廣西防城港市防城中學(xué)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)（文）試卷

防城港市防城中學(xué)2020年秋季期10月高三數(shù)學(xué)（文科）月考試題一．選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．設(shè)集合，則（）A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1） D．（﹣∞，1]2．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則＝（）A．2 B．1 C． D．3．等比數(shù)列中，，則與的等比中項(xiàng)是（）A．±4 B．4 C． D．4．△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠B＝60°，則cosC＝（）A． B． C． D．5．已知向量與，則“”是“共線且方向相反”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．按如圖所示的程序框圖運(yùn)行后，輸出的結(jié)果是63，則判斷框中的整數(shù)M的值是（）A．5 B．6 C．7 D．87．在空間中，a、b、c是三條不同的直線，α、β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中的真命題是（）A．若a⊥c，b⊥c，則a∥b B．若a?α，b?β，α⊥β，則a⊥b C．若a∥α，b∥β，α∥β，則a∥b D．若α∥β，a?α，則a∥β8．設(shè)連續(xù)拋擲骰子兩次所得的點(diǎn)數(shù)構(gòu)成點(diǎn)，則點(diǎn)落在圓內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．9．函數(shù)的圖象可能是（）A． B． C． D．10．已知，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a11．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過(guò)A且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則C的離心率為（）A． B． C． D．12．定義在R上的奇函數(shù)滿足，且在[0，1）上單調(diào)遞減，若方程在[0，1）上有實(shí)數(shù)根，則方程在區(qū)間[﹣1，11]上所有實(shí)根之和是（）A．30 B．14 C．12 D．6二．填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．函數(shù)的定義域?yàn)?14．若x，y滿足則的最大值為．15．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線過(guò)點(diǎn)，則＝．16．已知，若不等式對(duì)一切x∈R恒成立，則的最大值為．三．解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必答題，每道試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答）17．（本小題滿分12分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，設(shè)（1）求角的大小；（2）若，求．18．（本小題滿分12分）運(yùn)動(dòng)計(jì)步已經(jīng)成為一種新時(shí)尚．某單位統(tǒng)計(jì)了職工一天行走步數(shù)（單位：百步），繪制出如下頻率分布直方圖：（1）求直方圖中a的值，并由頻率分布直方圖估計(jì)該單位職工一天步行數(shù)的中位數(shù)；（2）若該單位有職工200人，試估計(jì)職工一天行走步數(shù)不大于13000的人數(shù)；（3）在（2）的條件下，該單位從行走步數(shù)大于15000的3組職工中用分層抽樣的方法選取6人參加遠(yuǎn)足拉練活動(dòng)，再?gòu)?人中選取2人擔(dān)任領(lǐng)隊(duì)，求這兩人均來(lái)自區(qū)間（150，170]的概率．19．（本小題滿分12分）如圖，直四棱柱的底面是菱形，，E，M分別是的中點(diǎn)．（1）證明：點(diǎn)在平面內(nèi)；（2）已知在上，若,求線段的長(zhǎng)．20．（本小題滿分12分）已知橢圓C：的離心率為，且橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為．（1）求橢圓C的方程；（2）斜率為的動(dòng)直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，求證無(wú)論直線如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T（1，0）．21．（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù).（1）討論單調(diào)性；（2）若；對(duì)于任意的，使得恒成立，求的取值范圍．22．（本小題滿分10分）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線的參數(shù)方程是（t為參數(shù)）．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為．（Ⅰ）求圓C的直角坐標(biāo)系下的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）已知與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且，求的普通方程．23．（本小題滿分10分）已知函數(shù)（1）時(shí)，求不等式的解集；（2）若函數(shù)的圖象恒在直線y＝x的圖象的上方（無(wú)公共點(diǎn)），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．