《有限樣本空間與隨機事件》教學(xué)設(shè)計、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

《10.1.1有限樣本空間與隨機事件》教學(xué)設(shè)計【教材分析】本節(jié)《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書-必修二（人教A版）第九章《10.1.1有限樣本空間與隨機事件》，本節(jié)課通過對具體事例，幫助學(xué)生建立隨機實驗的概念，并通過對隨機實驗結(jié)果的數(shù)量表示，建立樣本空間的概念，為概率的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。并加深對概率思想方法的理解。從而發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)?！窘虒W(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.理解隨機試驗的概念及特點B.理解樣本點和樣本空間，會求所給試驗的樣本點和樣本空間C.理解隨機事件、必然事件、不可能事件的概念，并會判斷某一事件的性質(zhì)1.數(shù)學(xué)建模：隨機實驗及樣本空間的概念2.邏輯推理：分析隨機實驗的樣本空間3.數(shù)學(xué)運算：計算隨機實驗的樣本空間4.數(shù)據(jù)分析：會求所給試驗的樣本點和樣本空間；【教學(xué)重點】：隨機試驗的概念及特點；【教學(xué)難點】：理解樣本點和樣本空間，會求所給試驗的樣本點和樣本空間；【教學(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖一、溫故知新概率論的產(chǎn)生和發(fā)展概率論產(chǎn)生于十七世紀(jì)，本來是由保險事業(yè)的發(fā)展而產(chǎn)生的，但是來自于賭博者的請求，卻是數(shù)學(xué)家們思考概率論問題的源泉。傳說早在1654年，有一個賭徒梅累向當(dāng)時的數(shù)學(xué)家帕斯卡提出一個使他苦惱了很久的問題：“兩個賭徒約定誰先贏滿5局，誰就獲得全部賭金。賭了半天，A贏了4局，B贏了3局，時間很晚了，他們都不想再賭下去了。那么，這個錢應(yīng)該怎么分才理？這個問題讓帕斯卡苦苦思索了三年，三年后也就是1657年，荷蘭著名的數(shù)學(xué)家惠更斯企圖自己解決這一問題，結(jié)果寫成了《論賭博中的計算》一書，這就是概率論最早的一部著作。近幾十年來，隨著科技的蓬勃發(fā)展概率論大量應(yīng)用到國民經(jīng)濟、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及各學(xué)科領(lǐng)域。許多興起的應(yīng)用數(shù)學(xué)，如信息論、對策論、排隊論、控制論等，都是以概率論作為基礎(chǔ)的。在初中，我們已經(jīng)初步了解了隨機事件的概念，并學(xué)習(xí)了在試驗結(jié)果等可能的情形下求簡單隨機事件的概率.本節(jié)我們將進一步研究隨機事件及其概率的計算，探究隨機事件概率的性質(zhì).隨機現(xiàn)象普遍存在，有的簡單有的復(fù)雜，有的只有有限個可能結(jié)果，有的有無窮個可能結(jié)果；這里的無窮又分為兩種，即可列無窮和不可列無窮，例如，對擲硬幣試驗，等待首次出現(xiàn)正面朝上所需的試驗次數(shù)，具有可列無窮個可能結(jié)果；而預(yù)測某地7月份的的降水量，可能結(jié)果則充滿某個區(qū)間，其可能結(jié)果不能一一列舉，即有不可列無窮個可能結(jié)果.所以，常見的概率模型有兩類，即離散型概率模型和連續(xù)型概率模型.高中階段主要研究離散型概率模型.研究某種隨機現(xiàn)象的規(guī)律，首先要觀察它所有可能的基本結(jié)果.例如，將一枚硬幣拋擲2次，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況；從班級隨機選擇10名學(xué)生，觀察近視的人數(shù)；在一批燈管中任意抽取一只，測試它的壽命；從一批發(fā)芽的水稻種子中隨機選取一些，觀察分囊數(shù)；記錄某地區(qū)7月份的降雨量等等.我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗（randomexperiment),簡稱試驗，常用字母E表示.我們感興趣的是具有以下特點的隨機試驗：(1)試驗可以在相同條件下重復(fù)進行；(2)試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的,并且不止一個；(3)每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果.思考1：體育彩票搖獎時,將10個質(zhì)地和大小完全相同、分別標(biāo)號0,1,2，…，9的球放入搖獎器中，經(jīng)過充分?jǐn)嚢韬髶u出一個球，觀察這個球的號碼，這個隨機試驗共有多少個可能結(jié)果？如何表示這些結(jié)果？共有10種可能結(jié)果.所有可能結(jié)果可用集合表示為:{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}樣本點是隨機試驗的每個可能的基本結(jié)果，樣本空間是全體樣本點的集合.關(guān)于什么是基本結(jié)果,只能直觀描述,無法嚴(yán)格定義.我們只討論Ω為有限集的情況.