福建省龍巖市長汀縣2023屆九年級中考一模數(shù)學試卷(含解析)

2023年福建省龍巖市長汀縣中考數(shù)學一模試卷一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.-13的倒數(shù)為(

)A.13 B.3 C.-3 D.2.在下面的四個幾何體中，主視圖是三角形的是(

)A.圓錐 B.正方體

C.三棱柱 D.圓柱3.某市有3萬名學生參加中考，為了考察他們的數(shù)學考試成績，抽樣調查了2000名考生的數(shù)學成績，在這個問題中，下列說法正確的是(

)A.3萬名考生是總體 B.每名考生的數(shù)學成績是個體

C.2000名考生是總體的一個樣本 D.2000名是樣本容量4.下列運算正確的是(

)A.2m-m=1 B.m2?m3=a5.將一副三角板按如圖所示的位置擺放在直尺上，則∠1的度數(shù)為(

)A.70° B.75° C.80° D.85°6.如圖，△ABC為鈍角三角形，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉100°得到△AB'C'，連接CC'，若CC'//AB，則∠CAB'的度數(shù)為(

)

A.45° B.60° C.70° D.90°7.習近平總書記指出，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是中華民族的“根”和“魂”.為了大力弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校決定開展名著閱讀活動．用3600元購買“四大名著”若干套后，發(fā)現(xiàn)這批圖書滿足不了學生的閱讀需求，圖書管理員在購買第二批時正趕上圖書城八折銷售該套書，于是用2400元購買的套數(shù)只比第有批少4套．設第一批購買的“四大名著”每套的價格為x元，則符合題意的方程是(

)A.36000.8x-3600x=4 B.3600x8.如圖，AB是半圓O的直徑，C，D是半圓上兩點，且滿足∠ADC=120°，AB=12，則BC的長為(

)A.π

B.2π

C.4π

D..6π9.如圖，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且有一個內角為72°，現(xiàn)將其繞點D順時針旋轉得到菱形A'B'C'D，線段AB與線段B'C'交于點P，連接BB'.當五邊形A'B'BCD為正五邊形時，BPAP長為(

)A.1

B.5+12

C...10.已知拋物線y=(x-x1)(x-x2)+1(x1<x2)，拋物線與x軸交于(m,0)，(n,0)兩點(m<n)A.x1<m<n<x2 B.m<x1二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）11.不等式x-13≤1的解集是

．12.小麗計算數(shù)據(jù)方差時，使用公式S2=15[(5-x-)13.如圖，在△ABC中，BC=7，把△ABC沿射線AB方向平移4個單位至△EFG處，EG與BC交于點M.若CM=3，則圖中陰影部分的面積為______．

14.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3.⊙O是△ABC的內切圓，分別與AC、BC、AB相切于點D、E、F，則圓心O到頂點A的距離=

．

15.如圖，A，C是反比例函數(shù)y=kx(x<0)圖象上的點，過點A，C分別作AB⊥x軸，CD⊥x軸，垂足分別是點B，D，連接OA，AC，OC，線段OC交AB于點E，且E恰好是OC的中點．當△AEC的面積為32時，k的值是______

16.如圖，正方形ABCD中，E是線段CD上一動點，連接AE交BD于點F，過點F作FG⊥AE交BC于點G，連接AG，EG，現(xiàn)有以下結論：①△AFG是等腰直角三角形；②DE+BG=EG；③點A到EG的距離等于正方形的邊長；④當點E運動到CD的三等分點時，BGBC=12或BGBC=

三、計算題（本大題共1小題，共6.0分）17.計算：18-4cos45°+|-2|-(1-四、解答題（本大題共8小題，共80.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）18.(本小題6.0分)

先化簡，再求值：(1-22-x)÷(xx2-4x+4)，請在數(shù)-2，19.(本小題8.0分)

