2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷期末測試卷03（測試范圍第1-5章）人教A版2019選擇性

20232024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末測試卷03（測試范圍：第15章）一、單選題1．設(shè)是等差數(shù)列的前項和，已知，，則等于（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】試題分析：依題意有，解得，所以.考點：等差數(shù)列的基本概念.【易錯點晴】本題主要考查等差數(shù)列的基本概念.在解有關(guān)等差數(shù)列的問題時可以考慮化歸為和等基本量，通過建立方程(組)獲得解．即等差數(shù)列的通項公式及前項和公式，共涉及五個量，知其中三個就能求另外兩個,即知三求二，多利用方程組的思想，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題,注意要弄準(zhǔn)它們的值.運(yùn)用方程的思想解等差數(shù)列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量、，掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個環(huán)節(jié)，常通過“設(shè)而不求，整體代入”來簡化運(yùn)算．2．雙曲線的焦點到漸近線的距離為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)點到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【解析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，該雙曲線的焦點坐標(biāo)為：，雙曲線的漸近線方程為：，所以焦點到漸近線的距離為：，故選：A3．已知空間向量，，若與垂直，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出的坐標(biāo)，依題意可得，即可求出，從而求出，再計算其模.【解析】因為，，所以，因為與垂直，所以，所以，解得，所以，所以.故選：B4．下列求導(dǎo)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)基本函數(shù)的求導(dǎo)公式以及四則運(yùn)算即可求解.【解析】，故A錯誤；，故B錯誤；，故C錯誤；，故D正確.故選:D.5．已知兩點，，直線過點且與線段有交點，則直線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】作出圖形，求出的斜率，數(shù)形結(jié)合可求得直線的斜率的取值范圍，再由斜率與傾斜角的關(guān)系可求出傾斜角的取值范圍.【解析】如圖所示，直線的斜率，直線的斜率．由圖可知，當(dāng)直線與線段有交點時，直線的斜率，因此直線的傾斜角的取值范圍是．故選：C6．已知曲線在點處的切線方程為，則A． B． C． D．【答案】D【解析】通過求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線斜率的表達(dá)式，求得，將點的坐標(biāo)代入直線方程，求得．【解析】詳解：，將代入得，故選D．【點睛】本題關(guān)鍵得到含有a，b的等式，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義和點在曲線上得到方程關(guān)系．7．已知是等差數(shù)列的前項和，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，可得，再根據(jù)，得，從而可得出答案.【解析】解：因為，所以，又，所以，所以的最小值為.故選：C.8．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，為坐標(biāo)原點，為雙曲線在第一象限上的點，直線，分別交雙曲線的左，右支于另一點，，若，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B．3 C．2 D．【答案】D【分析】由雙曲線的定義可設(shè)，，由平面幾何知識可得四邊形為平行四邊形，三角形，用余弦定理，可得，的方程，再由離心率公式可得所求值．【解析】由雙曲線的定義可得，由，可得，，結(jié)合雙曲線性質(zhì)可以得到，而，結(jié)合四邊形對角線平分，可得四邊形為平行四邊形，結(jié)合，故，對三角形，用余弦定理，得到，結(jié)合，可得，，，代入上式子中，得到，即，結(jié)合離心率滿足，即可得出，故選：D．【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，熟記雙曲線的簡單性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.二、多選題9．給出下列命題，其中正確命題有（

）A．空間任意三個不共面的向量都可以作為一個基底B．已知，則與任何向量都不構(gòu)成空間的一個基底C．已知向量，則與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底D．是空間四點，若不能構(gòu)成空間的一個基底，則共面【答案】ACD【分析】根據(jù)空間向量的概念，逐項分析即可.【解析】選項中，根據(jù)空間基底的概念，可得任意三個不共面的向量都可以作為一個空間基底，所以正確；選項中，根據(jù)空間基底的概念，可得不正確；選項中，因為所以與任何向量都共面，故不能構(gòu)成一個空間基底，所以正確；選項中，由不能構(gòu)成空間的一個基底，可得共面，又由過相同點，可得四點共面，所以正確.故選：ACD.10．以下四個命題為真命題的是（

