（江蘇專用）高考數(shù)學一輪復習 第八章 立體幾何 8.2 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系 理-人教版高三數(shù)學試題

1．四個公理公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)．公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，這些公共點的集合是經(jīng)過這個公共點的一條直線．公理3：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面．推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點有且只有一個平面；推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．2．直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行直線,相交直線)),異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點))(2)異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點O作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角．②范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3．直線與平面的位置關(guān)系有平行、相交、在平面內(nèi)三種情況．4．平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況．5．定理如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等．【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)如果兩個不重合的平面α，β有一條公共直線a，就說平面α，β相交，并記作α∩β＝a.(√)(2)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過A點的任意一條直線．(×)(3)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于A點，并記作α∩β＝A.(×)(4)兩個平面ABC與DBC相交于線段BC.(×)(5)經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．(√)(6)沒有公共點的兩條直線是異面直線．(×)1．下列命題正確的個數(shù)為________．①梯形可以確定一個平面；②若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平行；③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；④如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合．答案2解析②中兩直線可以平行、相交或異面，④中若三個點在同一條直線上，則兩個平面相交，①③正確．2．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b________.①一定是異面直線②一定是相交直線③不可能是平行直線④不可能是相交直線答案③解析由已知得直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若b∥c，則a∥b，與已知a、b為異面直線相矛盾．3．兩兩平行的三條直線可確定______個平面．答案1或3解析三直線共面確定1個，三直線不共面，每兩條確定1個，可確定3個．4.如圖所示，已知在長方體ABCD－EFGH中，AB＝2eq\r(3)，AD＝2eq\r(3)，AE＝2，則BC和EG所成角的大小是______，AE和BG所成角的大小是______________________________________________．答案45°60°解析∵BC與EG所成的角等于EG與FG所成的角即∠EGF，tan∠EGF＝eq\f(EF,FG)＝eq\f(2\r(3),2\r(3))＝1，∴∠EGF＝45°，∵AE與BG所成的角等于BF與BG所成的角即∠GBF，tan∠GBF＝eq\f(GF,BF)＝eq\f(2\r(3),2)＝eq\r(3)，∴∠GBF＝60°.5．已知空間四邊形ABCD中，M、N分別為AB、CD的中點，則下列判斷：①MN≥eq\f(1,2)(AC＋BD)；②MN>eq\f(1,2)(AC＋BD)；③MN＝eq\f(1,2)(AC＋BD)；④MN<eq\f(1,2)(AC＋BD)．其中正確的是________．答案④解析如圖，取BC的中點O，連結(jié)MO，NO，MN，則OM＝eq\f(1,2)AC，ON＝eq\f(1,2)BD，在△MON中，MN<OM＋ON＝eq\f(1,2)(AC＋BD)，∴④正確．題型一平面基本性質(zhì)的應用例1如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點．求證：(1)E、C、D1、F四點共面；(2)CE、D1F、DA三線共點．證明(1)如圖，連結(jié)EF，CD1，A1B.∵E、F分別是AB、AA1的中點，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四點共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE與D1F必相交，設(shè)交點為P，如圖所示．