《專(zhuān)題01 集合、集合間的關(guān)系、集合的運(yùn)算》重難點(diǎn)突破與專(zhuān)題訓(xùn)練

《專(zhuān)題01集合、集合間的關(guān)系、集合的運(yùn)算》重難點(diǎn)突破一、知識(shí)結(jié)構(gòu)思維導(dǎo)圖二、學(xué)法指導(dǎo)與考點(diǎn)梳理1.集合的概念及其表示⑴.集合中元素的三個(gè)特征：①．確定性：給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了．②．互異性：一個(gè)集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的.③．無(wú)序性：即集合中的元素?zé)o順序,可以任意排列、調(diào)換。⑵.元素與集合的關(guān)系有且只有兩種：屬于（用符號(hào)“”表示）和不屬于（用符號(hào)“”表示）．⑶.集合常用的表示方法有三種：列舉法、Venn圖、描述法．(4).常見(jiàn)的數(shù)集及其表示符號(hào)名稱(chēng)自然數(shù)集(非負(fù)整數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集表示符號(hào)N或ZQR

集合間的基本關(guān)系關(guān)系自然語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言Venn圖子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，則x∈B)A?B(或B?A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個(gè)元素不在集合A中AB(或BA)集合相等集合A，B中元素完全相同或集合A，B互為子集A＝B【名師提醒】子集與真子集的區(qū)別與聯(lián)系：一個(gè)集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.集合之間的基本運(yùn)算如果一個(gè)集合包含了我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素，這樣的集合就稱(chēng)為全集，全集通常用字母U表示；集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集圖形符號(hào)A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}?UA＝{x|x∈U，且x?A}【名師提醒】1．若有限集A中有n個(gè)元素,則集合A的子集個(gè)數(shù)為2n,真子集的個(gè)數(shù)為2n－1，非空真子集個(gè).2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.3．奇數(shù)集：.4.德?摩根定律：①并集的補(bǔ)集等于補(bǔ)集的交集，即；②交集的補(bǔ)集等于補(bǔ)集的并集，即．【名師點(diǎn)睛】1.判斷一組對(duì)象能否組成集合，關(guān)鍵看該組對(duì)象是否滿(mǎn)足確定性，如果此組對(duì)象滿(mǎn)足確定性，就可以組成集合；否則，不能組成集合.同時(shí)還要注意集合中元素的互異性、無(wú)序性.2.集合中的元素具有三個(gè)特性，求解與集合有關(guān)的字母參數(shù)值(范圍)時(shí)，需借助集合中元素的互異性來(lái)檢驗(yàn)所求參數(shù)是否符合要求．3．解答含有字母的元素與集合之間關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，要有分類(lèi)討論的意識(shí)．4.利用集合的關(guān)系求參數(shù)的范圍問(wèn)題，常涉及兩個(gè)集合，其中一個(gè)為動(dòng)集合(含參數(shù))，另一個(gè)為靜集合(具體的)，解答時(shí)常借助數(shù)軸來(lái)建立變量間的關(guān)系，需特別注意端點(diǎn)問(wèn)題．5.求集合并集的兩種基本方法：（1）定義法：若集合是用列舉法表示的，可以直接利用并集的定義求解；（2）數(shù)形結(jié)合法：若集合是用描述法表示的由實(shí)數(shù)組成的數(shù)集，則可以借助數(shù)軸求解.6.求集合交集的方法為：（1）定義法，（2）數(shù)形結(jié)合法．（3）若A，B是無(wú)限連續(xù)的數(shù)集，多利用數(shù)軸來(lái)求解．但要注意，利用數(shù)軸表示不等式時(shí)，含有端點(diǎn)的值用實(shí)點(diǎn)表示，不含有端點(diǎn)的值用空心點(diǎn)表示．三、重難點(diǎn)題型突破考點(diǎn)1集合的概念及其表示歸納總結(jié)：與集合中的元素有關(guān)問(wèn)題的求解策略(1)確定集合的元素是什么，即集合是（數(shù)軸）數(shù)集、（平面直角坐標(biāo)系）點(diǎn)集還是其他類(lèi)型的集合．(2)看這些元素滿(mǎn)足什么限制條件．(3)根據(jù)限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)，要注意檢驗(yàn)集合是否滿(mǎn)足元素的互異性．例1.（1）（集合的確定性）下面給出的四類(lèi)對(duì)象中，能組成集合的是A．高一某班個(gè)子較高的同學(xué) B．比較著名的科學(xué)家 C．無(wú)限接近于4的實(shí)數(shù) D．到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的全體（2）．（集合的確定性）（多選題）考察下列每組對(duì)象，能構(gòu)成集合的是()A.