第1課（B培優(yōu)）等差數(shù)列（原卷版）-【名校沖刺】2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步精講教案（數(shù)列篇）（滬教版2020選擇性必修第一冊(cè)）

第1課：等差數(shù)列教學(xué)目標(biāo)1、理解等差數(shù)列的概念，能結(jié)合其定義證明數(shù)列是等差數(shù)列；2、掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，能求通項(xiàng)和求和；3、會(huì)利用等差數(shù)列的性質(zhì)簡(jiǎn)化一些求和求通項(xiàng)問題。重點(diǎn)1、等差數(shù)列中函數(shù)的思想2、熟練運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式。難點(diǎn)1、數(shù)列中函數(shù)的思想2、等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用（一）等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式知識(shí)梳理1、等差數(shù)列的定義:如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示2、等差中項(xiàng):如果，，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)即：或在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮等差數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)；事實(shí)上等差數(shù)列中某一項(xiàng)是與其等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)3、等差數(shù)列的判定方法:①定義法：對(duì)于數(shù)列，若(常數(shù))，則數(shù)列是等差數(shù)列②等差中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列，若，則數(shù)列是等差數(shù)列4、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:如果等差數(shù)列的首項(xiàng)是，公差是，則等差數(shù)列的通項(xiàng)為該公式整理后是關(guān)于n的一次函數(shù)5、等差數(shù)列的常用性質(zhì):①等差數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果是等差數(shù)列的第項(xiàng)，是等差數(shù)列的第項(xiàng)，且，公差為，則有；②對(duì)于等差數(shù)列，若，則；例題精講【例1】（1）在等差數(shù)列中，，，則________．（2）已知{an}，{bn}是兩個(gè)等差數(shù)列，其中a1＝3，b1＝－3，且a20－b20＝6，那么a10－b10的值為（）A．－6 B．6 C．0 D．10（3）已知，，且，，成等差數(shù)列，則有最小值_____【例2】在數(shù)列中，，是1與的等差中項(xiàng)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；【例3】已知等差數(shù)列為5，8，11，…和等差數(shù)列為3，7，11，…各有100項(xiàng)，問同屬于數(shù)列和的數(shù)有幾個(gè)？【例4】在等差數(shù)列中，，則（）A．8 B．12 C．16 D．20鞏固訓(xùn)練1、數(shù)列為等差數(shù)列，，又已知，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．2、楊輝三角是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．某校數(shù)學(xué)興趣小組模仿楊輝三角制作了如下數(shù)表．123456...35791113...81216202428.....................該數(shù)表的第一行是數(shù)列，第二行起每一個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)之和，則這個(gè)數(shù)表中第4行的第5個(gè)數(shù)為__________，各行的第一個(gè)數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為__________．3、等差數(shù)列的首項(xiàng)為，且從第10項(xiàng)開始為比1大的項(xiàng)，則公差d的取值范圍是（）A． B． C． D．4、在四面體中，平面，三內(nèi)角，A，成等差數(shù)列，，，則該四面體的外接球的表面積為___________.5、已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且對(duì)任意的正整數(shù)n，是和的等差中項(xiàng)，證明：是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式．（二）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和知識(shí)梳理1、前項(xiàng)的和與通項(xiàng)的關(guān)系：這個(gè)公式在求通項(xiàng)公式和證明時(shí)經(jīng)常用到．2、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和:=1\*GB3①=2\*GB3②對(duì)于公式=2\*GB3②整理后是關(guān)于n的沒有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)3、若數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，，那么，，成等差數(shù)列4、奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的關(guān)系：設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是奇數(shù)項(xiàng)的和，是偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的和，是前n項(xiàng)的和，則有如下性質(zhì)：前n項(xiàng)的和當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，其中d為公差；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則，，，，例題精講【例5】數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，滿足，，則使得為數(shù)列中的項(xiàng)的所有正整數(shù)的值為________.【例6】已知數(shù)列中，，，對(duì)任意正整數(shù)，，為的前項(xiàng)和，則_______.【例7】已知一個(gè)等差數(shù)列共有項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為290，偶數(shù)項(xiàng)之和為261，則第項(xiàng)為______?！纠?】（1）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則等于（）A． B． C． D．【例9】（1）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則________.（2）設(shè)是任意等差數(shù)列，它的前項(xiàng)和、前項(xiàng)和與前項(xiàng)和分別為，則下列等式中恒成立的是（）A． B．C． D．【例10】（1）數(shù)列滿足，則_____，_____.【例11】正整數(shù)數(shù)列滿足（p，q為常數(shù)），其中為數(shù)列的前n項(xiàng)和．