（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.8 曲線與方程 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

1.曲線與方程一般地，如果曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲線C的方程，曲線C叫做方程f(x，y)＝0的曲線.2.求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的一般步驟(1)建系——建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.(2)設(shè)點(diǎn)——設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x，y).(3)列式——列出動(dòng)點(diǎn)P所滿足的關(guān)系式.(4)代換——依條件式的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，并化簡.(5)證明——證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程.3.兩曲線的交點(diǎn)(1)由曲線方程的定義可知，對于曲線C1：f1(x，y)＝0和曲線C2：f2(x，y)＝0，由于P0(x0，y0)是C1與C2的公共點(diǎn)?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1x0，y0＝0，,f2x0，y0＝0，))所以，求兩條曲線的交點(diǎn)，就是求方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1x，y＝0，,f2x，y＝0))的實(shí)數(shù)解.反過來，方程組有幾組不同的實(shí)數(shù)解，兩條曲線就有幾個(gè)公共點(diǎn)；方程組沒有實(shí)數(shù)解，兩條曲線就沒有公共點(diǎn).(2)兩條曲線有交點(diǎn)的充要條件是它們的方程所組成的方程組有實(shí)數(shù)解.可見，求曲線的交點(diǎn)問題，就是求由它們的方程所組成的方程組的實(shí)數(shù)解問題.4.圓錐曲線的統(tǒng)一定義平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和到一條定直線l(F不在l上)的距離的比等于常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡.當(dāng)0<e<1時(shí)，它表示橢圓；當(dāng)e>1時(shí)，它表示雙曲線；當(dāng)e＝1時(shí)，它表示拋物線.其中e是圓錐曲線的離心率，定點(diǎn)F是圓錐曲線的焦點(diǎn)，定直線l是圓錐曲線的準(zhǔn)線.【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)f(x0，y0)＝0是點(diǎn)P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上的充要條件.(√)(2)方程x2＋xy＝x的曲線是一個(gè)點(diǎn)和一條直線.(×)(3)到兩條互相垂直的直線距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是x2＝y(tǒng)2.(×)(4)方程y＝eq\r(x)與x＝y(tǒng)2表示同一曲線.(×)(5)y＝kx與x＝eq\f(1,k)y表示同一直線.(×)1.方程(x2＋y2－4)eq\r(x＋y＋1)＝0的曲線形狀是_________________________________.答案③解析由題意可得x＋y＋1＝0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4＝0，,x＋y＋1≥0，))它表示直線x＋y＋1＝0和圓x2＋y2－4＝0在直線x＋y＋1＝0右上方的部分.2.已知點(diǎn)P是直線2x－y＋3＝0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)M(－1，2)，Q是線段PM延長線上的一點(diǎn)，且PM＝MQ，則Q點(diǎn)的軌跡方程是______________.答案2x－y＋5＝0解析由題意知，M為PQ中點(diǎn)，設(shè)Q(x，y)，則P為(－2－x，4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.3.設(shè)定點(diǎn)F1(0，－3)，F(xiàn)2(0,3)，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件PF1＋PF2＝a＋eq\f(9,a)(a>0)，則點(diǎn)P的軌跡是____________.答案橢圓或線段解析∵a＋eq\f(9,a)≥2eq\r(a·\f(9,a))＝6.當(dāng)a＝3時(shí)，a＋eq\f(9,a)＝6，此時(shí)PF1＋PF2＝F1F2，P點(diǎn)的軌跡為線段F1F2，當(dāng)a≠3，a>0時(shí)，PF1＋PF2>F1F2.由橢圓定義知P點(diǎn)的軌跡為橢圓.4.(教材改編)和點(diǎn)O(0,0)，A(c,0)距離的平方和為常數(shù)c的點(diǎn)的軌跡方程為________________.答案2x2＋2y2－2cx＋c2－c＝0解析設(shè)P(x，y)為軌跡上一點(diǎn)，則x2＋y2＋(x－c)2＋y2＝c，∴2x2＋2y2－2cx＋c2－c＝0.5.(教材改編)已知⊙O方程為x2＋y2＝4，過M(4,0)的直線與⊙O交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB中點(diǎn)P的軌跡方程為____________________.答案(x－2)2＋y2＝4(0≤x<1)解析根據(jù)垂徑定理知：OP⊥PM，所以P點(diǎn)軌跡是以O(shè)M為直徑的圓且在⊙O內(nèi)的部分，以O(shè)M為直徑的圓的方程為(x－2)2＋y2＝4，它與⊙O的交點(diǎn)為(1，±eq\r(3))，結(jié)合圖形可知所求軌跡方程為(x－2)2＋y2＝4(0≤x<1).