中國(guó)各地最美的鄉(xiāng)村；B.直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)；C.不小于3的自然數(shù)；D.2018年第23屆冬季奧運(yùn)會(huì)金牌獲得者．【變式訓(xùn)練1】（集合的互異性）在集合，，中，的值可以是A．0 B．1 C．2 D．1或2【變式訓(xùn)練2】（集合的互異性）若，，，則A． B．0 C．1 D．0或1考點(diǎn)2元素與集合的關(guān)系(1)屬于：如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于集合A，記作a∈A.(2)不屬于：如果a不是集合A中的元素，就說(shuō)a不屬于集合A，記作a?A.(3)常見(jiàn)的數(shù)集及表示符號(hào)數(shù)集非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN*或N＋ZQR歸納總結(jié)：(1)判斷集合間的關(guān)系，要注意先對(duì)集合進(jìn)行化簡(jiǎn)，再進(jìn)行判斷，并且在描述關(guān)系時(shí)，要盡量精確．(2)已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系(要注意區(qū)間端點(diǎn)的取舍)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿(mǎn)足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來(lái)直觀(guān)解決這類(lèi)問(wèn)題．例2．（1）（元素與集合的關(guān)系）（多選題）下列關(guān)系中，正確的有（）A．?∪{0} B． C． D．（2）（元素個(gè)數(shù)問(wèn)題）集合，的元素個(gè)數(shù)為A．4 B．5 C．10 D．12例3.（單元素集合）若集合A＝{x|x2+ax+b＝x}中，僅有一個(gè)元素a，求a、b的值．【變式訓(xùn)練1】（1）（元素與集合的關(guān)系）下列關(guān)系中，正確的個(gè)數(shù)為①；②；③；④；⑤；⑥．A．6 B．5 C．4 D．3（2）（元素個(gè)數(shù)問(wèn)題）已知集合，2，3，4，，，，，，則集合中的元素個(gè)數(shù)為A．2 B．3 C．4 D．5【變式訓(xùn)練2】（二次函數(shù)與集合）設(shè)集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R}（1）當(dāng)A中元素個(gè)數(shù)為1時(shí)，求：a和A；（2）當(dāng)A中元素個(gè)數(shù)至少為1時(shí)，求：a的取值范圍；（3）求：A中各元素之和．考點(diǎn)3集合間的基本關(guān)系1.集合A中含有n個(gè)元素，則有(1)A的子集的個(gè)數(shù)有2n個(gè)．(2)A的非空子集的個(gè)數(shù)有2n－1個(gè)．(3)A的真子集的個(gè)數(shù)有2n－1個(gè)．(4)A的非空真子集的個(gè)數(shù)有2n－2個(gè)．2.空集是任何集合的子集，因此在解A?B(B≠?)的含參數(shù)的問(wèn)題時(shí)，要注意討論A＝?和A≠?兩種情況，前者常被忽視，造成思考問(wèn)題不全面．例4．（1）.（空集是任何非空集合的子集）已知集合,,若,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.（2）.（空集）如果，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 B． C． D．（3）（子集與真子集）已知集合，，，，則A． B．M?N C．N?M D．M∩N=?【變式訓(xùn)練1】．（1）（子集與真子集個(gè)數(shù)問(wèn)題）已知集合，若，則______；的子集有______個(gè).（2）若集合，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．，考點(diǎn)4集合的基本運(yùn)算1.由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合叫A與B的并集，記作A∪B；符號(hào)表示為A∪B＝{x|x∈A或x∈B}2．并集的性質(zhì)A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪?＝A，A?A∪B.3.對(duì)于兩個(gè)給定的集合A、B，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫A與B的交集，記作A∩B。符號(hào)為A∩B＝{x|x∈A且x∈B}。4.交集的性質(zhì)A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B?A.5、對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱(chēng)為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，記作?UA。符號(hào)語(yǔ)言：?UA＝{x|x∈U，且x?A}。歸納總結(jié)：集合基本運(yùn)算的求解規(guī)律(1)離散型數(shù)集或抽象集合間的運(yùn)算，常借用Venn圖求解．(2)集合中的元素若是連續(xù)的實(shí)數(shù)，常借助數(shù)軸求解，但是要注意端點(diǎn)值能否取到的情況．(3)根據(jù)集合運(yùn)算求參數(shù)，先把符號(hào)語(yǔ)言譯成文字語(yǔ)言，然后靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合求解．