）A．過點且在軸上的截距是在軸上截距的倍的直線的方程為B．直線的傾斜角的范圍是C．曲線：與曲線：恰有一條公切線，則D．設(shè)是直線上的動點，過點作圓：的切線，，切點為，，則經(jīng)過，，三點的圓必過兩個定點【答案】BD【分析】根據(jù)直線方程的求解、直線斜率與傾斜角的關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，以及圓方程的求解，對每個選項進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【解析】A：當(dāng)直線方程為時，也滿足題意，故A錯誤；B：由題可知直線的斜率為，設(shè)其傾斜角為，則故傾斜角的范圍是，故B正確；C：曲線：，曲線：，解得；若它們有一條公切線，且它們內(nèi)切，圓心距，解得，故C錯誤；D：設(shè)點，根據(jù)切線的性質(zhì)可得：，經(jīng)過三點的圓即為以為直徑的圓，則圓的方程為，整理得：，令，解得或，故經(jīng)過三點的圓必過定點和，故D正確.故選：BD.【點睛】本題綜合考察直線和圓方程的求解，其中D選項中，對圓恒過定點的處理，是解決問題的關(guān)鍵；同時要注意直線截距定義的把握以及直線傾斜角和斜率之間的關(guān)系，屬綜合中檔題.11．已知等比數(shù)列的公比為，其前項的積為，且滿足，，，則（

）A． B．C．的值是中最大的 D．使成立的最大正整數(shù)數(shù)的值為198【答案】ABD【分析】根據(jù)題目所給已知條件，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)對選項逐一分析，由此確定正確選項.【解析】∵，∴，∴.∵，∴，又，∴.故A正確.由A選項的分析可知，，∴，∴，，故B正確，C不正確.∴，，∴使成立的最大正整數(shù)數(shù)的值為198，故D正確.故選：ABD12．（多選）已知函數(shù)，下列關(guān)于的四個命題，其中真命題有（）A．函數(shù)在上是增函數(shù)B．函數(shù)的最小值為0C．如果時，，則的最小值為2D．函數(shù)有2個零點【答案】ABC【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合解決問題.【解析】對于A，因為，求導(dǎo)得，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，故在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A正確；對于B，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故B正確；對于C，當(dāng)時，，則的圖像如下所示：如果時，，由圖可知的最小值為，故C正確；對于D，由圖可知只有一個零點，故D不正確.故選：ABC.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，最值以及零點，解題的關(guān)鍵是要利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，最值，進(jìn)而作出函數(shù)的圖像，考查學(xué)生的運(yùn)算能力與數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題.三、填空題13．已知等比數(shù)列的公比不為，，且，，成等差數(shù)列，則．【答案】/0.0625【分析】根據(jù)條件求出公比q，再運(yùn)用等比數(shù)列通項公式求出.【解析】根據(jù)題意得，，且，解得，，；故答案為：.14．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，為奇函數(shù)，且則不等式的解集為．【答案】【分析】設(shè)，由導(dǎo)數(shù)法可得單調(diào)遞減，可轉(zhuǎn)化為，根據(jù)單調(diào)性即可求解．【解析】設(shè)，則，故單調(diào)遞減．因為為奇函數(shù)，定義域為，所以，故．可轉(zhuǎn)化為，即．因為單調(diào)遞減，所以，解得．故答案為：．15．已知點，，點滿足直線，的斜率之積為，則的面積的最大值為．【答案】20【分析】根據(jù)條件，運(yùn)用斜率公式求出P點的軌跡方程，再根據(jù)軌跡確定面積的最大值.【解析】設(shè)，由題意可知，，整理得；得動點的軌跡為以，為長軸頂點的橢圓除去，兩點，顯然當(dāng)點位于上下頂點時面積取得最大值，因為，，所以；故答案為：20.16．已知實數(shù)，，，滿足，，，則的最大值是．【答案】/【分析】由已知得分別在圓和圓上，利用數(shù)形結(jié)合法，將所求問題轉(zhuǎn)化為兩點到直線和的距離和的倍，再利用三角函數(shù)求出其最大值即可．【解析】解：由，可知，點，分別在圓和圓上，如圖，作直線，過作于，過A作于，而，其中表示A到直線的距離，表示到直線的距離，因為與，平行，且與的距離為，與的距離為，要使的取最大值，則需在直線的左下角這一側(cè)，所以，，由得，設(shè)，因為，所以，從而，故，其中，故當(dāng)時，取最大值，從而，即的最大值為．故答案為：．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解答的關(guān)鍵是將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，數(shù)形結(jié)合，再借助三角函數(shù)的性質(zhì)求出最值.四、解答題17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A（2，4），直線l：，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在直線l上，圓心也在直線上.(1)求圓C的方程；(2)過點A作圓C的切線，求切線的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）直接求出圓心的坐標(biāo)，寫出圓的方程；（2）分斜率存在和斜率不存在進(jìn)行分類討論，利用幾何法列方程，即可求解.