高中數(shù)學(xué)必修2課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)14-4-3用頻率直方圖估計(jì)總體分布

課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)四十一用頻率直方圖估計(jì)總體分布(20分鐘35分)1.有一個(gè)容量為45的樣本數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下:(12.5,15.5],3;(15.5,18.5],8;(18.5,21.5],9;(21.5,24.5],11;(24.5,27.5],10;(27.5,30.5],4.由此估計(jì),不大于27.5的數(shù)據(jù)約為總體的 ()A.91% B.92%C.95% D.30%【解析】選A.不大于27.5的樣本數(shù)為3+8+9+11+10=41,約占總體的百分比為QUOTE×100%≈91%.2.某班的全體學(xué)生參加英語(yǔ)測(cè)試,成績(jī)的頻率直方圖如圖,數(shù)據(jù)的分組依次為[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人數(shù)是15,則該班的學(xué)生人數(shù)是 ()A.45 B.50 C.55 【解析】選B.設(shè)該班的學(xué)生人數(shù)為n,則20×(0.005+0.01)n=15,n=50.3.某工廠對(duì)一批元件進(jìn)行抽樣檢測(cè).經(jīng)檢測(cè),抽出的元件的長(zhǎng)度(單位:mm)全部在93至105之間.將抽出的元件的長(zhǎng)度以2為組距分成6組:[93,95),[95,97),[97,99),[99,101),[101,103),[103,105],得到如圖所示的頻率直方圖.若長(zhǎng)度在[97,103)內(nèi)的元件為合格品,根據(jù)頻率直方圖,估計(jì)這批元件的合格率是 ()A.80% B.90% C.20% D.85.5%【解析】選A.由頻率分布直方圖可知元件長(zhǎng)度在[97,103)內(nèi)的頻率為1(0.0275+0.0275+0.0450)×2=0.8,故這批元件的合格率為80%.4.對(duì)某小區(qū)100戶居民的月均用水量進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到樣本的頻率直方圖如圖所示,則估計(jì)此樣本的眾數(shù)、中位數(shù)分別為 (),2.5 B.2.25,2.02C.2,2.5 D.2.5,2.25【解析】選B.眾數(shù)是指樣本中出現(xiàn)頻率最高的數(shù),在頻率直方圖中通常取該組區(qū)間的中點(diǎn),所以眾數(shù)為QUOTE=2.25.中位數(shù)是頻率為0.5的分界點(diǎn),由頻率直方圖,可知前4組的頻率和為(0.08+0.16+0.30+0.44)×0.5=0.49,因此中位數(shù)出現(xiàn)在第5組,設(shè)中位數(shù)為x,則(x2)×0.5=0.01,解得x=2.02.5.已知100名學(xué)生某月飲料消費(fèi)支出情況的頻率直方圖如圖所示.則這100名學(xué)生中,該月飲料消費(fèi)支出超過(guò)150元的人數(shù)是________.

