青海省玉樹州2023屆高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)文科試題（含答案與解析）

青海省玉樹州2023屆高三第三次聯(lián)考試題

數(shù)學(xué)（文科）

（試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先用黑色字跡的簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷及答題卡的指定

位置，然后將條形碼準(zhǔn)確粘貼在答題卡的“貼條形碼區(qū)”內(nèi)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體

工整，筆跡清晰。

3.按照題號順序在答題卡相應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效。

4.在草稿紙、試卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合AH"。},集合3={x∈Z∣0<x<3},∣i∣ljAB=()

A.{1}B.{1,2}C.{x∣0<x≤2}D,{x∣0≤x<3}

2.已知復(fù)數(shù)Z滿足(2+i)z+3i=4(i是虛數(shù)單位)，則IZI=()

A.√3B.√5C.3D.5

3.記等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為若S"=44,貝ιJ%+4+%=（）

A.4B.8C.12D.16

4.已知樣本數(shù)據(jù)X],巧，…，々022的平均數(shù)和方差分別為3和56,若y=2七+3（i=1,2,…,2022）,

則M，％，…，%022的平均數(shù)和方差分別是()

A.12,115B.12,224C.9,115D.9,224

5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出S的值為（）

∕???s∕

(結(jié)％)

A.112B.168C.240D.330

6.已知能、〃是兩條不同的直線，久A是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是()

A.若加_La,a_L/?,則加β

B.若加〃α,α〃1,則〃2β

C.若mua,nua,m"B，n〃B、則0〃夕

D若m_La,mJ_/,〃JLa,則

7.已知函數(shù)/(x)=OX2+加∏χ的圖象在點(diǎn)(Ij(I))處的切線方程為y=3x—1.則“一匕的值為()

A.1B.2C.3D.4

5cos28+sin28+l_

一上，則—.(>∣—=()

己知角。的終邊落在直線3X2nπ

8.y=S叫e+j

93「89

A.——B.--C.—D.-

4432

y2-二=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸是C的右支上的一點(diǎn)，則匕斗的最小值為

9.已知耳,工為雙曲線C：二

42IPKl

()

D9+警

A.16B.18C.8+4夜

10.已知函數(shù)/(x)=2sin[s-FJW>0),/(x∣)-∕(?)=4,且歸一引而”，則()

A./(x)的圖象關(guān)于尤=蘭對稱

JTJT

B./(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為——+2kπ,-+2kπ(左∈Z)

JCjE1I

C.當(dāng)元￡時(shí)，/(x)的值域?yàn)橐徊?

3622

D./(x)的圖象可由函數(shù)y=2sin(0x+.的圖象向右平移E個(gè)單位長度獲得

6

1)(1)

11.在等比數(shù)列｛%｝中0<q<4=1.則能使不等式%一一+%

++an—一≤0成立的正

<a?)<IaJ

整數(shù)〃的最大值為()

A.13B.14C.15D.16

12.設(shè)Q=LO=m??,e=Sin,，則()

595

A.a<b<cB.h<c<a

C.c<b<aD.c<a<h

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量α=(T,-3),0=(-2,m-l),若(α+2b)j,α,則加=.

14.如圖，在正方體ABCD-AMGA中，E是8C的中點(diǎn)，則異面直線BG和AE所成角的大小為

15.若/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(x+l)是偶函數(shù)，當(dāng)O≤x≤l時(shí)，/(x)=log3(x+l),則

16.已知拋物線。：丁=2〃彳(〃>0)的準(zhǔn)線方程為/：》=—2,焦點(diǎn)為F準(zhǔn)線與X軸的交點(diǎn)為A,B為C

上一點(diǎn)，且滿足IAβ∣=Ji忸目，則忸目=.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，

每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內(nèi)舉行、也是繼

2002年韓日世界杯之后時(shí)隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽，除此之外，卡塔爾世界杯還是首次