【解析】（1）由圓心C在直線l：上可設(shè)：點，又C也在直線上，∴，∴又圓C的半徑為1，∴圓C的方程為.（2）當(dāng)直線垂直于x軸時，與圓C相切，此時直線方程為.當(dāng)直線與x軸不垂直時，設(shè)過A點的切線方程為，即，則，解得.此時切線方程為，.綜上所述，所求切線為或18．如圖，在三棱錐中，為正三角形，平面平面.(1)求證：；(2)若是的中點，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【解析】（1）如圖，設(shè)為的中點，因為為正三角形，所以.平面平面，平面平面，平面，底面，而底面，，又，平面，平面，而平面，；（2）設(shè)的中點為，.由（1）知兩兩垂直，以為軸、軸、軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，，取，則，..設(shè)平面的法向量為，則，取，則.直線與平面所成角的正弦值為.19．已知函數(shù).（1）若函數(shù)在點處的切線方程為，求，的值；（2）當(dāng)，時，記在區(qū)間上的最大值為，最小值為，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）直接利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，，從而求出函數(shù)的關(guān)系式中的和的值．（2）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)一步求出函數(shù)的極值和最值，可得進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)求出結(jié)果．【解析】（1）由題知，，，．即，解得（2）當(dāng)，時，，令，即，解得因為，所以所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以，即因為，．所以，即所以令則即函數(shù)在上單調(diào)遞減所以，即，所以的取值范圍是【點睛】本題是以導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用為背景的函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)思想，化歸思想，抽象概括能力，綜合分析問題和解決問題的能力，屬于較難題，近來高考在逐年加大對導(dǎo)數(shù)問題的考查力度，不僅題型在變化，而且問題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一定有三個層次：第一層次主要考查求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等；第三層次是綜合考查，包括解決應(yīng)用問題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式甚至數(shù)列及函數(shù)單調(diào)性有機(jī)結(jié)合，設(shè)計綜合題.20．已知數(shù)列的前n項和滿足．(1)求的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項和為，若存在使得成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）結(jié)合，可證明是等比數(shù)列，求解即可；（2）乘公比錯位相減法求和可得，代入，化簡可得恒成立，結(jié)合單調(diào)性求解即可.【解析】（1）∵，當(dāng)可得，，∴，即是以1為首項，的等比數(shù)列，∴.（2）∵,∴,,兩式相減：,∴,∴,∴,即存在使成立,∵隨著n增大，在減小,∴當(dāng)時，.21．如圖，已知點分別是橢圓的左、右焦點，A，B是橢圓C上不同的兩點，且，連接，且交于點Q．(1)當(dāng)時，求點B的橫坐標(biāo)；(2)若的面積為，試求的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）設(shè)出點A，B的坐標(biāo)，利用給定條件列出方程組，求解方程組即可作答.（2）延長交橢圓C于D，可得，再結(jié)合圖形將用的面積及表示，設(shè)出直線AD方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理求出即可求解作答.【解析】（1）設(shè)，依題意，，由，得，即，由得，兩式相減得，即有，則，即，由得，所以點B的橫坐標(biāo)為．（2）因，則，即有，記，，，則，即．同理，而，連并延長交橢圓C于D，連接，如圖，則四邊形為平行四邊形，，有點D在直線上，因此，，，因此，即，設(shè)直線，點，有，即，則，由消去x并整理得：，有，，，則，于是得，解得，所以．【點睛】結(jié)論點睛：過定點的直線l：y=kx+b交圓錐曲線于點，，則面積；過定點直線l：x=ty+a交圓錐曲線于點，，則面積.22．已知函數(shù)，其中，(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(2)若，函數(shù)有兩個相異的零點，，求證：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）不妨令，用分析法對進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，最后可構(gòu)造函數(shù)即可證明結(jié)論成立．【解析】（1）當(dāng)時，，定義域為，所以，，所以，時，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，令得，所以，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，綜上，時，在上單調(diào)遞增，時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）由題知，，因為函數(shù)有兩個相異零點，