2

【答案】B

α+i(a+z)(l+z)_a-\a+?.

【解析】VZ=-

(I—)。+。=〒+-2'

又因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限內(nèi),

!?<o

2

，得-1VaV1.

—>0

2

，實(shí)數(shù)。的值可以是0.

【例7】復(fù)數(shù)Z=i2^+國(guó)必，則Z共朝復(fù)數(shù)5的虛部為()

3+4i

4.44.4

A.—/B.—C.-1D.一

5555

【答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)乘方、模、除法運(yùn)算求得z,進(jìn)而求得)，從而求得)的虛部.

【詳解】2022=505x4+2,∣3+4i∣=√32+42=5,i2022=i2=-l,

55(3-4i)3-4i

3+4i^(3+4i)(3-4i)-5,

34i

.2022,∣+∣15(3-4i)3-4i24.,24.甘也領(lǐng)出4

z=iH------=-1H--------=-1H------=------i,z=---1—i>JvMi".∣∣∣J7J-.

3+4i25555555

【題型專練】

1.已知復(fù)數(shù)z(l-j)=i,則下面關(guān)于復(fù)數(shù)Z的命題正確的是()

A.z=-I—iB.復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限

22

ClZl=ID.復(fù)數(shù)Z的虛部與實(shí)部互為相反數(shù)

【答案】D

-/i(l+i)z+z211.

【解析】解：由Z（I—i）=i,得Z=---=-----------=-----=----1—Z,

1-z(l-∕)(l+z)222

I=也，實(shí)部為-L虛部為!，

所以復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，忖=

2222

2.已知復(fù)數(shù)Z滿足（l+i）z=/（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z—2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的

象限為（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】由（l+i）z=Lf,

42枝(j)—

得Z=

l1-z∣?(1+0(ι÷00-0

則Z_2=(忘_2)-√∑i,

，復(fù)數(shù)z-2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（J5-2,—J5）,

???復(fù)數(shù)Z—2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為第三象限.

3.若（2-加）（3-2。（根€/?）是純虛數(shù),則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)Z==^所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1+Z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

6-2m=0

(解析】(2-"叫(3-2z)=(6-2w)-(3m+4)，?為純虛數(shù)解得m=3,

3m+4≠0

.?^3-2Z(3-2Q(1-Z?)1-5Z=15

1+z(l+z)(l-z)222'

因此，復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.

4.已知αeR.,i為虛數(shù)單位，若"為實(shí)數(shù)，則”的值為.

2+i

【答案】-2

Λ.,,,?a~i(<a-z)(2-z)(217-1)-(Λ+2)Z2α-lα+2.4,寸將

【r解析t.】1----=------------=----------------=--------------z內(nèi)頭數(shù),

2+z(2+z)(2-z)555

則"+2=0,tz=-2.

5

5.i是虛數(shù)單位，則工的值為.

【答案】√B

【解析】0="0=∣2τ∣=ɑ?

∣ι+∕∣I(i+∕)(i-o11

6.設(shè)一一=3+i,貝”Zl=()

1—1

35

A.1B.-C.2D.—

22

【答案】D

3

【分析】計(jì)算z=2-；i,再計(jì)算模長(zhǎng)得到答案.

5

【詳解】得=3+i，則I=。+/T)T=寧=2_|：故IZI=I

2

7.已知復(fù)數(shù)Z滿足生-i=(l-i)z,則Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

1+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)運(yùn)算求得z,進(jìn)而求得Z對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限.

【詳解】因?yàn)閭銽=(lT)z,所以zT(l+i)=(I)(I+i)z,

即z-i+l=2z,所以z=l-i,

故2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,-1),位于第四象限.

題型三：虛數(shù)單位的箱的周期性

【例1】化簡(jiǎn)：Z=[2019+(含)202。=.

【解析】解「■√2i=島√2i(Fl-i)?√∕2(i+i)'

.?.Z=產(chǎn)。19+(窘)2。20=24x504+3+

1+i)]2020

=f3+i10l0=-i+戶252+2=

【例2】復(fù)數(shù)的虛部為()

A.-1B.1C.—iD.i

【答案】A

[?Z1.、2023

【分析】首先根據(jù)題意得到言=i,從而得到言=-i.即可得到答案.