在北半球冬季舉行、第二次世界大戰(zhàn)后首次由從未進(jìn)過世界杯的國家舉辦的世界杯足球賽.某學(xué)校統(tǒng)計(jì)了該

校500名學(xué)生觀看世界杯比賽直播的時(shí)長情況(單位：分鐘)，將所得到的數(shù)據(jù)分成7組；

[0,40),[140,80),[80,120),[120,160),[160,200),[200,240),[240,280](觀看時(shí)長均在[0,280]內(nèi)),

并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)繪制如圖所示的頻率分布直方圖

(2)采用分層抽樣的方法在觀看時(shí)長在[200,240)和[240,280]的學(xué)生中抽取6人、現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽

取3人分享觀看感想，求抽取的3人中恰有2人的觀看時(shí)長在[2(X),24())的概率.

18.在①αcos?^=bsinA：②αcos3=bsinA；③tan(B+：)=2+G這三個(gè)條件中任選一?個(gè)，補(bǔ)充在

下面問題中，并給出解答.

問題：在一A5C中，角A、B、C的對邊分別為b、c,A=?,b=?，且，求-ABC的面

積.

注：如果選擇多個(gè)條件分別進(jìn)行解答，按第一個(gè)解答進(jìn)行計(jì)分.

TC

19.如圖，四棱錐P-ABCQ的底面為菱形，ZABC=-,AB=AP=2,%_L底面A8CZλE是線段PB的

3

中點(diǎn)，G,H分別是線段PC上靠近P,C的三等分點(diǎn).

P

(1)求證：平面4EG〃平面B。，；

(2)求點(diǎn)A到平面BDH的距離.

γ~y2

20.已知橢圓C:*+方=l(α>b>0)左、右焦點(diǎn)分別為耳、F2,過工的直線/交C于A、B兩點(diǎn)(不

同于左、右頂點(diǎn))，ABE的周長為4近，且4,一半在C上.

［22)

(1)求C的方程；

1o

(2)若IAKHB用=w,求直線/的方程.

21已知函數(shù)/(x)=2Λ3-(α+3)%2+2ar,a∈R.

(1)當(dāng)”=0時(shí):求/(x)極值；

(2)當(dāng)∣α∣≥l時(shí)，求/(x)在［(ψ∣］上的最小值.

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第

一題計(jì)分.

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

ff

X——IH,

22.在直角坐標(biāo)系Xoy中，直線/的參數(shù)方程為｛2(7是參數(shù))，以。為極點(diǎn)，X軸的正半軸

卜=1+5t

為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。的極坐標(biāo)方程為。=TCoS。.

(1)求直線/的普通方程和。的直角坐標(biāo)方程；

(2)若點(diǎn)尸的直角坐標(biāo)為且直線/與C交于AB兩點(diǎn)，求IPAI2+1PB『的值;

選修4-5：不等式選講

23.已知函數(shù)/(x)=∣x+l∣+∣x—2].

(I)求不等式/(x)<5的解集；

(2)若關(guān)于X不等式/(x)≤∣x+α∣-2x+l的解集包含[-1,1],求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1,已知集合A={*%2X},集合3={X∈Z∣°<X<3},貝IJAI8=()

A.{1}B.{1,2}C.{x∣0≤x≤2}D.{x∣0≤x<3}

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)二次不等式求解集合A,再求交集即可.

【詳解】由f≤2χ得X(X—2)≤0,故0≤χ≤2,所以A=[0,2],又B={l,2},所以AIB={l,2}.

故選:B.

2.已知復(fù)數(shù)Z滿足(2+i)z+3i=4(i是虛數(shù)單位)，則IZl=()

A.√3B.√5C.3D.5

【答案】B

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則及復(fù)數(shù)的模長公式即可求解.

4一玉

【詳解】由(z2+i)z+3i=4,得Z=Fy,

一_4-3i(4-3i)×(2-i)8-4i-6i+3i25-IOi、

所以Z==-r~r—-——=1-21,

2+i(2+i)×(2-i)4-2i+2i-i25

所以目=2+(-2)-=?/??

故選：B.

3.記等差數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和為S“，若S∣∣=44,則的+6+/=()

A.4B.8C.12D.16

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列前〃和公式及等差數(shù)列性質(zhì)可求得&=4,則可得4+4+“8=34的值?

