探究無蓋長方體的最大容積

思維作業(yè)在七年級上冊的數(shù)學書中，有一個課題叫做“探究無蓋長方體的最大容積”，大致內(nèi)容是：一張紙如何剪能讓它折起來之后的無蓋長方體的體積（也就是容積）最大。學習過后，思索很久，得出以下結(jié)論。如何剪一張紙才能讓它折起來之后體積最大，說明白了也就是怎么樣在這張紙的四個角處剪相同的正方形才能讓其體積最大，在其四個角之處剪的正方形的邊長也就是折起來之后的長方體的高。如果設減去的小長方形的邊長為x(即長方體的高為x)，那張紙的長為a，寬為b，那么長方體的長就是（a—2x），寬就是（b—2x），因此四個小正方形的邊長不能大于等于這張紙的長和寬。今天要研究的是減去的四個小正方形的邊長是否與那張紙的長寬有關(guān)。（所有數(shù)值精確到0.1，因為有些四個小正方形的邊長可能會是循環(huán)小數(shù)，除下來的比值也可能除不盡，故四舍五入到0.1）第一張紙長寬的比值為1:1，也就是正方形，為了保險起見，試兩組數(shù)據(jù)，一組邊長為50cm，另一組邊長為100cm。用excel來做。正方形邊長為50cm高長寬體積0.149.849.8248.0040.249.649.6492.0320.349.449.4732.1080.449.249.2968.2560.549491200.50.648.848.81428.8640.748.648.61653.3720.848.448.41874.0480.948.248.22090.916……7.435.235.29168.8967.535359187.57.634.834.89203.9047.734.634.69218.1327.834.434.49230.2087.934.234.29240.1568343492488.133.833.89253.7648.233.633.69257.4728.333.433.49259.1488.433.233.29258.8168.533339256.58.632.832.89252.2248.732.632.69246.0128.832.432.49237.8888.932.232.29227.8769323292169.131.831.89202.2849.231.631.69186.7529.331.431.49169.4289.431.231.29150.336……22.94.24.2403.956234436823.13.83.8333.56423.23.63.6300.67223.33.43.4269.34823.43.23.2239.61623.533211.523.62.82.8185.02423.72.62.6160.21223.82.42.4137.08823.92.22.2115.676上表省略了一大部分，標紅字處是它體積的最大值。8.3cm約是在其四個角之處剪的正方形的邊長的最大值（使折成長方體后體積最大）。8.3÷50=0.166=16.6％正方形邊長為100cm16.7cm約是在其四個角之處剪的正方形的邊長的最大值（使折成長方體后體積最大）。16．7÷100=0.167=16.7％第二張紙長寬的比值為2:1，為了保險起見，試兩組數(shù)據(jù)，一組長為200cm，寬為100cm，另一組長為100cm長為200cm，寬為100cm。21.1cm約是在其四個角之處剪的正方形的邊長的最大值（使折成長方體后體積最大）。21.1÷200=0.1055=10.55％21.1÷100=0.211=21.1%(10.55%+21.1%)÷2=0.15825≈0.16=16%長為100cm，寬為50cm。 10.6cm約是在其四個角之處剪的正方形的邊長的最大值（使折成長方體后體積最大）。10.6÷100=0.106=10.6%10.6÷50=0.212=21.2%（10.6%+21.2%）÷2=0.159≈0.16=16%第三張紙長寬的比值為3:1，為了保險起見，試兩組數(shù)據(jù)，一組長為300cm，寬為100cm，另一組長為120cm，寬為3長為300cm，寬為100cm。22.6cm22.6÷300≈0.075=7.5%22.6÷100=0.226=22.6%（7.5%+22.6%）÷2=0.1505≈15%長為120cm，寬為30cm7cm約是在其四個角之處剪的正方形的邊長的最大值（使折成長方體后體積最大）。7÷120≈0.058=5.8%7÷30≈0.233=23.3%（5.8%+23.3%）÷2≈0.15=15%僅僅用1:1,2:1,3:1來舉例，通過以上的計算，用在其四個角之處剪的正方形的邊長除以這個長方形的長、寬，最后把除得的商的平均數(shù)求出【如果設減去的小長方形的邊長為x(即長方體的高為x)，那張紙的長為a，寬為b，則就是?(x/a+x/b)】，發(fā)現(xiàn)平均數(shù)在15%~17%之間浮動，紙的比例如何變都不影響。所以我們之后就可以用這一規(guī)律來剪一張紙才能讓它折起來之后體積最大，算法是：0.5（x/a+x/b）=16%x/a+x/b=032%ab(x/a+x/b)=32%abbx+ax=32%ab