第05講 三角函數(shù)（六大題型）（解析版）

第05講三角函數(shù)【題型歸納目錄】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：任意角的概念1、角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形．正角：按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角．負(fù)角：按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角．零角：如果一條射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn)，我們稱(chēng)它形成了一個(gè)零角．2、終邊相同的角、象限角終邊相同的角為角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合．那么，角的終邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角．知識(shí)點(diǎn)二：弧度制1、弧度制的定義長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1（單位可以省略不寫(xiě)）．2、角度與弧度的換算弧度與角度互換公式：1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad）3、弧長(zhǎng)公式：（是圓心角的弧度數(shù)），扇形面積公式：．知識(shí)點(diǎn)三：三角函數(shù)定義設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與半徑是的圓交于點(diǎn)，則，那么：（1）做的正弦，記做，即；（2）叫做的余弦，記做，即；（3）叫做的正切，記做，即．知識(shí)點(diǎn)四：三角函數(shù)在各象限的符號(hào)三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：在記憶上述三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)時(shí)，有以下口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦．知識(shí)點(diǎn)五：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（1）平方關(guān)系：（2）商數(shù)關(guān)系：知識(shí)點(diǎn)六：誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式一：，，，其中誘導(dǎo)公式二：，，，其中誘導(dǎo)公式三：，，，其中誘導(dǎo)公式四：，．，，其中知識(shí)點(diǎn)七：正弦函數(shù)性質(zhì)函數(shù)正弦函數(shù)定義域值域奇偶性奇函數(shù)周期性最小正周期單調(diào)區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間最值點(diǎn)最大值點(diǎn)；最小值點(diǎn)對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)軸知識(shí)點(diǎn)八：余弦函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)余弦函數(shù)定義域值域奇偶性偶函數(shù)周期性最小正周期單調(diào)區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間最值點(diǎn)最大值點(diǎn)最小值點(diǎn)對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)軸知識(shí)點(diǎn)九：正切函數(shù)的性質(zhì)1、定義域：2、值域：由正切函數(shù)的圖象可知，當(dāng)且無(wú)限接近于時(shí)，無(wú)限增大，記作（趨向于正無(wú)窮大）；當(dāng)，無(wú)限減小，記作（趨向于負(fù)無(wú)窮大）．也可以從單位圓上的正切線來(lái)考慮．因此可以取任何實(shí)數(shù)值，但沒(méi)有最大值和最小值．稱(chēng)直線，為正切函數(shù)的漸進(jìn)線．3、周期性：周期函數(shù)，最小正周期是4、奇偶性：奇函數(shù)，即．5、單調(diào)性：在開(kāi)區(qū)間，內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增知識(shí)點(diǎn)十：由得圖象通過(guò)變換得到的圖象1、振幅變換：，（且）的圖象可以看作把正弦曲線上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（）或縮短（）到原來(lái)的倍得到的（橫坐標(biāo)不變），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的圖象，再以軸為對(duì)稱(chēng)軸翻折，稱(chēng)為振幅．2、周期變換：函數(shù)，（且）的圖象，可看作把正弦曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短或伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）．若則可用誘導(dǎo)公式將符號(hào)“提出”再作圖．決定了函數(shù)的周期．3、相位變換：函數(shù)，（其中）的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點(diǎn)向左（當(dāng)時(shí)）或向右（當(dāng)時(shí)）平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度而得到．（用平移法注意講清方向：“左加右減”）．4、函數(shù)的圖象經(jīng)變換得到的圖象的兩種途徑【典型例題】題型一：任意角和弧度制【例1】（2024·黑龍江·高一校聯(lián)考期末）古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫(huà)，題字題畫(huà)的扇面多為扇環(huán)形.已知某紙扇的扇面如圖所示，其中外弧長(zhǎng)與內(nèi)弧長(zhǎng)之和為，連接外弧與內(nèi)弧的兩端的線段長(zhǎng)均為，且該扇環(huán)的圓心角的弧度數(shù)為2.5，則該扇環(huán)的內(nèi)弧長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，設(shè)弧的長(zhǎng)為，弧的長(zhǎng)為.因?yàn)樵撋刃蔚膱A心角的弧度數(shù)為2.5，所以，，即，.因?yàn)?，所?又因?yàn)?，?lián)立可得，解得，所以該扇環(huán)的內(nèi)弧長(zhǎng)為.故選：A【變式1-1】（2024·四川宜賓·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）中國(guó)傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)，設(shè)扇形的面積為，其圓心角為，此扇形所在圓面中剩余部分面積為，當(dāng)與的比值為時(shí)，扇面為“美觀扇面”.某扇環(huán)玉雕為“美觀扇面”的一部分，其所在扇面半徑，尺寸（單位：）如圖所示，則該玉雕的扇環(huán)面積為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意可知，，解得，所以該玉雕的扇環(huán)面積為.故選：A．【變式1-2】（2024·黑龍江·高一校聯(lián)考期末）與角終邊相同的角是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】與角終邊相同的角的集合為形式，令可得，，所以與終邊相同，其他選項(xiàng)均不合題意.故選：D【變式1-3】（2024·全國(guó)·高一期末）我國(guó)南朝的數(shù)學(xué)家祖沖之發(fā)展了劉徽的“割圓術(shù)”（即圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)不斷增加，它的周長(zhǎng)越來(lái)越接近圓的周長(zhǎng)），在公元5世紀(jì)又進(jìn)一步求得圓周率的值在3.1415926和3.1415927之間，是第一個(gè)將圓周率的計(jì)算精確到小數(shù)點(diǎn)后7位的人，使中國(guó)對(duì)圓周率的計(jì)算在世界上領(lǐng)先一千多年．依據(jù)“割圓術(shù)”，由圓內(nèi)接正六邊形算得的圓周率的近似值是（