例5．(多選題)（1）已知，，且，則中的元素是（）A．-4 B．1C．13 D．（2）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，則A∩B＝（）A．{﹣2，1} B．{﹣1，2} C．{﹣2，﹣1} D．{1，2}（3）已知全集U＝R，M＝{x|x＜﹣1}，N＝{x|x（x+2）＜0}，則圖中陰影部分表示的集合是（）A．{x|﹣1≤x＜0} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|﹣2＜x＜﹣1} D．{x|x＜﹣1}（4）（多選題）已知集合，則CzAA．0 B．2 C．1 D．-2【變式訓(xùn)練1】．已知集合A＝{y|y＝x2﹣2x}，B＝{x|x2﹣x＜12}，C＝{x|2a﹣1＜x＜a}．（1）求A∩B；（2）若B∪C＝B，求a的取值范圍．【變式訓(xùn)練2】．已知M＝{x|﹣2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．（1）若a＝3，求M∪（?RN）．（2）若N?M，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．課堂定時(shí)訓(xùn)練（45分鐘）1．下面給出的四類(lèi)對(duì)象中，能組成集合的是A．高一某班個(gè)子較高的同學(xué) B．比較著名的科學(xué)家 C．無(wú)限接近于4的實(shí)數(shù) D．到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的全體2.集合，2，3，，當(dāng)時(shí)，若且，則稱(chēng)為的一個(gè)“孤立元素”，則中孤立元素的個(gè)數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．43.已知集合，，，，若，則A．1 B．2 C． D．4．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．5．已知集合A＝{x∈R|﹣2≤x≤5}，B＝{x∈R|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∪B＝A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．[2，3] B．[﹣3，3] C．（﹣∞，3] D．[﹣3，2]6.已知集合，B＝{x|x＜2}，則A∩B＝（）A．（2，4） B．（﹣2，4） C．（﹣2，2） D．（﹣2，2]7．已知集合，，則（）A． B． C． D．8．已知集合，則（）A． B． C． D．9．設(shè)全集為不大于20的素?cái)?shù)}，，，，則________，________.10．已知集合M滿(mǎn)足：{1，2}?M?{1，2，3，4，5}，寫(xiě)出集合M所有的可能情況.11．已知集合，，.（1）若，求；．（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.12.已知集合，，，且（1）求．（2）寫(xiě)出集合的所有子集．《專(zhuān)題01集合、集合間的關(guān)系、集合的運(yùn)算》重難點(diǎn)突破答案解析知識(shí)結(jié)構(gòu)思維導(dǎo)圖學(xué)法指導(dǎo)與考點(diǎn)梳理1.集合的概念及其表示⑴.集合中元素的三個(gè)特征：①．確定性：給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了．②．互異性：一個(gè)集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的.③．無(wú)序性：即集合中的元素?zé)o順序,可以任意排列、調(diào)換。⑵.元素與集合的關(guān)系有且只有兩種：屬于（用符號(hào)“”表示）和不屬于（用符號(hào)“”表示）．⑶.集合常用的表示方法有三種：列舉法、Venn圖、描述法．(4).常見(jiàn)的數(shù)集及其表示符號(hào)名稱(chēng)自然數(shù)集(非負(fù)整數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集表示符號(hào)N或ZQR集合間的基本關(guān)系關(guān)系自然語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言Venn圖子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，則x∈B)A?B(或B?A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個(gè)元素不在集合A中AB(或BA)集合相等集合A，B中元素完全相同或集合A，B互為子集A＝B【名師提醒】子集與真子集的區(qū)別與聯(lián)系：一個(gè)集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.集合之間的基本運(yùn)算如果一個(gè)集合包含了我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素，這樣的集合就稱(chēng)為全集，全集通常用字母U表示；集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集圖形符號(hào)A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}?UA＝{x|x∈U，且x?A}【名師提醒】1．