如圖，在△ABC中，點P，Q分別在邊BC及CB的延長線上，且BQ=CP．

(1)實踐與探索：利用尺規(guī)按下列要求作圖(不寫作法，保留作圖痕跡)．

①作∠PQM=∠CBA，且點M在QC的上方；

②在QM上截取QR=BA；

③連接PR．

(2)猜想與驗證：試猜想線段AC和RP的數(shù)量關系，并證明你的猜想．20.(本小題10.0分)

如圖，在?ABCD中，E是BC邊上一點，連接AB、AC、ED.若AE=AB，求證：AC=DE．21.(本小題10.0分)

某校在宣傳“民族團結”活動中，采用四種宣傳形式：A.器樂，B.舞蹈，C.朗誦，D.唱歌.每名學生從中選擇并且只能選擇一種最喜歡的，學校就宣傳形式對學生進行了抽樣調查，并將調查結果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．

請結合圖中所給信息，解答下列問題：

(1)本次調查的學生共有______人；扇形統(tǒng)計圖中表示D選項的扇形圓心角的度數(shù)是______，并補全條形統(tǒng)計圖；

(2)該校共有1200名學生，請估計選擇“唱歌”的學生有多少人？

(3)七年一班在最喜歡“器樂”的學生中，有甲、乙、丙、丁四位同學表現(xiàn)優(yōu)秀，現(xiàn)從這四位同學中隨機選出兩名同學參加學校的器樂隊，請用列表或畫樹狀圖法求被選取的兩人恰好是甲和乙的概率．22.(本小題10.0分)

紅燈籠，象征著闔家團圓，紅紅火火，掛燈籠成為我國的一種傳統(tǒng)文化．小明在春節(jié)前購進甲、乙兩種紅燈籠，用3120元購進甲燈籠與用4200元購進乙燈籠的數(shù)量相同，已知乙燈籠每對進價比甲燈籠每對進價多9元．

(1)求甲、乙兩種燈籠每對的進價；

(2)經市場調查發(fā)現(xiàn)，乙燈籠每對售價50元時，每天可售出98對，售價每提高1元，則每天少售出2對：物價部門規(guī)定其銷售單價不高于每對65元，設乙燈籠每對漲價x元，小明一天通過乙燈籠獲得利潤y元．

①求出y與x之間的函數(shù)解析式；

②乙種燈籠的銷售單價為多少元時，一天獲得利潤最大？最大利潤是多少元？23.(本小題12.0分)

如圖，在△ABC中，AC=BC，以BC為直徑作⊙O，交AC于點F，過C點作CD⊥AC交AB延長線于點D，E為CD上一點，且EB=ED．

(1)求證：BE為⊙O的切線；

(2)若AF=2，tanA=2，求BE的長．24.(本小題12.0分)

已知菱形ABCD中，∠BAD=120°，點E、F分別在AB、BC上，BE=CF，AF與CE交于點P．

(1)求證：∠APE=60°；

(2)當PC=1，PA=5時，求PD的長；

(3)當AB=23時，求PD的最大值．25.(本小題12.0分)

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A(4,0)，C(-1,0)與y軸交于點B，已知tan∠BAC=34．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)如圖1，點P為拋物線上的點，且點P的橫坐標為3，F(xiàn)是拋物線上異于點P的點，連接PA，PB，當S△PAB=S△FAB，求點F的橫坐標；

(3)如圖2，點Q為直線AB上方拋物線上一點，OQ交AB于點D，QE//BO交AB于點E.記△QDE，△QDB，△BDO的面積分別為S1，答案和解析1.C

2.A

3.B

4.C

5.B

解析：解：如圖，

∵∠2=90°-30°=60°，

∴∠3=180°-45°-60°=75°，

∵a//b，

∴∠1=∠3=75°，

故選：B．

利用三角形內角和定理和平行線的性質解題即可．

此題考查平行線的性質，關鍵是根據(jù)兩直線平行，同位角相等解答．

6.B

解析：解：∵將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉100°得到△AB'C'，

∴AC=AC'，∠BAB'=∠CAC'=100°，

∴∠ACC'=∠AC'C=40°，

∵AB//CC'，

∴∠BAC=∠ACC'=40°，

∴∠CAB'=∠BAB'-∠BAC=60°，

故選：B．

由旋轉的性質可得AC=AC'，∠BAB'=∠CAC'=100°，由等腰三角形的性質可得∠ACC'=∠AC'C=40°，由平行線的性質可得∠BAC=∠ACC'=40°，即可求解．