題型一定義法求軌跡方程例1已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.求C的方程.解由已知得圓M的圓心為M(－1,0)，半徑r1＝1；圓N的圓心為N(1,0)，半徑r2＝3.設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以PM＋PN＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4>2＝MN.由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左，右焦點(diǎn)，長半軸長為2，短半軸長為eq\r(3)的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(x≠－2).思維升華應(yīng)用定義法求曲線方程的關(guān)鍵在于由已知條件推出關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的等量關(guān)系式，由等量關(guān)系結(jié)合曲線定義判斷是何種曲線，再設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，用待定系數(shù)法求解.已知兩個(gè)定圓O1和O2，它們的半徑分別是1和2，且O1O2＝4.動(dòng)圓M與圓O1內(nèi)切，又與圓O2外切，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程，并說明軌跡是何種曲線.解如圖所示，以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，O1O2所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.由O1O2＝4，得O1(－2,0)，O2(2,0).設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，則由動(dòng)圓M與圓O1內(nèi)切，有MO1＝r－1；由動(dòng)圓M與圓O2外切，有MO2＝r＋2.∴MO2－MO1＝3.∴點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)1、O2為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為3的雙曲線的左支.∴a＝eq\f(3,2)，c＝2，∴b2＝c2－a2＝eq\f(7,4).∴點(diǎn)M的軌跡方程為eq\f(4x2,9)－eq\f(4y2,7)＝1(x≤－eq\f(3,2)).題型二直接法求軌跡方程命題點(diǎn)1已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足的關(guān)系式求軌跡方程(或判斷軌跡)例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(a，b)為動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左，右焦點(diǎn).已知△F1PF2為等腰三角形.(1)求橢圓的離心率e；(2)設(shè)直線PF2與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，M是直線PF2上的點(diǎn)，滿足eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))＝－2，求點(diǎn)M的軌跡方程.解(1)設(shè)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c>0).由題意，可得PF2＝F1F2，即eq\r(a－c2＋b2)＝2c，整理得2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＋eq\f(c,a)－1＝0，得eq\f(c,a)＝－1(舍去)或eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).所以e＝eq\f(1,2).(2)由(1)知a＝2c，b＝eq\r(3)c，可得橢圓方程為3x2＋4y2＝12c2，直線PF2的方程為y＝eq\r(3)(x－c).A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x2＋4y2＝12c2，,y＝\r(3)x－c.))消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝eq\f(8,5)c，得方程組的解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝－\r(3)c，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(8,5)c，,y2＝\f(3\r(3),5)c.))不妨設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)c，\f(3\r(3),5)c))，B(0，－eq\r(3)c).設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,5)c，y－\f(3\r(3),5)c))，eq\o(BM,\s\up6(→))＝(x，y＋eq\r(3)c).由y＝eq\r(3)(x－c)，得c＝x－eq\f(\r(3),3)y.于是eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8\r(3),15)y－\f(3,5)x，\f(8,5)y－\f(3\r(3),5)x))，eq\o(BM,\s\up6(→))＝(x，eq\r(3)x)，由eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))＝－2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8\r(3),15)y－\f(3,5)x))·x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)y－\f(3\r(3),5)x))·eq\r(3)x＝－2.