幻方填入規(guī)律

幻方，亦稱縱橫圖。臺灣稱為魔術(shù)方陣。將自然數(shù)1，2，3，……n*n排列成一個(gè)n*n方陣，使得每行、每列以及兩對角線上的各個(gè)數(shù)之和都相等，等于n/2*(n*n+1)，這樣的方陣稱為幻方。

例如：把1，2，3，4，5，6，7，8，9填入3*3的格子，使得：每行、每列、兩條對角線的和是15。276951438n是它的階數(shù)，比如上面的幻方是3階。n/2*(n*n+1)為幻方的變幻常數(shù)。數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明，對于n>2，n階幻方都存在。目前填寫幻方的方法，是把幻方分成了三類，每類又有各種各樣的填寫方法。這里對于這三類幻方，僅舉出一種方便手工填寫的方法。1、奇數(shù)階幻方

n為奇數(shù)(n=3，5，7，9，11……)(n=2*k+1，k=1，2，3，4，5……)

奇數(shù)階幻方最經(jīng)典的填法是羅伯特法(也有人稱之為樓梯法)。填寫方法是這樣：

把1(或最小的數(shù))放在第一行正中；按以下規(guī)律排列剩下的n*n-1個(gè)數(shù)：

(1)、每一個(gè)數(shù)放在前一個(gè)數(shù)的右上一格；

(2)、如果這個(gè)數(shù)所要放的格已經(jīng)超出了頂行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；

(3)、如果這個(gè)數(shù)所要放的格已經(jīng)超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；

(4)、如果這個(gè)數(shù)所要放的格已經(jīng)超出了頂行且超出了最右列，那么就把它放在前一個(gè)數(shù)的下一行同一列的格內(nèi)；

(5)、如果這個(gè)數(shù)所要放的格已經(jīng)有數(shù)填入，處理方法同(4)。

這種寫法總是先向“右上”的方向，象是在爬樓梯。2、雙偶階幻方

n為偶數(shù)，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……)(n=4k，k=1，2，3，4，5……)

先說明一個(gè)定義：互補(bǔ)：如果兩個(gè)數(shù)字的和，等于幻方最大數(shù)和最小數(shù)的和，即n*n+1，稱為互補(bǔ)。先看看4階幻方的填法：將數(shù)字從左到右、從上到下按順序填寫：12345678910111213141516將對角線上的數(shù)字，換成與它互補(bǔ)的數(shù)字。這里，n*n+1=4*4+1=17；

把1換成17-1=16；把6換成17-6=11；把11換成17-11=6……換完后就是一個(gè)四階幻方。

對于n=4k階幻方，我們先把數(shù)字按順序填寫。寫好后，按4*4把它劃分成k*k個(gè)方陣。因?yàn)閚是4的倍數(shù)，一定能用4*4的小方陣分割。然后把每個(gè)小方陣的對角線，和制作4階幻方的方法一樣，對角線上的數(shù)字換成互補(bǔ)的數(shù)字，就構(gòu)成幻方。

下面是8階幻方的作法：

(1)先把數(shù)字按順序填。然后，按4*4把它分割成2*2個(gè)小方陣12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364(2)每個(gè)小方陣對角線上的數(shù)字，換成和它互補(bǔ)的數(shù)。9880

82

89

91

48

30

32

39417981

88

95

97

29

31

38

45478587

94

96

78

35

37

44

46288693

100

77

84

36

43

50

2734

(2)在A象限的中間行、中間格開始，按自左向右的方向，標(biāo)出k格。A象限的其它行則標(biāo)出最左邊的k格。

→17

24

1

8

15

67

74

51

58

6523

5

7

14

16

73

55

57

64

664

6

13

20

22

54

56

63

70

7210

12

19

21

3

60

62

69

71

5311

18

25

2

9

61

68

75

52

5992

99

76

83

90

42

49

26

33

4098

80

82

89

91

48

30

32

39

4179

81

88

95

97

29

31

38

45

4785

87

94

96

78

35

37

44

46

2886

93

100

77

84

36

43

50

27

34

(3)將這些格，和C象限相對位置上的數(shù)，互換位置。

(4)在B象限任一行的中間格，自右向左，標(biāo)出k-1列。(注：6階幻方由于k-1=0，所以不用再作B、D象限的數(shù)據(jù)交換)

←929918156774515865988071416735557646646889522545663707285871921360626971538693252961687552591724768390424926334023582899148303239417981132097293138454710129496783537444628111810077843643502734(5)將B象限標(biāo)出的這些數(shù)，和D象限相對位置上的數(shù)進(jìn)行交換，就形成幻方。9299181567

74

26586598807141673

55

3264664688952254

56

38707285871921360

62

4471538693252961

68

505259172476839042

49

513340235828991