【詳解】因?yàn)轭?高犒2i

=—=1

2

即虛部為-1.

【題型專練】

Z1.?2022Zx2023

1.已知Z=言+；,則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)5所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法和乘方化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,進(jìn)而可得三，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義即得.

2202323

【詳解】因?yàn)閦=(罟廠+(：1=i≡+(-i)=i-i=-i+i,

Λz=-l-i,

所以復(fù)數(shù)彳對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(T,-l)在第三象限.

(?-iA2020

2.設(shè)i是虛數(shù)單位，貝“{/J=()

A.iB.-iC.1D.-1

【答案】C

I-Z(Iy__2i

【解析】由于

I+7-(l+z)(l-z)^2

∕.?2020

所以W1=(-z)202°=H4x505=I.

題型四：共輸復(fù)數(shù)的應(yīng)用

【例D已知復(fù)數(shù)Z滿足(l+Y)z=3-i,2是Z的共舸復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法中不正確的是()

A.Z的實(shí)部與虛部之積為2B.Z的共軌復(fù)數(shù)為2-i

C.Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限D(zhuǎn).Iz-ZiJ=JB

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)得z=2+i,進(jìn)而根據(jù)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部可判斷A,根據(jù)共

舸復(fù)數(shù)的定義可判斷B,根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可判斷C,根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的計(jì)算可判斷D.

Z八3-i3-i(3-i)(l+i)

【詳解】由(l+i)z=3-i?z=-=-.(ξ.^2+i,

\71+11-1(l7-ι)(l+ι)

對(duì)于A,復(fù)數(shù)Z的虛部為1,實(shí)部為2,故A正確，

對(duì)于B,z的共趣復(fù)數(shù)為2T,B正確,

對(duì)于C,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(2,1),故點(diǎn)在第一象限，C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,z-2z=2+i-2(2-i)=-2+3i,.?Jz-2z∣=∣-2+3i∣=√i3,D正確，

【例2】若z∣=l+i,z2=z,(2+i),z是Zl的共軟復(fù)數(shù)，則㈤=()

A.√2B.2C.√WD.10

【答案】C

【分析】根據(jù)共輒復(fù)數(shù)的概念寫(xiě)出弓,然后，求出Z，進(jìn)而求出z2的模長(zhǎng)上|.

22

【詳解】z2=z1(2+i)=(l-i)(2+i)=3-i,所以，∣Z2∣=√3+(-1)=√10

Z~z

【例3］若z=2+i,則二---=()

ZZ

8.24.

C.D.—+—I

555

【答案】A

【解析】z=2+i,z=2-i'

zz2+i2—i(2+z?—(2—i)8.

∑-7-2≡7-2+7^匚?~51

【題型專練】

1.已知復(fù)數(shù)Z=L+3i,則彳+2=()

22Z2

D.l-√3i

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則以及共規(guī)復(fù)數(shù)的定義即可求解.

【詳解】由Z=L3i得彳」_3i,Z2=R+W]=-→^i,

222222I22

Li=ιg

z2I622

——十^―1

22

所以2+3=-后，

Z

復(fù)數(shù)」~

2.在復(fù)平面內(nèi),的共鈍復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

I-Z

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

1l+z11.11

【解析】-==不+5]的共軌復(fù)數(shù)為不一彳，

(l-∕)(l+z)

對(duì)應(yīng)點(diǎn)為g,-g）,在第四象限.

【例5】（2020?江西省南昌十中高三其他（文））復(fù)數(shù)Z的共枕復(fù)數(shù)5滿足（2+iR=∣3+4z],

則Z=（）

A.2+iB.2-iC.l+2iD.I-萬(wàn)

【答案】A

【解析】由（2+a∣3+4ig得2=2=濡苞=2-，，

Λz=2+1.

