2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第四章三角函數(shù)與解三角形熱點(diǎn)問(wèn)題

教材?高考?審題答題

三角函數(shù)與解三角形熱點(diǎn)問(wèn)題

5三年真題考情

核心熱點(diǎn)真題印證核心素養(yǎng)

2020?全國(guó)I,7:2020?全國(guó)川，16;

2020?天津,8:2019?全國(guó)I,11;2019?北

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)京，9;2019?全國(guó)川,12:2019?天津，7;直觀想象、邏輯推理

2018?全國(guó)Il,10；2018?全國(guó)I,16;

2018?全國(guó)川,15

2020?全國(guó)I,9;2020?全國(guó)Il,2;2020?全

國(guó)III,9:2019?全國(guó)II,10;2019?浙江,

三角恒等變換邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算

18:2018?浙江，18;2018?江蘇，16;

2018?全國(guó)Il,15:2018?全國(guó)川，4

2020?全國(guó)I,16:2020?全國(guó)Ill,7;

2020?北京，17;2020?天津,16;2020?新

解三角形高考山東，17:2020?浙江，18;2019?全邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算

國(guó)I,17;2019?全國(guó)川，18;2019?北京,

15;2019?江蘇,15;2018?全國(guó)I,17

蟀教材鏈接高考---------------------

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

教材探究(必修4P147復(fù)習(xí)參考題A組第9題、第10題)

題目9已知函數(shù)y=(sinx+cosx)2+2cos2χ.

(1)求它的遞減區(qū)間；

(2)求它的最大值和最小值.

題目10已知函數(shù)/(x)=COS'x—2SinXCoSX-sin%

(1)求7(x)的最小正周期；

TT

(2)當(dāng)x∈0,5時(shí)，求的最小值及取得最小值時(shí)X的集合.

［試題評(píng)析］

兩個(gè)題目主要涉及三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)，題目求解的關(guān)鍵在于運(yùn)用二倍角公式及

兩角和公式化為y=Asin(ox+9)+%的形式，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解.

【教材拓展】已知函數(shù)√(x)=4tanXSine—x)COSQ一鼻)一小.

(1)求色)的定義域與最小正周期：

(2)討論在區(qū)間［一彳TT，WTT上的單調(diào)性.

Tr

解(IVU)的定義域?yàn)椋鹸∣x≠］+E,?eZ!,

=2sinXcosx+2?∣3sin2χ-y∣3

=Sin2χ-√3cos2x

=2Sin(21一1)

2兀

所以y(x)的最小正周期T=y=π.

TTTTTT

(2)由一1+2EW2χ-yW∕+2E(%EZ),

TT5JT

得一五+?π≤Λ≤j^÷kπ(k∈Z).

設(shè)A=—彳，幻，B=∣.v∣-γ^+?π≤x≤γ^+?π,?∈Z∣,易知A∩5=一聲，

所以當(dāng)聞譚力時(shí)，段)在區(qū)間［—若，引上單調(diào)遞增，在區(qū)間［一;,一倒上單調(diào)遞減.

探究提高1.將y(x)變形為7U)=2sin(2x-*是求解的關(guān)鍵，(1)利用商數(shù)關(guān)系統(tǒng)一函數(shù)名稱;

(2)活用和、差、倍角公式化成一復(fù)角的三角函數(shù).

2.把“ox+-'視為一個(gè)整體，借助復(fù)合函數(shù)性質(zhì)求y=Asin(3χ+3)+8的單調(diào)性及奇偶性、

最值、對(duì)稱性等問(wèn)題.

【鏈接高考】(2019?浙江卷)設(shè)函數(shù)段)=sinx,x∈R.

(1)已知夕∈［0,2π),函數(shù)HX+9)是偶函數(shù)，求夕的值；

(2)求函數(shù)、=［4：+：|，|2+小+彳)｝的值域.

解(1)因?yàn)閥(x+6)=sin(x+6)是偶函數(shù),

所以，對(duì)任意實(shí)數(shù)尤都有sin(x+θ)=sin(-χ+θ),

即sinJVCOS9+cosxsin0=—sinXCOS8+cosXSinθ,

故2sinxcos。=0,所以cosθ=0.

又?！蔥0,2%）,因此或當(dāng)

（2）尸比+專）｝+&+a

+sin2^x+^

=Ml-CoS3+加+3

由于x∈R,知COS（2x+?e[—1,1],

因此，所求函數(shù)的值域?yàn)?—坐，1+乎]

二教你如何審題

三角函數(shù)與平面向量

【例題】（2021?湘贛十四校聯(lián)考）已知向量m=（sinX,-1）,〃=（小，cosx）,且函數(shù)外）

=m?n.

（1）若x∈（θ,0，且危）=|,求SinX的值；

（2）在銳角三角形A8C中，內(nèi)角4,B9C的對(duì)邊分別為α,b,C若a=幣,Z?A8C的面積為

邛^,且.人4+胃=乎加皿。，求AABC的周長(zhǎng).