）A．2.9 B．3 C．3.1 D．3.14【答案】B【解析】由題意時(shí)，.故選：B題型二：三角函數(shù)的概念【例2】（2024·四川雅安·高一雅安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值可以為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由點(diǎn)位于第二象限可得，角為第二象限角.又，則當(dāng)時(shí)，有.所以，與終邊相同的角的集合為.因?yàn)闈M(mǎn)足，不滿(mǎn)足，不滿(mǎn)足，不滿(mǎn)足.故選：A.【變式2-1】（2024·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第六中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知角終邊過(guò)點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)（

）A．2 B． C．3 D．【答案】C【解析】因?yàn)榻堑慕K邊過(guò)點(diǎn)，所以，所以，解得.故選：C【變式2-2】（2024·福建莆田·高一莆田二中校考階段練習(xí)）當(dāng)為第四象限角時(shí)，（

）A．1 B． C．3 D．【答案】B【解析】由為第四象限角，則，所以.故選：B【變式2-3】（2024·福建泉州·高一福建省泉州市泉港區(qū)第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則等于（

）A． B．2 C．0 D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所?故選：D.【變式2-4】（2024·全國(guó)·高一期末）已知，則（

）A． B． C． D．3【答案】C【解析】依題意有，解得.故選：C題型三：誘導(dǎo)公式【例3】（2024·吉林長(zhǎng)春·高一東北師大附中?？计谀┮阎?1)化簡(jiǎn)；(2)若是第三象限角，且，求的值．【解析】（1）．（2）因?yàn)?，，所以，又因?yàn)槭堑谌笙藿牵詾榈谌笙藿?，所以，故．【變?-1】（2024·甘肅隴南·高一統(tǒng)考期末）已知.(1)化簡(jiǎn)；(2)若，求的值.【解析】（1）；（2）.【變式3-2】（2024·四川綿陽(yáng)·高一四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？计谀┮阎?1)化簡(jiǎn)，并求的值；(2)若，求的值．【解析】（1）則（2）因?yàn)?，所?所以【變式3-3】（2024·黑龍江齊齊哈爾·高一統(tǒng)考期末）已知角滿(mǎn)足.(1)求的值；(2)若，求的值.【解析】（1）原式，，原式.（2），且，，.【變式3-4】（2024·四川成都·高一?？计谀┮阎?1)化簡(jiǎn)；(2)若，求的值.【解析】（1）由題意可得：．（2）因?yàn)?，則，且，則，所以．題型四：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)【例4】（多選題）（2024·吉林長(zhǎng)春·高一東北師大附中校考期末）下列函數(shù)中，最小正周期為，且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，A不是；對(duì)于B，的周期是，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，B是；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，在上遞增，C不是；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，在上遞減，且周期是，D是.故選：BD【變式4-1】（多選題）（2024·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，已知在單調(diào)遞增，下列結(jié)論正確的是（