如果一個隨機試驗有n個可能結(jié)果ω1,ω2,...,ωn,則稱樣本空間Ω={ω1,ω2,...,ωn,}為有限樣本空間.我們把隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間（samplespace).一般地，我們用Ω(歐米伽)表示樣本空間，用ω表示樣本點.例如，拋擲一對骰子，建立包含36個樣本點的樣本空間Ω1={(x,y)|x,y∈{1,2,3,4,5,6}},其中每個結(jié)果就是基本結(jié)果，如果建立只包含4個可能結(jié)果的樣本空間Ω2={(偶，偶）,(偶，奇）,(奇，偶）,(奇，奇）},其中每個元素就不能認(rèn)為是基本結(jié)果.因為在樣本空間Ω2中無法求“點數(shù)之和為5”的概率.例1.拋擲一枚硬幣，觀察它落地時哪一面朝上，寫出試驗的樣本空間。解：因為落地時只有正面朝上和反面朝上兩個可能結(jié)果，所以試驗的樣本空間可以表示為Ω=(正面朝上，反面朝上）,如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，則樣本空間Ω={h,t}.例2.拋擲一枚骰子（touzi),觀察它落地時朝上的面的點數(shù)，寫出試驗的樣本空間.解：用i表示朝上面的“點數(shù)為i”，因為落地時朝上面的點數(shù)有1,2,3,4,5,6共6個可能的基本結(jié)果，所以試驗的樣本空間可以表示為Ω={1,2,3,4,5,6}.構(gòu)建樣本空間，這是將實際問題數(shù)學(xué)化的關(guān)鍵步驟，其作用體現(xiàn)在：可以利用集合工具（語言）描述概率問題，能用數(shù)學(xué)語言嚴(yán)格刻畫隨機事件的概念，通過與集合關(guān)系與運算的類比，可以更好地理解隨機事件的關(guān)系和運算意義.可以用符號語言準(zhǔn)確而簡練地表示求解概率問題的過程.解：擲兩枚硬幣，第一枚硬幣可能的基本結(jié)果用x表示，第二枚硬幣可能的基本結(jié)果用y表示，那么試驗的樣本點可用（x,y)表示.于是，試驗的樣本空間Ω={(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面，反面)}例3.拋擲兩枚硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況，寫出試驗的樣本空間如果我們用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝第一枚第二枚上”，那么樣本空間還可以簡單表示為Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}.如圖所示，畫樹狀圖可以幫助我們理解例3的解答過程.對于只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗，一般用1和0表示這兩個結(jié)果.一方面數(shù)學(xué)追求最簡潔地表示，另一方面，這種表示有其實際意義，在后面的研究中會帶來很大的方便.1.同時轉(zhuǎn)動如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤，記轉(zhuǎn)盤①得到的數(shù)為x，轉(zhuǎn)盤②得到的數(shù)為y，結(jié)果為(x，y)．(1)寫出這個試驗的樣本空間；(2)求這個試驗的樣本點的總數(shù)；(3)“x＋y＝5”這一事件包含哪幾個樣本點？“x<3且y>1”呢？(4)“xy＝4”這一事件包含哪幾個樣本點？“x＝y(tǒng)”呢？解:(1)Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}．(2)樣本點的總數(shù)為16.(3)“x＋y＝5”包含以下4個樣本點：(1,4),(2,3),(3,2),(1,4)；“x<3且y>1”包含以下6個樣本點：(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)．(4)“xy＝4”包含以下3個樣本點：(1,4),(2,2),(4,1)；“x＝y(tǒng)”包含以下4個樣本點：(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)．思考2.在體育彩票搖號實驗中，搖出“球的號碼是奇數(shù)”是隨機事件嗎？搖出“球的號碼為3的倍數(shù)”是否也是隨機事件？如果用集合的形式來表示它們，那么這些集合與樣本空間有什么關(guān)系？顯然，“球的號碼為奇數(shù)”和“球的號碼為3的倍數(shù)”都是隨機事件.我們用A表示隨機事件“球的號碼為奇數(shù)”，則A發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)搖出的號碼為1,3,5,7,9之一，即事件A發(fā)生等價于搖出的號碼屬于集合{1,3,5,7,9}.因此可以用樣本空間Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}的子集{1,3,5,7,9}表示隨機事件A.類似地，可以用樣本空間的子集{0,3,6,9}表示隨機事件“球的號碼為3的倍數(shù)”一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示.為了敘述方便，我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件（randomevent),簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件（elementaryevent).