【詳解】根據(jù)數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，則SU=IImLJ=Ila6=44,

所以。6=4,所以。4+。6+。8=3。6=I2,

故選：C.

4.已知樣本數(shù)據(jù)外,4，…，X2022的平均數(shù)和方差分別為3和56,若y=2玉+3（，=1,2「、2022）,

則兄，為，…，》2022的平均數(shù)和方差分別是（）

A.12,115B.12,224C.9,115D.9,224

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的性質(zhì)求解：若數(shù)據(jù)々，…，X”的平均數(shù)和方差分別為1和則數(shù)據(jù)

axy+b,ax2+h,...,+b的平均數(shù)和方差分別為.*+方和.

【詳解】若數(shù)據(jù)演，…，X.的平均數(shù)和方差分別為最和S?,則數(shù)據(jù)方a。，ax2+b,...,axll+b

的平均數(shù)和方差分別為αi+8和

題中，樣本數(shù)據(jù)4.........4）22的平均數(shù)和方差分別為3和56,χ=2χ.+3（/=1,2,?-,2022）,

則X，為，…，必。22的平均數(shù)為2*3+3=9,方差為22χ56=224?

故選：D.

5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出S的值為（）

/輸呼/

（結(jié)％）

A.112B.168C.240D.330

【答案】B

【解析】

【分析】按照程序框圖執(zhí)行程序，直到不滿足i<7時(shí)，輸出結(jié)果即可.

【詳解】按照程序框圖執(zhí)行程序，輸入i=l,S=O,

則S=0+lχ2=2,滿足i<7,進(jìn)入循環(huán)；

則，=2,S=2+2x3=8,滿足i<7,進(jìn)入循環(huán)；

則j=3,S=8+3χ4=20,滿足i<7,進(jìn)入循環(huán)；

則j=4,S=20+4x5=40,滿足i<7,進(jìn)入循環(huán)；

則j=5,5=40+5×6=70,滿足i<7,進(jìn)入循環(huán)；

則i=6,S=70+6x7=112,滿足i<7,進(jìn)入循環(huán)；

則j=7,S=112+7x8=168,不滿足i<7,終止循環(huán),輸出S=168.

故選：B.

6.己知"?、〃是兩條不同的直線，久萬是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是()

A若/〃-La,c_L￡,則機(jī)【β

B.若加〃α,α〃尸，則〃？β

C.若〃?Ua,"uα,相〃〃尸，則α〃尸

D.若/〃-LaLa,則〃_1_/

【答案】D

【解析】

【分析】對A,B選項(xiàng)可能存在加u/7的情況，對C選項(xiàng)可能存在。與夕相交的情況，對D選項(xiàng)根據(jù)垂直

于同一平面的兩直線平行得機(jī)〃鹿，結(jié)合加，萬，則可判斷其正確.

【詳解】對A選項(xiàng)，若加_La,aLβ,則加//〃或加u∕7,故A錯(cuò)誤，

對B選項(xiàng)，^mlla,allβ,則m//〃或根u∕7,故B錯(cuò)誤；

對C選項(xiàng)，若muα,"uα,mHβ,nllβ,則α與夕相交或α〃夕，故C錯(cuò)誤；

對D選項(xiàng)，由于m所以〃?〃“，又sJ_￡,所以〃_L尸，故D正確，

故選：D.

7.已知函數(shù)/(x)=G:?+。InX的圖象在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程為y=3x—l.則。―人的值為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，再求出x=l處的切線方程，即可求得。力；

【詳解】解：函數(shù)/(x)=a√+z7ιnv,則r(X)=2依+2函數(shù)/(x)的圖象在點(diǎn)(1"(1))處的切線方

程為y=3x-?,

r⑴=2a+b=3a=2

所以，解得1則a—6=3.

