北師大版數(shù)學(xué)必修5課后習(xí)題2-1-1正弦定理

第二章DIERZHANG解三角形§1正弦定理與余弦定理1.1正弦定理課后篇鞏固探究A組1.在△ABC中,若sinAa=cosBb,A.30° B.45° C.60° D.90°解析:因?yàn)閟inAa=sin所以cosB=sinB,從而tanB=1,又0°<B<180°,所以B=45°.答案:B2.在△ABC中,若B=45°,C=60°,c=1,則最短邊的邊長(zhǎng)是()A.63 B.62 C.1解析:由已知得A=75°,所以B最小,故最短邊是b.由csinC=bsin答案:A3.在△ABC中,若b=8,c=83,S△ABC=163,則A等于()A.30° B.60°C.30°或150° D.60°或120°解析:由三角形面積公式得12×8×83·sinA=163于是sinA=12,所以A=30°或A=150°答案:C4.下列條件判斷三角形解的情況,正確的是()A.a=8,b=16,A=30°有兩解B.b=9,c=20,B=60°有一解C.a=15,b=2,A=90°無(wú)解D.a=30,b=25,A=150°有一解解析:對(duì)于A,sinB=basinA=1,所以B=90°,有一解對(duì)于B,sinC=cbsinB=1093>對(duì)于C,sinB=basinA=215又A=90°,所以有一解;對(duì)于D,sinB=basinA=512<1,又所以有一解.答案:D5.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若A∶B=1∶2,且a∶b=1∶3,則cos2B的值是()A.12 B.12 C.3解析:由已知得ab=sinAsinB=sinAsin2A=sinA2sinAcosA答案:A6.在△ABC中,若a=2,A=45°,則△ABC的外接圓半徑為.

解析:因?yàn)?R=asinA=2sin45°答案:17.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知A=π6,a=1,b=3,則B=解析:由正弦定理得asinA=bsinB,即1sinπ6=3sinB,解得sin答案:π8.導(dǎo)學(xué)號(hào)33194034在△ABC中,若sinA=2sinBcosC,sin2A=sin2B+sin2C,則△ABC的形狀是.

解析:由sin2A=sin2B+sin2C,利用正弦定理,得a2=b2+c2,故△ABC是直角三角形,且A=90°,所以B+C=90°,B=90°C,所以sinB=cosC.由sinA=2sinBcosC,可得1=2sin2B,所以sin2B=12,sinB=22,所以B=45°,C=所以△ABC為等腰直角三角形.答案:等腰直角三角形9.在△ABC中,sin(CA)=1,sinB=13(1)求sinA的值;(2)設(shè)AC=6,求△ABC的面積.解(1)由sin(CA)=1,π<CA<π,知C=A+π2又A+B+C=π,所以2A+B=π2即2A=π2B,0<A<π故cos2A=sinB,即12sin2A=13,sinA=3(2)由(1)得cosA=63,sinC=sinA+π又由正弦定理,得BCsinA=ACsinB,所以S△ABC=12AC·BC·sin=12AC·BC·cosA=3210.導(dǎo)學(xué)號(hào)33194035在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,角A,B,C成等差數(shù)列.(1)求cosB的值;(2)邊a,b,c成等比數(shù)列,求sinAsinC的值.解(1)因?yàn)榻茿,B,C成等差數(shù)列,所以2B=A+C.又A+B+C=π,所以B=π3,所以cosB=1(2)因?yàn)檫卆,b,c成等比數(shù)列,所以b2=ac,根據(jù)正弦定理得sin2B=sinAsinC,所以sinAsinC=sin2B=sinπB組1.已知在△ABC中,a=x,b=2,B=45°,若三角形有兩解,則x的取值范圍是()A.x>2 B.x<2C.2<x<22 D.2<x<23解析:由題設(shè)條件可知x>2,xsin45°答案:C2.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.若3a=2b,則2sin2B-A.19 B.13 C.1解析:因?yàn)?a=2b,所以b=32由正弦定理可知2sin答案:D3.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知a=23,c=22,1+tanAtanB=2cA.π6 B.π4 C.π4解析:由1+tanAtanB=2cb得sin(A+B)cosAsinB=2sinCsinB,從而cosA=12,所以A=π3,由正弦定理得答案:B4.設(shè)a,b,c三邊分別是△ABC中三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊,則直線xsin(πA)+ay+c=0與bxycosπ2-B+sinC=0的位置關(guān)系是A.平行 B.重合C.垂直 D.相交但不垂直解析:由已知得k1=sinAa,k2=bsinB,因?yàn)閍sinA=bsinB,所以k1·k2=答案:C5.導(dǎo)學(xué)號(hào)33194036已知在銳角三角形ABC中,A=2B,a,b,c所對(duì)的角分別為A,B,C,則ab的取值范圍是.

解析:在銳角三角形ABC中,A,B,C均小于90°,所以0°<B<90由正弦定理得ab=sinAsinB=故ab的取值范圍是(2,答案:(2,6.在△ABC中,已知sinB·sinC=cos2A2,A=120°,a=12,則△ABC的面積為解析:因?yàn)閟inB·sinC=cos2A2,所以sinB·sinC=cosA+12,所以2sinBsinC=又因?yàn)锳+B+C=π,所以cosA=cos(πBC)=cos(B+C)=cosB·cosC+sinB·sinC,所以2sinBsinC=cosB·cosC+sinB·sinC+1,所以cosB·cosC+sinB·sinC=cos(BC)=1.因?yàn)锽,C為△ABC的內(nèi)角,所以B=C.因?yàn)锳=120°,所以B=C=30°.由正弦定理得,b=asinBsinA所以S△ABC=12absinC=12×12×43×1答案:1237.導(dǎo)學(xué)號(hào)33194037△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若a2=b(b+c),求證:A=2B.證明由已知及正弦定理得,sin2A=sin2B+sinB·sinC,因?yàn)锳+B+C=π,所以sinC=sin(A+B),所以sin2A=sin2B+sinB·sin(A+B),所以sin2Asin2B=sinB·sin(A+B).因?yàn)閟in2Asin2B=sin2A(sin2B+cos2B)sin2B(sin2A+cos2A)=sin2Acos2Bcos2Asin2B=(sinAcosB+cosAsinB)(sinAcosBcosAsinB)=sin(A+B)·sin(AB),所以sin(A+B)·sin(AB)=sinB·sin(A+B).因?yàn)锳,B,C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角,所以sin(A+B)≠0,所以sin(AB)=sinB,所以只能有AB=B,即A=2B.8.導(dǎo)學(xué)號(hào)33194038在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C所對(duì)的邊,已知cosB=a2c(1)判斷△ABC的形狀;(2)若sinB=33,b=3,求△ABC的面積解(1)因?yàn)閏osB=a2所以cosB=sinA2sinC,所以sinA=2cos又sinA=sin[π(B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,所以sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC.所以sinBc