審題路線

[自主解答1

解(Iv(X)==(Sin],—1)?(??∕3,CoSX)

.三U

,?χ-6

Λsinx=sin卜一聿+,πβj≈^1×

3X2+3X2

_小+2也

=6?

⑵MA+I=卓。SinC,

.二2sinA=乎戾inC,即6sinA=巾bsinC.

由正弦定理可知6a=市〃c?.

又?：cI=巾,:?bc=6.

由已知448C的面積等于茨CSinA=

??一近

..sιnA—2.

又?.?A∈(θ,≡j,.1

2

由余弦定理，得從+c—2bccosA=〃2=7,故。2+C2=13,

Λ(?+c)2=25,.9.b+c=5,

.1△ABC的周長(zhǎng)為“+6+c=5+√i

探究提高1.破解平面向量與“三角”相交匯題的常用方法是“化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化法”，即先利用三

角公式對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行“化簡(jiǎn)”；然后把以向量共線、向量垂直、向量的數(shù)量積運(yùn)算等形

式出現(xiàn)的條件轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式；再活用正、余弦定理對(duì)邊、角進(jìn)行互化.

2.這種問(wèn)題求解的難點(diǎn)一般不是向量的運(yùn)算，而是三角函數(shù)性質(zhì)、恒等變換及正、余弦定

理的應(yīng)用，只不過(guò)它們披了向量的“外衣”.

【嘗試訓(xùn)練】(2021?滄州質(zhì)檢)已知a=(5，5cosX,CoSx),?=(sinx,2cosx),函數(shù)√(x)=α∕>

+ι?ι2.

(1)求函數(shù)7U)的最小正周期；

⑵求函數(shù),/U)的單調(diào)減區(qū)間：

(3)當(dāng)"Xq時(shí)，求函數(shù)段)的值域.

解J(x)=a?b+1?∣2=5Λ∕3COSxsinx+2CoS2χ+si∏2χ+4cos2χ=5小SinXCoSx÷sin2Λ÷6cos2x

5λ∕31—cos2x,

=^^^^^sιn21x÷-----2-----l÷3(l÷cos2x)

57

2x+］COS2x÷2~5sin+2?

(l)∕(x)的最小正周期T=笄=π.

JTTT3JTTr9TT

⑵由2Zπ+s<2x+w≤2E+亍(ZEZ)得Λπ÷^≤x≤kπ+~^~(k∈Z).

，危)的單調(diào)減區(qū)間為?π+^,也+￡(攵∈Z).

兀兀兀71/71

(3)?若Wx≤參Λ^≤2x+^≤y,

—^≤sin(^2x÷^≤1,

l≤5sin^2Λ÷^)÷^≤?γ.

當(dāng)臺(tái)XW飄，函數(shù)段)的值域?yàn)椋?,y］.

蟀滿分答題示范---------------------

解三角形

【例題】(12分)(2020?全國(guó)∏卷)Z?A8C中，siMA-si/B—siMC=sinBsinC.

⑴求A;

(2)若BC=3,求AABC周長(zhǎng)的最大值.

［規(guī)范解答］

解(1)由正弦定理和已知條件得用正弦定理化角為邊

BC1-AC2-AB2=AC-AB.?2'

由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC?ABCOSA.②

由①②得cosA=-∣.用余弦定理化邊為角4'

因?yàn)?<Avπ,所以A=與.6'

⑵由正弦定理及⑴彳驍?=黑=黑=2小，8，

從而AC=2y∕3sinB9

AB=2y∣3sin(π-A-B)=3cosB-√3sinB.

故BC+AC+AB=3+√3sin8+3CoSB

=3+2√?Q(B+≡),兩角和正弦公式的逆用。

又0<8/，所以當(dāng)B=1時(shí)，AABC周長(zhǎng)取得最大值3+2√j三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用12'

?Q

高考狀元滿分心得

?寫全得步驟分：對(duì)于解題過(guò)程中得分點(diǎn)的步驟有則給分，無(wú)則沒(méi)分，所以得分點(diǎn)步驟一定

要寫全，如第(1)問(wèn)中只要寫出0<A<兀就有分，沒(méi)寫就扣1分，第(2)問(wèn)中(XB<W也是如此.

?寫明得關(guān)鍵分：對(duì)于解題過(guò)程中的關(guān)鍵點(diǎn)，有則給分，無(wú)則沒(méi)分，所以在答題時(shí)要寫清得

分關(guān)鍵點(diǎn)，如第(1)問(wèn)中由正弦定理得BC2-AC2—AB2=AC?AB,由余弦定理得Be2=AC2+

AB2—2AC?AB-COsA,第(2)問(wèn)4J.3=—,=2√5等.

?保證正確得計(jì)算分：解題過(guò)程中計(jì)算準(zhǔn)確，是得滿分的根本保證，如第(1)問(wèn)中，cos4=

一；,若計(jì)算錯(cuò)誤，則第⑴問(wèn)最多2分；再如第⑵問(wèn)3+小SinB+3CoSB=3+2小Sin(B+今

化簡(jiǎn)如果出現(xiàn)錯(cuò)誤，則第(2)問(wèn)最多得2分.