/⑴=α=3xl-1=2O=-I

故選：C

5cos*28+sin26+1_

8.已知角。的終邊落在直線y=-3χ匕則―sir(g+71)—=(，

9389

A.----B.----C.-D.一

4432

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)角，的終邊落在直線y=-3x上，可得tan9=-3,再根據(jù)平方關(guān)系商數(shù)關(guān)系及兩角和的正弦

公式化弦為切即可的解.

【詳解】因?yàn)榻恰５慕K邊落在直線丁=-3%上，

所以tan6=—3,

5cos20+sin2^+1_6cos2^+2sin^cos^+sin2θ

_6COS2^+2sin^cos^+sin2θ

二19i?

—sin^^+-cos2夕+singcose

22

_12cos2^+4sin^cos^+2sin2θ

sin2夕+cos?e+2sin6cos9

_12+4tan^+2tan2θ

tan26+l+2tan6

12—12+189

9+1-6^2,

故選：D.

9.已知耳，居為雙曲線C:三一二=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是C的右支上的一點(diǎn)，則獸［的最小值為

42IPBl

()

A.16B.18C.8+4√2D.9+^^

2

【答案】A

【解析】

【分析】利用雙曲線的定義表示歸制，結(jié)合基本不等式求解最小值.

22

【詳解】因?yàn)槎?，工為雙曲線。：工—匕=1的左、右焦點(diǎn)，P是C的右支上的一點(diǎn),

42

所以IP6|=|尸同+4,

所以阻=(IP周+4『=IPB「+8附1+16

IPKlIP用IPKl

歸國+尚［+■2折"+8=16,當(dāng)且僅當(dāng)IPgl=才，即歸周=4時(shí)，等號成立;

∣PF∣2

因?yàn)镃=Ja*+匕2=?[β'所以c—α=√6-2<4>所以IPKI=4成立,一r的最小值為16.

IPKl

故選：A.

已知函數(shù)且=曰，則()

10./(x)=2Sin(S?[w>0),/(XI)-∕(Λ2)=4,IXIImin

A./(x)的圖象關(guān)于X=—1對稱

TrTr

B./(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為一一+2kπ,-+2kπ(AeZ)

63

TrTEI]

C.當(dāng)XG-y,-時(shí)，/(X)的值域?yàn)?/p>

D./(X)的圖象可由函數(shù)y=2sin(s+"的圖象向右平移專個(gè)單位長度獲得

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件及三角函數(shù)的周期公式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)及三角函數(shù)的圖象的平移變換即可

【詳解】因?yàn)?(X)—/(9)=4,且歸L=全

f-r1

所以［二:,解得丁=兀，

22

2π

所以刃=—=2,

T

所以函數(shù)/(x)的解析式為：/(x)=2sinf2x-^l

?θ)

7Γπ

對于A,當(dāng)X=——時(shí),-1≠±2,所以/(x)的圖象不

36

關(guān)于Aq對稱,故A錯(cuò)誤;

對于B,由2桁一工≤2x--≤2kπ+-,k∈Z,得E-工<x≤E+3%∈Z,所以/(%)的單調(diào)遞增區(qū)

26263

jτTE

間為一：++E(Z∈Z),故B錯(cuò)誤;

o3

對于C,因?yàn)椤躼≤N,所以—2≤2x—二≤2?,所以-1≤sin/2x-w]≤7,所以

36666I6j2

-2≤2sin(2x-胃≤1,所以/(x)的值域?yàn)閇―2,1],故C錯(cuò)誤；

對于D,函數(shù)y=2sin(2x+2)的圖象向右平移已個(gè)單位長為

兀]JtITT,I

/(x)=2Sin2X--J+-=2sin^2x--J,故D正確.

故選：D.

(1A(1A(IA

11.在等比數(shù)列｛α,,｝中0<4<∕=1?則能使不等式％-一+a2-一++all一一≤0成立的正

IaJI^a2)Ian)

整數(shù)〃的最大值為()

A.13B.14C.15D.16

【答案】C

【解析】

IC1八

【分析】首先可得q>l,即可得到〃>8時(shí)，%一一>0,〃<8時(shí)，一一<0,再根據(jù)下標(biāo)和性質(zhì)

a”a,,

1>L,4=一，即可得到a∣---------I+4-----------j+???+a∣5------------I=θ,從而得解.