防城港市防城中學(xué)2020年秋季期10月高三數(shù)學(xué)（文科）月考試題參考答案與試題解析一．選擇題（共12小題）1．設(shè)集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，則M∪N＝（）A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1） D．（﹣∞，1]【分析】求解一元二次方程化簡(jiǎn)M，求解對(duì)數(shù)不等式化簡(jiǎn)N，然后利用并集運(yùn)算得答案．【解答】解：由M＝{x|x2＝x}＝{0，1}，N＝{x|lgx≤0}＝（0，1]，得M∪N＝{0，1}∪（0，1]＝[0，1]．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了并集及其運(yùn)算，考查了對(duì)數(shù)不等式的解法，是基礎(chǔ)題．2．若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則|z|＝（）A．2 B．1 C． D．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：＝＝i，故|z|＝，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)求模問(wèn)題，熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．等比數(shù)列{an}中，，則a4與a8的等比中項(xiàng)是（）A．±4 B．4 C． D．【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a6．再利用a4a8＝，即可得出a4與a8的等比中項(xiàng)．【解答】解：∵，∴a6＝a2×q4＝×24＝4．又a4a8＝＝16．∴a4與a8的等比中項(xiàng)是±4．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與性質(zhì)、等比中項(xiàng)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠B＝60°，則cosC＝（）A． B． C． D．【分析】由已知及正弦定理可得sinC＝＝，又AB＜AC，利用大邊對(duì)大角可得C為銳角，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求得cosC得值．【解答】解：∵AB＝2，AC＝3，∠B＝60°，∴由正弦定理可得：sinC＝＝＝，又∵AB＜AC，C為銳角，∴cosC＝＝．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，大邊對(duì)大角，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．5．已知向量與，則“k＝±2”是“共線且方向相反”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算可得，k＝±2，得到共線，方向相同或相反；反之，共線且方向相反，得到k＝﹣2，則k＝±2．【解答】解：由，，且共線，得k2﹣4＝0，解得k＝±2．當(dāng)k＝2時(shí)，，，共線且方向相同；當(dāng)k＝﹣2時(shí)，，＝，共線且方向相反．∴“k＝±2”是“共線且方向相反”的必要不充分條件．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分必要條件的判定，考查向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．6．按如圖所示的程序框圖運(yùn)行后，輸出的結(jié)果是63，則判斷框中的整數(shù)M的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】由圖知，每次進(jìn)入循環(huán)體后，S的值被施加的運(yùn)算是乘以2加上1，由此運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行計(jì)算，經(jīng)過(guò)運(yùn)算后輸出的結(jié)果是63，從而得解．【解答】解：由圖知運(yùn)算規(guī)則是對(duì)S＝2S+1，執(zhí)行程序框圖，可得A＝1，S＝1滿足條件A≤M，第一次進(jìn)入循環(huán)體后S＝2×1+1＝3，滿足條件A≤M，第二次進(jìn)入循環(huán)體后S＝2×3+1＝7，滿足條件A≤M，第三次進(jìn)入循環(huán)體后S＝2×7+1＝15，滿足條件A≤M，第四次進(jìn)入循環(huán)體后S＝2×15+1＝31，滿足條件A≤M，第五次進(jìn)入循環(huán)體后S＝2×31+1＝63，由于A的初值為1，每進(jìn)入一次循環(huán)體其值增大1，第五次進(jìn)入循環(huán)體后A＝5．故判斷框中的整數(shù)M的值應(yīng)為5，這樣就可保證循環(huán)體只能被運(yùn)行五次．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)，已知運(yùn)算規(guī)則與最后運(yùn)算結(jié)果，求運(yùn)算次數(shù)的一個(gè)題．是算法中一種常見的題型，屬于基礎(chǔ)題．7．在空間中，a、b、c是三條不同的直線，α、β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中的真命題是（）A．若a⊥c，b⊥c，則a∥b B．若a?α，b?β，α⊥β，則a⊥b C．若a∥α，b∥β，α∥β，則a∥b D．若α∥β，a?α，則a∥β【分析】由空間中直線與直線的位置關(guān)系判定A；由空間中平面與平面垂直的定義及性質(zhì)判斷B；由直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)判斷C；由平面與平面、直線與平面平行的定義判斷D．