隨機事件一般用大寫字母A,B,C,···表示，在每次試驗中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生.Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以Ω總會發(fā)生，我們稱Ω為必然事件.而空集Φ不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們Φ稱為不可能事件.必然事件與不可能事件不具有隨機性.為了方便統(tǒng)一處理，將必然事件和不可能事件作為隨機事件的兩個極端情形。這樣，每個事件都是樣本空間。Ω的一個子集.隨機事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機事件。必然事件：在一定條件下必然要發(fā)生的事件叫必然事件。不可能事件：在一定條件下不可能發(fā)生的事件叫不可能事件。1.指出下列事件是必然事件,不可能事件,還是隨機事件：（1）某地1月1日刮西北風(fēng)；（2）當(dāng)x是實數(shù)時,(3)手電筒的電池沒電,燈泡發(fā)亮；（4）一個電影院某天的上座率超過50%。（5）如果a＞b，那么a一b＞0；（6）從分別標(biāo)有數(shù)字l，2，3，4，5的5張標(biāo)簽中任取一張，得到4號簽;（7）某電話機在1分鐘內(nèi)收到2次呼叫；（8）隨機選取一個實數(shù)x，得|x|<0.隨機事件;必然事件;不可能事件;隨機事件;必然事件;隨機事件;隨機事件;不可能事件例4如圖,一個電路中有A,B,C三個電器元件，每個元件可能正常，也可能失效.把這個電路是否為通路看成是一個隨機現(xiàn)象，觀察這個電路中各元件是否正常.(1)寫出試驗的樣本空間;(2)用集合表示下列事件：M=“恰好兩個元件正?！?；N=“電路是通路”；T=“電路是斷路”.解：(1)分別用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能狀態(tài)，則這個電路的工作狀態(tài)可用(x1,x2,x3)表示.進一步地，用1表示元件的“正常”狀態(tài)，用0表示“失效”狀態(tài)，則樣本空間Ω={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}.(2)“恰好兩個元件正?！钡葍r于(x1,x2,x3)∈Ω,且x1,x2,x3中恰有兩個為1,所以M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}.“電路是通路”等價于(x1,x2,x3)∈Ω,x1=1,且x2,x3中至少有一個是1,所以N={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}。同理，“電路是斷路”等價于(x1,x2,x3)∈Ω，x1=0,或x1=1,x2=x3=0.所以T={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0)}.如圖,還可以借助樹狀圖幫助我們列出試驗的所有可能結(jié)果.(1)用樣本點表示隨機事件，首先弄清試驗的樣本空間，不重不漏列出所有的樣本點．然后找出滿足隨機事件要求的樣本點，從而用這些樣本點組成的集合表示隨機事件．(2)隨機事件可以用文字表示，也可以將事件表示為樣本空間的子集，后者反映了事件的本質(zhì)，且更便于今后計算事件發(fā)生的概率．由回顧知識出發(fā)，提出問題，讓學(xué)生了解概率論的產(chǎn)生和發(fā)展。增加學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過具體問題，讓學(xué)生感受隨機實驗及樣本空間的額概念。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過實例分析，讓學(xué)生掌握分析樣本空間和樣本點的方法，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模及邏輯推理的核心素養(yǎng)。三、達標(biāo)檢測1.從6個籃球、2個排球中任選3個球,則下列事件中,不可能事件是()A.3個都是籃球 B.至少有1個是排球C.3個都是排球 D.至少有1個是籃球答案:C解析:根據(jù)題意,從6個籃球、2個排球中任選3個球,四個選項都是隨機事件,進一步C是不可能事件,D是必然事件.2．先后擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，骰子朝上的面的點數(shù)分別為x，y，則事件：log2xy＝1包含的樣本點有_______．(x,y)1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)解析先后擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，骰子朝上的面的點數(shù)有36種結(jié)果．解方程log2xy＝1得y＝2x，則符合條件的樣本點有(1,2)，(2,4)，(3,6)．3.寫出下列各隨機試驗的樣本空間：(1)采用抽簽的方式，隨機選擇一名同學(xué)，并記錄其性別；(2)采用抽簽的方式，隨機選擇一名同學(xué)，觀察其ABO血型；(3)隨機選擇一個有兩個小孩的家庭，觀察兩個孩子的性別；(4)射擊靶3次，觀察各次射擊中靶或脫靶情況；(5)射擊靶3次，觀察中靶的次數(shù).解:(1)Ω={男，女}或令m表示男生，f表示女生，則樣本空間為Ω={m,f}.