若有限集A中有n個(gè)元素,則集合A的子集個(gè)數(shù)為2n,真子集的個(gè)數(shù)為2n－1，非空真子集個(gè).2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.3．奇數(shù)集：.4.德?摩根定律：①并集的補(bǔ)集等于補(bǔ)集的交集，即；②交集的補(bǔ)集等于補(bǔ)集的并集，即．【名師點(diǎn)睛】1.判斷一組對(duì)象能否組成集合，關(guān)鍵看該組對(duì)象是否滿(mǎn)足確定性，如果此組對(duì)象滿(mǎn)足確定性，就可以組成集合；否則，不能組成集合.同時(shí)還要注意集合中元素的互異性、無(wú)序性.2.集合中的元素具有三個(gè)特性，求解與集合有關(guān)的字母參數(shù)值(范圍)時(shí)，需借助集合中元素的互異性來(lái)檢驗(yàn)所求參數(shù)是否符合要求．3．解答含有字母的元素與集合之間關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，要有分類(lèi)討論的意識(shí)．4.利用集合的關(guān)系求參數(shù)的范圍問(wèn)題，常涉及兩個(gè)集合，其中一個(gè)為動(dòng)集合(含參數(shù))，另一個(gè)為靜集合(具體的)，解答時(shí)常借助數(shù)軸來(lái)建立變量間的關(guān)系，需特別注意端點(diǎn)問(wèn)題．5.求集合并集的兩種基本方法：（1）定義法：若集合是用列舉法表示的，可以直接利用并集的定義求解；（2）數(shù)形結(jié)合法：若集合是用描述法表示的由實(shí)數(shù)組成的數(shù)集，則可以借助數(shù)軸求解.6.求集合交集的方法為：（1）定義法，（2）數(shù)形結(jié)合法．（3）若A，B是無(wú)限連續(xù)的數(shù)集，多利用數(shù)軸來(lái)求解．但要注意，利用數(shù)軸表示不等式時(shí)，含有端點(diǎn)的值用實(shí)點(diǎn)表示，不含有端點(diǎn)的值用空心點(diǎn)表示．重難點(diǎn)題型突破考點(diǎn)1集合的概念及其表示歸納總結(jié)：與集合中的元素有關(guān)問(wèn)題的求解策略(1)確定集合的元素是什么，即集合是（數(shù)軸）數(shù)集、（平面直角坐標(biāo)系）點(diǎn)集還是其他類(lèi)型的集合．(2)看這些元素滿(mǎn)足什么限制條件．(3)根據(jù)限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)，要注意檢驗(yàn)集合是否滿(mǎn)足元素的互異性．例1.（1）（集合的確定性）下面給出的四類(lèi)對(duì)象中，能組成集合的是A．高一某班個(gè)子較高的同學(xué) B．比較著名的科學(xué)家 C．無(wú)限接近于4的實(shí)數(shù) D．到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的全體【答案】D【解析】選項(xiàng)A，B，C所描述的對(duì)象沒(méi)有一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，故不能構(gòu)成一個(gè)集合，選項(xiàng)D的標(biāo)準(zhǔn)唯一，故能組成集合．故選：D．（2）．（集合的確定性）（多選題）考察下列每組對(duì)象，能構(gòu)成集合的是()A.中國(guó)各地最美的鄉(xiāng)村；B.直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)；C.不小于3的自然數(shù)；D.2018年第23屆冬季奧運(yùn)會(huì)金牌獲得者．【答案】BCD【解析】A中“最美”標(biāo)準(zhǔn)不明確，不符合確定性，BCD中的元素標(biāo)準(zhǔn)明確，均可構(gòu)成集合，故選BCD【變式訓(xùn)練1】（集合的互異性）在集合，，中，的值可以是A．0 B．1 C．2 D．1或2【答案】A【解析】當(dāng)a＝0時(shí)，a2﹣a﹣1＝﹣1，a2﹣2a+2＝2，當(dāng)a＝1時(shí)，a2﹣a﹣1＝﹣1，a2﹣2a+2＝1，當(dāng)a＝2時(shí)，a2﹣a﹣1＝1，a2﹣2a+2＝2，由集合中元素的互異性知：選A．【變式訓(xùn)練2】（集合的互異性）若，，，則A． B．0 C．1 D．0或1【答案】B【答案】解：①若a2﹣a﹣1＝﹣1，則a2﹣a＝0，解得a＝0或a＝1，a＝1時(shí)，{2，a2﹣a﹣1，a2+1}＝{2，﹣1，2}，舍去，∴a＝0；②若a2+1＝﹣1，則a2＝﹣2，a無(wú)實(shí)數(shù)解；由①②知：a＝0．故選：B．考點(diǎn)2元素與集合的關(guān)系(1)屬于：如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于集合A，記作a∈A.(2)不屬于：如果a不是集合A中的元素，就說(shuō)a不屬于集合A，記作a?A.(3)常見(jiàn)的數(shù)集及表示符號(hào)數(shù)集非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN*或N＋ZQR歸納總結(jié)：(1)判斷集合間的關(guān)系，要注意先對(duì)集合進(jìn)行化簡(jiǎn)，再進(jìn)行判斷，并且在描述關(guān)系時(shí)，要盡量精確．(2)已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系(要注意區(qū)間端點(diǎn)的取舍)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿(mǎn)足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來(lái)直觀(guān)解決這類(lèi)問(wèn)題．