《3.3冪函數(shù)》同步練習(xí)及答案（共五套）

《3.3冪函數(shù)》分層同步練習(xí)（一）基礎(chǔ)鞏固1．已知冪函數(shù)的圖象通過點(diǎn)，則該函數(shù)的解析式為（）A. B. C. D.2．在下列冪函數(shù)中，是偶函數(shù)且在(0，＋∞)上是增函數(shù)的是()A.y＝x－2 B. C. D.3．已知冪函數(shù)過點(diǎn)，則（）A． B． C． D．4．冪函數(shù)的圖象如圖所示，則的值為()A.－1 B.0C.1 D.25．設(shè)∈，則使函數(shù)y=的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)的所有的值為（）A．，1，3 B．，1 C．，3 D．1，36．冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則實(shí)數(shù)_______.7．已知冪函數(shù)的圖象過，那么在上的最大值為_____________。8．比較下列各題中兩個(gè)冪的值的大?。?1)2.3，2.4；(2)，；(3)(－0.31)，0.35.能力提升9．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．10．對冪函數(shù)有以下結(jié)論（1）的定義域是；（2）的值域是；（3）的圖象只在第一象限；（4）在上遞減；（5）是奇函數(shù)．則所有正確結(jié)論的序號是______.11．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求證：在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù).素養(yǎng)達(dá)成12．討論函數(shù)的定義域、奇偶性，并作出它的簡圖，根據(jù)圖象說明它的單調(diào)性．【答案解析】基礎(chǔ)鞏固1．已知冪函數(shù)的圖象通過點(diǎn)，則該函數(shù)的解析式為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)冪函數(shù)的解析式為.∵冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，∴，∴，∴該函數(shù)的解析式為.2．在下列冪函數(shù)中，是偶函數(shù)且在(0，＋∞)上是增函數(shù)的是()A.y＝x－2 B. C. D.【答案】D【解析】對于A，有f(－x)＝f(x)，是偶函數(shù)，但在(0，＋∞)上遞減，則A不滿足；對于B，定義域?yàn)閇0，＋∞)，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，不具有奇偶性，則B不滿足；對于C，有f(－x)＝－f(x)，為奇函數(shù)，則C不滿足；對于D，定義域R關(guān)于原點(diǎn)對稱，f(－x)＝f(x)，則為偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上遞增，則D滿足.故選:D.3．已知冪函數(shù)過點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)冪函數(shù)，∵過點(diǎn)，∴，∴，故選B.4．冪函數(shù)的圖象如圖所示，則的值為()A.－1 B.0C.1 D.2【答案】C【解析】由圖象上看，圖象不過原點(diǎn)，且在第一象限下降，故，即且；又從圖象看，函數(shù)是偶函數(shù)，故為負(fù)偶數(shù)，將分別代入，可知當(dāng)時(shí)，，滿足要求．故選C.5．設(shè)∈，則使函數(shù)y=的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)的所有的值為（）A．，1，3 B．，1 C．，3 D．1，3【答案】D【解析】當(dāng)＝﹣1時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，不滿足定義域?yàn)镽；當(dāng)＝1時(shí)，函數(shù)y＝的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)，滿足要求；當(dāng)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≥0}，不滿足定義域?yàn)镽；當(dāng)＝3時(shí)，函數(shù)y＝的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)，滿足要求；故選：D．6．冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則實(shí)數(shù)_______.【答案】2【解析】函數(shù)是冪函數(shù)，解得：或，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象不關(guān)于軸對稱，舍去，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，∴實(shí)數(shù)．7．已知冪函數(shù)的圖象過，那么在上的最大值為_____________?！敬鸢浮俊窘馕觥吭O(shè)，因?yàn)榈膱D象過，，解得，在上是單調(diào)遞增的在上的最大值為，故答案為。8．比較下列各題中兩個(gè)冪的值的大?。?1)2.3，2.4；(2)，；(3)(－0.31)，0.35.【答案】(1)2.3<2.4.(2)>；(3)(－0.31)<0.35.【解析】(1)∵y＝為R上的增函數(shù)，又2.3<2.4，∴2.3<2.4.(2)∵y＝為(0，＋∞)上的減函數(shù)，又<，∴()>().(3)∵y＝為R上的偶函數(shù)，∴＝.又函數(shù)y＝為[0，＋∞)上的增函數(shù)，且0.31<0.35，∴0.31<0.35，即(－0.31)<0.35.能力提升9．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由圖像可知，，得，故選：A..10．