構(gòu)建模板

ζfΞ3>……利用正弦、余弦定理，對(duì)條件式進(jìn)行邊角互化

(Si多……由三角函數(shù)值及角的范圍求角

I

……由正弦、余弦定理及條件式實(shí)現(xiàn)三角恒等變換

I

?B)……利用角的范圍和三角函數(shù)性質(zhì)求出最值

I

……檢驗(yàn)易錯(cuò)易混，規(guī)范解題步驟得出結(jié)論

【規(guī)范訓(xùn)練】(2020?浙江卷)在銳角AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為α,b,c.已知

2bs?nA-y∣3a=0.

⑴求角8的大小；

(2)求cosA+cosB÷cosC的取值范圍.

解(1)由正弦定理，得2sinBsinA=45sinA,

故SinB=坐，由題意得Bq

(2)由A+B+C=兀，得C=爭(zhēng)一A.

ππ

由aABC是銳角三角形，得A∈g,2J.

由c。SC=CoS停T)=—如4+亭i”,得

cosA÷cosB+cosC=坐SinA+；CoSA+；

=sinfA+7)+τ∈-1

故cosA+cosB÷cosC的取值范圍是I

件熱點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練---------------------

1.（2019,天津卷）在AABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為α,b,c.已知b+c=24,

3csinB=4asinC.

⑴求cosB的值；

⑵求sin(28+S的值.

hC

解⑴在44BC中，由正弦定理而十砧，

得?sinC=CSinB.又由3csinB=44sinC,

得3?sinC=4。SinC9即3b=4a.

因?yàn)閎+c=2a,

,,42

所以。=5"，C=Wa

由余弦定理可得

/+/+稅—42ι

cosB=2αc=-?-=，

2.呼

(2)由(1)可得sinB--?∣1—cos2B≈?^^,

從而sin2B=2sinBcos8=一延N

O

7

cos2B=Cos2B-sin2B=一弓，

，兀\71兀

故sin(28+zJ=sin28cosτ+cos2Bsin7

厭X由一71—3小+7

8282-16

2.已知函數(shù)yU)=α?b,其中α=(2cosx,—√3sin2x),?=(cosx,l),x∈R.

(1)求函數(shù)y=∕U)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)在AABC中，內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為mb,c,βA)=-l,a=小,且向量加=(3,

SinB)與〃=(2,SinC)共線，求邊長(zhǎng)b和C的值.

解(1)J(x)=2cos2x-^?sin2x=1+cos2x—SSin2x=1+2COS(2x+g),

TT

令2EW2x+1W2E+π∕^Z),

TTTT

解得?π-e≤x≤?π÷2(?∈Z),

，函數(shù)y=∕U)的單調(diào)遞減區(qū)間

為[fat一看，也+m(%≡Z)?

(2)VχA)=1+2cos(2A+])=—1,

.*.cos^2A,又WV2A+^V季

.?.2A+1=π,即A=字

Ta=巾,???由余弦定理得層=按+/—2AcosA=S+c)2—3〃c=7.①

T向量m=(3,SinB)與〃=(2,SinC)共線，

/.2sinβ=3sinC9由正弦定理得幼=3c,②

由①②得b=3,c=2.

3.已知函數(shù)f(x)=cosX(CoSX+q5sinx).

⑴求Xx)的最小值；

(2)在aABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若大。=1,SAABC=斗,C=巾，

求AABC的周長(zhǎng).

]―∣-cos2JC?/?]

解(Iycr)=COS?(eosx÷√3sinx)=cos2x÷y∣3sinXCOSx------?-----÷s^n2x=1+

sin^2x+^j.

當(dāng)sin(2無(wú)+看)=-1時(shí)，於)取得最小值一去

(2求O=；+sin(2C+看)=1,二sin(2C+^)=；,

VC∈(O,π),2C+'G弓,.?.2C+,=普,.*.C=^.

.._1,.「3小.

?Sc&ABC2。。SinC4，??ab3.

Tl_

又(〃+Z?)2—2R?COS1=7+2血

.二(α+b)2=16,即α+b=4,/.6F+?+C=4+Λ∕7,

故4A3C的周長(zhǎng)為4+√7.

4.(2021?東北三省三校聯(lián)考)已知在AABC中，三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為α,b,c,

A+8

222-

?tanA=atanBf2sin-=1÷cos2C.

⑴求角A的大小；

⑵若點(diǎn)。為AB上一點(diǎn)，滿足N8CO=45。，且CD=3啦一加，求AABC的面積.

角翠(1)?2sin'1'=l+cos2。得

1—cos(A+B)=2cos2C,即2cos2C-cosC-I=O,

解得cosC=-?(eosC=I舍去)，故C=120°.

因?yàn)榫蚷=后^?2ta∏A=?B,

sin2BsinAsin2AsinB

所以「

cosAcosB

即sinAcosA=sinBCOSB,故sin2A=sin28,

因此A=JB或A+B=90。(舍去),故A=30。.

(2)由(1)知AABC為等腰三角形，設(shè)BC=AC=m，

由SΔABC=SΔACD+S