【解析】根據(jù)頻率直方圖,得消費(fèi)支出超過(guò)150元的頻率為(0.004+0.002)×50=0.3,所以消費(fèi)支出超過(guò)150元的人數(shù)是100×0.3=30.答案:306.某制造商為運(yùn)動(dòng)會(huì)生產(chǎn)一批直徑為40mm的乒乓球,現(xiàn)隨機(jī)抽樣檢查20只,測(cè)得每只球的直徑(單位:mm,保留兩位小數(shù))如下:40.0240.0039.9840.0039.9940.0039.9840.0139.9839.9940.0039.9939.9540.0140.0239.9840.0039.9940.0039.96(1)完成下面的頻率分布表,并畫出頻率直方圖;分組頻數(shù)頻率[39.95,39.97)[39.97,39.99)[39.99,40.01)[40.01,40.03]合計(jì)(2)假定乒乓球的直徑誤差不超過(guò)0.02mm為合格品,若這批乒乓球的總數(shù)為10000只,試根據(jù)抽樣檢查結(jié)果估計(jì)這批產(chǎn)品的合格數(shù).【解析】(1)頻率分布表:分組頻數(shù)頻率[39.95,39.97)20.105[39.97,39.99)40.2010[39.99,40.01)100.5025[40.01,40.03]40.2010合計(jì)201頻率直方圖:(2)因?yàn)槌闃拥?0只產(chǎn)品中在[39.98,40.02]范圍內(nèi)有18只,所以合格率為QUOTE×100%=90%,所以10000×90%=9000(只).即根據(jù)抽樣檢查結(jié)果,可以估計(jì)這批產(chǎn)品的合格數(shù)為9000只.【補(bǔ)償訓(xùn)練】從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件,測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,由測(cè)量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表:質(zhì)量指標(biāo)值分組[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]頻數(shù)62638228(1)根據(jù)上表作出這些數(shù)據(jù)的頻率直方圖;(2)估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);(3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù),能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定?【解析】(1)頻率直方圖如圖.(2)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100.質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為s2=(80100)2×0.06+(90100)2×0.26+(100100)2×0.38+(110100)2×0.22+(120100)2×0.08=104.所以這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)的估計(jì)值為100,方差的估計(jì)值為104.(3)質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計(jì)值為0.38+0.22+0.08=0.68.由于該估計(jì)值小于0.8,故不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定.(30分鐘50分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況,隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生,得到他們?cè)谀骋惶旄髯哉n外閱讀所用的時(shí)間的數(shù)據(jù),結(jié)果用下面的條形統(tǒng)計(jì)圖表示.根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖可得這50名學(xué)生這一天平均每人的課外閱讀時(shí)間為 ()時(shí) B.0.9時(shí) C.1.0時(shí) D.1.5時(shí)【解析】選B.這50名學(xué)生這一天平均每人的課外閱讀時(shí)間為(0×5+0.5×20+1.0×10+1.5×10+2.0×5)÷50=0.9(時(shí)).2.為了研究某藥品的療效,選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn),所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位:kPa)的分組區(qū)間為[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組,第二組,…,第五組,如圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率直方圖.已知第一組與第二組共有20人,第三組中沒有療效的有6人,則第三組中有療效的人數(shù)為 ()A.20 B.18 C.16 D.12【解析】選D.志愿者的總?cè)藬?shù)為QUOTE=50,所以第三組的人數(shù)為50×0.36=18,有療效的人數(shù)為186=12.3.某養(yǎng)豬場(chǎng)定購(gòu)了一批仔豬,從中隨機(jī)抽查了100頭仔豬的體重(單位:斤),經(jīng)數(shù)據(jù)處理得到如圖①的頻率直方圖,其中體重最輕的14頭仔豬的體重的莖葉圖如圖②,為了將這批仔豬分欄喂養(yǎng),需計(jì)算頻率直方圖中的一些數(shù)據(jù),其中a+b的值為 ()A.0.144 C.0.76 【解析】選B.由題意得c+d=QUOTE×QUOTE=0.024且[2(c+d)+a+b]×5=1.所以2×0.024+a+b=0.2.所以a+b=0.152.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖是某學(xué)校抽取的學(xué)生體重的頻率直方圖,已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為1∶2∶3,第2小組的頻數(shù)為10,則抽取的學(xué)生人數(shù)為 ()A.20 B.30 C.40 D.50【解析】選C.前3組的頻率之和等于1(0.0125+0.0375)×5=0.75,第2小組的頻率是0.75×QUOTE=0.25,設(shè)樣本容量為n,則QUOTE=0.25,即n=40.4.為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力,隨機(jī)抽查了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量得到頻率直方圖如圖,則這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量的中位數(shù)為 ()A.65 B.64 C.62.5 D.60【解析】選C.設(shè)20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量的中位數(shù)為x,則0.2+(x55)×0.04=0.5,x=62.5.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)5.在某次高中學(xué)科競(jìng)賽中,4000名考生的參賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖所示,60分以下視為不及格,若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表,則下列說(shuō)法正確有 ()A.成績(jī)?cè)赱70,80)分的考生人數(shù)最多B.不及格的考生人數(shù)為1000C.考生競(jìng)賽成績(jī)的平均分為70.5分D.考生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)為75分【解析】選ABC.A選項(xiàng),由頻率直方圖可得成績(jī)?cè)赱70,80)的頻率最高,因此考生人數(shù)最多,故A正確;B選項(xiàng),由頻率直方圖可得成績(jī)?cè)赱40,60)的頻率為0.25,因此,不及格的人數(shù)為4000×0.25=1000,故B正確;C選項(xiàng),由頻率直方圖可得平均分為45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5(分),故C正確;D選項(xiàng),因?yàn)槌煽?jī)?cè)赱40,70)的頻率為0.45,成績(jī)?cè)赱70,80)的頻率為0.3,所以中位數(shù)為70+10×QUOTE≈71.67(分),故D錯(cuò)誤.【補(bǔ)償訓(xùn)練】某次考試中,某班級(jí)的數(shù)學(xué)成績(jī)統(tǒng)計(jì)圖如下(每組數(shù)據(jù)包含左端點(diǎn),不包含右端點(diǎn)).則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.分?jǐn)?shù)在70～80的人數(shù)最多B.該班的總?cè)藬?shù)為40C.分?jǐn)?shù)在90～100的人數(shù)最少D.及格(≥60分)的人數(shù)是26【解析】選ABC.從表中可以看出,分?jǐn)?shù)在70～80的有14人,人數(shù)最多,所以選項(xiàng)A正確;該班共有4+12+14+8+2=40人,所以選項(xiàng)B正確;從表中可以看出,分?jǐn)?shù)在90～100的有2人,人數(shù)最少,所以選項(xiàng)C正確;及格(≥60分)的人數(shù)為12+14+8+2=36人,所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.6.某班進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)測(cè)試,全班學(xué)生的成績(jī)都落在區(qū)間[50,100]內(nèi),其成績(jī)的頻率直方圖如圖所示,則該班學(xué)生這次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)和眾數(shù)的估計(jì)值為()A.81.5 B.75 C.81.25 D.85【解析】選CD.因?yàn)?0.005+0.015+0.025)×10=0.45<0.5,(0.005+0.015+0.025+0.040)×10=0.85>0.5,所以該班學(xué)生這次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)落在[80,90)內(nèi).設(shè)中位數(shù)為x,因?yàn)?0.005+0.015+0.025)×10+0.04×(x80)=0.5,所以所求中位數(shù)為x=81.25.眾數(shù)為85.三、填空題(每小題5分,共10分)7.某校為了了解學(xué)生的睡眠情況,隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生,得到他們?cè)谀骋惶旄髯缘乃邥r(shí)間的數(shù)據(jù),結(jié)果用如圖所示的條形圖表示.根據(jù)條形圖可得這50名學(xué)生這一天平均每人的睡眠時(shí)間為________h.