化簡得18x2－16eq\r(3)xy－15＝0.將y＝eq\f(18x2－15,16\r(3)x)代入c＝x－eq\f(\r(3),3)y，得c＝eq\f(10x2＋5,16x)>0.所以x>0.因此，點(diǎn)M的軌跡方程是18x2－16eq\r(3)xy－15＝0(x>0).命題點(diǎn)2無明確等量關(guān)系求軌跡方程例3(2014·廣東)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為(eq\r(5)，0)，離心率為eq\f(\r(5),3).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動(dòng)點(diǎn)P(x0，y0)為橢圓C外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程.解(1)由題意知c＝eq\r(5)，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3)，所以a＝3，b2＝a2－c2＝4，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)設(shè)兩切線為l1，l2，①當(dāng)l1⊥x軸或l1∥x軸時(shí)，對應(yīng)l2∥x軸或l2⊥x軸，可知P(±3，±2).②當(dāng)l1與x軸不垂直且不平行時(shí)，x0≠±3.設(shè)l1的斜率為k，則k≠0，l2的斜率為－eq\f(1,k)，故l1的方程為y－y0＝k(x－x0)，聯(lián)立eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，得(9k2＋4)x2＋18(y0－kx0)kx＋9(y0－kx0)2－36＝0.因?yàn)橹本€l1與橢圓C相切，所以Δ＝0，得9(y0－kx0)2k2－(9k2＋4)[(y0－kx0)2－4]＝0，所以－36k2＋4[(y0－kx0)2－4]＝0，所以(xeq\o\al(2,0)－9)k2－2x0y0k＋yeq\o\al(2,0)－4＝0，所以k是方程(xeq\o\al(2,0)－9)x2－2x0y0x＋yeq\o\al(2,0)－4＝0(x0≠±3)的一個(gè)根，同理－eq\f(1,k)是方程(xeq\o\al(2,0)－9)x2－2x0y0x＋yeq\o\al(2,0)－4＝0(x0≠±3)的另一個(gè)根，所以k·(－eq\f(1,k))＝eq\f(y\o\al(2,0)－4,x\o\al(2,0)－9)，得xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝13，其中x0≠±3，所以此時(shí)點(diǎn)P的軌跡方程為xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝13(x0≠±3).因?yàn)镻(±3，±2)滿足xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝13，綜上可知，點(diǎn)P的軌跡方程為xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝13.思維升華直接法求軌跡方程的常見類型及解題策略：(1)題目給出等量關(guān)系，求軌跡方程.直接代入即可得出方程.(2)題中未明確給出等量關(guān)系，求軌跡方程.可利用已知條件尋找等量關(guān)系，得出方程.(1)已知A，B為平面內(nèi)兩定點(diǎn)，過該平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M作直線AB的垂線，垂足為N.若eq\o(MN,\s\up6(→))2＝λeq\o(AN,\s\up6(→))·eq\o(NB,\s\up6(→))，其中λ為常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡不可能是下列中的________.①圓；②橢圓；③拋物線；④雙曲線.答案③解析以AB所在直線為x軸，AB的中垂線為y軸，建立坐標(biāo)系，設(shè)M(x，y)，A(－a,0)，B(a,0)，則N(x,0).因?yàn)閑q\o(MN,\s\up6(→))2＝λeq\o(AN,\s\up6(→))·eq\o(NB,\s\up6(→))，所以y2＝λ(x＋a)(a－x)，即λx2＋y2＝λa2，當(dāng)λ＝1時(shí)，軌跡是圓；當(dāng)λ>0且λ≠1時(shí)，軌跡是橢圓；當(dāng)λ<0時(shí)，軌跡是雙曲線；當(dāng)λ＝0時(shí)，軌跡是直線.綜上，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡不可能是拋物線.(2)如圖所示，A(m，eq\r(3)m)和B(n，－eq\r(3)n)兩點(diǎn)分別在射線OS，OT(點(diǎn)S、T分別在第一、四象限)上移動(dòng)，且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)).①求mn的值；②求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并說明它表示什么曲線？解①∵eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝(m，eq\r(3)m)·(n，－eq\r(3)n)＝－2mn＝－eq\f(1,2)，∴mn＝eq\f(1,4).②設(shè)P(x，y)(x>0)，由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，得(x，y)＝(m，eq\r(3)m)＋(n，－eq\r(3)n)＝(m＋n，eq\r(3)m－eq\r(3)n).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝m＋n，,y＝\r(3)m－\r(3)n，))整理得x2－eq\f(y2,3)＝4mn，又mn＝eq\f(1,4)，∴P點(diǎn)的軌跡方程為x2－eq\f(y2,3)＝1(x>0).