得到4=一

?14%IaJIaJI/J

452

【詳解】解：因?yàn)閛<%<%=ι,所以公比『=">1，則4>1,

a?

???〃>8時(shí)，?！?--->°,〃V8時(shí)，an------<°，

%冊

111

9a

又4=〃必5=。2。14==%%，所以％=—，2=-，L，Ol=一,

則a?~-+α2--!-+...+αl5---=0,

(4、a2)?6tl5√

1C

又當(dāng)〃>8時(shí)，%——>0,

1λ∣(

所以能使不等式4---+CL1—++an----≤。成立的最大正整數(shù)〃是15.

a?)\ai)Ian)

故選：C.

設(shè)，則(

12.Q=L,b=lnU,c=Sin')

595

A.a<b<cB.h<c<a

C.c<h<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)/(x)=lnx—W*,χ>0,g(x)=x-SinX,x>0,再利用導(dǎo)數(shù)法研

究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可求解.

【詳解】令/(x)=InX-2(尤]l),χ>o,

所以“"W一品=篝川在(O"上恒成立‘

所以/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

1

又〃I)=InI-"πl(wèi)=0,所以/(J>"1)=O,

C(11八

2X—I1

所以InU——V一->0-即lnU>—,所以

9U+]95

9

令g(x)=X-SinX,x>0,所以g'(x)=l-COSXiO在(0,+∞)上恒成立,

所以g(x)在(0,+a)上單調(diào)遞增，

所以g(x)>g(O)=O-SinO=O,

所以g(；)=；_sin1>0,即！>sin],所以c<α,

15J5555

綜上，c<a<h.

故選：D.

【點(diǎn)睛】解決此題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)/(x)=In無—弋?,x>0,g(x)=x-SinX,x>0,然后利用導(dǎo)

函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量α=(T,-3),。=(一2,吁1),若(a+2b)_La,則"?=.

475

【答案】—##7-

66

【解析】

【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算及垂直關(guān)系的向量表示求解即可.

【詳解】解:因?yàn)镼=(T,-3),)=(-2,加一1),

所以。+?=（-4,-3）+（-4,2加—2）=（-8,2加一5）,

因?yàn)椋?+2b）±a,

所以（。+2/?）?。=32—6〃7+15=0,解得機(jī)=吊■

47

故答案為：—-

14.如圖，在正方體ABCD-A4GA中，E是BC的中點(diǎn)，則異面直線BC,和AE所成角的大小為

π

【答案】45##—

4

【解析】

【分析】連接AQ、AE.DE，設(shè)正方體ABCr>-A4GA的棱長為2,推導(dǎo)出A，則異面直線

BG和AE所成角為NARE或其補(bǔ)角，求出4A"E各邊邊長，利用余弦定理可求得角乙4O∣E的大小，即

為所求.

【詳解】如下圖所示，連接AA、AE.DE，設(shè)正方體ABC。一4BGR的棱長為2，

因?yàn)?3〃G2且AB=GA,則四邊形ABCQl為平行四邊形，故ADJZBC1,

所以，異面直線BG和AE所成角為乙AAE或其補(bǔ)角,

2222

因?yàn)锳E=-JAB+BE=√2+1=√5，同理可得ADt=2√2,DE=卡，

22

由勾股定理可得AE=y∣DD^+DE=√2+5=3，

由余弦定理可得8S4*=咤翳*√2

^τ

所以，ZAD1E=45,故異面直線和。IE所成角的大小為45.

故答案為：45.

15.若"x)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(x+l)是偶函數(shù)，當(dāng)0≤x≤l時(shí)，/(x)=log3(x+l),則

俏:——?

【答案】ITog32

【解析】

【分析】由奇、偶函數(shù)和周期函數(shù)的定義，可得/S)的最小正周期，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得答案.