對冪函數(shù)有以下結(jié)論（1）的定義域是；（2）的值域是；（3）的圖象只在第一象限；（4）在上遞減；（5）是奇函數(shù)．則所有正確結(jié)論的序號是______.【答案】（2）（3）（4）【解析】解：對冪函數(shù)，以下結(jié)論（1）的定義域是，因此不正確；（2）的值域是，正確；（3）的圖象只在第一象限，正確；（4）在上遞減，正確；（5）是非奇非偶函數(shù)，因此不正確．則所有正確結(jié)論的序號是（2）（3）（4）．故答案為：（2）（3）（4）．11．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求證：在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù).【答案】（1）；（2）見解析.【解析】（1）∵的圖象經(jīng)過點(diǎn)，∴，即，解得.（2）證明：由（1）可知，，任取，且，則，∴，即.∴在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù).素養(yǎng)達(dá)成12．討論函數(shù)的定義域、奇偶性，并作出它的簡圖，根據(jù)圖象說明它的單調(diào)性．【答案】定義域R；偶函數(shù)；圖象略；在區(qū)間(-∞,0]上是減函數(shù)，[0,+∞)上是增函數(shù)．【解析】函數(shù)定義域?yàn)镽，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，作出函數(shù)圖象可知，在單減，在[0,+∞)上單增.《3.3冪函數(shù)》分層同步練習(xí)（二）鞏固基礎(chǔ)1.下列結(jié)論中，正確的是()A．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(0,0)，(1,1)B．冪函數(shù)的圖象可以出現(xiàn)在第四象限C．當(dāng)冪指數(shù)α取1,3，eq\f(1,2)時(shí)，冪函數(shù)y＝xα是增函數(shù)D．當(dāng)α＝－1時(shí)，冪函數(shù)y＝xα在其整個(gè)定義域上是減函數(shù)2．設(shè)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(3,4))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up15(eq\f(3,4))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))eq\s\up15(eq\f(1,2))，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>b>c B．c>a>bC．a(chǎn)<b<c D．b>c>a3．函數(shù)y＝xeq\f(5,3)的圖象大致是圖中的()4．下列是y＝x的圖象的是()5．已知f(x)＝x，若0<a<b<1，則下列各式中正確的是()A．f(a)<f(b)<f(eq\f(1,a))<f(eq\f(1,b))B．f(eq\f(1,a))<f(eq\f(1,b))<f(b)<f(a)C．f(a)<f(b)<f(eq\f(1,b))<f(eq\f(1,a))D．f(eq\f(1,a))<f(a)<f(eq\f(1,b))<f(b)6．給出以下結(jié)論：①當(dāng)α＝0時(shí)，函數(shù)y＝xα的圖象是一條直線；②冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(0,0)，(1,1)兩點(diǎn)；③若冪函數(shù)y＝xα的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則y＝xα在定義域內(nèi)y隨x的增大而增大；④冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限，但可能在第二象限．則正確結(jié)論的序號為________．函數(shù)y＝3xα－2的圖象過定點(diǎn)________．8．已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(\r(2),2)))，試求出此函數(shù)的解析式，判斷奇偶性．綜合應(yīng)用9.如圖所示，曲線C1與C2分別是函數(shù)y＝xm和y＝xn在第一象限內(nèi)的圖象，則下列結(jié)論正確的是()A．n<m<0B．m<n<0C．n>m>0D．m>n>010．若冪函數(shù)y＝(m2＋3m＋3)xm2＋2m－3的圖象不過原點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對稱，則()A．m＝－2 B．m＝－1C．m＝－2或m＝－1 D．－3≤m≤－111．已知冪函數(shù)f(x)＝(n2＋2n－2)x(n∈Z)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則n的值為()A．－3 B．1C．2 D．1或212.已知冪函數(shù)f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，且f(－x)＝f(x)，則m可能等于()A．0 B．1C．2 D．313.已知當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，函數(shù)y＝xα的圖象恒在直線y＝x的上方，則α的取值范圍是________．14．若(a＋1)＜(3－2a)，則a的取值范圍是________．15.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x2)＋1.(1)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的單調(diào)性并證明；(2)求f(x)在區(qū)間[1,3]上的最大值和最小值．16．已知冪函數(shù)y＝f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，滿足：①是區(qū)間(0，＋∞)上的增函數(shù)；②對任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.