它表示以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長為2，焦距為4的雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的右支.題型三相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程例4設(shè)直線x－y＝4a與拋物線y2＝4ax交于兩點(diǎn)A，B(a為定值)，C為拋物線上任意一點(diǎn)，求△ABC的重心的軌跡方程.解設(shè)△ABC的重心為G(x，y)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).由方程組：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝4a，,y2＝4ax，))消去y并整理得：x2－12ax＋16a2＝0.∴x1＋x2＝12a，y1＋y2＝(x1－4a)＋(x2－4a)＝(x1＋x2)－8a＝4a.∵G(x，y)為△ABC的重心，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0＋x1＋x2,3)＝\f(x0＋12a,3)，,y＝\f(y0＋y1＋y2,3)＝\f(y0＋4a,3)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝3x－12a，,y0＝3y－4a.))又點(diǎn)C(x0，y0)在拋物線上，∴將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的方程得：(3y－4a)2＝4a(3x－12a)，即(y－eq\f(4a,3))2＝eq\f(4a,3)(x－4a).又點(diǎn)C與A，B不重合，∴x0≠(6±2eq\r(5))a，∴△ABC的重心的軌跡方程為(y－eq\f(4a,3))2＝eq\f(4a,3)(x－4a)(x≠(6±eq\f(2\r(5),3))a).思維升華“相關(guān)點(diǎn)法”的基本步驟：(1)設(shè)點(diǎn)：設(shè)被動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，主動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)；(2)求關(guān)系式：求出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝fx，y，,y1＝gx，y；))(3)代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程，便可得到所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.設(shè)F(1,0)，M點(diǎn)在x軸上，P點(diǎn)在y軸上，且eq\o(MN,\s\up6(→))＝2eq\o(MP,\s\up6(→))，eq\o(PM,\s\up6(→))⊥eq\o(PF,\s\up6(→))，當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡方程.解設(shè)M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，∵eq\o(PM,\s\up6(→))⊥eq\o(PF,\s\up6(→))，eq\o(PM,\s\up6(→))＝(x0，－y0)，eq\o(PF,\s\up6(→))＝(1，－y0)，∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，∴x0＋yeq\o\al(2,0)＝0.由eq\o(MN,\s\up6(→))＝2eq\o(MP,\s\up6(→))得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－x0＝－2x0，,y＝2y0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－x，,y0＝\f(1,2)y.))∴－x＋eq\f(y2,4)＝0，即y2＝4x.故所求的點(diǎn)N的軌跡方程是y2＝4x.20.利用參數(shù)法求軌跡方程典例(16分)如圖，在正方形OABC中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,10)，分別將線段OA和AB十等分，分點(diǎn)分別記為A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9，連結(jié)OBi，過Ai作x軸的垂線與OBi交于點(diǎn)Pi(i∈N*,1≤i≤9).(1)求證：點(diǎn)Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一條拋物線上，并求該拋物線E的方程；(2)過點(diǎn)C作直線l與拋物線E交于不同的兩點(diǎn)M，N，若△OCM與△OCN的面積比為4∶1，求直線l的方程.規(guī)范解答方法一解(1)依題意，過Ai(i∈N*,1≤i≤9)且與x軸垂直的直線方程為x＝i，Bi的坐標(biāo)為(10，i)，所以直線OBi的方程為y＝eq\f(i,10)x. [2分]設(shè)Pi的坐標(biāo)為(x，y)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝i，,y＝\f(i,10)x，))得y＝eq\f(1,10)x2，即x2＝10y.所以點(diǎn)Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一條拋物線上，且拋物線E的方程為x2＝10y. [6分](2)依題意知，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋10.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋10，,x2＝10y，))得x2－10kx－100＝0，此時(shí)Δ＝100k2＋400>0，直線l與拋物線E恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M，N. [8分]設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝10k，①,x1·x2＝－100，