本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，也考查了等腰三角形的性質和平行線的性質．

7.B

解析：解：設第一批購買的“四大名著”每套的價格為x元，則設第二批購買的“四大名著”每套的價格為0.8x元，

依題意得：3600x-24000.8x=4．

故選：B．

設第一批購買的“四大名著”每套的價格為x元，則設第二批購買的“四大名著”每套的價格為0.8x元，利用數(shù)量=總價÷單價，結合第二批購買的套數(shù)比第一批少48.B

解析：解：如圖，連接OC．

∵∠ADC=120°，

∴∠ABC=60°，

∵OB=OC，

∴∠COB=∠B=60°，

∵AB=12，

∴OB=6，

∴BC的長為60π×6180=2π，

故選：B．

由圓周角定理求出∠COB=∠B=60°，再根據(jù)弧長公式進行計算即可．9.B

解析：解：連接BC'，AC'，

∵五邊形A'B'BCD為正五邊形，

∴∠CDA'=(5-2)×180°5=108°，

∵菱形ABCD繞點D順時針旋轉得到菱形A'B'C'D，

∴CD=AD=DC'=AB=2，AB//CD，A'D//B'C'，∠ADC=∠A'DC'=72°，∠CDC'=∠ADA'，

∴∠CDC'=∠ADA'=∠CDA'-∠ADC=36°，

∴∠ADC'=∠ADC-∠CDC'=36°，

∴∠CDC'=∠ADC'=36°，

∴DC'平分∠ADC，

∴點D，C'，B在同一條直線上，

∵AD=AB，

∴∠ADB=∠ABD=36°，

∵AD=DC'，

∴∠DAC'=∠DC'A=72°，

∵AB//CD，

∴∠DAB=180°-∠ADC=108°，

∴∠BAC'=∠DAB-∠DAC'=36°，

∴∠ABC'=∠BAC'=36°，

∴AC'=BC'，

設AC'=BC'=x，

∵∠ABC'=∠ABD，∠BAC'=∠ADB=36°，

∴△BAC'∽△BDA，

∴BABD=BC'BA，

∴2x+2=x2，

∴x=5-1或x=-5-1(舍去)，

∴AC'=BC'=5-1，

∵A'D//B'C'，

∴∠A'DC'=∠BC'B'=72°，

∴∠BPC'=180°-∠BC'P-∠ABD=72°，

∴∠BC'P=∠BPC'=72°，

∴BC'=BP=5-1，

∴AP=AB-BP=3-5，

∴BPAP=5-13-5=5+12，

故選：B．

連接BC'，10.A

解析：解：設y'=(x-x1)(x-x2)，則x1、x2是函數(shù)y'和x軸的交點的橫坐標，

而y=(x-x1)(x-x2)+1=y'+1，

即函數(shù)y'向上平移1個單位得到函數(shù)y，

則兩個函數(shù)的圖象如下圖所示(省略了y軸)，

從圖象看，x1<m<n<x2，11.x≤4

解析：解：x-13≤1，

去分母，得：x-1≤3，

移項及合并同類項，得：x≤4，

故答案為：x≤4．

根據(jù)解一元一次不等式的方法，可以求得該不等式的解集．12.9

解析：解：∵S2=15[(5-x-)2+(8-x13.22

解析：解：由平移的性質可知：GF=BC=7，BF=4，△ABC≌△EFG，

∴S△ABC=S△EFG，

∴S△ABC-S△EBM=S△EFG-S△EBM，即S陰影部分=S梯形MBFG，

∵BC=7，CM=3，14.10解析：解：如圖，連結OD，OE，OF，設⊙O半徑為r，

∵∠C=90°，AC=4，BC=3，

∴AB=AC2+BC2=5，