(2)Ω={O,A,B,AB}.(3)用b表示“男孩”，g表示“女孩”，樣本空間為Ω={bb,bg,gb,gg}.(4)每次射擊，中靶用1表示，脫靶用0表示，則3次射擊的樣本空間為Ω={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}(5)Ω={(0,1,2,3)}。4.如圖，由A,B兩個元件分別組成串聯(lián)電路（圖(1))和并聯(lián)電路(圖(2)),觀察兩個元件正?；蚴У那闆r.(1)寫出試驗的樣本空間；(2)對串聯(lián)電路，寫出事件M=“電路是通路”包含的樣本點；(3)對并聯(lián)電路，寫出事件N=“電路是斷路”包含的樣本點.解:(1)用1表示元件正常，0表示元件失效，則樣本空間為Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.(2)對于串聯(lián)電路，M={(1,1)}.(3)對于并聯(lián)電路，N={(0,0)}.5.袋子中有9個大小和質(zhì)地相同的球，標(biāo)號為1,2,3,4,5,6,7,8,9,從中隨機模出一個球(1)寫出試驗的樣本空間；(2)用集合表示事件A=“摸到球的號碼小于5”，事件B=“摸到球的號碼大于4”，事件C=“孩到球的號碼是偶數(shù)”解:(1)Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9}。(2)A={1,2,3,4};B=5,6,7,8,9;;C={2,4,6,8}.通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)1.隨機試驗可重復(fù)性、可預(yù)知性、隨機性2.樣本空間、樣本點Ω={ω1，ω2，…，ωn}寫隨機試驗的樣本空間時，要按照一定的順序，特別注意題目的關(guān)鍵字，如“先后”“依次”“放回”“不放回”等．3.辨析隨機事件、必然事件、不可能事件時要注意看清條件五、課時練通過總結(jié)，讓學(xué)生進一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力?！窘虒W(xué)反思】本節(jié)課通過對具體事例，幫助學(xué)生建立隨機實驗的概念，并通過對隨機實驗結(jié)果的數(shù)量表示，建立樣本空間的概念，為概率的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。教學(xué)中要注重學(xué)生的主體地位，調(diào)動學(xué)生積極性，使數(shù)學(xué)教學(xué)成為數(shù)學(xué)活動的教學(xué)。從而發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)?！?0.1.1有限樣本空間與隨機事件》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解隨機試驗的概念及特點2.理解樣本點和樣本空間，會求所給試驗的樣本點和樣本空間3.理解隨機事件、必然事件、不可能事件的概念，并會判斷某一事件的性質(zhì)【學(xué)習(xí)重點】：隨機試驗的概念及特點【學(xué)習(xí)難點】：理解樣本點和樣本空間，會求所給試驗的樣本點和樣本空間【知識梳理】一、有限樣本空間的相關(guān)概念1.拋擲兩枚骰子,觀察它們落地時朝上面的點數(shù)情況,你能寫出該試驗的樣本空間嗎?提示可以考慮用有序數(shù)對(a,b)來表示試驗的結(jié)果.其中a表示其中一枚骰子的點數(shù),b表示另一枚骰子的點數(shù),則有Ω={(a,b)|1≤a≤6,1≤b≤6,且a,b∈N*},當(dāng)然Ω還可以用列舉法進行表示,該空間中有36個樣本點.2.填空：(1)隨機試驗:我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗,簡稱試驗,常用字母E表示.說明:本節(jié)中我們研究的是具有以下特點的隨機試驗.①試驗可以在相同條件下重復(fù)進行;②試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的,并且不止一個;③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個,但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果.(2)樣本點:隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點.(3)樣本空間:全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間.(4)有限樣本空間:一般地,我們用Ω表示樣本空間,用ω表示樣本點.如果一個試驗有n個可能結(jié)果,ω1,ω2,…,ωn,則稱樣本空間Ω={ω1,ω2,…,ωn}為有限樣本空間,也就是說Ω為有限集的情況即為有限樣本空間.二、事件的概念及分類1.思考(1)考察下列事件:①導(dǎo)體通電時發(fā)熱;②向上拋出的石頭會下落;③在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,水溫升高到100℃會沸騰.這些事件就其發(fā)生與否有什么共同特點?提示都是必然會發(fā)生的事件.(2)考察下列事件:①在沒有水分的真空中種子發(fā)芽;②在常溫常壓下鋼鐵熔化;③一個三角形的大邊所對的角小,小邊所對的角大.這些事件就其發(fā)生與否有什么共同特點?