②))因?yàn)镾△OCM∶S△OCN＝4∶1，所以S△OCM＝4S△OCN，所以|x1|＝4|x2|.又x1·x2<0，所以x1＝－4x2， ③把③代入①和②，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x2＝10k，,－4x\o\al(2,2)＝－100，))解得k＝±eq\f(3,2). [14分]所以直線l的方程為y＝±eq\f(3,2)x＋10，即3x－2y＋20＝0或3x＋2y－20＝0. [16分]方法二解(1)點(diǎn)Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在拋物線E：x2＝10y上.證明如下：過Ai(i∈N*,1≤i≤9)且與x軸垂直的直線方程為x＝i，Bi的坐標(biāo)為(10，i)，所以直線OBi的方程為y＝eq\f(i,10)x.[2分]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝i，,y＝\f(i,10)x，))解得Pi的坐標(biāo)為(i，eq\f(i2,10))，所以點(diǎn)Pi的坐標(biāo)都滿足方程x2＝10y，所以點(diǎn)Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一條拋物線上，且拋物線E的方程為x2＝10y.[6分](2)同方法一.溫馨提醒參數(shù)法求軌跡方程的步驟：(1)選取參數(shù)k，用k表示動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo).(2)得出動(dòng)點(diǎn)M的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝fk，,y＝gk.))(3)消去參數(shù)k，得M的軌跡方程.(4)由k的范圍確定x，y的范圍.[方法與技巧]求軌跡的常用方法(1)直接法：如果動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是一些幾何量(如距離與角)的等量關(guān)系，或這些幾何條件簡單明了且易于表達(dá)，我們只需把這種關(guān)系轉(zhuǎn)化為x、y的等式就得到曲線的軌跡方程.(2)待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程——先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù).(3)定義法：其動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合某一基本軌跡(如直線或圓錐曲線)的定義，則可根據(jù)定義采用設(shè)方程，求方程系數(shù)得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.(4)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：當(dāng)所求動(dòng)點(diǎn)M是隨著另一動(dòng)點(diǎn)P(稱之為相關(guān)點(diǎn))而運(yùn)動(dòng)時(shí).如果相關(guān)點(diǎn)P所滿足某一曲線方程，這時(shí)我們可以用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，再把相關(guān)點(diǎn)代入曲線方程，就是把相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡的方法叫做相關(guān)點(diǎn)法或代入法.[失誤與防范]1.求軌跡方程時(shí)，要注意曲線上的點(diǎn)與方程的解是一一對應(yīng)的.檢驗(yàn)可從以下兩個(gè)方面進(jìn)行：一是方程的化簡是不是同解變形；二是是否符合題目的實(shí)際意義.2.求點(diǎn)的軌跡與軌跡方程是不同的要求，求軌跡時(shí)，應(yīng)先求軌跡方程，然后根據(jù)方程說明軌跡的形狀、位置、大小等.A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：40分鐘)1.平面上動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F與定直線l的距離相等，且點(diǎn)F與直線l的距離為1.某同學(xué)建立直角坐標(biāo)系后，得到點(diǎn)P的軌跡方程為x2＝2y－1，則他的建系方式是________.答案③解析因?yàn)辄c(diǎn)P的軌跡方程為x2＝2y－1，即所求的拋物線方程為y＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)，拋物線的對稱軸為y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).所以該同學(xué)的建系方式是③.2.若曲線C上存在點(diǎn)M，使M到平面內(nèi)兩點(diǎn)A(－5,0)，B(5，0)距離之差的絕對值為8，則稱曲線C為“好曲線”.以下曲線不是“好曲線”的是________(填序號(hào)).①x＋y＝5；②x2＋y2＝9；③eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1；④x2＝16y.答案②解析∵M(jìn)到平面內(nèi)兩點(diǎn)A(－5,0)，B(5,0)距離之差的絕對值為8，∴M的軌跡是以A(－5,0)，B(5,0)為焦點(diǎn)的雙曲線，方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.