∵⊙O是△ABC的內切圓，分別與AC、BC、AB相切于點D、E、F，

∴AC⊥OD，AB⊥OF，BC⊥OE，且OF=OD=OE=r，

∴四邊形OECF是正方形，

∴CE=CD=OD=r，

∴AD=AF=AC-CD=4-r，BF=BE=BC-CE=3-r，

∵AF+BF=AB=5，

∴3-r+4-r=5，

∴r=1．

∴OD=CD=1，

∴AD=3．

∴AO=AD2+OD2=10．

故答案為：10．

如圖，連結OD，OE，OF，設⊙O半徑為15.-4

解析：解：∵AB⊥x軸，CD⊥x軸，E為OC的中點，

∴B為OD的中點，

∴BE為△CDO的中位線．

設點B的坐標為(b,0)，則D(2b,0)，A(b,kb)，C(2b,k2b)，E(b,k4b).

∴DB=|b|，AE=kb-k4b，

∴S△ACE=12|b|(kb-k4b)=32．

∵b<0，

∴-1216.①②③

解析：解：如圖所示，延長GF交AD于點H，連接CF，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADF=∠CDF=45°，AD=CD，AD//BC，

在△ADF和△CDF中，

AD=CD∠ADF=∠CDFDF=DF，

∴△ADF≌△CDF(SAS)，

∴AF=CF，∠DAF=∠DCF，

∵AD//BC，

∴∠AHF=∠CGF，

∵FG⊥AE，

∴∠HAF+∠AHF=90°，

∴∠HAF+∠CGF=90°，

∵∠DCF+∠GCF=90°，

∴∠CGF=∠GCF，

∴FG=FC=AF，

∴△AGF是等腰直角三角形，故①正確；

∴∠FAG=45°；

將△ADE繞點A順時針旋轉90°得到△ABM，過點A作AN⊥GE于點N，

由旋轉的性質可知，∠MAE=90°，AM=AE，BM=DE，∠ABM=∠ADE=90°，

∴∠ABM+∠ABG=180°，即B、M、G三點共線，

∵∠FAG=45°，

∴∠MAG=∠MAE-∠FAG=45°，

在△AMG和△AEG中，

AM=AE∠MAG=∠EAGAG=AG，

∴△AMG≌△AEG(SAS)，

∴GE=MG，

∴GE=GM=BG+BM=BG+DE，故②正確；

∵△AMG≌△AEG，

∴AN=AB，

∵AN⊥GE，即AN為點A到EG的距離，

∴點A到EG的距離等于正方形的邊長，故③正確；

設BC=CD=3x，BG=y，則CG=3x-y，

∵點E是點D的三等分點，

當CE=2x，DE=x時，

由②可知，EG=DE+BG=x+y，

在Rt△CGE中，CG2+CE2=GE2，

∴(3x-y)2+(2x)2=(x+y)2，

整理得：y=32x，

∴BGBC=12；

當CE=x，DE=2x時，

由②可知，EG=DE+BG=2x+y，

在Rt△CGE中，CG2+CE2=GE2，

∴(3x-y)2+x2=(2x+y)2，

整理得：y=35x，

∴BGBC=15

綜上所述，當點E運動到CD的三等分點時，BGBC=12或BGBC=15，故④錯誤，

故答案為：①②③．

如圖所示，延長GF交AD于H，連接CF，根據(jù)正方形的性質，易證△ADF≌△CDF(SAS)，得到AF=CF，∠DAF=∠DCF，再利用平行線的性質，證明∠AHF=∠CGF，進而推出∠CGF=∠GCF，得到FG=FC=AF，即可證明△AGF是等腰直角三角形，故①正確；則∠FAG=45°，將△ADE繞點A順時針旋轉90°17.解：原式=32-4×22+2-1解析：先算開方、乘方化簡絕對值，再代入特殊角的三角函數(shù)值算乘法，最后算加減．