求同時(shí)滿足①，②的冪函數(shù)f(x)的解析式，并求x∈[0,3]時(shí)f(x)的值域．17.已知冪函數(shù)f(x)＝xm－3(m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，求滿足(a＋1)＜(3－2a)的a的取值范圍．【參考答案】1.C[解析]當(dāng)冪指數(shù)α＝－1時(shí)，冪函數(shù)y＝x－1的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；因?yàn)樗械膬绾瘮?shù)在區(qū)間(0，＋∞)上都有定義，且y＝xα(α∈R)>0，所以冪函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限，故B錯(cuò)誤；當(dāng)α>0時(shí)，y＝xα是增函數(shù)，故C正確；當(dāng)α＝－1時(shí)，y＝x－1在區(qū)間(－∞，0)，(0，＋∞)上是減函數(shù)，但在整個(gè)定義域上不是減函數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選C.2.B[解析]構(gòu)造冪函數(shù)y＝xeq\s\up15(eq\f(3,4))，x>0，由該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，知1>a>b；又c＝2eq\s\up15(eq\f(1,2))>1，知a<c.故c>a>b.B[解析]∵函數(shù)y＝xeq\s\up15(eq\f(5,3))是奇函數(shù)，且α＝eq\f(5,3)>1，∴函數(shù)在R上單調(diào)遞增．故選B.4.B解析y＝x＝eq\r(3,x2)，∴x∈R，y≥0，f(－x)＝eq\r(3,－x2)＝eq\r(3,x2)＝f(x)，即y＝x是偶函數(shù)，又∵eq\f(2,3)<1，∴圖象上凸．5.C解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又0<a<b<eq\f(1,b)<eq\f(1,a)，故選C.6.④解析當(dāng)α＝0時(shí)，函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)閧x|x≠0，x∈R}，故①不正確；當(dāng)α<0時(shí)，函數(shù)y＝xα的圖象不過(0,0)點(diǎn)，故②不正確；冪函數(shù)y＝x－1的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，但其在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，故③不正確．④正確．7.(1,1)[解析]依據(jù)冪函數(shù)y＝xα性質(zhì)，x＝1時(shí)，y＝1恒成立，所以函數(shù)y＝3xα－2中，x＝1時(shí)，y＝1恒成立，即過定點(diǎn)(1,1)．8.[解]設(shè)y＝xα(α∈R)，∵圖象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(\r(2),2)))，∴2α＝eq\f(\r(2),2)，α＝－eq\f(1,2)，∴f(x)＝xeq\s\up15(－eq\f(1,2)).∵函數(shù)y＝xeq\s\up15(－eq\f(1,2))＝eq\f(1,\r(x))，定義域?yàn)?0，＋∞)，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．9.A[解析]由圖象可知，兩函數(shù)在第一象限內(nèi)遞減，故m<0，n<0.當(dāng)x＝2時(shí)，2m>2n，所以n<m<010.A[解析]根據(jù)冪函數(shù)的概念，得m2＋3m＋3＝1，解得m＝－1或m＝－2.若m＝－1，則y＝x－4，其圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以不符合題意，舍去；若m＝－2，則y＝x－3，其圖象不過原點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對稱．B解析由于f(x)為冪函數(shù)，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，經(jīng)檢驗(yàn)只有n＝1適合題意，故選B.B[解析]∵f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，∴3m－5<0(m∈N)，則m＝0或m＝1，當(dāng)m＝0時(shí)，f(x)＝x－5是奇函數(shù)，不合題意．當(dāng)m＝1時(shí)，f(x)＝x－2是偶函數(shù)，因此m＝1，故選B.13.(1，＋∞)[解析]由冪函數(shù)的圖象特征知α>1.14.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,2)))解析(a＋1)＜(3－2a)?(eq\f(1,a＋1))＜(eq\f(1,3－2a))，函數(shù)y＝x在[0，＋∞)上是增函數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1＞0，,3－2a＞0，,a＋1＞3－2a，))解得eq\f(2,3)＜a＜eq\f(3,2).15.解(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)．證明如下：設(shè)x1，x2是區(qū)間(0，＋∞)上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝(eq\f(1,x\o\al(2,1))＋1)－(eq\f(1,x\o\al(2,2))＋1)＝eq\f(x1＋x2x2－x1,x1x22)，∵x2>x1>0，∴x1＋x2>0，x2－x1>0，(x1x2)2>0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上減函數(shù)．