【詳解】解：由/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，/(%+l)為偶函數(shù)，

可得.f(-x)=-∕(x),/(-X+I)=∕(x+1),即"-x)=∕(x+2),

所以/(x+2)=-/(x),可得"x+4)=-∕(x+2)="x),

則/(x)的最小正周期為4,

當(dāng)O≤x≤l時(shí)，/(x)=l0g3(x+l),

則｛喇TI)=嗎)=1%|=I嗝2.

故答案為：l-log32?

16.已知拋物線。：丁2=2〃氏(〃>0)的準(zhǔn)線方程為/：尤=—2,焦點(diǎn)為R準(zhǔn)線與X軸的交點(diǎn)為A,B為C

上一點(diǎn)，且滿足IABl=√5忸刊，則IMl=.

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的兒何性質(zhì)，求得〃=4,過點(diǎn)5作BML/,設(shè)8(加,屬)，由拋物線的定義得

?BM?=?BF?=m+2,根據(jù)IABl=④忸盟,得到IBM=IAM,列出方程求得τn=2,進(jìn)而求得IMl的

長.

【詳解】由拋物線。：丁=2a(〃>0)的準(zhǔn)線方程為％=-2,可得§=2,解得〃=4,

所以拋物線的方程為C:V=8χ,所以焦點(diǎn)F(2,0),

過點(diǎn)8作5M_L/,垂足為如圖所示，

設(shè)B(m,而為，其中m>0,

由拋物線的定義，可得忸Ml=忸周=m+^=機(jī)+2,

因?yàn)楱O∕0=JΞ忸月，BP∣AB∣=√2∣βM∣,所以ABN為等腰直角三角形，

所以忸Ml=IAMI,即，"+2=Jgm，可得加2—4"z+4=0，解得加=2,

所以網(wǎng)=2+2=4.

故答案為：4.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，

每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內(nèi)舉行、也是繼

2002年韓日世界杯之后時(shí)隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽，除此之外，卡塔爾世界杯還是首次

在北半球冬季舉行、第二次世界大戰(zhàn)后首次由從未進(jìn)過世界杯的國家舉辦的世界杯足球賽.某學(xué)校統(tǒng)計(jì)了該

校500名學(xué)生觀看世界杯比賽直播的時(shí)長情況(單位：分鐘)，將所得到的數(shù)據(jù)分成7組；

[0,40),[140,80),[80,120),[120,160),[160,200),[200,240),[240,280](觀看時(shí)長均在[(),280]內(nèi)),

并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)繪制如圖所示的頻率分布直方圖

（2）采用分層抽樣的方法在觀看時(shí)長在［200,240）和［240,280］的學(xué)生中抽取6人、現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽

取3人分享觀看感想，求抽取的3人中恰有2人的觀看時(shí)長在［200,240）的概率.

【答案】（1）?=0.0040；中位數(shù)為160

⑵3

5

【解析】

【分析】（1）由頻率和頻率和為1,能求出。的值，利用直方圖中能估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

（2）采用分層抽樣的方法能求出觀看時(shí)長在［200,240）和［240,280］內(nèi)應(yīng)抽取人數(shù)，然后利用古典概型的

概率計(jì)算公式求解即可.

【小問1詳解】

解：由頻率分布直方圖性質(zhì)得：

（0.0005+0.0020+a+0.0060+0.0065+a+0.∞20）×40=l,

解得α=O.OO40.

［0,160）的頻率為（0.0005+0.0020+0.0040+0.0060）x40=0.5.

；?估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為160；

【小問2詳解】

解：采用以樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣方式，

則［200,240）中抽取6X000；（XO2。=4人，分別記為“，b,C,d,

［24。，28。］中抽取6χ°O（XKO=2人,分別記為A,B,

現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取3人分享觀看感想，包含的基本事件有：

{a,b,c},{a,b,d},{a,b,A},{a,b,B},{a,c,d},{a,c,A?,{a,c,B},{a,d,A?,{a,d,B},{b,c,d},

{b,c,A},{6,GB},{6,d,A},他d,3},{c,d,A},{c,3,磯,{a,AB},{6,A,8},{c,A3},{d,A,研,共20個(gè)，

抽取的3人中恰有2人的觀看時(shí)長在［200,240）”基本事件有：

{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A?,{a,c,B},{a,d,A},{a,d,B},{b,c,A?,{b,c,B},{b,d,A},{b,d,B},{c,d,A},{c,d,B},共

12個(gè)，

123

所以抽取的3人中恰有2人的觀看時(shí)長在［200,240）的概率為與=j.