本題考查了實數(shù)的混合運算，掌握二次根式的化簡、“a0=1(a≠0)18.解：原式=(2-x2-x-22-x)?(x-2)2x

=xx-2?(x-2)2x

解析：根據(jù)分式的混合運算法則按原式化簡，根據(jù)分式有意義的條件確定x的值，代入計算即可．

本題考查的是分式的化簡求值、分式有意義的條件，掌握分式的混合運算法則是解題的關鍵．

19.解：(1)如圖所示：PR即為所求；

(2)AC=RP，理由如下：

∵BQ=CP，

∴BQ+BP=CP+BP，

∴QP=BC，

由作圖過程可知：∠PQM=∠CBA，QR=AB，

∴△PQM≌△CBA(SAS)，

∴AC=RP．

解析：(1)根據(jù)基本作圖方法即可完成作圖；

(2)由作圖過程可得∠PQM=∠CBA，QR=AB，證明△PQM≌△CBA(SAS)，即可解決問題．

本題考查了作圖-復雜作圖，解決本題的關鍵是掌握基本作圖方法．

20.證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD//BC，AD=BC．

∴∠DAE=∠AEB．

∵AB=AE，

∴∠AEB=∠B．

∴∠B=∠DAE．

在△ABC和△AED中，

AB=AE∠B=∠DAEAD=BC，

∴△ABC≌△EAD(SAS)，

∴DE=AC解析：在△ABC和△EAD中已經有一條邊和一個角分別相等，根據(jù)平行的性質和等邊對等角得出∠B=∠DAE即可證明△ABC≌△EAD，進而利用全等三角形的性質解答即可．

主要考查了平行四邊形的基本性質和全等三角形的判定及性質．判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

21.100

144°

解析：解：(1)本次調查的學生共有：30÷30%=100(人)，

∴扇形統(tǒng)計圖中表示D選項的扇形圓心角的度數(shù)是360°×40100=144°，

喜歡B類項目的人數(shù)有：100-30-10-40=20(人)，

故答案為：100，144°，

補全條形統(tǒng)計圖如圖所示：

(2)由題意得：1200×40100=480(人)，

答：估計選擇“唱歌”的學生約有480人；

(3)畫樹形圖如下：

共有12種等可能的情況，其中被選取的兩人恰好是甲和乙的有2種情況，

∴被選取的兩人恰好是甲和乙的概率是212=16．

(1)根據(jù)A項目的人數(shù)和所占的百分比求出總人數(shù)，即可解決問題；

(2)用該校的總人數(shù)乘以選擇“唱歌”的學生所占的比例即可；

(3)畫出樹狀圖，共有12種等可能的情況，其中被選取的兩人恰好是甲和乙的有2種情況，再由概率公式求解即可．

本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n，再從中選出符合事件A或B22.解：(1)設甲種燈籠單價為x元/對，則乙種燈籠的單價為(x+9)元/對，由題意得：

3120x=4200x+9，

解得x=26，

經檢驗，x=26是原方程的解，且符合題意，

∴x+9=26+9=35，

答：甲種燈籠單價為26元/對，乙種燈籠的單價為35元/對．

(2)①y=(50+x-35)(98-2x)=-2x2+68x+1470，

答：y與x之間的函數(shù)解析式為：y=-2x2+68x+1470．

②∵a=-2<0，

∴函數(shù)y有最大值，該二次函數(shù)的對稱軸為：x=-b2a=17，

物價部門規(guī)定其銷售單價不高于每對65元，

∴x+50≤65，

∴x≤15，

∵x<17時，y隨x的增大而增大，解析：本題屬于分式方程和二次函數(shù)的應用題綜合．由于前后步驟有聯(lián)系，第一問解對，后面才能做對．本題還需要根據(jù)問題的實際意義來確定銷售單價的取值，本題中等難度．