3.設(shè)有下面四個(gè)命題

p1:若復(fù)數(shù)Z滿足'∈R,則Z∈R;p,:若復(fù)數(shù)Z滿足z2eR,則Z∈R;

Z

“3：若復(fù)數(shù)C2滿足Z]Z2eR,則Zi=Z2;“4：若復(fù)數(shù)z∈R,則5∈R.

其中的真命題為

A.p∣,P3B.pl,p4.C.p2,piD.p2,PA

【答案】B

【解析】令z=α+例（α力eR）,則由L=-I-=半"∈火得。=0,所以zeR，故Pl

v,Za+bia2+b2

正確；

當(dāng)z=i時(shí)，因?yàn)閆?=i2=—1∈R,而z=i∕R知，故P2不正確；

當(dāng)Z[=Z2=i時(shí)，滿足Z]?Z2=-l∈R,但ZlWZ2，故〃3不正確；

對(duì)于P4,因?yàn)閷?shí)數(shù)的共飄復(fù)數(shù)是它本身，也屬于實(shí)數(shù)，故P4正確.

.?2?3.2023

4.已知復(fù)數(shù)z="「+'*…*「一，三是Z的共枕復(fù)數(shù)，則1的虛部為（）

1-i

A.-?B.-?iC.?D.?i

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘方的運(yùn)算得周期，即可化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,在按照復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化成?股形

式，即可求共扼復(fù)數(shù)』，于是可得）的虛部.

【詳解】解：在復(fù)數(shù)中：F=i,F=Tf=Trt=I1=i=F,故周期為4,則T+i2+i3+i4=o

且2023=4x505+3

Pj3...i2023

i++++i+i?+i3-1_(l+i)_-1-i

所以Z=----------1

1-i1-i-T≡I-(l-i)(l+i)^222

≡z=-→∣i,所以）的虛部為）?

題型五：解復(fù)數(shù)方程

【例1】已知l+i（i為虛數(shù)單位）是關(guān)于X的方程f+px+4=0的一個(gè)根,若P,qwR,則P+4=

()

A.0B.-2C.2D.-4

【答案】A

【分析】將1+i代入方程/+px+q=0,整理后根據(jù)復(fù)數(shù)相等可解.

【詳解】由題知，（l+i）2+p（l+i）+q=0,整理得p+q+（2+p）i=0

所以。+q=0,

【例2】已知復(fù)數(shù)Z是關(guān)于X的方程Y+χ+]=o的根，則IZI=()

A.IB.√2C.√3D.2

【答案】A

【分析】利用復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實(shí)系數(shù)一元二次方程的求根公式得到f+χ+i=0的根，從而得到

z,再由復(fù)數(shù)Z的模的定義即可求解.

【詳解】復(fù)數(shù)Z是關(guān)于X的方程*+χ+ι=o的根，

又A=F-4=-3<O,該方程的根為X=-1±止Q3)i,

2×12~2

即z=---+?^i或z=一?-—,

2222

【例3】“虛數(shù)”這個(gè)詞是17世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡爾創(chuàng)造的，當(dāng)時(shí)的觀念認(rèn)為這是不

存在的數(shù).人們發(fā)現(xiàn)即使使用全部的有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，也不能解決代數(shù)方程的求解問(wèn)題，像

爐+1=0這樣最簡(jiǎn)單的二次方程，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒(méi)有解.引進(jìn)虛數(shù)概念后，代數(shù)方程的求解

問(wèn)題才得以解決.設(shè)，是方程Y+χ+i=0的根，則()

A.t't=?B.t+^t=?C.T是該方程的根D.*是該方程的根

【答案】AD

【分析】求出方程Y+x+i=。的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系可判斷AB選項(xiàng)；利用代入法可

判斷C選項(xiàng)：計(jì)算得出產(chǎn)="可判斷D選項(xiàng).

【詳解】解方程d+χ+i=0,即(x+與=一/±四,解得回，

I2；4∣v2J22

所以，f與i為方程d+χ+l=O的兩根.