【解答】解：對(duì)于A，若a⊥c，b⊥c，則a∥b或a與b相交或a與b異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若a?α，b?β，α⊥β，則a∥b或a與b相交或a與b異面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若a∥α，b∥β，α∥β，則a∥b或a與b異面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若α∥β，a?α，則a∥β，故D正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定及其應(yīng)用，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題．8．選D9．函數(shù)f（x）＝x?ln|x|的圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】判斷函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)，利用特殊點(diǎn)的位置排除選項(xiàng)即可．【解答】解：函數(shù)f（x）＝x?ln|x|是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A，C；當(dāng)x＝時(shí)，y＝，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在x軸下方，排除B；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的圖象的判斷，函數(shù)的奇偶性以及特殊點(diǎn)的位置是判斷函數(shù)的圖象的常用方法．10．已知a＝30.2，b＝log64，c＝log32，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】a＝30.2＞1，利用換底公式可得：b＝log64＝，c＝log32＝，由于1＜log26＜log29，即可得出大小關(guān)系．【解答】解：∵a＝30.2＞1，b＝log64＝，c＝log32＝＝，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，則a＞b＞c，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．11．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過(guò)A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為（）A． B． C． D．【分析】求得直線AP的方程：根據(jù)題意求得P點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程，即可求得橢圓的離心率．【解答】解：由題意可知：A（﹣a，0），F(xiàn)1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），直線AP的方程為：y＝（x+a），由∠F1F2P＝120°，|PF2|＝|F1F2|＝2c，則P（2c，c），代入直線AP：c＝（2c+a），整理得：a＝4c，∴題意的離心率e＝＝．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)，直線方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．12．定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（2﹣x）＝f（x），且在[0，1）上單調(diào)遞減，若方程f（x）＝﹣1在[0，1）上有實(shí)數(shù)根，則方程f（x）＝1在區(qū)間[﹣1，11]上所有實(shí)根之和是（）A．30 B．14 C．12 D．6【分析】根據(jù)條件可得出f（x）的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱，f（x）的周期為4，從而可考慮f（x）的一個(gè)周期，利用[﹣1，3]，根據(jù)f（x）在[0，1）上是減函數(shù)可得出f（x）在（1，2]上是增函數(shù)，f（x）在（﹣1，0）上是減函數(shù)，在[2，3）上是增函數(shù)，然后根據(jù)f（x）＝﹣1在[0，1）上有實(shí)數(shù)根，可判斷該實(shí)數(shù)根是唯一的．并可判斷f（x）＝﹣1在一個(gè)周期[﹣1，3]內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并得這兩實(shí)數(shù)根和為2，從而得出f（x）＝﹣1在區(qū)間[﹣1，11]這三個(gè)周期內(nèi)上有6個(gè)實(shí)數(shù)根，和為30．【解答】解：由f（2﹣x）＝f（x）知函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，∵f（2﹣x）＝f（x），f（x）是R上的奇函數(shù)，∴f（﹣x）＝f（x+2）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝f（x），∴f（x）的周期為4，考慮f（x）的一個(gè)周期，例如[﹣1，3]，由f（x）在[0，1）上是減函數(shù)知f（x）在（1，2]上是增函數(shù)，f（x）在（﹣1，0]上是減函數(shù)，f（x）在[2，3）上是增函數(shù)，對(duì)于奇函數(shù)f（x）有f（0）＝0，f（2）＝f（2﹣2）＝f（0）＝0，故當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）＜f（0）＝0，當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，f（x）＜f（2）＝0，當(dāng)x∈（﹣1，0）時(shí)，f（x）＞f（0）＝0，當(dāng)x∈（2，3）時(shí)，f（x）＞f（2）＝0，方程f（x）＝﹣1在[0，1）上有實(shí)數(shù)根，則這實(shí)數(shù)根是唯一的，因?yàn)閒（x）在（0，1）上是單調(diào)函數(shù)，則由于f（2﹣x）＝f（x），故方程f（x）＝﹣1在（1，2）上有唯一實(shí)數(shù)，在（﹣1，0）和（2，3）上f（x）＞0，則方程f（x）＝﹣1在（﹣1，0）和（2，3）上沒(méi)有實(shí)數(shù)根，從而方程f（x）＝﹣1在一個(gè)周期內(nèi)有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)x∈[﹣1，3]，方程f（x）＝﹣1的兩實(shí)數(shù)根之和為x+2﹣x＝2，當(dāng)x∈[﹣1，11]，方程f（x）＝﹣1的所有6個(gè)實(shí)數(shù)根之和為x+2﹣x+4+x+4+2﹣x+x+8+2﹣x+8＝2+8+2+8+2+8＝30．