則由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直線DA.∴CE、D1F、DA三線共點．思維升華公理1是判斷一條直線是否在某個平面的依據(jù)；公理3及其推論是判斷或證明點、線共面的依據(jù)；公理2是證明三線共點或三點共線的依據(jù)．如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝eq\f(1,2)AD，BE∥AF且BE＝eq\f(1,2)AF，G、H分別為FA、FD的中點．(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C、D、F、E四點是否共面？為什么？(1)證明由已知FG＝GA，F(xiàn)H＝HD，可得GH綊eq\f(1,2)AD.又BC綊eq\f(1,2)AD，∴GH綊BC.∴四邊形BCHG為平行四邊形．(2)解∵BE綊eq\f(1,2)AF，G是FA的中點，∴BE綊FG，∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG.由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF與CH共面．又D∈FH，∴C、D、F、E四點共面．題型二判斷空間兩直線的位置關(guān)系例2(1)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是________．①l與l1，l2都不相交；②l與l1，l2都相交；③l至多與l1，l2中的一條相交；④l至少與l1，l2中的一條相交．(2)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，則下列判斷錯誤的是______．①MN與CC1垂直；②MN與AC垂直；③MN與BD平行；④MN與A1B1平行．(3)在圖中，G、N、M、H分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有________．(填上所有正確答案的序號)答案(1)④(2)④(3)②④解析(1)若l與l1，l2都不相交，則l∥l1，l∥l2，∴l(xiāng)1∥l2，這與l1和l2異面矛盾，∴l(xiāng)至少與l1，l2中的一條相交．(2)如圖，連結(jié)B1C，B1D1，則點M是B1C的中點，MN是△B1CD1的中位線，∴MN∥B1D1，∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD.又∵A1B1與B1D1相交，∴MN與A1B1不平行．(3)圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G、H、N三點共面，但M?面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連結(jié)MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G、M、N共面，但H?面GMN，因此GH與MN異面．所以圖②④中GH與MN異面．思維升華空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定．對于異面直線，可采用直接法或反證法；對于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；對于垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決．如圖是正四面體(各面均為正三角形)的平面展開圖，G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點，在這個正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個命題中，正確命題的序號是________．答案②③④解析把正四面體的平面展開還原，如圖所示，GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE⊥MN.題型三求兩條異面直線所成的角例3(1)如圖所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中點，AA1∶AB＝eq\r(2)∶1，則異面直線AB1與BD所成的角為___________________________________．答案60°解析取A1C1的中點E，連結(jié)B1E，ED，AE，在Rt△AB1E中，∠AB1E即為所求，設(shè)AB＝1，則A1A＝eq\r(2)，AB1＝eq\r(3)，B1E＝eq\f(\r(3),2)，故∠AB1E＝60°.所以異面直線AB1與BD所成的角為60°.(2)空間四邊形ABCD中，AB＝CD且AB與CD所成的角為30°，E、F分別為BC、AD的中點，求EF與AB所成角的大?。馊鐖D，取AC的中點G，連結(jié)EG、FG，則EG綊eq\f(1,2)AB，F(xiàn)G綊eq\f(1,2)CD，由AB＝CD知EG＝FG，∴∠GEF(或它的補角)為EF與AB所成的角，∠EGF(或它的補角)為AB與CD所成的角．∵AB與CD所成的角為30°，∴∠EGF＝30°或150°.由EG＝FG知△EFG為等腰三角形，當∠EGF＝30°時，∠GEF＝75°；當∠EGF＝150°時，∠GEF＝15°.故EF與AB所成的角為15°或75°.思維升華(1)求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補形平移．(2)求異面直線所成的角的三步曲：即“一作、二證、三求”．