例2．（1）（元素與集合的關(guān)系）（多選題）下列關(guān)系中，正確的有（）A．?∪{0} B． C． D．【答案】AB【解析】選項(xiàng)A:由空集是任何非空集合的真子集可知，本選項(xiàng)是正確的；選項(xiàng)B:是有理數(shù)，故是正確的；選項(xiàng)C:所有的整數(shù)都是有理數(shù)，故有，所以本選項(xiàng)是不正確的；選項(xiàng)D;由空集是任何集合的子集可知，本選項(xiàng)是不正確的，故本題選AB.（2）（元素個(gè)數(shù)問(wèn)題）集合，的元素個(gè)數(shù)為A．4 B．5 C．10 D．12【思路分析】根據(jù)題意，集合中的元素滿(mǎn)足x是整數(shù)，且12x+3是整數(shù)．由此列出x與y【解析】由題意，集合{x∈Z|y=12x+3∈Z}中的元素滿(mǎn)足x是整數(shù)，且x＝﹣15，﹣9，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，3，9；此時(shí)y的值分別為：﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，﹣6，﹣12，12，6，4，3，3，1，符合條件的x共有12個(gè)，故選：D．例3.（單元素集合）若集合A＝{x|x2+ax+b＝x}中，僅有一個(gè)元素a，求a、b的值．【答案】解：∵集合A＝{x|x2+ax+b＝x}中，僅有一個(gè)元素a，∴a2+a2+b＝a且△＝（a﹣1）2﹣4b＝0解得a＝，b＝．故a、b的值分別為，.【變式訓(xùn)練1】（1）（元素與集合的關(guān)系）下列關(guān)系中，正確的個(gè)數(shù)為①；②；③；④；⑤；⑥．A．6 B．5 C．4 D．3【思路分析】利用元素與集合的關(guān)系及實(shí)數(shù)集、有理數(shù)集、自然數(shù)集的性質(zhì)直接求解．【答案】解：由元素與集合的關(guān)系，得：在①中，5∈R，故①正確；在②中，13∈Q，故②正確；在③中，0∈{0}，故③錯(cuò)誤；在④中，0∈N在⑤中，π?Q，故⑤錯(cuò)誤；在⑥中，﹣3∈Z，故⑥正確．故選：D．（2）（元素個(gè)數(shù)問(wèn)題）已知集合，2，3，4，，，，，，則集合中的元素個(gè)數(shù)為A．2 B．3 C．4 D．5【思路分析】通過(guò)集合B，利用x∈A，y∈A，x＜y，x+y∈A，求出x的不同值，對(duì)應(yīng)y的值的個(gè)數(shù)，求出集合B中元素的個(gè)數(shù)．【解析】因?yàn)榧螦＝{1，2，3，4，5}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x＜y，x+y∈A}，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2或y＝3或y＝4；當(dāng)x＝2時(shí)y＝3；所以集合B中的元素個(gè)數(shù)為4．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查集合的元素與集合的關(guān)系，考查基本知識(shí)的應(yīng)用．【變式訓(xùn)練2】（二次函數(shù)與集合）設(shè)集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R}（1）當(dāng)A中元素個(gè)數(shù)為1時(shí)，求：a和A；（2）當(dāng)A中元素個(gè)數(shù)至少為1時(shí)，求：a的取值范圍；（3）求：A中各元素之和．【思路分析】（1）推導(dǎo)出a＝0或，由此能求出a和A．（2）當(dāng)A中元素個(gè)數(shù)至少為1時(shí)，a＝0或，由此能求出a的取值范圍．（3）當(dāng)a＝0時(shí)，A中元素之和為；當(dāng)a＜1且a≠0時(shí)，A中元素之和為；當(dāng)a＝1時(shí)，A中元素之和為﹣1；當(dāng)a＞1時(shí)，A中無(wú)元素．【答案】解：（1）∵集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R}，A中元素個(gè)數(shù)為1，∴a＝0或，解得a＝0，A＝{}或a＝1，A＝{﹣1}．當(dāng)A中元素個(gè)數(shù)至少為1時(shí)，a＝0或，解得a≤1，∴a的取值范圍是（﹣∞，1]．（3）當(dāng)a＝0時(shí)，A中元素之和為；當(dāng)a＜1且a≠0時(shí)，A中元素之和為；當(dāng)a＝1時(shí)，A中元素之和為﹣1；當(dāng)a＞1時(shí)，A中無(wú)元素．考點(diǎn)3集合間的基本關(guān)系1.集合A中含有n個(gè)元素，則有(1)A的子集的個(gè)數(shù)有2n個(gè)．(2)A的非空子集的個(gè)數(shù)有2n－1個(gè)．(3)A的真子集的個(gè)數(shù)有2n－1個(gè)．(4)A的非空真子集的個(gè)數(shù)有2n－2個(gè)．2.空集是任何集合的子集，因此在解A?B(B≠?)的含參數(shù)的問(wèn)題時(shí)，要注意討論A＝?和A≠?兩種情況，前者常被忽視，造成思考問(wèn)題不全面．例4．（1）.（空集是任何非空集合的子集）已知集合,,若,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.【答案】【解析】由可得：當(dāng),則，∴，當(dāng),則m應(yīng)滿(mǎn)足:,解得，綜上得;∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故答案為:.（2）.