提示都是不可能發(fā)生的事件.(3)考察下列事件:①某人射擊一次,命中目標(biāo);②某人購買福利彩票中獎;③拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù).這些事件就其發(fā)生與否有什么共同特點?提示都是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.2.填空：(1)隨機事件:樣本空間Ω的子集稱為隨機事件,簡稱事件.(2)基本事件:只包含一個樣本點的事件稱為基本事件.(3)事件A發(fā)生:在每次試驗中,當(dāng)且僅當(dāng)A中某個樣本點出現(xiàn)時,稱為事件A發(fā)生.(4)必然事件:Ω作為自身的子集,包含了所有的樣本點,在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生,所以Ω總會發(fā)生,我們稱Ω為必然事件.(5)不可能事件:空間?不包含任何樣本點,在每次試驗中都不會發(fā)生,我們稱?為不可能事件.說明:(1)每個事件都是樣本空間Ω的一個子集.(2)為了統(tǒng)一處理,將必然事件和不可能事件作為隨機事件的兩個極端情形.【學(xué)習(xí)過程】一、情境與問題概率論的產(chǎn)生和發(fā)展概率論產(chǎn)生于十七世紀(jì)，本來是由保險事業(yè)的發(fā)展而產(chǎn)生的，但是來自于賭博者的請求，卻是數(shù)學(xué)家們思考概率論問題的源泉。傳說早在1654年，有一個賭徒梅累向當(dāng)時的數(shù)學(xué)家帕斯卡提出一個使他苦惱了很久的問題：“兩個賭徒約定誰先贏滿5局，誰就獲得全部賭金。賭了半天，A贏了4局，B贏了3局，時間很晚了，他們都不想再賭下去了。那么，這個錢應(yīng)該怎么分才理？這個問題讓帕斯卡苦苦思索了三年，三年后也就是1657年，荷蘭著名的數(shù)學(xué)家惠更斯企圖自己解決這一問題，結(jié)果寫成了《論賭博中的計算》一書，這就是概率論最早的一部著作。近幾十年來，隨著科技的蓬勃發(fā)展概率論大量應(yīng)用到國民經(jīng)濟、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及各學(xué)科領(lǐng)域。許多興起的應(yīng)用數(shù)學(xué)，如信息論、對策論、排隊論、控制論等，都是以概率論作為基礎(chǔ)的。在初中，我們已經(jīng)初步了解了隨機事件的概念，并學(xué)習(xí)了在試驗結(jié)果等可能的情形下求簡單隨機事件的概率.本節(jié)我們將進一步研究隨機事件及其概率的計算，探究隨機事件概率的性質(zhì).隨機現(xiàn)象普遍存在，有的簡單有的復(fù)雜，有的只有有限個可能結(jié)果，有的有無窮個可能結(jié)果；這里的無窮又分為兩種，即可列無窮和不可列無窮，例如，對擲硬幣試驗，等待首次出現(xiàn)正面朝上所需的試驗次數(shù)，具有可列無窮個可能結(jié)果；而預(yù)測某地7月份的的降水量，可能結(jié)果則充滿某個區(qū)間，其可能結(jié)果不能一一列舉，即有不可列無窮個可能結(jié)果.所以，常見的概率模型有兩類，即離散型概率模型和連續(xù)型概率模型.高中階段主要研究離散型概率模型.研究某種隨機現(xiàn)象的規(guī)律，首先要觀察它所有可能的基本結(jié)果.例如，將一枚硬幣拋擲2次，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況；從班級隨機選擇10名學(xué)生，觀察近視的人數(shù)；在一批燈管中任意抽取一只，測試它的壽命；從一批發(fā)芽的水稻種子中隨機選取一些，觀察分囊數(shù)；記錄某地區(qū)7月份的降雨量等等.我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗（randomexperiment),簡稱試驗，常用字母E表示.我們感興趣的是具有以下特點的隨機試驗：(1)試驗可以在相同條件下重復(fù)進行；(2)試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的,并且不止一個；(3)每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果.思考1：體育彩票搖獎時,將10個質(zhì)地和大小完全相同、分別標(biāo)號0,1,2，…，9的球放入搖獎器中，經(jīng)過充分?jǐn)嚢韬髶u出一個球，觀察這個球的號碼，這個隨機試驗共有多少個可能結(jié)果？如何表示這些結(jié)果？我們只討論Ω為有限集的情況.如果一個隨機試驗有n個可能結(jié)果ω1,ω2,...,ωn,則稱樣本空間Ω={ω1,ω2,...,ωn,}為有限樣本空間.我們把隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間（samplespace).一般地，我們用Ω(歐米伽)表示樣本空間，用ω表示樣本點.例如，拋擲一對骰子，建立包含36個樣本點的樣本空間Ω1={(x,y)|x,y∈{1,2,3,4,5,6}},其中每個結(jié)果就是基本結(jié)果，如果建立只包含4個可能結(jié)果的樣本空間Ω2={(偶，偶）,(偶，奇）,(奇，偶）,(奇，奇）},其中每個元素就不能認(rèn)為是基本結(jié)果.因為在樣本空間Ω2中無法求“點數(shù)之和為5”的概率.例1.拋擲一枚硬幣，觀察它落地時哪一面朝上，寫出試驗的樣本空間。例2.