(2)由(1)知函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,3]上是減函數(shù)，所以當(dāng)x＝1時(shí)，取最大值，最大值為f(1)＝2，當(dāng)x＝3時(shí)，取最小值，最小值為f(3)＝eq\f(10,9).16.[解]因?yàn)閙∈{x|－2<x<2，x∈Z}，所以m＝－1,0,1.因?yàn)閷θ我鈞∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)．當(dāng)m＝－1時(shí)，f(x)＝x2只滿足條件①而不滿足條件②；當(dāng)m＝1時(shí)，f(x)＝x0條件①、②都不滿足．當(dāng)m＝0時(shí)，f(x)＝x3條件①、②都滿足，且在區(qū)間[0,3]上是增函數(shù)．所以x∈[0,3]時(shí)，函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0,27]．17.解∵函數(shù)在(0，＋∞)上遞減，∴m－3＜0，解得m＜3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，∴m－3是偶數(shù)，而2－3＝－1為奇數(shù)，1－3＝－2為偶數(shù)，∴m＝1.而f(x)＝x在(－∞，0)，(0，＋∞)上均為減函數(shù)，∴(a＋1)＜(3－2a)等價(jià)于a＋1＞3－2a＞0或0＞a＋1＞3－2a或a＋1＜0＜3－2a.解得a＜－1或eq\f(2,3)＜a＜eq\f(3,2).故a的取值范圍為{a|a＜－1或eq\f(2,3)＜a＜eq\f(3,2)}．《3.3冪函數(shù)》同步練習(xí)（三）[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．已知冪函數(shù)f(x)＝k·xα的圖象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(2)))，則k＋α等于()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2) D．2A[∵冪函數(shù)f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的圖象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(2)))，∴k＝1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α＝eq\r(2)，即α＝－eq\f(1,2)，∴k＋α＝eq\f(1,2).]2.如圖所示，給出4個(gè)冪函數(shù)的圖象，則圖象與函數(shù)的大致對應(yīng)是()A．①y＝xeq\s\up5(\f(1,3))，②y＝x2，③y＝xeq\s\up5(\f(1,2))，④y＝x－1B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝xeq\s\up5(\f(1,2))，④y＝x－1C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝xeq\s\up5(\f(1,2))，④y＝x－1D．①y＝x3，②y＝xeq\s\up5(\f(1,2))，③y＝x2，④y＝x－1B[因?yàn)閥＝x3的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)，故應(yīng)為圖①；y＝x2為開口向上的拋物線且頂點(diǎn)為原點(diǎn)，應(yīng)為圖②.同理可得出選項(xiàng)B正確．]3．冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)(3,eq\r(3))，則它的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．[－1，＋∞) B．[0，＋∞)C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)B[設(shè)冪函數(shù)為f(x)＝xα，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過點(diǎn)(3,eq\r(3))，所以f(3)＝3α＝eq\r(3)＝3eq\s\up5(\f(1,2))，解得α＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝xeq\s\up5(\f(1,2))，所以冪函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，＋∞)，故選B.]4．設(shè)α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，1，\f(1,2)，3))，則使函數(shù)y＝xα的定義域是R，且為奇函數(shù)的所有α的值是()A．1,3 B．－1,1C．－1,3 D．－1,1,3A[當(dāng)α＝－1時(shí)，y＝x－1的定義域是{x|x≠0}，且為奇函數(shù)；當(dāng)α＝1時(shí)，函數(shù)y＝x的定義域是R，且為奇函數(shù)；當(dāng)α＝eq\f(1,2)時(shí)，函數(shù)y＝xeq\s\up5(\f(1,2))的定義域是{x|x≥0}，且為非奇非偶函數(shù)；當(dāng)α＝3時(shí)，函數(shù)y＝x3的定義域是R且為奇函數(shù)．故選A.]5．冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象過點(diǎn)(2,4)，那么函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．(－2，＋∞) B．[－1，＋∞)C．[0，＋∞) D．(－∞，－2)C[由題意得4＝2α，即22＝2α，所以α＝2.所以f(x)＝x2.所以二次函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[0，＋∞)．]二、填空題6．