其中空間選點任意，但要靈活，經(jīng)常選擇“端點、中點、等分點”，通過作三角形的中位線，平行四邊形等進行平移，作出異面直線所成的角，轉(zhuǎn)化為解三角形問題，進而求解．(1)已知正四面體ABCD中，E是AB的中點，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為________．(2)直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于________________________________________________．答案(1)eq\f(\r(3),6)(2)60°解析(1)畫出正四面體ABCD的直觀圖，如圖所示．設(shè)其棱長為2，取AD的中點F，連結(jié)EF，設(shè)EF的中點為O，連結(jié)CO，則EF∥BD，則∠FEC就是異面直線CE與BD所成的角．△ABC為等邊三角形，則CE⊥AB，易得CE＝eq\r(3)，同理可得CF＝eq\r(3)，故CE＝CF.因為OE＝OF，所以CO⊥EF.又EO＝eq\f(1,2)EF＝eq\f(1,4)BD＝eq\f(1,2)，所以cos∠FEC＝eq\f(EO,CE)＝eq\f(\f(1,2),\r(3))＝eq\f(\r(3),6).(2)如圖，可補成一個正方體，∴AC1∥BD1.∴BA1與AC1所成角的大小為∠A1BD1.又易知△A1BD1為正三角形，∴∠A1BD1＝60°.即BA1與AC1成60°的角．15．構(gòu)造模型判斷空間線面位置關(guān)系典例已知m，n是兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，有下列四個命題：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，則m⊥n.其中所有正確的命題是________．思維點撥構(gòu)造一個長方體模型，找出適合條件的直線與平面，在長方體內(nèi)判斷它們的位置關(guān)系．解析借助于長方體模型來解決本題，對于①，可以得到平面α，β互相垂直，如圖(1)所示，故①正確；對于②，平面α、β可能垂直，如圖(2)所示，故②不正確；對于③，平面α、β可能垂直，如圖(3)所示，故③不正確；對于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因為n∥β，所以過n作平面γ，且γ∩β＝g，如圖(4)所示，所以n與交線g平行，因為m⊥g，所以m⊥n，故④正確．答案①④溫馨提醒(1)構(gòu)造法實質(zhì)上是結(jié)合題意構(gòu)造合題意的直觀模型，然后將問題利用模型直觀地作出判斷，這樣減少了抽象性，避免了因考慮不全面而導致解題錯誤；(2)對于線面、面面平行、垂直的位置關(guān)系的判定，可構(gòu)造長方體或正方體化抽象為直觀去判斷．[方法與技巧]1．主要題型的解題方法(1)要證明“線共面”或“點共面”可先由部分直線或點確定一個平面，再證其余直線或點也在這個平面內(nèi)(即“納入法”)．(2)要證明“點共線”可將線看作兩個平面的交線，只要證明這些點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)公理2可知這些點在交線上，因此共線．2．判定空間兩條直線是異面直線的方法(1)判定定理：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線．(2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面．3．求兩條異面直線所成角的大小，一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決．根據(jù)空間等角定理及推論可知，異面直線所成角的大小與頂點位置無關(guān)，往往可以選在其中一條直線上(線面的端點或中點)利用三角形求解．[失誤與防范]1．正確理解異面直線“不同在任何一個平面內(nèi)”的含義，不要理解成“不在同一個平面內(nèi)”．2．不共線的三點確定一個平面，一定不能丟掉“不共線”條件．3．兩條異面直線所成角的范圍是(0°，90°]．

A組專項基礎(chǔ)訓練(時間：40分鐘)1．在下列命題中，不是公理的是________．①平行于同一個平面的兩個平面相互平行；②過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面；③如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi)；④如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．答案①解析①是面面平行的性質(zhì)定理，是由公理推證出來的，而公理是不需要證明的．2．若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是________．①l1⊥l4；②l1∥l4；③l1與l4既不垂直也不平行；④l1與l4的位置關(guān)系不確定．答案④解析在如圖所示的長方體中，不妨設(shè)l2為直線AA1，l3為直線CC1，則直線l1，l4可以是AB，BC；也可以是AB，CD；也可以是AB，B1C1；這三組直線相交，平行，垂直，異面．3．設(shè)P表示一個點，a、b表示兩條直線，α、β表示兩個平面，給出下列四個命題，其中正確的命題是________．①P∈a，P∈α?a?α；②a∩b＝P，b?β?a?β；③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈b.答案③④解析當a∩α＝P時，P∈a，P∈α，但a?α，∴①錯；a∩β＝P時，②錯；如圖，∵a∥b，P∈b，∴P?a，∴由直線a與點P確定唯一平面α，又a∥b，由a與b確定唯一平面β，但β經(jīng)過直線a與點P，∴β與α重合，∴b?