（空集）如果，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 B． C． D．【思路分析】由A＝?得不等式ax2﹣ax+1＜0的解集是空集，然后利用不等式進(jìn)行求解．【答案】解：因?yàn)锳＝{x|ax2﹣ax+1＜0}＝?，所以不等式ax2﹣ax+1＜0的解集是空集，當(dāng)a＝0，不等式等價(jià)為1＜0，無(wú)解，所以a＝0成立．當(dāng)a≠0時(shí)，要使ax2﹣ax+1＜0的解集是空集，則a＞0△綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍0≤a≤4．（3）（子集與真子集）已知集合，，，，則A． B．M?N C．N?M D．M∩N=?【思路分析】將集合M，N中的表達(dá)式形式改為一致，由N的元素都是M的元素，即可得出結(jié)論．【答案】M＝{x|x=k4+12，k∈Z}＝{x|x=N＝{x|x=k2+14，k∈Z}＝{x|x=∵k+2（k∈Z）為整數(shù)，而2k+1（k∈Z）為奇數(shù)，∴集合M、N的關(guān)系為N?M．故選：C．【變式訓(xùn)練1】．（1）（子集與真子集個(gè)數(shù)問(wèn)題）已知集合，若，則______；的子集有______個(gè).【答案】0或8【解析】∵集合，，∴或，解得或.的子集有個(gè).故答案為：0或，8.（2）若集合，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．，【解析】∵A＝{x|x2﹣2x+m＝0}＝?，∴方程x2﹣2x+m＝0無(wú)解，即△＝4﹣4m＜0，解得：m＞1，則實(shí)數(shù)m的范圍為（1，+∞），故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了空集的定義，性質(zhì)及運(yùn)算，熟練掌握空集的意義是解本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)4集合的基本運(yùn)算1.由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合叫A與B的并集，記作A∪B；符號(hào)表示為A∪B＝{x|x∈A或x∈B}2．并集的性質(zhì)A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪?＝A，A?A∪B.3.對(duì)于兩個(gè)給定的集合A、B，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫A與B的交集，記作A∩B。符號(hào)為A∩B＝{x|x∈A且x∈B}。4.交集的性質(zhì)A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B?A.5、對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱(chēng)為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，記作?UA。符號(hào)語(yǔ)言：?UA＝{x|x∈U，且x?A}。歸納總結(jié)：集合基本運(yùn)算的求解規(guī)律(1)離散型數(shù)集或抽象集合間的運(yùn)算，常借用Venn圖求解．(2)集合中的元素若是連續(xù)的實(shí)數(shù)，常借助數(shù)軸求解，但是要注意端點(diǎn)值能否取到的情況．(3)根據(jù)集合運(yùn)算求參數(shù)，先把符號(hào)語(yǔ)言譯成文字語(yǔ)言，然后靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合求解．例5．(多選題)（1）已知，，且，則中的元素是（）A．-4 B．1vC．13 D．【答案】ABD【解析】由已知得：12-12則，，,故選ABD.（2）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，則A∩B＝（）A．{﹣2，1} B．{﹣1，2} C．{﹣2，﹣1} D．{1，2}【答案】B【解析】∵A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}＝{﹣1，2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{﹣1，2}．故選：B．（3）已知全集U＝R，M＝{x|x＜﹣1}，N＝{x|x（x+2）＜0}，則圖中陰影部分表示的集合是（）A．{x|﹣1≤x＜0} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|﹣2＜x＜﹣1} D．{x|x＜﹣1}【答案】 A【解析】圖中陰影部分為N∩（?UM），∵M(jìn)＝{x|x＜﹣1}，∴?UM＝{x|x≥﹣1}，又N＝{x|x（x+2）＜0}＝{x|﹣2＜x＜0}，∴N∩（?UM）＝{x|﹣1≤x＜0}，故選：A．（4）（多選題）已知集合，則CzAA．0 B．2 C．1 D．-2【答案】AC【解析】由集合，解得：，∴，故答案選AC.【變式訓(xùn)練1】．已知集合A＝{y|y＝x2﹣2x}，B＝{x|x2﹣x＜12}，C＝{x|2a﹣1＜x＜a}．（1）求A∩B；（2）若B∪C＝B，求a的取值范圍．【解析】（1）集合A＝{y|y＝x2﹣2x}＝{y|y＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1}＝[﹣1，∞），B＝{x|x2﹣x＜12}＝{x|x2﹣x﹣12}＝{x|﹣3＜x＜4}＝（﹣3，4），∴A∩B＝[﹣1，4）；（2）由B∪C＝B，得C?B，又C＝{x|2a﹣1＜x＜a}，①當(dāng)C＝?時(shí)，2a﹣1≥a，解得a≥1；②當(dāng)C≠?