數(shù)學(xué)-專(zhuān)項(xiàng)3.19 完全平方公式（知識(shí)講解）-2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專(zhuān)項(xiàng)講練（浙教版）

專(zhuān)題3.19完全平方公式（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握平方差公式、完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，并能從廣義上理解公式中字母的含義；2.學(xué)會(huì)運(yùn)用平方差公式、完全平方公式進(jìn)行計(jì)算.了解公式的幾何意義，能利用公式進(jìn)行乘法運(yùn)算；3.能靈活地運(yùn)用運(yùn)算律與乘法公式簡(jiǎn)化運(yùn)算.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.特別說(shuō)明：公式特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見(jiàn)的變形：要點(diǎn)二、添括號(hào)法則添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào).特別說(shuō)明：添括號(hào)與去括號(hào)是互逆的，符號(hào)的變化也是一致的，可以用去括號(hào)法則檢查添括號(hào)是否正確.要點(diǎn)三、補(bǔ)充公式；；；.【典型例題】類(lèi)型一、完全平方公式??運(yùn)算??化簡(jiǎn)求值1．（2021春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）運(yùn)用乘法公式計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）

；（4）．【分析】（1）根據(jù)平方差公式，可得答案；（2）根據(jù)平方差公式，再根據(jù)完全平方公式，可得答案；（3）根據(jù)完全平方公式，可得答案；（4）根據(jù)平方差公式，再根據(jù)完全平方公式，可得答案．解：（1）原式＝[（3x?5）＋（2x＋7）][（3x?5）?（2x＋7）]＝（3x?5＋2x＋7）（3x?5?2x?7）＝（5x＋2）（x?12）＝；（2）原式＝[（x＋y）＋1][（x＋y）?1]＝?1＝；（3）原式＝＝?6（2x?y）＋9＝；（4）原式＝＝．【點(diǎn)撥】本題考查了完全平方公式，利用了平方差公式，完全平方公式，熟練掌握平方差公式及完全平方公式是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）利用平方差公式或完全平方公式計(jì)算：；(2)【答案】(1)9801(2)【分析】（1）應(yīng)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；（2）應(yīng)用平方差公式和完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．解：（1）原式；

（2）原式．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟練掌握平方差公式和完全平方公式進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．【變式2】（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）利用平方差公式、完全平方公式計(jì)算：;(2)【答案】(1)9960.04；(2)【分析】（1）將原式變形為完全平方公式求解即可；（2）將原式變形為平方差公式的形式，然后利用平方差公式及完全平方公式求解即可．（1）解：；（2）．【點(diǎn)撥】題目主要考查利用完全平方公式與平方差公式進(jìn)行計(jì)算，熟練掌握各個(gè)運(yùn)算公式是解題關(guān)鍵．類(lèi)型二、完全平方公式??完全平方公式的變形公式??運(yùn)算??化簡(jiǎn)求值2．（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）利用完全平方公式，可以解決很多的數(shù)學(xué)問(wèn)題．例如：若，求的值．解：圖為，

所以，所以．所以．得．根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問(wèn)題：若，求的值；若，求的值．【答案】(1)12(2)4046【分析】（1）利用完全平方公式的變形計(jì)算求解；（2）設(shè)2022-x=a，x-2020=b，然后利用完全平方公式的變形計(jì)算求解．（1）解：∵x-y=4，∴（x-y）2=16，即x2-2xy+y2=16．又∵x2+y2=40，∴40-2xy=16，解得xy=12，答：xy的值是12；（2）解：設(shè)2022-x=a，x-2020=b，則a+b=2．∵（2022-x）（x-2020）=-2021，∴ab=-2021，把2022-x=a，x-2020=b，a+b=2代入得，（2022-x）2+（x-2020）2=（a+b）2-2ab=22-2×（-2021）=4+4042=4046．【點(diǎn)撥】本題主要考查完全平方公式的適當(dāng)變形靈活應(yīng)用，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知m﹣n＝6，mn＝4．

求m2+n2的值．求（m+2）（n﹣2）的值．【答案】(1)44(2)-12【分析】（1）利用完全平方公式變形計(jì)算可得；（2）根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則去括號(hào)，再代入計(jì)算．（1）解：∵m﹣n＝6，mn＝4．∴m2+n2=（m-n）2+2mn=62+2×4=44；（2）∵m﹣n＝6，mn＝4．∴（m+2）（n﹣2）=mn-2m+2n-4=mn-2（m-n）-4=4-2×6-4=-12．【點(diǎn)撥】此題考查了利用完全平方公式的變形計(jì)算，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式計(jì)算法則，正確掌握各計(jì)算法則和公式是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，．求下列式子的值：；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）將化為，再代入求值即可；（2）先求的值，再將化簡(jiǎn)，代入求值即可．（1）解：．（2）由，可得．即