(1)設甲種燈籠單價為x元/對，則乙種燈籠的單價為(x+9)元/對，根據(jù)用3120元購進甲燈籠與用4200元購進乙燈籠的數(shù)量相同，列分式方程可解；

(2)①利用總利潤等于每對燈籠的利潤乘以賣出的燈籠的實際數(shù)量，可以列出函數(shù)的解析式；

②由函數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，可知有最大值，結合問題的實際意義，可得答案．

23.(1)證明：∵AC=BC，

∴∠ACB=∠ABC，

∵EB=ED，

∴∠EBD=∠D．

∵CD⊥AC，

∴∠A+∠D=90°，

∴∠ABC+∠EBD=90°，

∴∠CBE=180°-(∠ABC+∠EBD)=90°．

∴OB⊥BE，

∵OB是⊙O的半徑，

∴BE為⊙O的切線；

(2)解：設CD與⊙O交與點G，連接BF，BG，如圖，

∵BC為⊙O的直徑，

∵∠CFB=∠CGB=90°，

∵∠ACD=90°，

∴四邊形CFBG為矩形．

∴BG=FC．

在Rt△AFB中，

∵AF=2，tanA=2=BFAF，

∴BF=4．

設AC=BC=x，則CF=x-2．

∵CF2+BF2=BC2，

∴(x-2)2+42=x2，

解得：x=5，

∴FC=3，BC=5．

∴BG=3．

∵∠CBE=90°，BG⊥CE，

解析：(1)利用等腰三角形的性質，直角三角形的兩個銳角互余和圓的切線的判定定理解答即可；

(2)設CD與⊙O交與點G，連接BF，BG，利用圓周角定理，矩形的判定與性質和直角三角形的邊角關系定理求得BF，設AC=BC=x，則CF=x-2，利用勾股定理列出方程求得x值，再利用相似三角形的判定與性質解答即可得出結論．

本題主要考查了圓的切線的判定，等腰三角形的性質，直角三角形的性質，圓周角定理，矩形的判定與性質，勾股定理，直角三角形的邊角關系定理，相似三角形的判定與性質，連接直徑所對的圓周角是解決此類問題常添加的輔助線．

24.(1)證明：連接AC，如圖1，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD//BC，AB=BC，

∵∠BAD=120°，

∴∠B=∠ADC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠ACF=∠CBE=60°，AC=CB，

∵CF=BE，

∴△ACF≌△CBE(SAS)，

∴∠CAF=∠BCE，

∵∠BCE+∠ACE=∠ACB=60°，

∴∠APE=∠ACE+∠CAF=60°；

(2)解：延長PC至G，使CG=AP，如圖2，

由(1)可知∠AFC=∠CEB，

∵AD//BC，AB//CD，

∴∠DAF+∠AFC=180°，∠DCG=∠AEC，

∴∠CEB+∠DAF=180°，

∵∠AEC+∠CEB=180°，

∴∠DAF=∠DCG，

又∵AF=CG，AD=CD，

∴△ADF≌△CDG(SAS)，

∴DF=DG，∠ADF=∠CDG，

同理得出∠ADC=60°，

∴∠ADC=∠PDG=60°，

∴△PDG是等邊三角形，

∴PD=PG=PC+PA=6；

(3)解：∵∠APE=60°，

∴∠APC=120°，

∵∠ADC=60°，

∴∠APC+∠ADC=120°+60°=180°，

∴A、P、C、D四點共圓，

∴當PD為直徑時，PD最大，

設圓心為O，連接OA，OC，過點O作OM⊥AC于點M，如圖3，

∴∠AOC=2∠ADC=120°，

∵OA=OC，

∴∠OAM=30°，

∵AC=AB=23，O