）A．的值可能為1 B．C．若在有且僅有1個(gè)零點(diǎn) D．若在單調(diào)遞減【答案】ABC【解析】設(shè)，，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，而單調(diào)遞減，所以需落在的減區(qū)間，不可能是函數(shù)的減區(qū)間，故舍去；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，由題意可知，，所以，解得，故A正確；，由，則，此時(shí)，故B正確；，由，則，因?yàn)?，所以，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)只有當(dāng)時(shí)，，故C正確；由以上可知，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以不成立，故D錯(cuò)誤.故選：ABC【變式4-2】（多選題）（2024·四川綿陽(yáng)·高一綿陽(yáng)中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．函數(shù)的最小正周期為 B．函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間為C．函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是 D．函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸是【答案】AD【解析】對(duì)于A：的最小正周期為，故A正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心縱坐標(biāo)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，所以的一條對(duì)稱(chēng)軸是，故D正確.故選：AD.【變式4-3】（2024·四川內(nèi)江·高一四川省隆昌市第一中學(xué)校考期末）已知函數(shù)（，，）的最小值為1，最小正周期為，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).(1)求的解析式、對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心；(2)求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間.【解析】（1）由題意可知，所以，，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以，，得，，又因，所以，故，令，，得，，故函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，；令，，得，，故對(duì)稱(chēng)中心為，.（2），令，，得，，故函數(shù)的遞減區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)得，當(dāng)時(shí)得，當(dāng)時(shí)得，又因，所以在上的單調(diào)遞減區(qū)間為，，【變式4-4】（2024·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最值，并求出取最值時(shí)的值.【解析】（1）因?yàn)?，令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值為，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為.【變式4-5】（2024·甘肅白銀·高一校考期末）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期.(2)若當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式__________，求實(shí)數(shù)的取值范圍.請(qǐng)選擇①和②中的一個(gè)條件，補(bǔ)全問(wèn)題（2），并求解.其中，①有解；②恒成立.注：若選擇兩個(gè)條件解答，則按照第一個(gè)解答計(jì)分.【解析】（1）因?yàn)椋院瘮?shù)的最小正周期.因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）若選擇①：由題意可知，不等式有解，即.因?yàn)?，所以，故?dāng)，即時(shí)，取得最大值，且最大值為，所以.若選擇②：由題意可知，不等式恒成立，即.因?yàn)?，所?故當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，且最小值為，所以.題型五：伸縮變換【例5】（2024·黑龍江·高一校聯(lián)考期末）要得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（

）A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所以，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象.故選：A.【變式5-1】（2024·云南玉溪·高一統(tǒng)考期末）為了得到函數(shù)的圖象，只要把的圖象上的所有的點(diǎn)（