．＝．【點(diǎn)撥】本題考查了完全平方公式的變形的逆用，解題的關(guān)鍵是不求a，b的值，利用完全平方公式的整體變換求值．類(lèi)型三、完全平方公式??完全平方公式參數(shù)?運(yùn)算??求值3．（2021春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知是完全平方式，求m的值．【答案】【分析】利用完全平方公式化簡(jiǎn)即可求出m的值．解：∵4x2+mx+9是完全平方式，∴m=±2×2×3=±12，【點(diǎn)撥】本題考查完全平方式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用完全平方公式．舉一反三：【變式1】（2019秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）①已知a2-8a+k是完全平方式，試問(wèn)k的值.②已知x2+mx+9是完全平方式，求m的值.【答案】①k=16；②m=±6.【分析】①設(shè)m2=k，由a2-8a+k是完全平方式，即可得m=4，進(jìn)而得到k的值；②先根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)，再根據(jù)完全平方公式的乘積二倍項(xiàng)即可確定m的值．解：①設(shè)m2=k；因?yàn)閍2-8a+k是完全平方式，所以a2-8a+m2=(a-m)2=a2-2ma+m2,

所以8a=2ma,解得m=4,所以k=16；②因?yàn)閤2+mx+9是完全平方式，所以x2+mx+9=(x±3)2,所以m=±6.【點(diǎn)撥】本題主要考查了完全平方式，根據(jù)平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，熟記完全平方公式對(duì)解題非常重要．【變式2】（2018秋·七年級(jí)單元測(cè)試）如果多項(xiàng)式9x2＋1加上一個(gè)單項(xiàng)式M后能成為一個(gè)完全平方式，求這個(gè)單項(xiàng)式M.【答案】M＝－1或M＝－9x2或M＝±6x或M＝x4.【分析】先分完全平方式是單項(xiàng)式還是多項(xiàng)式，再分9x2是平方項(xiàng)與乘積二倍項(xiàng)分情況討論，根據(jù)完全平方公式解答即可．解：①當(dāng)這個(gè)完全平方式是一個(gè)單項(xiàng)式的平方時(shí)，則9x2＋1＋M是一個(gè)單項(xiàng)式，所以M＝－1或M＝－9x2.②當(dāng)這個(gè)完全平方式是一個(gè)二項(xiàng)式的平方時(shí),a.

當(dāng)這個(gè)完全平方式形如M＋9x2＋1時(shí)，即9x2為兩數(shù)乘積為2倍，因?yàn)?x2＝2·x2·1，所以M＝＝x4,b.

當(dāng)這個(gè)完全平方式形如9x2＋M＋1時(shí)，即M為兩數(shù)乘積的2倍，因?yàn)?x2＝(3x)2，所以M＝±2·3x·1＝±6x,c.

當(dāng)這個(gè)完全平方式形如9x2＋1＋M時(shí)，即1為兩數(shù)乘積的2倍，此時(shí)M不是一個(gè)整式，所以這種情況不存在．綜上所述，M＝－1或M＝－9x2或M＝±6x或M＝x4.【點(diǎn)撥】本題是完全平方公式的應(yīng)用，兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個(gè)完全平方式．此題解題的關(guān)鍵是要分情況討論求解．類(lèi)型三、完全平方公式??圖形問(wèn)題?運(yùn)算??化簡(jiǎn)求值4．（2022春·遼寧大連·八年級(jí)大連市第三十四中學(xué)?？计谀﹫D1是一個(gè)長(zhǎng)為

，寬為的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖2形狀拼成一個(gè)正方形．圖2中陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)是______；（用含a、b的式子表示）觀察圖2，用一個(gè)等式表示下列三個(gè)整式：、、ab之間的等量關(guān)系；根據(jù)（2）問(wèn)中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：若，，求的值．【答案】(1)(2)(3)4或【分析】（1）根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)即可求得圖乙中陰影部分正方形邊長(zhǎng)；（2）用兩種不同方式求得陰影部分面積可得關(guān)于、、ab的等式；（3）根據(jù)（2）中結(jié)論即可解題．解：（1）圖中陰影部分邊長(zhǎng)為，故答案為：；（2）用兩種不同的方法表示陰影的面積：方法一：陰影部分為邊長(zhǎng)的正方形，故面積；方法二：陰影部分面積為邊長(zhǎng)的正方形面積四個(gè)以為長(zhǎng)、b為寬的個(gè)長(zhǎng)方形面積；∴；（3）∵；∴，∴，∴或．【點(diǎn)撥】本題考查了完全平方公式的計(jì)算，考查了正方形面積計(jì)算，本題中求得

