同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式橢圓考點(diǎn)解讀

基礎(chǔ)梳理1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商數(shù)關(guān)系：tanα＝eq\f(sinα,cosα).2．角的對(duì)稱(chēng)(1)α與π＋α關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，(2)α與π－α關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，(3)α與－α(或2π－α)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，(4)α與eq\f(π,2)－α關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)．3．誘導(dǎo)公式公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cos_α，tan(α＋2kπ)＝tan_α其中k∈Z.公式二：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α.公式三：sin[α＋(2k＋1)π]＝－sin_α，cos[α＋(2k＋1)π]＝－cos_α，tan[α＋(2k＋1)π)]＝tanα.拓展：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cos_α.公式四：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cos_α，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sin_α.拓展：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cos_α，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα.誘導(dǎo)公式可概括為k·eq\f(π,2)±α的各三角函數(shù)值的化簡(jiǎn)公式．記憶規(guī)律是：奇變偶不變，符號(hào)看象限．其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變是指函數(shù)名稱(chēng)的變化．若是奇數(shù)倍，則函數(shù)名稱(chēng)變?yōu)橄鄳?yīng)的余名函數(shù)；若是偶數(shù)倍，則函數(shù)名稱(chēng)不變，符號(hào)看象限是指把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)作為結(jié)果的符號(hào)．一個(gè)口訣誘導(dǎo)公式的記憶口訣為：奇變偶不變，符號(hào)看象限．三種方法在求值與化簡(jiǎn)時(shí)，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)化成正、余弦．(2)和積轉(zhuǎn)換法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化．(3)巧用“1”的變換：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝taneq\f(π,4)＝….三個(gè)防范(1)利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值時(shí)，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負(fù)－脫周－化銳．特別注意函數(shù)名稱(chēng)和符號(hào)的確定．(2)在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開(kāi)方，要特別注意判斷符號(hào)．(3)注意求值與化簡(jiǎn)后的結(jié)果一般要盡可能有理化、整式化．雙基自測(cè)1．(人教B版教材習(xí)題改編)已知sin(π＋α)＝eq\f(1,2)，則cosα的值為()．A．±eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D．±eq\f(\r(3),2)解析∵sin(π＋α)＝－sinα＝eq\f(1,2)，∴sinα＝－eq\f(1,2).∴cosα＝±eq\r(1－sin2α)＝±eq\f(\r(3),2).答案D2．(2012·杭州調(diào)研)點(diǎn)A(sin2011°，cos2011°)在直角坐標(biāo)平面上位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解析2011°＝360°×5＋(180°＋31°)，∴sin2011°＝sin[360°×5＋(180°＋31°)]＝－sin31°＜0，cos2011°＝cos[360°×5＋(180°＋31°)]＝－cos31°＜0，∴點(diǎn)A位于第三象限．答案C3．已知cosα＝eq\f(4,5)，α∈(0，π)，則tanα的值等于()．A.eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C．±eq\f(4,3)D．±eq\f(3,4)解析∵α∈(0，π)，∴sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(3,5)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(3,4).答案B4．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))的值是()．A.eq\r(2)B．－eq\r(2)C．0D.eq\f(\r(2),2)解析coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))＝coseq\f(17π,4)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(π,4)))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))＝－sineq\f(17π,4)＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(π,4)))＝－sineq\f(π,4)＝－eq\f(\r(2),2).∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))＝eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2).答案A5．已知α是第二象限角，tanα＝－eq\f(1,2)，則cosα＝________.解析由題意知cosα＜0，又sin2α＋cos2α＝1，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(1,2).∴cosα＝－eq\f(2\r(5),5).答案－eq\f(2\r(5),5)考向一利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)、求值【例1】?已知f(α)＝eq\f(sinπ－αcos2π－α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))tanπ＋α)，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(31π,3))).[審題視點(diǎn)]先化簡(jiǎn)f(α)，再代入求解．