）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【解析】，，因?yàn)?，所以，想要得到函?shù)的圖象，只要把的圖象上的所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度.故選：D.【變式5-2】（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中學(xué)?？家荒＃⒑瘮?shù)（）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】D【解析】由題意可得，∴，，解得，，又，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值為5．故選：D.【變式5-3】（2024·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得，由于的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故為偶函數(shù)，所以,故，由于，所以的最小值，故選：C題型六：三角函數(shù)的應(yīng)用【例6】（2024·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）水車(chē)又稱(chēng)孔明車(chē)，是以水流為動(dòng)力的機(jī)械裝置，是我國(guó)古老的農(nóng)業(yè)灌溉工具.如圖，某水車(chē)的半徑為4米，圓心距離水面2米，每分鐘逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)5圈.當(dāng)水車(chē)上點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)）開(kāi)始計(jì)時(shí)，已知點(diǎn)距離水面的高度（米）關(guān)于時(shí)間（秒）的函數(shù)為，則；點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約需要秒.【答案】04【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖坐標(biāo)系，由題知周期秒，，所以，又，∴，又因?yàn)椋瑒t，則，所以，（）.令得，∴，所以，得.所以點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要4秒.故答案為：0；4.【變式6-1】（2024·河北衡水·高三校考階段練習(xí)）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色．位于山東省濰坊濱海的“渤海之眼”摩天輪是世界上最大的無(wú)軸摩天輪，該摩天輪輪盤(pán)直徑為124米，設(shè)置有36個(gè)座艙．開(kāi)啟后按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，當(dāng)?shù)竭_(dá)最高點(diǎn)時(shí)距離地面145米，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)一周大約需要30分鐘．當(dāng)游客甲坐上摩天輪的座艙開(kāi)始計(jì)時(shí)．經(jīng)過(guò)分鐘后游客甲距離地面的高度為米，已知關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式滿(mǎn)足（其中），則（m）．【答案】52【解析】以摩天輪輪盤(pán)圓心為原點(diǎn)，互相垂直的水平、豎直方向分別為軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示：點(diǎn)為輪盤(pán)上距離地面最近的位置，當(dāng)時(shí)，游客甲坐上摩天輪的座艙，即，所以滿(mǎn)足題意,因?yàn)檩啽P(pán)直徑為124，所以，因?yàn)樽罡唿c(diǎn)距離地面145米，所以，解得，而勻速轉(zhuǎn)動(dòng)一周大約需要30分鐘，所以，所以，.故答案為：52.【變式6-2】（2024·廣東揭陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）某時(shí)針的秒針端點(diǎn)到中心的距離為，秒針勻速繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，當(dāng)時(shí)間時(shí)，點(diǎn)與鐘面上標(biāo)有12的點(diǎn)重合，將、兩點(diǎn)間的距離表示成的函數(shù)，則，其中.【答案】【解析】如圖，設(shè)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則，即，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，綜上，，.故答案為：.【變式6-3】（2024·四川南充·高一四川省南充高級(jí)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度（單位：℃）隨時(shí)間（單位：h）的變化近似滿(mǎn)足，要求實(shí)驗(yàn)室溫度不高于11℃，則實(shí)驗(yàn)室需要降溫的時(shí)間段是時(shí)到時(shí)．【答案】1018【解析】由，令，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以?shí)驗(yàn)室需要降溫的時(shí)間段是時(shí)到時(shí).故答案為：；【變式6-4】（2024·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期末）近年來(lái)，淮安市依托地方資源優(yōu)勢(shì)，用風(fēng)能等清潔能源替代傳統(tǒng)能源，因地制宜實(shí)施新能源項(xiàng)目，在帶來(lái)了較好經(jīng)濟(jì)效益的同時(shí)，助力了本地農(nóng)戶(hù)增收致富．目前利用風(fēng)能發(fā)電的主要手段是風(fēng)車(chē)發(fā)電．如圖，風(fēng)車(chē)由一座塔和三個(gè)葉片組成，每?jī)蓚€(gè)葉片之間的夾角均為，現(xiàn)有一座風(fēng)車(chē)，塔高90米，葉片長(zhǎng)40米．葉片按照逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，并且每6秒旋轉(zhuǎn)一圈，風(fēng)車(chē)開(kāi)始旋轉(zhuǎn)時(shí)某葉片的一個(gè)端點(diǎn)P在風(fēng)車(chē)的最低點(diǎn)（此時(shí)P離地面50米）．設(shè)點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)t（秒）后離地面的距離為S（米），則S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為，葉片旋轉(zhuǎn)一圈內(nèi)點(diǎn)P離地面的高度不低于70米的時(shí)長(zhǎng)為秒．