α，故③正確；兩個平面的公共點必在其交線上，故④正確．4．設(shè)四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1，eq\r(2)和a，且長為a的棱與長為eq\r(2)的棱異面，則a的取值范圍是__________．答案(0，eq\r(2))解析此題相當于一個正方形沿著對角線折成一個四面體，長為a的棱長一定大于0且小于eq\r(2).5．四棱錐P－ABCD的所有側(cè)棱長都為eq\r(5)，底面ABCD是邊長為2的正方形，則CD與PA所成角的余弦值為________．答案eq\f(\r(5),5)解析因為四邊形ABCD為正方形，故CD∥AB，則CD與PA所成的角即為AB與PA所成的角，即為∠PAB.在△PAB內(nèi)，PB＝PA＝eq\r(5)，AB＝2，利用余弦定理可知cos∠PAB＝eq\f(PA2＋AB2－PB2,2×PA×AB)＝eq\f(5＋4－5,2×\r(5)×2)＝eq\f(\r(5),5).6．如圖所示，平面α，β，γ兩兩相交，a，b，c為三條交線，且a∥b，則a與c，b與c的位置關(guān)系是________．答案a∥b∥c解析∵a∥b，a?α，b?α，∴b∥α.又∵b?β，α∩β＝c，∴b∥c.∴a∥b∥c.7．如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為________．答案4解析EF與正方體左、右兩側(cè)面均平行．所以與EF相交的側(cè)面有4個．8．(2015·浙江)如圖，三棱錐ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點M，N分別是AD，BC的中點，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是________．答案eq\f(7,8)解析如圖所示，連結(jié)DN，取線段DN的中點K，連結(jié)MK，CK.∵M為AD的中點，∴MK∥AN，∴∠KMC為異面直線AN，CM所成的角．∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N為BC的中點，由勾股定理求得AN＝DN＝CM＝2eq\r(2)，∴MK＝eq\r(2).在Rt△CKN中，CK＝eq\r(\r(2)2＋12)＝eq\r(3).在△CKM中，由余弦定理，得cos∠KMC＝eq\f(\r(2)2＋2\r(2)2－\r(3)2,2×\r(2)×2\r(2))＝eq\f(7,8).9．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線有________條．答案無數(shù)解析方法一在EF上任意取一點M，直線A1D1與M確定一個平面，這個平面與CD有且僅有1個交點N，M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點N，而直線MN與這3條異面直線都有交點．如圖所示．方法二在A1D1上任取一點P，過點P與直線EF作一個平面α，因CD與平面α不平行，所以它們相交，設(shè)它們交于點Q，連結(jié)PQ，則PQ與EF必然相交，即PQ為所求直線．由點P的任意性，知有無數(shù)條直線與三條直線A1D1，EF，CD都相交．10.如圖，空間四邊形ABCD中，E、F、G分別在AB、BC、CD上，且滿足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，過E、F、G的平面交AD于點H.(1)求AH∶HD；(2)求證：EH、FG、BD三線共點．(1)解∵eq\f(AE,EB)＝eq\f(CF,FB)＝2，∴EF∥AC，∴EF∥平面ACD，而EF?平面EFGH，平面EFGH∩平面ACD＝GH，∴EF∥GH，∴AC∥GH.∴eq\f(AH,HD)＝eq\f(CG,GD)＝3.∴AH∶HD＝3∶1.(2)證明∵EF∥GH，且eq\f(EF,AC)＝eq\f(1,3)，eq\f(GH,AC)＝eq\f(1,4)，∴EF≠GH，∴四邊形EFGH為梯形．令EH∩FG＝P，則P∈EH，而EH?平面ABD，又P∈FG，F(xiàn)G?平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD.∴EH、FG、BD三線共點．B組專項能力提升(時間：30分鐘)11．以下四個命題中，①不共面的四點中，其中任意三點不共線；②若點A、B、C、D共面，點A、B、C、E共面，則點A、B、C、D、E共面；③若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．正確命題的個數(shù)是________．答案1解析①中顯然是正確的；②中若A、B、C三點共線，則A、B、C、D、E五點不一定共面；③構(gòu)造長方體或正方體，如圖顯然b、c異面，故不正確；④中空間四邊形中四條線段不共面，故只有①正確．12．如圖，矩形ABCD中，AB＝2AD，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE.若M為線段A1C的中點，則在△ADE翻折過程中，下面四個命題中不正確的是__________．①|(zhì)BM|是定值②點M在某個球面上運動③存在某個位置，使DE⊥A1C④存在某個位置，使MB∥平面A1DE答案③解析取DC中點F，連結(jié)MF，BF，MF∥A1D且MF＝eq\f(1,2)A1D，F(xiàn)B∥ED且FB＝ED，所以∠MFB＝∠A1DE.由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB是定值，所以M是在以B為圓心，MB為半徑的球上