18.在①αcos［=OsinA;②acos3=bsinA；③tan（B+：］=2+由這三個(gè)條件中任選■—個(gè)，補(bǔ)充在

下面問題中，并給出解答.

Tr

問題：在一ABC中，角A、B、C的對邊分別為。、b、c,A=§,0=J5,且,求一ABC的面

積.

注：如果選擇多個(gè)條件分別進(jìn)行解答，按第一個(gè)解答進(jìn)行計(jì)分.

【答案】條件選擇見解析，答案見解析

【解析】

【分析】若選①，利用正弦定理求出角B的值，分析可知ABC是邊長為0的等邊三角形，結(jié)合三角形的

面積公式可求得該三角形的面積；

若選②，利用正弦定理可得出tan8的值，結(jié)合角8的取值范圍可求得角B的值，求出SinC的值，利用三

角形的面積公式可求得結(jié)果；

若選③，利用兩角差的公司結(jié)合角8的取值范圍可求得角8的值，分析可知_A3C為直角三角形，求出”的

值，利用三角形的面積公式可求得該三角形的面積.

βD

【詳解】解：若選①：因αcos-=?sinA,由正弦定理可得SinACos—=SinASin8,

22

因?yàn)锳、B∈（0,兀），則0<g<四，所以，SinA>0,cos—>0,

''222

則CoSO=2sinOcos',可得Sino=工，所以，—,解得8=工，

22222263

因?yàn)?=§，h=√∑,所以，是邊長為JΣ的等邊三角形，

所以，Sarc=?/？esinA=?×2×-—；

abc2222

若選②，因?yàn)?/cosB=bsinAf由正弦定理可得SinAcosB=sinAsinB,

兀

因?yàn)锳、B∈(0,π),則SinA>0,cosB=sinB>0,所以，tan3=1,則5="

由正弦定理q=上,所以，“二誓

sinAsinBsinB

2

=SinASs8+c°SASin八與變+L

sinC=Sin(A+3)

22224

所以'SAABC=gabsinC=；又6×丘又瓜T

(n

tanDH—兀、tan?！?―r—

若選③，因?yàn)閠an8=tanI8+；πI4)4_2+6_1_6

4"(8+2anQ+2+g=W

因?yàn)?w(0,兀)，故8毛，又因?yàn)锳=E所以，C=:,

632

所以，JlBC為直角三角形，則C=2。=2五，則4=，?彳=后二=逐，

所以，S4ABC=；ab=；x瓜×6=也.

TT

19.如圖，四棱錐P—48C。的底面為菱形，ZABC?—,AB=AP=2,以_1_底面ABCD,E是線段PB的

3

中點(diǎn)，G,H分別是線段PC上靠近P,C的三等分點(diǎn).

(1)求證：平面AEG〃平面BDH；

(2)求點(diǎn)A到平面BrW的距離.

【答案】(1)證明見解析；

⑵拽

5

【解析】

【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合線面平行的判定定理和面面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；

（2）利用三棱錐的體積等積性進(jìn)行求解即可.

【小問1詳解】

連接AC,交BD于點(diǎn)、0,連接OH,APBH中,E,G分別為PB,PH的中點(diǎn)，所以EG〃BH,又因?yàn)?/p>

EGU平面BDH,3〃匚平面由》/，

所以EG〃平面BDH,同理：AG〃平面BOH,因?yàn)锳G,EGU平面AEG,AGCEG=G,

所以平面AEG〃平面8CH.