已知冪函數(shù)f(x)＝xm的圖象經(jīng)過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(1,3)))，則f(6)＝________.eq\f(1,36)[依題意eq\f(1,3)＝(eq\r(3))m＝3eq\s\up5(eq\f(m,2))，所以eq\f(m,2)＝－1，m＝－2，所以f(x)＝x－2，所以f(6)＝6－2＝eq\f(1,36).]7．若冪函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)x2m－3在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m－1[∵f(x)＝(m2－m－1)x2m－3∴m2－m－1＝1，∴m＝2或m＝－1.當(dāng)m＝2時(shí)，f(x)＝x，在(0，＋∞)上為增函數(shù)，不合題意，舍去；當(dāng)m＝－1時(shí)，f(x)＝x－5，符合題意．綜上可知，m＝－1.]8．若冪函數(shù)y＝xeq\s\up5(eq\f(m,n))(m，n∈N*且m，n互質(zhì))的圖象如圖所示，則下列說法中正確的是________．①m，n是奇數(shù)且eq\f(m,n)<1；②m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且eq\f(m,n)>1；③m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且eq\f(m,n)<1；④m，n是偶數(shù)，且eq\f(m,n)>1.③[由題圖知，函數(shù)y＝xeq\s\up5(eq\f(m,n))為偶函數(shù)，m為偶數(shù)，n為奇數(shù)，又在第一象限向上“凸”，所以eq\f(m,n)<1，選③.]三、解答題9．已知函數(shù)f(x)＝(m2＋2m)·xeq\s\up5(m2＋m－1)，m為何值時(shí)，函數(shù)f(x)是：(1)正比例函數(shù)；(2)反比例函數(shù)；(3)冪函數(shù)．[解](1)若函數(shù)f(x)為正比例函數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝1，,m2＋2m≠0，))∴m＝1.(2)若函數(shù)f(x)為反比例函數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝－1，,m2＋2m≠0，))∴m＝－1.(3)若函數(shù)f(x)為冪函數(shù)，則m2＋2m＝1，∴m＝－1±eq\r(2).10．已知冪函數(shù)y＝f(x)經(jīng)過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,8))).(1)試求函數(shù)解析式；(2)判斷函數(shù)的奇偶性并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．[解](1)由題意，得f(2)＝2α＝eq\f(1,8)，即α＝－3，故函數(shù)解析式為f(x)＝x－3.(2)∵f(x)＝x－3＝eq\f(1,x3)，∴要使函數(shù)有意義，則x≠0，即定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對稱．∵f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，∴該冪函數(shù)為奇函數(shù)．當(dāng)x＞0時(shí)，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知f(x)＝x－3在(0，＋∞)上為減函數(shù)，∵函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，∴在(－∞，0)上也為減函數(shù)，故其單調(diào)減區(qū)間為(－∞，0)，(0，＋∞)．[等級過關(guān)練]1．函數(shù)y＝x－2在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的最大值是()A.eq\f(1,4) B．－1C．4 D．－4C[函數(shù)y＝x－2在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上為減函數(shù)，所以當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)有最大值4.]2．給出冪函數(shù)：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝eq\r(x)；⑤f(x)＝eq\f(1,x).其中滿足條件feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))>eq\f(fx1＋fx2,2)(x1>x2>0)的函數(shù)的個(gè)數(shù)是()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)A[①函數(shù)f(x)＝x的圖象是一條直線，故當(dāng)x1>x2>0時(shí)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＝eq\f(fx1＋fx2,2)；②函數(shù)f(x)＝x2的圖象是凹形曲線，故當(dāng)x1>x2>0時(shí)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))<eq\f(fx1＋fx2,2)；③在第一象限，函數(shù)f(x)＝x3的圖象是凹形曲線，故當(dāng)x1>x2>0時(shí)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))<eq\f(fx1＋fx2,2)；④函數(shù)f(x)＝eq\r(x)的圖象是凸形曲線，故當(dāng)x1>x2>0時(shí)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))>eq\f(fx1＋fx2,2)；⑤在第一象限，函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)的圖象是一條凹形曲線，故當(dāng)x1>x2>0時(shí)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))<eq\f(fx1＋fx2,2).