時(shí)，應(yīng)滿(mǎn)足，解得﹣1≤a≤1；綜上，a的取值范圍是a≥﹣1．【變式訓(xùn)練2】．已知M＝{x|﹣2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．（1）若a＝3，求M∪（?RN）．（2）若N?M，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）當(dāng)a＝3時(shí)，N＝{x|4≤x≤5}，所以?RN＝{x|x＜4或x＞5}．所以M∪（?RN）＝R（2）①當(dāng)2a﹣1＜a+1，即a＜2時(shí)，N＝?，此時(shí)滿(mǎn)足N?M．②當(dāng)2a﹣1≥a+1，即a≥2時(shí)，N≠?，由N?M，得，即得﹣3≤a≤3，所以2≤a≤3．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，3]．課堂定時(shí)訓(xùn)練（45分鐘）1．下面給出的四類(lèi)對(duì)象中，能組成集合的是A．高一某班個(gè)子較高的同學(xué) B．比較著名的科學(xué)家 C．無(wú)限接近于4的實(shí)數(shù) D．到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的全體【答案】D【解析】選項(xiàng)A，B，C所描述的對(duì)象沒(méi)有一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，故不能構(gòu)成一個(gè)集合，選項(xiàng)D的標(biāo)準(zhǔn)唯一，故能組成集合．故選：D．2.集合，2，3，，當(dāng)時(shí)，若且，則稱(chēng)為的一個(gè)“孤立元素”，則中孤立元素的個(gè)數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】由孤立元素的定義知，1，2，3都不是A中孤立元素，5﹣1＝4?A且5+1＝6?A，則5是A的一個(gè)“孤立元素”，故選：A．3.已知集合，，，，若，則A．1 B．2 C． D．【答案】B【答案】∵A＝{1，2}，B＝{x|x2﹣（a+1）x+a＝0，a∈R}，若A＝B，則1，2是方程|x2﹣（a+1）x+a＝0得兩根，則1+2=a+11×2=a，即a4．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由集合，，所以，又集合，所以.故選C。5．已知集合A＝{x∈R|﹣2≤x≤5}，B＝{x∈R|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∪B＝A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．[2，3] B．[﹣3，3] C．（﹣∞，3] D．[﹣3，2]【答案】C【解析】∵A∪B＝A，∴B?A．又A＝{x∈R|﹣2≤x≤5}，B＝{x∈R|m+1≤x≤2m﹣1}，∴當(dāng)m+1＞2m﹣1，即m＜2時(shí)，B＝?，滿(mǎn)足B?A；當(dāng)m≥2時(shí)，要使B?A，則，即﹣1≤m≤3．∴2≤m≤3．綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，3]．故選：C．6.已知集合，B＝{x|x＜2}，則A∩B＝（）A．（2，4） B．（﹣2，4） C．（﹣2，2） D．（﹣2，2]【答案】C【解析】A＝{x|﹣2＜x＜4}；∴A∩B＝（﹣2，2）．故選：C．7．已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)榧?，，所以，故選B。8．已知集合，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，故選C。9．設(shè)全集為不大于20的素?cái)?shù)}，，，，則________，________.【答案】【解析】由題意，全集，，集合中含有，，集合中沒(méi)有，，，集合中沒(méi)有，，集合中含有，，，，，，故答案為：；.10．已知集合M滿(mǎn)足：{1，2}?M?{1，2，3，4，5}，寫(xiě)出集合M所有的可能情況.【答案】{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}【解析】由題意可以確定集合M必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一個(gè)，因此依據(jù)集合M的元素個(gè)數(shù)分類(lèi)如下：含有3個(gè)元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；含有4個(gè)元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；含有5個(gè)元素：{1，2，3，4，5}.故滿(mǎn)足條件的集合M為{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}.11．已知集合，，.（1）若，求；．（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）若時(shí)，，∴，由或，所以（2）由知當(dāng)時(shí)∴，當(dāng)時(shí)或∴或綜上：的取值范圍是.12.已知集合，，，且（1）求．（2）寫(xiě)出集合的所有子集．【解析】（1）∵﹣3∈A，則﹣3＝a﹣2或﹣3＝2a2+5a．