【解析】根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖得平均每人的睡眠時(shí)間為5.5×0.1+6×0.3+6.5×0.4+7×0.1+7.5×0.1=6.4(h).答案:6.4【補(bǔ)償訓(xùn)練】某電子商務(wù)公司對(duì)10000名網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物者2018年度的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額(單位:萬(wàn)元)都在區(qū)間[0.3,0.9]內(nèi),其頻率直方圖如圖所示.(1)直方圖中的a=________;

(2)在這些購(gòu)物者中,消費(fèi)金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的購(gòu)物者的人數(shù)為________.

【解析】(1)由0.1×1.5+0.1×2.5+0.1a+0.1×2.0+0.1×0.8+0.1×0.2=1,解得a=3.(2)消費(fèi)金額在區(qū)間[0.3,0.5)內(nèi)的頻率為0.1×1.5+0.1×2.5=0.4,故消費(fèi)金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的頻率為10.4=0.6.因此,消費(fèi)金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的購(gòu)物者的人數(shù)為0.6×10000=6000.答案:(1)3(2)60008.對(duì)某市“四城同創(chuàng)”活動(dòng)中800名志愿者的年齡進(jìn)行抽樣調(diào)查,統(tǒng)計(jì)后得到頻率直方圖(如圖),但是年齡組為[25,30)的數(shù)據(jù)不慎丟失,則依據(jù)此圖可得:(1)年齡組[25,30)對(duì)應(yīng)小矩形的高度為________;

(2)據(jù)此估計(jì)該市“四城同創(chuàng)”活動(dòng)中志愿者年齡在[25,35)內(nèi)的人數(shù)為________.

【解析】(1)設(shè)年齡組[25,30)對(duì)應(yīng)小矩形的高度為h,則5×(0.01+h+0.07+0.06+0.02)=1,解得h=0.04.(2)由(1)得志愿者年齡在[25,35)內(nèi)的頻率為5×(0.04+0.07)=0.55,故志愿者年齡在[25,35)內(nèi)的人數(shù)約為0.55×800=440.答案:(1)0.04(2)440四、解答題9.(10分)(2019·全國(guó)Ⅲ卷)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度,進(jìn)行如下試驗(yàn):將200只小鼠隨機(jī)分成A,B兩組,每組100只,其中A組小鼠給服甲離子溶液,B組小鼠給服乙離子溶液,每組小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖:記C為事件:“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比