拋擲一枚骰子（touzi),觀察它落地時朝上的面的點數(shù)，寫出試驗的樣本空間.構(gòu)建樣本空間，這是將實際問題數(shù)學(xué)化的關(guān)鍵步驟，其作用體現(xiàn)在：可以利用集合工具（語言）描述概率問題，能用數(shù)學(xué)語言嚴(yán)格刻畫隨機事件的概念，通過與集合關(guān)系與運算的類比，可以更好地理解隨機事件的關(guān)系和運算意義.可以用符號語言準(zhǔn)確而簡練地表示求解概率問題的過程.例3.拋擲兩枚硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況，寫出試驗的樣本空間如果我們用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝第一枚第二枚上”，那么樣本空間還可以簡單表示為Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}.對于只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗，一般用1和0表示這兩個結(jié)果.一方面數(shù)學(xué)追求最簡潔地表示，另一方面，這種表示有其實際意義，在后面的研究中會帶來很大的方便.1.同時轉(zhuǎn)動如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤，記轉(zhuǎn)盤①得到的數(shù)為x，轉(zhuǎn)盤②得到的數(shù)為y，結(jié)果為(x，y)．(1)寫出這個試驗的樣本空間；(2)求這個試驗的樣本點的總數(shù)；(3)“x＋y＝5”這一事件包含哪幾個樣本點？“x<3且y>1”呢？(4)“xy＝4”這一事件包含哪幾個樣本點？“x＝y(tǒng)”呢？解:(1)Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),思考2.在體育彩票搖號實驗中，搖出“球的號碼是奇數(shù)”是隨機事件嗎？搖出“球的號碼為3的倍數(shù)”是否也是隨機事件？如果用集合的形式來表示它們，那么這些集合與樣本空間有什么關(guān)系？顯然，“球的號碼為奇數(shù)”和“球的號碼為3的倍數(shù)”都是隨機事件.我們用A表示隨機事件“球的號碼為奇數(shù)”，則A發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)搖出的號碼為1,3,5,7,9之一，即事件A發(fā)生等價于搖出的號碼屬于集合{1,3,5,7,9}.因此可以用樣本空間Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}的子集{1,3,5,7,9}表示隨機事件A.類似地，可以用樣本空間的子集{0,3,6,9}表示隨機事件“球的號碼為3的倍數(shù)”一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示.為了敘述方便，我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件（randomevent),簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件（elementaryevent).隨機事件一般用大寫字母A,B,C,···表示，在每次試驗中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生.Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以Ω總會發(fā)生，我們稱Ω為必然事件.而空集Φ不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們Φ稱為不可能事件.必然事件與不可能事件不具有隨機性.為了方便統(tǒng)一處理，將必然事件和不可能事件作為隨機事件的兩個極端情形。這樣，每個事件都是樣本空間。Ω的一個子集.隨機事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機事件。必然事件：在一定條件下必然要發(fā)生的事件叫必然事件。不可能事件：在一定條件下不可能發(fā)生的事件叫不可能事件。1.指出下列事件是必然事件,不可能事件,還是隨機事件：（1）某地1月1日刮西北風(fēng)；（2）當(dāng)x是實數(shù)時,(3)手電筒的電池沒電,燈泡發(fā)亮；（4）一個電影院某天的上座率超過50%。（5）如果a＞b，那么a一b＞0；（6）從分別標(biāo)有數(shù)字l，2，3，4，5的5張標(biāo)簽中任取一張，得到4號簽;（7）某電話機在1分鐘內(nèi)收到2次呼叫；（8）隨機選取一個實數(shù)x，得|x|<0.例4如圖,一個電路中有A,B,C三個電器元件，每個元件可能正常，也可能失效.把這個電路是否為通路看成是一個隨機現(xiàn)象，觀察這個電路中各元件是否正常.(1)寫出試驗的樣本空間;(2)用集合表示下列事件：M=“恰好兩個元件正?！?；N=“電路是通路”；T=“電路是斷路”.(1)用樣本點表示隨機事件，首先弄清試驗的樣本空間，不重不漏列出所有的樣本點．然后找出滿足隨機事件要求的樣本點，從而用這些樣本點組成的集合表示隨機事件．(2)隨機事件可以用文字表示，也可以將事件表示為樣本空間的子集，后者反映了事件的本質(zhì)，且更便于今后計算事件發(fā)生的概率．【達標(biāo)檢測】1.從6個籃球、2個排球中任選3個球,則下列事件中,不可能事件是()A.3個都是籃球 B.至少有1個是排球C.3個都是排球 D.