對(duì)于AB選項(xiàng)，由韋達(dá)定理可得fi=l,f+i=-l,A對(duì)B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?Ty-f+1=/-f+l=/+f+l-2f=-2rxO,

故T不是方程Y+χ+ι=o的根，C錯(cuò)；

對(duì)于D選項(xiàng),若[=」+&則*=JL-3i-3=」一且i=7,

2242422

Λ

m∣∣215/3.31J3.

則廣=—+—1——=一一+——1=

2242422

所以，產(chǎn)是該方程的根，D對(duì).

【例4】關(guān)于X的實(shí)系數(shù)一元二次方程/+〃次+〃=。.

(1)若方程有一個(gè)根是2-3i,求，的值；

⑵當(dāng)〃=3時(shí)，方程的兩個(gè)虛根心三滿足∣X∣-Λ2∣=2√Σ,求機(jī)的值.

【答案】⑴9

⑵±2

【分析】(1)將2-3i代入方程，根據(jù)實(shí)部、虛部為O求得機(jī)，〃的值；

(2)用求根公式直接求出兩個(gè)虛根小三，代入∣%-Λ2∣=2√Σ求機(jī)的值.

【詳解】(1)因?yàn)?-3i為方程/+如+ZT=O的一根，

所以(2—3i1+m(2—3i)+〃=0,UP(n+2∕7∕-5)-(12÷3∕π)i=O,

所以九十2加-5=0且12+3〃尸=0,故機(jī)=-4,〃=13,

所以〃2+〃=9

(2)方程“2+∕nv+3=0有兩個(gè)虛根，則A=A√-12<O,故-2√J<m<2√J,

因?yàn)槲?〃.+3=0的兩個(gè)虛根為-m±'12-∕i.

2

所以歸-Wl=卜12-〃『=2√Σ,故以2-病=24，

所以〃?=±2滿足條件.

綜上：∕n=±2

【例5】復(fù)數(shù)8+6i的平方根是.

【答案】+(3+i)

【分析】令z=x+加X(jué),y€R且z2=8+6i,應(yīng)用復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等列方程組求參數(shù),

即可得到平方根.

【詳解】令z=χ+yU,y∈R且z2=8+6i,

,,[X2—y2=8fx=-3?x=^i

二χ2-y-+2盯i=8+6i,即仁'，解得<{1或1,

[2xy=6Iy=-IIy=I

.?.復(fù)數(shù)8+6i的平方根是±(3+i).

【題型專練】

1.已知α,6eR,若關(guān)于X的方程/一雙+8=0的一個(gè)根為3-i,i為虛數(shù)單位，則。匕=

【答案】60

【分析】根據(jù)一元二次方程的虛數(shù)根為共匏復(fù)數(shù)，再結(jié)合韋達(dá)定理可求得。力,即可得解.

【詳解】解：因?yàn)殛P(guān)于X的方程f-6+。=。的一個(gè)根為3—i,

則另一個(gè)根為3+i,

所以3-i+3+i=",(3-i)(3+i)=b,

所以a=6力=10,

所以而=60.

2.已知i-l是關(guān)于X的實(shí)系數(shù)方程/+〃.+2=0的一個(gè)根，那么該方程在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的另一

個(gè)根是.

【答案】-l-i

【分析】根據(jù)方程根的定義，將i-l代入原方程，解得m的值，再利用配方法解方程，可得

答案.

【詳解】已知i—1是關(guān)于X的實(shí)系數(shù)方程f+皿+2=0的一個(gè)根，則(I)?+制I)+2=O,

BPi2—2i+l+mi-∕n+2=0,則2—〃?+(加—2)i=0,可得∕n=2,

可得方程：X2+2X+2=0,由配方法可得："+I)?=-1,解得：x=-l±i,

3.己知方程χ2-2x+,"=0(,"eR)有兩個(gè)虛根苦,三，若Xl-Xr,=3i(i為虛數(shù)單位)，則加的

值是.

13

【答案】—##3.25

4

【分析】由實(shí)系數(shù)方程有虛根的性質(zhì)求出和/，再由根系關(guān)系XZ=加即可求相值.

[x.+X.=2

【詳解】由題意’■丁且4,三互為共挽復(fù)數(shù)，

[xl-x2=3ι

若芭=〃+歷，則