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由f（2a﹣x）＝f（x）可判斷f（x）關(guān)于x＝a對(duì)稱，周期函數(shù)的定義，增函數(shù)和減函數(shù)的定義，考查了計(jì)算和推理能力，屬于難題．二．填空題（共4小題）13．14．若x，y滿足則z＝x+2y的最大值為2．【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，由直線方程可知，要使z最大，則直線在y軸上的截距最大，結(jié)合可行域可知當(dāng)直線z＝x+2y過(guò)點(diǎn)B時(shí)z最大，求出B的坐標(biāo)，代入z＝x+2y得答案．【解答】解：由足約束條件作出可行域如圖，由z＝x+2y，得y＝﹣+．要使z最大，則直線y＝﹣+的截距最大，由圖可知，當(dāng)直線y＝﹣+．過(guò)點(diǎn)A時(shí)截距最大．聯(lián)立，解得，∴A（0，1），∴z＝x+2y的最大值為0+2×1＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，解答的關(guān)鍵是正確作出可行域，是中檔題．15．已知函數(shù)f（x）＝ax3+x+1的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線過(guò)點(diǎn)（2，7），則a＝1．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線的方程經(jīng)過(guò)的點(diǎn)求解即可．【解答】解：函數(shù)f（x）＝ax3+x+1的導(dǎo)數(shù)為：f′（x）＝3ax2+1，f′（1）＝3a+1，而f（1）＝a+2，切線方程為：y﹣a﹣2＝（3a+1）（x﹣1），因?yàn)榍芯€方程經(jīng)過(guò)（2，7），所以7﹣a﹣2＝（3a+1）（2﹣1），解得a＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程的求法，考查計(jì)算能力．16．已知f（x）＝，若不等式f（x﹣2）≥f（x）對(duì)一切x∈R恒成立，則a的最大值為﹣．【分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，分別討論x的取值范圍，利用參數(shù)分離法求出a的范圍即可得到結(jié)論．【解答】解：∵不等式f（x﹣2）≥f（x）對(duì)一切x∈R恒成立，∴若x≤0，則x﹣2≤﹣2．則不等式f（x﹣2）≥f（x）等價(jià)為，﹣2（x﹣2）≥﹣2x，即4≥0，此時(shí)不等式恒成立，若0＜x≤2，則x﹣2≤0，則不等式f（x﹣2）≥f（x）等價(jià)為，﹣2（x﹣2）≥ax2+x，即ax2≤4﹣3x，則a≤＝﹣，設(shè)h（x）＝﹣＝4（﹣）2﹣，∵0＜x≤2，∴≥，則h（x）≥﹣，∴此時(shí)a≤﹣，若x＞2，則x﹣2＞0，則f（x﹣2）≥f（x）等價(jià)為，a（x﹣2）2+（x﹣2）≥ax2+x，即4a（1﹣x）≥2，∵x＞2，∴﹣x＜﹣2，1﹣x＜﹣1，則不等式等價(jià)，4a≤＝﹣即2a≤﹣則g（x）＝﹣在x＞2時(shí)，為增函數(shù)，∴g（x）＞g（2）＝﹣1，即2a≤﹣1，則a≤﹣，故a的最大值為﹣，方法2：作出函數(shù)f（x）和f（x﹣2）的圖象，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x﹣2）≥f（x）對(duì)一切x∈R不恒成立，當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）＝﹣2x，x≤0，f（x﹣2）＝﹣2（x﹣2），則f（x﹣2過(guò)定點(diǎn)（2，0），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝ax2+x的兩個(gè)零點(diǎn)為x＝0和x＝﹣，要使不等式f（x﹣2）≥f（x）對(duì)一切x∈R恒成立，則只需要﹣≤2，得a≤﹣，即a的最大值為﹣，故答案為：﹣【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想，結(jié)合參數(shù)分離法進(jìn)行求解即可．三．解答題（共7小題）18．運(yùn)動(dòng)計(jì)步已經(jīng)成為一種新時(shí)尚．某單位統(tǒng)計(jì)了職工一天行走步數(shù)（單位：百步），繪制出如下頻率分布直方圖：（1）求直方圖中a的值，并由頻率分布直方圖估計(jì)該單位職工一天步行數(shù)的中位數(shù)；（2）若該單位有職工200人，試估計(jì)職工一天行走步數(shù)不大于13000的人數(shù)；（3）在（2）的條件下，該單位從行走步數(shù)大于15000的3組職工中用分層抽樣的方法選取6人參加遠(yuǎn)足拉練活動(dòng)，再?gòu)?人中選取2人擔(dān)任領(lǐng)隊(duì)，求這兩人均來(lái)自區(qū)間（150，170]的概率．【分析】（1）由頻率和為1，列方程求出a的值，再利用中位數(shù)兩邊頻率相等，求出中位數(shù)的值；（2）由頻率×樣本容量求出對(duì)應(yīng)的頻數(shù)即可；（3）根據(jù)分層抽樣原理抽取6人，利用列舉法求出基本事件數(shù)，計(jì)算所求的概率值．