(1)若，，求證：是等差數(shù)列；(2)若數(shù)列為等差數(shù)列，求p的值；鞏固訓(xùn)練1、已知等差數(shù)列中，，前10項(xiàng)的和等于前5項(xiàng)的和，若，則（）A．10 B．9 C．8 D．22、已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，則________。3、記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則（）A． B． C． D．4、下列結(jié)論中正確的有（）A．若為等差數(shù)列，它的前項(xiàng)和為，則數(shù)列也是等差數(shù)列B．若為等差數(shù)列，它的前項(xiàng)和為，則數(shù)列，，，也是等差數(shù)列C．若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，它的偶數(shù)項(xiàng)和為，奇數(shù)項(xiàng)和為，則D．若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，它的偶數(shù)項(xiàng)和為，奇數(shù)項(xiàng)和為，則5、等差數(shù)列、的前項(xiàng)和分別為和，若，則________．6、已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是________。7、已知數(shù)列有，是它的前項(xiàng)和，且．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列.（2）求的前項(xiàng)和.（三）等差數(shù)列函數(shù)性質(zhì)知識(shí)梳理1、等差數(shù)列通項(xiàng)公式：，其中當(dāng)時(shí)，常函數(shù)；當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)；2、等差數(shù)列前n項(xiàng)和：，其中當(dāng)時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)；3、等差數(shù)列的單調(diào)性：設(shè)數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞增的，當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞減的，若d=0,則數(shù)列為常數(shù)列；4、等差數(shù)列的最值：若是等差數(shù)列，求前n項(xiàng)和的最值時(shí)，（1）若>0,d>0,且滿足，前n項(xiàng)和最大；（2）若<0,d>0，且滿足，前n項(xiàng)和最小；例題精講【例11】在等差數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，若，則＝_______。【例13】已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的最大值.【例14】（1）等差數(shù)列中，已知，，則的前項(xiàng)和的最小值為（）A． B． C． D．（2）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則下列說法中正確的是（）A．為遞增數(shù)列 B．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值C．不等式的解集為 D．不等式的解集為無限集鞏固訓(xùn)練1、設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sm＝－2，Sm＋1＝0，Sm＋2＝3，則m＝________.2、設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，.若，則（）A．的最大值是 B．的最小值是C．的最大值是 D．的最小值是3、已知為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和，若，，則下列不正確的是（）A．公差 B．C． D．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)4、已知等差數(shù)列的公差不等于，其前項(xiàng)和為，若，則的最小值為（）A． B． C． D．（四）等差數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用例題精講【例15】如圖所示，四邊形是平行四邊形，過點(diǎn)的直線與射線、分別相交于點(diǎn)、，若，．（1）把用表示出來（即求的解析式）；（2）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和滿足：，求數(shù)列通項(xiàng)公式．【例16】某市抗洪指揮部接到最新雨情通報(bào)，未來城區(qū)攔洪壩外洪水將超過警戒水位，因此需要緊急抽調(diào)工程機(jī)械加髙加固攔洪壩．經(jīng)測(cè)算，加高加固攔洪壩工程需要調(diào)用臺(tái)某型號(hào)翻斗車，每輛翻斗車需要平均工作．而抗洪指揮部目前只有一輛翻斗車可立即投入施工，其余翻斗車需要從其他施工現(xiàn)場(chǎng)抽調(diào)．若抽調(diào)的翻斗車每隔才有一輛到達(dá)施工現(xiàn)場(chǎng)投入工作，要在內(nèi)完成攔洪壩加高加固工程，指揮部至少還需要抽調(diào)這種型號(hào)翻斗車（）A．輛 B．輛 C．輛 D．輛鞏固訓(xùn)練1、設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為2，前10項(xiàng)和為490，等差數(shù)列{bn}的公差為4，前10項(xiàng)和為240.以ak，bk為鄰邊的矩形內(nèi)的最大圓的面積記為Sk，若k≤18，則Sk=（）A．π(2k+1)2 B．π(2k+3)2 C．π(k+1)2 D．π(k+18)22、7月份，有一新款服裝投入某市場(chǎng).7月1日該款服裝僅售出3件，以后每天售出的該款服裝都比前一天多3件，當(dāng)日銷售量達(dá)到最大（只有1天）后，每天售出的該款服裝都比前一天少2件，且7月31日當(dāng)天剛好售出3件．（1）求7月幾日該款服裝銷售最多，最多售出幾件．（2）按規(guī)律，當(dāng)該市場(chǎng)銷售此服裝達(dá)到200件時(shí)，社會(huì)上就開始流行，而日銷售量連續(xù)下降并低于20件時(shí)，則不再流行．求該款服裝在社會(huì)上流行幾天．實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練一、填空題1、已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則___________.2、有兩個(gè)等差數(shù)列，，滿足，則=____________；3、已知為等差數(shù)列，，，則_____。4、等差數(shù)列共項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)和為319，偶數(shù)項(xiàng)和為290，則_______.5、已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和最大.則當(dāng)時(shí)，___________.6、設(shè)數(shù)列{}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，已知，若對(duì)任意n∈N*，都有成立，則k的值為______.二、選擇題7、數(shù)列，3，，，，…，則9是這個(gè)數(shù)列的第（）A．12項(xiàng)B．13項(xiàng)C．14項(xiàng)D．15項(xiàng)8、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和記為.若為一個(gè)確定的常數(shù)，則下列各數(shù)也是常數(shù)的是（）.A． B． C． D．9、已知公差為的等差數(shù)列，為其