記點(diǎn)A,“到平面BQ”，平面ABO的距離分別為4，〃H，S人,R"=’X2X2X也=G，

ZΛΛDU22

12

因?yàn)锽4_L平面A3Cf>,PA=2fCH=—CP,所以〃〃=§，

在△尸BC中，CoSNPC8=—U=也，

2√24

32

在ABC"中，BH2BC2+CH2-IBCCH?cosNHCB=—,

9

同理，OH=逑，又因?yàn)?為Bo中點(diǎn)，所以04,BD

3

1/o?/lC

在ABDH中，BD—2-?∕3>S^］汨=~×2>∕3×?/——3————,

因?yàn)?.BDH=K∕TW,所以h=S弋BD.%=^=當(dāng)

°ABDHV??j

亍

比2y2

20.已知橢圓C:—+*=l(α>8>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳、B，過死的直線/交C于A、8兩點(diǎn)(不

同于左、右頂點(diǎn))，ABK的周長為4夜，且?-,-?-在C上.

、22)

(1)求C的方程；

1G

(2)若IA娟?忸用=],求直線/的方程.

2

【答案】(1)—+/=1

2-

(2)衣:-y-√Σ=O或√Σr+y-√Σ=()

【解析】

f√2⑸

【分析】(1)利用橢圓的定義可求得。的值，再將點(diǎn)—,-?-的坐標(biāo)代入橢圓。的方程，求出》的值,

(22J

即可得出橢圓C的方程；

設(shè)點(diǎn)、則一由題意，設(shè)直線/的方程為

(2)A(Al,y)B(X2,%)，AQ<%<J2,-√2<X2<√2,

x=2y+l,將直線/的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求得IA用=芋(〃%+3),

怛用=與(優(yōu)乂+3)，結(jié)合題干條件以及韋達(dá)定理求出用的值，即可得出直線/的方程.

【小問1詳解】

解：由橢圓定義可得ABK的周長為∣AK∣+∣AE∣+忸耳1+忸用=4Q=4√L

所以，a=s/1,>

2

√29

將點(diǎn)2'2)的坐標(biāo)代入橢圓C的方程可得I2I二1=19〉0)'

?———+

2

r2

所以，b=l,故橢圓C的方程為二+y2=ι.

2

【小問2詳解】

解：在橢圓C中，c=√7≡F=ι,則K(1,0)、Λ(-ι,o),

設(shè)點(diǎn)A(Xl,yj、B(x2,y2),則一0<χl<0,-√2<x2<√2,

由題意，設(shè)直線/的方程為X=my+l,

X=/∕2V+?

聯(lián)立《2一-2可得(加2+2)9+2/^-1=0,

X+2y=2'7

Δ=4m2+4(m2+2)=8(M+1)〉0,

2m

由韋達(dá)定理可得y+%=My2

m2+2∕n2÷2

2

IA-I=J(Xl+1)2+y；=^X∣+2xl+!+l-?=J^-+2xl+2=?xi+?∣2=?

+2),

同理可得I%|=乎(工2+2)，

所以，IA用.忸劇=g(xj+2)(x2+2)=g(/肛+3)W%+3)

∣rr+6m2「

_/%/+3加(乂+%)+9_-療+2+_療+9_19,解得機(jī)=±乂一，

一―2-2―蘇+2^^5^2

所以，直線/的方程為X=弓y+l或X=一1y+l,即、歷χ-y-J∑=O或JIr+

—√2=0.

21.已知函數(shù)/(x)=2χ3-(α+3)χ2+Zzχ,a∈R.

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求/(x)的極值；

(2)當(dāng)時(shí)≥1時(shí),求〃龍)在［0,同上的最小值.

【答案】(1)極大值為0,極小值為-1

。一1,a≤-1,

(2)f(x].=Jθ,l≤α≤9,

a2(9-a)

——L,a>9.

[27

【解析】

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求出/(x)的單調(diào)性即可;

(2)/'(x)=2(x—l)(3x-α),然后分a>3、a=3、↑≤a<3.α≤T四種情況討論求解即可.

【小問1詳解】

當(dāng)α=0時(shí)，/(x)=2d-3χ2,∕,(X)=6X2-6X=6X(X-1).

故當(dāng)xe(-∞,0),(