至少有1個是籃球2．先后擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，骰子朝上的面的點數(shù)分別為x，y，則事件：log2xy＝1包含的樣本點有_______．(x,y)1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)3.寫出下列各隨機試驗的樣本空間：(1)采用抽簽的方式，隨機選擇一名同學(xué)，并記錄其性別；(2)采用抽簽的方式，隨機選擇一名同學(xué)，觀察其ABO血型；(3)隨機選擇一個有兩個小孩的家庭，觀察兩個孩子的性別；(4)射擊靶3次，觀察各次射擊中靶或脫靶情況；(5)射擊靶3次，觀察中靶的次數(shù).4.如圖，由A,B兩個元件分別組成串聯(lián)電路（圖(1))和并聯(lián)電路(圖(2)),觀察兩個元件正?；蚴У那闆r.(1)寫出試驗的樣本空間；(2)對串聯(lián)電路，寫出事件M=“電路是通路”包含的樣本點；(3)對并聯(lián)電路，寫出事件N=“電路是斷路”包含的樣本點.5.袋子中有9個大小和質(zhì)地相同的球，標(biāo)號為1,2,3,4,5,6,7,8,9,從中隨機模出一個球(1)寫出試驗的樣本空間；(2)用集合表示事件A=“摸到球的號碼小于5”，事件B=“摸到球的號碼大于4”，事件C=“孩到球的號碼是偶數(shù)”【課堂小結(jié)】1.隨機試驗可重復(fù)性、可預(yù)知性、隨機性2.樣本空間、樣本點Ω={ω1，ω2，…，ωn}寫隨機試驗的樣本空間時，要按照一定的順序，特別注意題目的關(guān)鍵字，如“先后”“依次”“放回”“不放回”等．3.辨析隨機事件、必然事件、不可能事件時要注意看清條件參考答案：學(xué)習(xí)過程思考1：共有10種可能結(jié)果.所有可能結(jié)果可用集合表示為:{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}樣本點是隨機試驗的每個可能的基本結(jié)果，樣本空間是全體樣本點的集合.關(guān)于什么是基本結(jié)果,只能直觀描述,無法嚴(yán)格定義.例1.解：因為落地時只有正面朝上和反面朝上兩個可能結(jié)果，所以試驗的樣本空間可以表示為Ω=(正面朝上，反面朝上）,如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，則樣本空間Ω={h,t}.例2.解：用i表示朝上面的“點數(shù)為i”，因為落地時朝上面的點數(shù)有1,2,3,4,5,6共6個可能的基本結(jié)果，所以試驗的樣本空間可以表示為Ω={1,2,3,4,5,6}.例3.解：擲兩枚硬幣，第一枚硬幣可能的基本結(jié)果用x表示，第二枚硬幣可能的基本結(jié)果用y表示，那么試驗的樣本點可用（x,y)表示.于是，試驗的樣本空間Ω={(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面，反面)}1.解:(1)Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}．(2)樣本點的總數(shù)為16.(3)“x＋y＝5”包含以下4個樣本點：(1,4),(2,3),(3,2),(1,4)；“x<3且y>1”包含以下6個樣本點：(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)．(4)“xy＝4”包含以下3個樣本點：(1,4),(2,2),(4,1)；“x＝y(tǒng)”包含以下4個樣本點：(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)．1.隨機事件;必然事件;不可能事件;隨機事件;必然事件;隨機事件;隨機事件;不可能事件例4解：(1)分別用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能狀態(tài)，則這個電路的工作狀態(tài)可用(x1,x2,x3)表示.進一步地，用1表示元件的“正?！睜顟B(tài)，用0表示“失效”狀態(tài)，則樣本空間Ω={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}.(2)“恰好兩個元件正?！钡葍r于(x1,x2,x3)∈Ω,且x1,x2,x3中恰有兩個為1,所以M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}.“電路是通路”等價于(x1,x2,x3)∈Ω,x1=1,且x2,x3中至少有一個是1,所以N={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}。同理，“電路是斷路”等價于(x1,x2,x3)∈Ω，x1=0,或x1=1,x2=x3=0.所以T={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0)}.如圖,還可以借助樹狀圖幫助我們列出試驗的所有可能結(jié)果.達標(biāo)檢測1.答案:C解析:根據(jù)題意,從6個籃球、2個排球中任選3個球,四個選項都是隨機事件,進一步C是不可能事件,D是必然事件.2．解析先后擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，骰子朝上的面的點數(shù)有36種結(jié)果．解方程log2xy＝1得y＝2x，則符合條件的樣本點有(1,2)，(2,4)，(3,6)．3.解:(1)Ω={男，女}或令m表示男生，f表示女生，則樣本空間為Ω={m,f}.