①中，直線x＋y＝5過點(diǎn)(5,0)，故直線與M的軌跡有交點(diǎn)，滿足題意；②中，x2＋y2＝9的圓心為(0,0)，半徑為3，與M的軌跡沒有交點(diǎn)，不滿足題意；③中，eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的右頂點(diǎn)為(5,0)，故橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1與M的軌跡有交點(diǎn)，滿足題意；④中，方程代入eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，可得y－eq\f(y2,9)＝1，即y2－9y＋9＝0，∴Δ>0，滿足題意.綜上，②中的曲線不是“好曲線”.3.已知點(diǎn)A(1,0)，直線l：y＝2x－4，點(diǎn)R是直線l上的一點(diǎn)，若eq\o(RA,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))，則點(diǎn)P的軌跡方程為________.答案y＝2x解析設(shè)P(x，y)，R(x1，y1)，由eq\o(RA,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))知，點(diǎn)A是線段RP的中點(diǎn)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋x1,2)＝1，,\f(y＋y1,2)＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝2－x，,y1＝－y.))∵點(diǎn)R(x1，y1)在直線y＝2x－4上，∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.4.已知△ABC的頂點(diǎn)A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是________________.答案eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x>3)解析如圖，AD＝AE＝8，BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6<10＝AB.根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為6的雙曲線的右支(y≠0)，方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x>3).5.平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A(3,1)，B(－1,3)，若點(diǎn)C滿足eq\o(OC,\s\up6(→))＝λ1eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ2eq\o(OB,\s\up6(→))(O為原點(diǎn))，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，則點(diǎn)C的軌跡是________.答案直線解析設(shè)C(x，y)，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3,1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－1,3)，∵eq\o(OC,\s\up6(→))＝λ1eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ2eq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3λ1－λ2，,y＝λ1＋3λ2，))又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0表示一條直線.6.已知兩定點(diǎn)A(－2,0)，B(1,0)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿足PA＝2PB，則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積為________.答案4π解析設(shè)P(x，y)，由PA＝2PB，得eq\r(x＋22＋y2)＝2eq\r(x－12＋y2)，∴3x2＋3y2－12x＝0，即x2＋y2－4x＝0.∴P的軌跡為以(2,0)為圓心，半徑為2的圓.即軌跡所包圍的圖形的面積等于4π.7.曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1(－1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a>1)的點(diǎn)的軌跡.給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)；②曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱；③若點(diǎn)P在曲線C上，則△F1PF2的面積不大于eq\f(1,2)a2.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是________.答案②③解析因?yàn)樵c(diǎn)O到兩個(gè)定點(diǎn)F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)的距離的積是1，且a>1，所以曲線C不過原點(diǎn)，即①錯(cuò)誤；因?yàn)镕1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以PF1·PF2＝a2對應(yīng)的軌跡關(guān)于原點(diǎn)對稱，即②正確；因?yàn)镾△F1PF2＝eq\f(1,2)PF1·PF2·sin∠F1PF2≤eq\f(1,2)PF1·PF2＝eq\f(1,2)a2，即△F1PF2的面積不大于eq\f(1,2)a2，所以③正確.8.如圖，P是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，延長PO與橢圓交于點(diǎn)M，且eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是________.