解f(α)＝eq\f(sinαcosα,cosαtanα)＝cosα，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(31π,3)))＝coseq\f(31,3)π＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10π＋\f(π,3)))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).(1)化簡(jiǎn)是一種不指定答案的恒等變形，其結(jié)果要求項(xiàng)數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構(gòu)盡可能簡(jiǎn)單，能求值的要求出值．(2)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用原則：負(fù)化正、大化小，化到銳角為終了．【訓(xùn)練1】已知角α終邊上一點(diǎn)P(－4,3)，則eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin－π－α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α)))的值為_(kāi)_______．解析原式＝eq\f(－sinαsinα,－sinαcosα)＝tanα，根據(jù)三角函數(shù)的定義，得tanα＝eq\f(y,x)＝－eq\f(3,4).答案－eq\f(3,4)考向二同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用【例2】?(2011·長(zhǎng)沙調(diào)研)已知tanα＝2.求：(1)eq\f(2sinα－3cosα,4sinα－9cosα)；(2)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α.[審題視點(diǎn)](1)同除cosα；(2)利用1＝sin2α＋cos2α，把整式變?yōu)榉质?，再同除cos2α.解(1)eq\f(2sinα－3cosα,4sinα－9cosα)＝eq\f(2tanα－3,4tanα－9)＝eq\f(2×2－3,4×2－9)＝－1.(2)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝eq\f(4sin2α－3sinαcosα－5cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(4tan2α－3tanα－5,tan2α＋1)＝eq\f(4×4－3×2－5,4＋1)＝1.(1)對(duì)于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個(gè)式子，已知其中一個(gè)式子的值，其余二式的值可求．轉(zhuǎn)化的公式為(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；(2)關(guān)于sinα，cosα的齊次式，往往化為關(guān)于tanα的式子．【訓(xùn)練2】已知eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5.則sin2α－sinαcosα＝________.解析依題意得：eq\f(tanα＋3,3－tanα)＝5，∴tanα＝2.∴sin2α－sinαcosα＝eq\f(sin2α－sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α－tanα,tan2α＋1)＝eq\f(22－2,22＋1)＝eq\f(2,5).答案eq\f(2,5)考向三三角形中的誘導(dǎo)公式【例3】?在△ABC中，sinA＋cosA＝eq\r(2)，eq\r(3)cosA＝－eq\r(2)cos(π－B)，求△ABC的三個(gè)內(nèi)角．[審題視點(diǎn)]要求三角形的內(nèi)角，需求得某一內(nèi)角的某一三角函數(shù)值，故結(jié)合條件sinA＋cosA＝eq\r(2)知先求角A，進(jìn)而求其他角．解由已知可得eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))＝eq\r(2)，因?yàn)?＜A＜π，所以A＝eq\f(π,4).由已知可得eq\r(3)cosA＝eq\r(2)cosB，把A＝eq\f(π,4)代入可得cosB＝eq\f(\r(3),2)，又0＜B＜π，從而B(niǎo)＝eq\f(π,6)，所以C＝π－eq\f(π,4)－eq\f(π,6)＝eq\f(7π,12).在△ABC中常用到以下結(jié)論：sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanC，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)＋\f(B,2)))＝coseq\f(C,2)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)＋\f(B,2)))＝sineq\f(C,2).【訓(xùn)練3】若將例3的已知條件“sinA＋cosA＝eq\r(2)”改為“sin(2π－A)＝－eq\r(2)sin(π－B)”其余條件不變，求△ABC的三個(gè)內(nèi)角．解由條件得：－sinA＝－eq\r(2)sinB，即sinA＝eq\r(2)sinB，eq\r(3)cosA＝eq\r(2)cosB，平方相加得：sin2A＋3cos2A＝2?2cos2A＝1，cosA＝±eq\f(\r(2)若cosA＝－eq\f(\r(2),2)，則cosB＝－eq\f(\r(3),2)，A，B均為鈍角不可能．故cosA＝eq\f(\r(2),2)，cosB＝eq\f(\r(3),2)，故A＝eq\f(π,4)，B＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(7π,12).閱卷報(bào)告3——忽視題設(shè)的隱含條件致誤【問(wèn)題診斷】涉及到角的終邊、函數(shù)符號(hào)和同角函數(shù)關(guān)系問(wèn)題時(shí)，應(yīng)深挖隱含條件，處理好開(kāi)方、平方關(guān)系，避免出現(xiàn)增解與漏解的錯(cuò)誤．【防范措施】一要考慮題設(shè)中的角的范圍；二要考慮題設(shè)中的隱含條件．【示例】?若sinθ，cosθ是關(guān)于x的方程5x2－x＋a＝0(a是常數(shù))的兩根，θ∈(0，π)，求cos2θ的值．錯(cuò)因忽視隱含條件，產(chǎn)生了增解eq\f(7,25).實(shí)錄由題意知，sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ＋cosθ))2＝eq\f(1,25)，∴sin2θ＝－eq\f(24,25)，∵θ∈(0，π)，∴2θ∈(0,2π)，∴cos2θ＝±eq\r(1－2sin22θ)＝±eq\f(7,25).正解由題意知，sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5).∴(sinθ＋cosθ)2＝eq\f(1,25).∴sin2θ＝－eq\f(24,25).即2sinθcosθ＝－eq\f(24,25)＜0，則sinθ與cosθ異號(hào)，又sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)＞0，∴eq\f(π,2)＜θ＜eq\f(3π,4)，∴π＜2θ＜eq\f(3π,2).故cos2θ＝－eq\r(1－sin22θ)＝－eq\f(7,25).【試一試】已知sinθ＋cosθ＝eq\f(7,13)，θ∈(0，π)，求tanθ.[嘗試解答]∵sinθ＋cosθ＝eq\f(7,1