(2)Ω={O,A,B,AB}.(3)用b表示“男孩”，g表示“女孩”，樣本空間為Ω={bb,bg,gb,gg}.(4)每次射擊，中靶用1表示，脫靶用0表示，則3次射擊的樣本空間為Ω={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}(5)Ω={(0,1,2,3)}。4.解:(1)用1表示元件正常，0表示元件失效，則樣本空間為Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.(2)對于串聯(lián)電路，M={(1,1)}.(3)對于并聯(lián)電路，N={(0,0)}.5.解:(1)Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9}。(2)A={1,2,3,4};B=5,6,7,8,9;;C={2,4,6,8}.《10.1.1有限樣本空間與隨機事件》同步練習(xí)一、選擇題1．下列現(xiàn)象:①連續(xù)兩次拋擲同一骰子，兩次都出現(xiàn)2點；②走到十字路口，遇到紅燈；③異性電荷相互吸引；④拋一石塊，下落.其中是隨機現(xiàn)象的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．42．一個家庭有兩個小孩，把第一個孩子的性別寫在前邊，第二個孩子的性別寫在后邊，則所有的樣本點有（）A．（男，女），（男，男），（女，女）B．（男，女），（女，男）C．（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）D．（男，男），（女，女）3．在10名學(xué)生中，男生有x名，現(xiàn)從10名學(xué)生中任選6人去參加某項活動：①至少有1名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①為必然事件，②為不可能事件，③為隨機事件，則x＝()A．5 B．6 C．3或4 D．5或64．依次投擲兩枚骰子，所得點數(shù)之和記為，那么表示的隨機試驗的樣本點是（）A．第一枚是3點，第二枚是1點B．第一枚是3點，第二枚是1點或第一枚是1點，第二點枚是3點或兩枚都是2點C．兩枚都是4點D．兩枚都是2點5．（多選題）下列事件是隨機事件的是（）A．連續(xù)擲一枚硬幣兩次，兩次都出現(xiàn)正面朝上 B．異性電荷相互吸引C．在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在1℃結(jié)冰 D．買一注彩票中了特等獎6．（多選題）已知非空集合，且集合是集合的真子集，則下列命題為真命題的是（）A．“若，則”是必然事件 B．“若，則”是不可能事件C．“若，則”是隨機事件 D．“若，則”是必然事件二、填空題7．籠子中有4只雞和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出.記錄剩下動物的腳數(shù).則該試驗的樣本空間___________.8．在這個自然數(shù)中,任取個數(shù),它們的積是偶數(shù)的樣本點是____________.9．某種飲料每箱裝聽,其中有聽合格,聽不合格,現(xiàn)質(zhì)檢人員從中隨機抽取聽進行檢測,則檢測出至少有聽不合格飲料的樣本點有______個.10．已知關(guān)于x的二次函數(shù)，設(shè)集合，，分別從集合P和Q中隨機取一個數(shù)a和b得到樣本點，則使函數(shù)有零點的樣本點的個數(shù)為_______.三、解答題11．將一枚骰子拋擲兩次.（1）寫出試驗的樣本空間；（2）用集合表示事件“向上的點數(shù)之和大于8”.12．大富翁，又名地產(chǎn)大亨，是一種多人策略圖版游戲.參賽者分得游戲資金，通過擲骰子及交易策略，買地、建樓以賺取租金.問題（1）在大富翁游戲中，拋擲一枚骰子，觀察其朝上面的點數(shù)，該試驗的樣本空間含6個樣本點.若將一枚骰子先后拋擲兩次，請列舉出該試驗的樣本空間所包含的樣本點.（2）結(jié)合問題1，“向上的點數(shù)之和大于8”包含幾個樣本點？《10.1.1有限樣本空間與隨機事件》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1．下列現(xiàn)象:①連續(xù)兩次拋擲同一骰子，兩次都出現(xiàn)2點；②走到十字路口，遇到紅燈；③異性電荷相互吸引；④拋一石塊，下落.其中是隨機現(xiàn)象的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由隨機現(xiàn)象的概念可知①②是隨機現(xiàn)象，③④是確定性現(xiàn)象.故選：B.2．一個家庭有兩個小孩，把第一個孩子的性別寫在前邊，第二個孩子的性別寫在后邊，則所有的樣本點有（）A．（男，女），（男，男），（女，女）B．（男，女），（女，男）C．（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）D．（男，男），（女，女）【答案】C【解析】由題知所有的樣本點是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）.故選：C.3．在10名學(xué)生中，男生有x名，現(xiàn)從10名學(xué)生中任選6人去參加某項活動：①至少有1名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①為必然事件，②為不可能事件，③為隨機事件，則x＝()A．5 B．6 C．3或4 D．5或