故僅有函數(shù)f(x)＝eq\r(x)滿足當(dāng)x1>x2>0時(shí)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))>eq\f(fx1＋fx2,2).故選A.]3．冪函數(shù)f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，且f(－x)＝f(x)，則m1[∵冪函數(shù)f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，∴3m－5＜0，即m＜eq\f(5,3)，又m∈N，∴m＝0,1；∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)．當(dāng)m＝0時(shí)，f(x)＝x－5是奇函數(shù)；當(dāng)m＝1時(shí)，f(x)＝x－2是偶函數(shù)，故m＝1.]4．已知冪函數(shù)f(x)＝xeq\s\up5(\f(1,2))，若f(10－2a)<f(a＋1)，則a的取值范圍是________．3<a≤5[因?yàn)閒(x)＝xeq\s\up5(\f(1,2))＝eq\r(x)(x≥0)，易知f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，又f(10－2a)<f(a所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1≥0，,10－2a≥0，,a＋1>10－2a，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥－1，,a≤5，,a>3，))所以3<a≤5.]5．已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，函數(shù)g(x)＝(x－2)f(x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x≤1))，求函數(shù)g(x)的最大值與最小值．[解]因?yàn)閒(x)的圖象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，所以eq\f(1,2)＝2α，所以α＝－1，所以f(x)＝x－1，所以g(x)＝(x－2)·x－1＝eq\f(x－2,x)＝1－eq\f(2,x).又g(x)＝1－eq\f(2,x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上是增函數(shù)，所以g(x)min＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－3，g(x)max＝g(1)＝－1.《3.3冪函數(shù)》同步練習(xí)（三）一、選擇題1．如圖是冪函數(shù)y＝xm和y＝xn在第一象限內(nèi)的圖象，則()A.－1<n<0,0<m<1 B.n<－1,0<m<1C.－1<n<0，m>1 D.n<－1，m>12．若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則它的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)3．已知，則A． B．C． D．4．下列結(jié)論中，正確的是()A.冪函數(shù)的圖象都通過點(diǎn)(0,0)，(1,1)B.冪函數(shù)的圖象可以出現(xiàn)在第四象限C.當(dāng)冪指數(shù)α取1,3，時(shí)，冪函數(shù)y＝xα是增函數(shù)D.當(dāng)冪指數(shù)α＝－1時(shí)，冪函數(shù)y＝xα在定義域上是減函數(shù)5．在下列四個(gè)圖形中，y＝x的圖像大致是()A. B. C. D.6．若冪函數(shù)y＝(m2－3m＋3)xm－2的圖像不過原點(diǎn)，則m的取值范圍為()A.1≤m≤2 B.m＝1或m＝2C.m＝2 D.m＝1二、填空題7．已知冪函數(shù)f（x）的部分對應(yīng)值如下表：x1f（x）1則不等式f（|x|）≤2的解集是___________．8．已知冪函數(shù)f(x)＝x(m∈Z)的圖像與x軸，y軸都無交點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)f(x)的解析式是________．9．若冪函數(shù)y＝xα的圖像經(jīng)過點(diǎn)(8，4)，則函數(shù)y＝xα的值域是________.10．已知冪函數(shù)f(x)＝，若f(a+1)<f(10?2a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．三、解答題11．已知函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m為何值時(shí)，f(x)：(1)是冪函數(shù)；(2)是正比例函數(shù)；(3)是反比例函數(shù)；(4)是二次函數(shù)．12．比較下列各題中兩個(gè)冪的值的大?。?1)2.3，2.4；(2)，；(3)(－0.31)，0.35.【答案解析】一、選擇題1．如圖是冪函數(shù)y＝xm和y＝xn在第一象限內(nèi)的圖象，則()A.－1<n<0,0<m<1 B.n<－1,0<m<1C.－1<n<0，m>1 D.n<－1，m>1【答案】B【解析】由題圖知，在上是增函數(shù)，在上為減函數(shù)，，又當(dāng)時(shí)，的圖象在的下方，的圖象在的下方，，從而，故選B.2．若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則它的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)【答案】D【解析】本題主要考查的是冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)。設(shè)冪函數(shù)為，因?yàn)閳D像過，所以。由冪函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)。