【答案】4【解析】（1）由題意，塔高即風(fēng)車(chē)中心距地面的高度，風(fēng)車(chē)半徑，風(fēng)車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)一圈為秒，則角速度，如圖，以風(fēng)車(chē)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以與地面平行的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)時(shí)，風(fēng)車(chē)開(kāi)始旋轉(zhuǎn)時(shí)某葉片的一個(gè)端點(diǎn)P在風(fēng)車(chē)的最低點(diǎn)，設(shè)，以為始邊，為終邊的角不妨取，那么經(jīng)過(guò)（秒）后，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，于是，以為始邊，為終邊的角為，由三角函數(shù)定義知，則，所以.（2）令，所以,所以.當(dāng)時(shí)，，所以葉片旋轉(zhuǎn)一圈內(nèi)點(diǎn)P離地面的高度不低于70米的時(shí)長(zhǎng)為4秒.故答案為：；.【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·吉林長(zhǎng)春·高一長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀c(diǎn)在直角坐標(biāo)系內(nèi)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以點(diǎn)在直角坐標(biāo)系內(nèi)位于第三象限.故選：C.2．（2024·云南昆明·高二云南師大附中?？计谀┮阎堑捻旤c(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C．0 D．【答案】C【解析】，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），由三角函數(shù)的定義，得，，.故選：C．3．（2024·河北張家口·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，令，則，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即的值域?yàn)?故選：D.4．（2024·甘肅隴南·高一統(tǒng)考期末）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，，得，則，故.故選：A5．（2024·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在上的圖象如圖所示，則的解析式可以為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，則的定義域?yàn)榍?，所以為奇函?shù)，又、為奇函數(shù)，、為偶函數(shù)，所以，均為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，不符合題意，故排除A、C；與為奇函數(shù)，若，則，不符合題意，排除B.故選：D6．（2024·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．是函數(shù)的一個(gè)周期B．函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是C．函數(shù)取最大值時(shí)自變量的集合為D．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是【答案】B【解析】對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：令，則，故B正確；對(duì)于C：令，則，所以取最大值時(shí)的取值集合為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：令，解得，所以單調(diào)遞增區(qū)間是，故D錯(cuò)誤；故選：B.7．（2024·吉林·高一長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校聯(lián)考期末）設(shè)，則的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)闉榈诙笙藿牵?，，所?故選：D.8．（2024·山東臨沂·高一?？计谀┯?guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，，其中.已知，則下列說(shuō)法不正確的是（）A． B．C． D．無(wú)法判斷二者大小【答案】A【解析】由題意可知，，所以.故選：A.二、多選題9．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)與直線（為常數(shù)）公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是（

）A．0 B．1 C．2 D．3 E．4【答案】ABC【解析】作出的圖象（實(shí)線部分），所以函數(shù)與直線（為常數(shù)）公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是0，1，2.故選：ABC.10．（2024·甘肅隴南·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)的周期為的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】對(duì)于，，A選項(xiàng)正確；對(duì)于，，B選項(xiàng)正確；對(duì)于，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，，D選項(xiàng)正確.故選：ABD11．（2024·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．函數(shù)為偶函數(shù)C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)D．函數(shù)在上的最小值為【答案】ACD【解析】由函數(shù)的圖象可得，由，解得，從而A正確；再根據(jù)五點(diǎn)法可得，又因?yàn)椋獾?，從而，所以，即函?shù)為奇函數(shù)，從而B(niǎo)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以是最值，所以C正確；因?yàn)闀r(shí)，，因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，從而D正確.故選：ACD12．（2024·遼寧錦州·高三統(tǒng)考期末）關(guān)于函數(shù)有下列命題，其中正確的是（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B．在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)C．若在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為D．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)【答案】ABC【解析】對(duì)于A，由于，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，A正確，對(duì)于B,由，則，故在區(qū)間上是單調(diào)遞減，B正確，對(duì)于C，，由，則，要使在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得，故C正確，對(duì)于D，，故不是的對(duì)稱(chēng)軸，故D錯(cuò)誤，故選：ABC三、填空題13．（2024·上海·高一曹楊二中?？计谀┮阎?，且，則.【答案】【解析】因?yàn)?，且，可知，又因?yàn)椋?，結(jié)合在內(nèi)單調(diào)遞減，可得.故答案為：.14．（2024·吉林長(zhǎng)春·高一東北師大附中?？计谀┮阎瘮?shù)在區(qū)間上恰有三個(gè)最大值點(diǎn)，則的取值范圍為．【答案】【解析】令，得，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上恰有三個(gè)最大值點(diǎn)，所以，，解得，即的取值范圍為.故答案為：15．（2024·四川雅安·高一雅安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，這是某公園的一條扇形閉合路，其中弧所對(duì)的圓心角為2.4，，則這條扇形閉合路的總長(zhǎng)度為．【答案】352【解析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式可知，的長(zhǎng)度為，所以扇形閉合路的總長(zhǎng)度為.故答案為：16．（2024·吉林·高一校聯(lián)考期末）若函數(shù)的圖象恰有2條對(duì)稱(chēng)軸和1個(gè)對(duì)稱(chēng)中心在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是.【答案】【解析】由已知，所以.根據(jù)已知結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得，應(yīng)滿(mǎn)足，解得.故答案為：.四、解答題17．（2024·江蘇淮安·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，已知單位圓與軸正半軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在單位圓上，