湖南省婁底市春元中學2020-2021學年高二期中考試數(shù)學試卷

數(shù)學一、單選題（每題5分）1．已知數(shù)列滿足，若，則等于A．1 B．2 C．128 D．642．等比數(shù)列中，，則（）．A．10 B．25 C．50 D．753．命題p：“，都有”，則命題p的否定為（）A．都有 B．都有C．使 D．使4．已知?，，均為實數(shù)，則下列命題正確的是（）A．若，則B．若，，則C．若，則D．若，則5．“”是“方程表示焦點在x軸上的橢圓”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知不等式的解集是，則的值為（）．A．1 B． C．2 D．07．已知，，，則的最小值為（）A．16 B．4 C． D．8．已知動圓C與圓內(nèi)切，與圓外切，則動圓圓心C的軌跡方程為（）A． B． C． D．二、多選題（每題5分，小選得3分，多選得0分）9．在等比數(shù)列{an}中，a5＝4，a7＝16，則a6可以為（）A．8 B．12C．－8 D．－1210．已知橢圓的離心率，則的值為（）A．3 B． C． D．11．已知雙曲線E的一條漸近線方程為，則該雙曲線的標準方程可以是（）A． B． C． D．12．設正實數(shù)m、n滿足，則下列說法正確的是（）A．的最小值為3 B．的最大值為1C．的最小值為2 D．的最小值為2三、填空題（每題5分）13．數(shù)列中，，.若其前項和為40，則__________.14．已知是的必要非充分條件，則實數(shù)的取值范圍是___________。15．直線交橢圓于兩點，線段中點坐標為，則直線的方程為_______16．命題“，使”是假命題，則實數(shù)的取值范圍為__________.四、解答題17．（1）用籬笆圍一個面積為的矩形菜園，當這個矩形的邊長為多少時，所用籬笆最短？最短籬笆的長度是多少？（5分）（2）用一段長為的籬笆圍成一個矩形菜園，當這個矩形的邊長為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？（5分）18．已知：方程表示焦點在軸上的橢圓，：雙曲線的離心率.（12分）（1）若橢圓的焦點和雙曲線的頂點重合，求實數(shù)的值；（2）若與均是真命題，求實數(shù)的取值范圍．19．已知.（12分）（1）當時，求不等式的解集；（2）解關于x的不等式.20．已知橢圓（）過點（0，2），離心率.（12分）（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設直線與橢圓相交于兩點，求.21．已知等比數(shù)列的公比，且的等差中項為10，.（12分）（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設，求數(shù)列的前項和.22．已知直線與雙曲線；（12分）（1）當a為何值時，直線與雙曲線有一個交點；（2）直線與雙曲線交于P、Q兩點且以PQ為直徑的圓過坐標原點，求a值．參考答案1．D【解析】因為數(shù)列滿足，所以該數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，又，所以，即；故選D.2．B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質計算．【詳解】∵等比數(shù)列中，，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質，利用等比數(shù)列的性質解題可以減少計算量．本題屬于基礎題．3．C【解析】【分析】利用含有一個量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】因為命題p：“，都有”是全稱量詞命題所以命題p的否定為存在量詞命題，即：使故選：C【點睛】本題主要考查含有一個量詞的命題的否定，屬于基礎題.4．C【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質對各個選項逐一驗證，即可得到結果.【詳解】若，，則；故選項A錯誤；若，，則，即，故選項B錯誤；若，，則，所以，故選項C正確；若，則；若，則；故選項D錯誤；故選：C.【點睛】本題主要考查了不等式的性質，屬于基礎題.5．A【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義和充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】方程表示焦點在x軸上的橢圓.則，即.所以當時，方程表示焦點在x軸上的橢圓.取時，方程也表示焦點在x軸上的橢圓，而此時不滿.所以“”是“方程表示焦點在x軸上的橢圓”充分不必要條件.故選：A【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)橢圓的方程和性質是解決本題的關鍵．屬于基礎題.6．D【解析】【分析】由一元二次不等式與一元二次方程的關系，利用韋達定理求后可得．【詳解】由已知得，解得，故，故選：D．【點睛】本題考查由一元二次不等式的解集求參數(shù)，掌握三個“二次”之間的關系是解題關鍵．7．C【解析】【分析】利用“乘1法”與基本不等式的性質即可得出．【詳解】因為，，，則，當且僅當且即，時取等號．故選：C．【點睛】本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質，屬于基礎題．8．B【解析】【分析】根據(jù)圓與圓相切的性質，結合雙曲線的定義進行求解即可.【詳解】設圓C的半徑為R，由題意可知，兩圓的圓心為：，∴，可知點C的軌跡為以為焦點，實軸長為2的雙曲線的左支，∴，則動圓圓心C的軌跡方程為.故選：B【點睛】本題考查圓與圓相切的性質、考查了由雙曲線的定義求軌跡方程，考查推理論證能力.9．AC【解析】【分析】求出等比數(shù)列的公比，再利用通項公式即可得答案；【詳解】，當時，，當時，，故選：AC.【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式的運算，考查運算求解能力，屬于基礎題.10．AB【解析】【分析】分焦點在、軸上討論，分別求出的值．【詳解】解：由題意知，當時，，，，∴，解得；當時，，，，∴，解得；故選：AB．【點睛】本題主要考查橢圓的方程、離心率，考查了分類討論思想，屬于基礎題．11．ACD【解析】【分析】分別求出四個選項中雙曲線的漸近線方程可得結果.