【解答】解：（1）由題意，得0.002×20+0.006×20+0.008×20+a×20+0.010×20+0.008×20+0.002×20+0.002×20＝1，解得a＝0.012；設(shè)中位數(shù)為110+x，則0.002×20+0.006×20+0.008×20+0.012x＝0.5，解得x＝15，所以中位數(shù)是125；（2）由200×（0.002×20+0.006×20+0.008×20+0.012×20）＝112，所以估計(jì)職工一天步行數(shù)不大于13000步的人數(shù)為112人；（3）在區(qū)間（150，170]中有200×0.008×20＝32人，在區(qū)間（170，190]中有200×0.002×20＝8人，在區(qū)間（190，210]中有200×0.002×20＝8人，按分層抽樣抽取6人，則從（150，170]中抽取4人，（170，190]中抽取1人，（190，210]中抽取1人；設(shè)從（150，170]中抽取職工為a、b、c、d，從（170，190]中抽取職工為E，從（190，210]中抽取職工為F，則從6人中抽取2人的情況有ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF共15種情況，它們是等可能的，其中滿足兩人均來(lái)自區(qū)間（150，170]的有ab、ac、ad、bc、bd、cd共有6種情況，所以P＝＝；所以兩人均來(lái)自區(qū)間（150，170]的概率為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了頻率分布直方圖與古典概型的概率計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．20．已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的離心率為，且橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為2．（1）求橢圓C的方程；（2）斜率為k的動(dòng)直線I與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)S（﹣，0）在直線l上，求證無(wú)論直線l如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T（1，0）．【分析】（1）根據(jù)題意，列式即可得a＝，c＝1，根據(jù)b2＝a2﹣c2＝1，進(jìn)而解得橢圓方程；（2）根據(jù)題意，可得直線l的方程為：y＝k（x+），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，通過(guò)?＝0，進(jìn)而證明無(wú)論直線l如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T（1，0）．【解答】解：（1）由題可知，解得，∵b2＝a2﹣c2＝1，∴橢圓C的方程為：+x2＝1．（2）證明：由題，直線l的方程為：y＝k（x+），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則代入橢圓方程+x2＝1，整理得（k2+2）x2+k2x+＝0．∵點(diǎn)S（﹣，0）在橢圓內(nèi)，此方程必有兩個(gè)實(shí)根，，∴?＝（x1﹣1，y1）?（x2﹣1，y2）＝（x1﹣1）（x2﹣1）+k（x1+）?k（x2+）＝（k2+1）x1x2+（k2﹣3）（x1+x2）+（k2+9）＝[（k2+1）（k2﹣18）﹣2k2（k2﹣3）+（k2+9）（k2+2）]＝0，∴⊥，∴以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T（1，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用，向量法與橢圓的結(jié)合應(yīng)用，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化的思想與計(jì)算能力，屬于綜合題．21．設(shè)函數(shù)f（x）＝lnx﹣ax2+a（a∈R）．（1）討論f（x）單調(diào)性；（2）若；對(duì)于任意的x∈（1，+∞），使得f（x）＜g（x）恒成立，求a的取值范圍．【分析】（1）求導(dǎo)，分a≤0及a＞0兩種情況討論即可；（2）構(gòu)造函數(shù)，依題意，h（x）＞0在x∈（1，+∞）恒成立，求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），，當(dāng)a≤0時(shí)，1﹣2ax2＞0，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上遞增，當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）＝0，解得，易知，當(dāng)時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；（2）f（x）＜g（x）恒成立，即恒成立，即恒成立，令，則，∵h(yuǎn)（1）＝0，h（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），若h′（1）＜0，則必存在x0∈（1，+∞），使得h（x0）＜h（1）＝0，不合題意，∴必須h′（1）＝2a﹣1≥0，解得，，令，，∴k（x）在（1，+∞）遞增，∴k（x）＞k（1）＝0，故h（x）＞0滿足題意，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及不等式的恒成立問(wèn)題，考查分類討論思想及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．22．在直角坐標(biāo)系a中，點(diǎn)P（1，0），直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)）．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極