答案eq\f(x2,4a2)＋eq\f(y2,4b2)＝1解析由于eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))，又eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))＝eq\o(PM,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))＝－2eq\o(OP,\s\up6(→))，設(shè)Q(x，y)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(－eq\f(x,2)，－eq\f(y,2))，即P點(diǎn)坐標(biāo)為(－eq\f(x,2)，－eq\f(y,2))，又P在橢圓上，則有eq\f(－\f(x,2)2,a2)＋eq\f(－\f(y,2)2,b2)＝1，即eq\f(x2,4a2)＋eq\f(y2,4b2)＝1.9.在△ABC中，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝4，△ABC的內(nèi)切圓切BC于D點(diǎn)，且|eq\o(BD,\s\up6(→))|－|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝2eq\r(2)，求頂點(diǎn)A的軌跡方程.解以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，中垂線為y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，E、F分別為兩個(gè)切點(diǎn).則BE＝BD，CD＝CF，AE＝AF，∴AB－AC＝2eq\r(2)<4＝BC，∴點(diǎn)A的軌跡為以B，C的焦點(diǎn)的雙曲線的右支(y≠0)且a＝eq\r(2)，c＝2，∴b＝eq\r(2)，∴頂點(diǎn)A的軌跡方程為eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1(x>eq\r(2)).10.在圓O：x2＋y2＝4上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足.設(shè)M為線段PD的中點(diǎn).(1)當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡E的方程；(2)若圓O在點(diǎn)P處的切線與x軸交于點(diǎn)N，試判斷直線MN與軌跡E的位置關(guān)系.解(1)設(shè)M(x，y)，則P(x,2y).∵點(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上，∴x2＋(2y)2＝4，即點(diǎn)M的軌跡E的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)當(dāng)直線PN的斜率不存在時(shí)，直線MN的方程為x＝2或x＝－2.顯然與軌跡E相切.當(dāng)直線PN的斜率存在時(shí)，設(shè)PN的方程為y＝kx＋t(k≠0).∵直線PN與圓O相切，∴eq\f(|t|,\r(k2＋1))＝2，即t2－4k2－4＝0.又∵直線MN的斜率為eq\f(k,2)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(t,k)，0))，∴直線MN的方程為y＝eq\f(k,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(t,k)))，即y＝eq\f(1,2)(kx＋t).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)kx＋t，,\f(x2,4)＋y2＝1，))得(1＋k2)x2＋2ktx＋t2－4＝0.∵Δ＝(2kt)2－4(1＋k2)(t2－4)＝－4(t2－4k2－4)＝0，∴直線MN與軌跡E相切.綜上可知，直線MN與軌跡E相切.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：30分鐘)11.動(dòng)點(diǎn)P在直線x＝1上運(yùn)動(dòng)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)P為直角邊，點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形OPQ，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是______________.答案兩條平行直線解析設(shè)Q(x，y)，P(1，y0)，由題意知OP＝OQ，且eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1＋y\o\al(2,0)，①,x＋y0y＝0，

②))將y0＝－eq\f(x,y)代入①得x2＋y2＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,y)))2，化簡即y2＝1，∴y＝±1，表示兩條平行直線.12.如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)M在AB上，且AM＝eq\f(1,3)AB，點(diǎn)P在平面ABCD上，且動(dòng)點(diǎn)P到直線A1D1的距離的平方與P到點(diǎn)M的距離的平方差為1，在平面直角坐標(biāo)系xAy中，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是____________.答案y2＝eq\f(2,3)x－eq\f(1,9)解析過P作PQ⊥AD于Q，再過Q作QH⊥A1D1于H，連結(jié)PH、PM，可證PH⊥A1D1，設(shè)P(x，y)，由PH2－PM2＝1，得x2＋1－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3)))2＋y2))＝1，化簡得y2＝eq\f(2,3)x－eq\f(1,9).13.(2015·