是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】（2020春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）圖是一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖的方法拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形．請(qǐng)用兩種不同的方法求圖中陰影部分的面積．方法：；方法：．觀察圖寫(xiě)出，，三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系：．根據(jù)（）中你發(fā)現(xiàn)的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：若，，求的值．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）一種方法是先用m、n表示出陰影部分邊長(zhǎng)，再用正方形面積公式表示；另一種方法是先表示出大正方形面積和四個(gè)長(zhǎng)方形的面積，用大正方形面積減去四個(gè)長(zhǎng)方形的面積表示出陰影部分面積；（2），，三個(gè)代數(shù)式別表示大正方形，小正方形和長(zhǎng)方形面積，由圖知大正方形面積-四個(gè)長(zhǎng)方形面積=小正方形面積，可得它們之間的關(guān)系；（3）由（2）得出的關(guān)系式變形，再代入求值即可得結(jié)果．解：（1）根據(jù)圖形可得：方法：；方法：．

故答案為：，．（2）由陰影部分的兩個(gè)面積代數(shù)式相等，可得：．故答案為：．（3）∵，，．【點(diǎn)撥】本題主要考查完全平方差公式和完全平方和公式的聯(lián)系，會(huì)用代數(shù)式表示圖形面積是解決問(wèn)題的關(guān)鍵；兩數(shù)的完全平方和比它們的完全平方差多了兩數(shù)積的4倍，該結(jié)論經(jīng)常用到．【變式2】（2022春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長(zhǎng)為a的正方形，B種紙片是邊長(zhǎng)為b的正方形，C種紙片是長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形，并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．觀察圖2，請(qǐng)你寫(xiě)出下列三個(gè)代數(shù)式：，，之間的等量關(guān)系；若要拼出一個(gè)面積為的矩形，則需要A號(hào)卡片1張，B號(hào)卡片2張，C號(hào)卡片________張；根據(jù)（1）題中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：①已知：，，求的值；②已知，求的值．【答案】(1)；(2)3；(3)①7；②．

【分析】（1）用兩種方法表示拼成的大正方形的面積，即可得出，，三者的關(guān)系；（2）計(jì)算的結(jié)果為，因此需要A號(hào)卡片1張，B號(hào)卡片2張，C號(hào)卡片3張；（3）①根據(jù)題（1）公式計(jì)算即可；②令，從而得到，，代入計(jì)算即可．（1）解：大正方形的面積可以表示為：，或表示為：；；（2）解：，需要A號(hào)卡片1張，B號(hào)卡片2張，C號(hào)卡片3張，故答案為：3；（3）解：①，，，，，即的值為7；②令，，，，，，，．【點(diǎn)撥】本題考查完全平方公式的意義和應(yīng)用，用不同的方法表示面積是得出等量關(guān)系的關(guān)鍵．中考真題專(zhuān)練

【1】（2022·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖1，將長(zhǎng)為，寬為的矩形分割成四個(gè)全等的直角三角形，拼成“趙爽弦圖”（如圖2），得到大小兩個(gè)正方形．用關(guān)于a的代數(shù)式表示圖2中小正方形的邊長(zhǎng)．當(dāng)時(shí)，該小正方形的面積是多少？【答案】(1)(2)36【分析】（1）分別算出直角三角形較長(zhǎng)的直角邊和較短的直角邊，再用較長(zhǎng)的直角邊減去較短的直角邊即可得到小正方形面積；（2）根據(jù)（1）所得的小正方形邊長(zhǎng)，可以寫(xiě)出小正方形的面積代數(shù)式，再將a的值代入即可．（1）解：∵直角三角形較短的直角邊，較長(zhǎng)的直角邊，∴小正方形的邊長(zhǎng)；（2）解：，當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)撥】本題考查割補(bǔ)思想，屬性結(jié)合思想，以及整式的運(yùn)算，能夠熟練掌握割補(bǔ)思想是解決本題的關(guān)鍵．【2】（2018·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）有一張邊長(zhǎng)為a厘米的正方形桌面，因?yàn)閷?shí)際需要，需將正方形邊長(zhǎng)增加b厘米，木工師傅設(shè)計(jì)了如圖所示的三種方案：

小明發(fā)現(xiàn)這三種方案都能驗(yàn)證公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，對(duì)于方案一，小明是這樣驗(yàn)證的：a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2請(qǐng)你根據(jù)方案二、方案三，寫(xiě)出公式的驗(yàn)證過(guò)程．方案二：方案三：【答案】見(jiàn)分析【分析】根據(jù)題目中的圖形可以分別寫(xiě)出方案二和方案三的推導(dǎo)過(guò)程，本題得以解決．解：由題意可得：方案二：a2+ab+（a+b）b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2，方案三：a2++==a2+2ab+b2=（a+b）2．【點(diǎn)撥】本題考查了完全平方公式的幾何背景，解