【詳解】選項A中,,,所以雙曲線有一條漸近線方程為，選項C中，，，所以雙曲線有一條漸近線方程為，選項D中，，，所以雙曲線有一條漸近線方程為，選項B中，，，所以雙曲線的漸近線方程都是.故選：ACD.【點睛】本題考查了雙曲線的標準方程，考查了雙曲線的漸近線方程，屬于基礎題.12．ABD【解析】【分析】由已知結合基本不等式及相關變形，結論分別檢驗各選項即可判斷.【詳解】因為正實數(shù)m、n，所以，當且僅當且m+n=2，即m=n=1時取等號，此時取得最小值3，A正確；由，當且僅當m=n=1時，mn取得最大值1，B正確；因為，當且僅當m=n=1時取等號，故≤2即最大值為2，C錯誤；，當且僅當時取等號，此處取得最小值2，故D正確．故選：ABD【點睛】本題主要考查了基本不等式及結論的應用，考查了不等式等號成立的條件，屬于中檔題.13．4【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義可知數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列前項和公式即可求出結果.【詳解】因為數(shù)列中，，所以數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列；所以，所以，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的定義和前項和公式的應用，屬于基礎題.14．【解析】【分析】解出的解，通過必要非充分條件得出集合間的包含關系，利用包含關系列不等式求解即可?！驹斀狻拷猓河梢阎坏仁降慕饧癁椋海瑒t是的必要非充分條件，或，若，則，綜合得：，故答案為：【點睛】本題通過充分性和必要性，考查集合間的包含關系，注意不要遺漏空集的情況，是基礎題。15．，【解析】【分析】設出兩點的坐標，利用點差法計算出直線的斜率，根據(jù)點斜式求得直線的方程.【詳解】設，代入橢圓方程得，兩式作差并化簡得，即，由點斜式得，即.故填：.【點睛】本小題主要考查橢圓中有關弦的中點的問題，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于基礎題.16．【解析】【分析】，使是假命題，則，使是真命題，對是否等于進行討論，當時不符合題意，當時，由二次函數(shù)的圖像與性質解答即可．【詳解】，使是假命題，則，使是真命題，當，即，轉化為，不是對任意的恒成立；當，，使即恒成立，即，第二個式子化簡得，解得或所以【點睛】本題考查命題間的關系以及二次函數(shù)的圖像與性質，解題的關鍵是得出，使是真命題這一條件，屬于一般題．17．（1）當這個矩形菜園是邊長為的正方形時，最短籬笆的長度為；（2）當這個矩形菜園是邊長為的正方形時，最大面積是.【解析】【分析】設矩形菜園的相鄰兩條邊的長分別為、，籬笆的長度為.（1）由題意得出，利用基本不等式可求出矩形周長的最小值，由等號成立的條件可得出矩形的邊長，從而可得出結論；（2）由題意得出，利用基本不等式可求出矩形面積的最大值，由等號成立的條件可得出矩形的邊長，從而可得出結論.【詳解】設矩形菜園的相鄰兩條邊的長分別為、，籬笆的長度為.（1）由已知得，由，可得，所以，當且僅當時，上式等號成立.因此，當這個矩形菜園是邊長為的正方形時，所用籬笆最短，最短籬笆的長度為；（2）由已知得，則，矩形菜園的面積為.由，可得，當且僅當時，上式等號成立.因此，當這個矩形菜園是邊長為的正方形時，菜園的面積最大，最大面積是.【點睛】本題考查基本不等式的應用，在運用基本不等式求最值時，充分利用“積定和最小，和定積最大”的思想求解，同時也要注意等號成立的條件，考查計算能力，屬于基礎題.18．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出橢圓半焦距的平方，根據(jù)題意列方程，解得結果；（2）先分別求出真、真時的取值范圍，再求交集的結果.【詳解】（1）由，得；（2）據(jù)題意有，與同時為真，若真，則，解得，若真時，則，解得，當真、真時，，∴實數(shù)的取值范圍是．【點睛】本題考查根據(jù)橢圓方程與雙曲線方程求基本量、根據(jù)復合命題真假求參數(shù)范圍，考查基本分析求解能力，屬基礎題.19．（1）.（2）時，不等式無解；時，不等式的解集為；時，不等式的解集為.【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解的結果，直接得到答案；（2）對與2的大小關系分三種情況討論，可得結果.【詳解】（1）時，不等式化為，解得或，不等式的解集為.（2）關于x的不等式，即；當時，不等式化為，不等式無解；當時，解不等式，得；當時，解不等式，得；綜上所述，時，不等式無解，時，不等式的解集為，時，不等式的解集為.【點睛】本題考查了一元二次不等式的解法，考查了分類討論思想，屬于基礎題.20．解：（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】分析：（1）橢圓過M，故可將點M代入方程得到b，在根據(jù)離心率即可得到橢圓方程；（2）連立直線和橢圓可求出弦長AB，在利用點到直線的距離公式得出高，根據(jù)三角形面積公式即可得出結論.詳解：（Ⅰ）由題意得代入點M可得：結合，解得所以，橢圓的方程為.………………5分（Ⅱ）由得………………6分即，經(jīng)驗證.設.所以，………………8分，………………10分因為點到直線的距離，………………12分所以.………………13分點睛：本題考查橢圓的標準方程和基本性質，考查直線的圓的關系，解本題關鍵就是要熟悉橢圓的一些基本幾何關系，屬于基礎題.21．（Ⅰ）.（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用已知條件求出首項與公差，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，即可求出結果；（Ⅱ）先求出，再利用錯位相減法求數(shù)列的前項和.【詳解】解析：（Ⅰ）由題意可得：，∴∵，∴，∴數(shù)列的通項公式為.（Ⅱ），∴上述兩式相減可得∴=【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式的求法，以及利用錯位相減法求和，考查計算能力，屬于基礎題．22．（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）由直線與雙曲線只有一個交點，分直線平行于雙曲線漸近線和不平行于漸近線進行討論，不平行時聯(lián)立用判別式等