∴a＝﹣1或a=-當(dāng)a＝﹣1時(shí)，a﹣2＝﹣3＝2a2+5a，集合A不滿(mǎn)足互異性，∴a＝﹣1（舍去），當(dāng)a=-32時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，故（2）由（1）知A＝{-7∴A的子集為：Φ，{-72}，{﹣3}，{12}，{-72，﹣3}，{﹣3，12}，{《專(zhuān)題01集合、集合間的關(guān)系、集合的運(yùn)算》專(zhuān)題訓(xùn)練【基礎(chǔ)鞏固】1．已知集合,則（）A． B． C． D．2．已知集合A=x?，A．9B．8C．5D．43．已知集合A={0，1，2}，則集合B=中元素的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．3 C．5 D．94．設(shè)M，P是兩個(gè)非空集合，定義M與P的差集M－P＝{x|x∈M且x?P}，則M－(M－P)等于()A．PB．MC．M∩PD．M∪P5．（多選題）已知集合A，B均為全集U={1,2,3，4，5，6，7}的子集，集合A={1,2,3A.{1,2,3，4} B.{3,7} C.{3,4，5，6} D.{3,46．已知集合，則（）A． B． C． D．7．集合的真子集的個(gè)數(shù)為()A．7 B．8 C．31 D．328．已知集合，，則（）A． B． C． D．9．已知集合，則（）A． B． C． D．10．已知集合，，若，則（）A．0 B．1C．2 D．0或1或2【能力提升】11．設(shè)全集U是自然數(shù)集N，集合A＝{x|x2＞4，x∈N}，B＝{0,2,3}，則圖中陰影部分所表示的集合是()A.{x|x＞2，x∈N}B.{x|x≤2，x∈N}C.{0,2}D.{1,2}12．（多選題）集合A={(x,y)||x|+|y|=a,a>0}，B={(x,y)||xy|+1=|x|+|y|}，若A?B是平A.a的值可為2B.a的值可為2C.a的值可為2+2D.a的值可為2-13．已知A＝{x|a－4＜x＜a＋4}，B＝{x|x＜－1或x＞5}．(1)若a＝1，求A∩B；(2)若A∪B＝R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．14．設(shè)集合，若A∩B=B，求的取值范圍．【高考真題】15．已知集合則（）A．B．C．D．16．設(shè)集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，則a=（）A．–4 B．–2 C．2 D．417．已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，則A∩B=（）A．B．{–3，–2，2，3）C．{–2，0，2}D．{–2，2}18．已知集合，則（）A．B．C．D．19．已知集合，，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．520．已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．621．已知集合，則=（）A．B．C． D．22．設(shè)集合A={x|x2-5x+6>0}，B={x|x-1<0}，則A∩B=（）A．(-∞，1)B．(-2，1)C．(-3，-1)D．(3，+∞)23．已知集合，，則A∩B=（）A．(–1，+∞) B．(–∞，2)C．(–1，2) D．《專(zhuān)題01集合、集合間的關(guān)系、集合的運(yùn)算》專(zhuān)題訓(xùn)練答案解析【基礎(chǔ)鞏固】1．已知集合,則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題可得，集合B中的不等式，又，，答案選C2．已知集合A=x?，A．9B．8C．5D．4【答案】A【解析】∵x2+y2≤3，∴x2≤3，∵3．已知集合A={0，1，2}，則集合B=中元素的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．3 C．5 D．9【答案】C【解析】；；．∴中的元素為共5個(gè)，故選C．4．設(shè)M，P是兩個(gè)非空集合，定義M與P的差集M－P＝{x|x∈M且x?P}，則M－(M－P)等于()A．P B．MC．M∩P D．M∪P【答案】C【解析】由題意，作出Venn圖，如圖所示：可得M－(M－P)=M∩P，故選C.5．（多選題）已知集合A，B均為全集U={1,2,3，4，5，6，7}的子集，集合A={1,2,3A.{1,2,3，4} B.{3,7} C.{3,4，5，6} D.{3,4【答案】CD【解析】由題意可得集合B中一定不能有1和2，結(jié)合選項(xiàng)可知應(yīng)選CD．故選CD．6．已知集合，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，，，所以，故選D。7．集合的真子集的個(gè)數(shù)為()A．7 B．8 C．31 D．32【答案】A【解析】，故真子集個(gè)數(shù)為：，故選A。8．已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解不等式，得，又，，故選C。9．已知集合，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知，則，故選C。10．已知集合，，若，則（）A．0 B．1C．2 D．0或1或2【答案】AB【解析】由，可知或，所以或1.故選AB.【能力提升】11．設(shè)全集U是自然數(shù)集N，集合A＝{x|x2＞4，x∈N}，B＝{0,2,3}，則圖中陰影部分所表示的集合是()A.{x|x＞2，x∈N} B.{x|x≤2，x∈N}C.{0,2} D.{1,2}【答案】C【解析】由題圖可知，圖中陰影部分所表示的集合是B∩(?UA)，?UA＝{x|x2≤4，x∈N}＝{x|－2≤x≤2，x∈N}＝{0,1,2}，∵B＝{0,2,3}，∴B∩(?UA)＝{0,2}，選C.12．集合A={(x,y)||x|+|y|=a,a>0}，B={(x,y)||xy|+1=|x|+|y|