又為偶函數(shù)，所以在上是增函數(shù)。應(yīng)選D。3．已知，則A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)閍＝2＝16，b＝4＝16，c＝25，且冪函數(shù)y＝x在R上單調(diào)遞增，指數(shù)函數(shù)y＝16x在R上單調(diào)遞增，所以b<a<c.故選A.4．下列結(jié)論中，正確的是()A.冪函數(shù)的圖象都通過點(diǎn)(0,0)，(1,1)B.冪函數(shù)的圖象可以出現(xiàn)在第四象限C.當(dāng)冪指數(shù)α取1,3，時(shí)，冪函數(shù)y＝xα是增函數(shù)D.當(dāng)冪指數(shù)α＝－1時(shí)，冪函數(shù)y＝xα在定義域上是減函數(shù)【答案】C【解析】當(dāng)冪指數(shù)α＝－1時(shí)，冪函數(shù)y＝x－1的圖象不通過原點(diǎn)，故選項(xiàng)A不正確；因?yàn)樗械膬绾瘮?shù)在區(qū)間(0，＋∞)上都有定義，且y＝xα(α∈R)，y>0，所以冪函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限，故選B不正確；當(dāng)α＝－1時(shí)，y＝x－1在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)上是減函數(shù)，但在它的定義域上不是減函數(shù)，故選項(xiàng)D不正確．故選C.5．在下列四個(gè)圖形中，y＝x的圖像大致是()A. B. C. D.【答案】D【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)，是減函數(shù)．故選D.6．若冪函數(shù)y＝(m2－3m＋3)xm－2的圖像不過原點(diǎn)，則m的取值范圍為()A.1≤m≤2 B.m＝1或m＝2C.m＝2 D.m＝1【答案】D【解析】由冪函數(shù)的圖像不過原點(diǎn)，可得，解得，，故選D.二、填空題7．已知冪函數(shù)f（x）的部分對應(yīng)值如下表：x1f（x）1則不等式f（|x|）≤2的解集是___________．【答案】[–4，4]【解析】由表中數(shù)據(jù)知＝，∴α＝，∴f(x)＝，∴|x|≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4,故填{x|－4≤x≤4}.8．已知冪函數(shù)f(x)＝x(m∈Z)的圖像與x軸，y軸都無交點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)f(x)的解析式是________．【答案】f(x)＝x－1【解析】∵函數(shù)的圖像與x軸，y軸都無交點(diǎn)，∴m2－1<0，解得－1<m<1；∵圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，且m∈Z，∴m＝0，∴f(x)＝x－1.9．若冪函數(shù)y＝xα的圖像經(jīng)過點(diǎn)(8，4)，則函數(shù)y＝xα的值域是______.【答案】[0，＋∞)【解析】冪函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，解得函數(shù)的值域?yàn)?10．已知冪函數(shù)f(x)＝，若f(a+1)<f(10?2a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】(3，5)【解析】f(x)＝＝eq\f(1,\r(x))(x>0)，易知f(x)在(0，+∞)上為減函數(shù)，又f(a+1)<f(10?2a)，∴解得∴3<a<5.三、解答題11．已知函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m為何值時(shí)，f(x)：(1)是冪函數(shù)；(2)是正比例函數(shù)；(3)是反比例函數(shù)；(4)是二次函數(shù)．【答案】(1)m＝2或m＝－1.(2)m＝－.(3)m＝－.(4)m＝－1.【解析】(1)∵f(x)是冪函數(shù)，故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.(2)若f(x)是正比例函數(shù)，則－5m－3＝1，解得m＝－.此時(shí)m2－m－1≠0，故m＝－.(3)若f(x)是反比例函數(shù)，則－5m－3＝－1，則m＝－，此時(shí)m2－m－1≠0，故m＝－.(4)若f(x)是二次函數(shù)，則－5m－3＝2，即m＝－1，此時(shí)m2－m－1≠0，故m＝－1.12．比較下列各題中兩個(gè)冪的值的大小：(1)2.3，2.4；(2)，；(3)(－0.31)，0.35.【答案】(1)2.3<2.4.(2)>；(3)(－0.31)<0.35.【解析】(1)∵y＝為R上的增函數(shù)，又2.3<2.4，∴2.3<2.4.(2)∵y＝為(0，＋∞)上的減函數(shù)，又<，∴()>().(3)∵y＝為R上的偶函數(shù)，∴＝.又函數(shù)y＝為[0，＋∞)上的增函數(shù)，且0.31<0.35，∴0.31<0.35，即(－0.31)<0.35.《3.3冪函數(shù)》同步練習(xí)（四）一．選擇題1．給出下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是冪函數(shù)的有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)2．冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則()A．8B．6C．4D．23．已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則()A．1B．2C．1或2D．34．函數(shù)的圖象是（）A．B．C．D．5．如圖是冪函數(shù)的部分圖像，已知取這四個(gè)值，則于曲線相對應(yīng)的依次為（）A． B．C． D．6．已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn),則的值域是()A． B．