中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)函數(shù)22 二次函數(shù)中的最值問題（教師版）

專題22二次函數(shù)中的最值問題

知識對接

考點一、求二次函數(shù)y=4χ2+?x+c（a≠0）的最值的方法

1.如果自變量的取值范圍是全體實數(shù),那么函數(shù)在圖象的頂點處取得最大值或最小值,即當(dāng)

b4ac-b2

X=-------時,y最值=

2a4〃

2.如果自變量的取值范圍是XwXWX2（X1<X2,Xl,X2對應(yīng)的函數(shù)值分別為yi，Y2）,那么,首先要看

h

--是否在自變量X的取值范圍內(nèi).

2a

⑴若-二b在此范圍內(nèi).

2a

□當(dāng)a>0時,y最小=如土?y的最大值要看-2_x|與馬一（-2）的大小:當(dāng)前者大時,y

4。2a2a

最大=y∣;當(dāng)后者大時,y最大=y2.

□當(dāng)a<0時》地大=A-Cic-b~.y的最小值要看-上b--Xi與々―（一上h一）的大小:當(dāng)前者大時，y

4α2ala

最小=yi；當(dāng)后者大時,y最小=yz

項訓(xùn)練

一、單選題

i.直角坐標(biāo)系枕>y中，一次函數(shù)y=辰+6（妨≠o）的圖象過點（2,姑），且匕24,與X軸，y

軸分別交于A,B兩點.設(shè)，ABO的面積為S,則S的最小值是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】

首先將（2,妹）點代入一次函數(shù)解析式,求出力與人的關(guān)系式,再求出一次函數(shù)產(chǎn)依?（%瓊0）

的圖象與X軸、夕軸分別交于A、8兩點坐標(biāo)，表示出ASO的面積S,再根據(jù)應(yīng)4,去掉絕

對值，利用二次函數(shù)最值求法，可求出S的最小值.

【詳解】

解：；一次函數(shù)尸質(zhì)+/幼≠0）的圖象過點（2,砌，代入一次函數(shù)解析式得：

.?.kb=2k+b,

.^.kb-2k=b,

.*.k(b-2)=bt

F*

「一次函數(shù)y=日+以幼≠0)的圖象與X軸、y軸分別交TA、B兩點,

???A點坐標(biāo)為：(4,°)，8點的坐標(biāo)為：(。孫

ΔA3。的面積為S,

Clb,b2b2,,b2-2b

?'?S=τ:l出f?7∣=l∣771t=l-----7—1=1—∑—

2k2k、b2

z-------

h-2

若b..4,.?.∕-2?>0,

..b2-2b

??0―，

2

??.S的最小值為：±Ξ^4=4.

2

故選：A.

【點睛】

此題主要考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)求法，以及二次函數(shù)的最值問題等知識，表示

圖象與坐標(biāo)軸圍成的面積，注意應(yīng)該加絕對值保證S是正值，這是做題中經(jīng)常犯錯的地方.

2.二次函數(shù)y=-2x)+4x+3有().

A.最小值，為6B.最大值，為6C.最小值，為5D.最大值，為5

【答案】D

【分析】

先根據(jù)二次函數(shù)二次項系數(shù)。=-2<0,確定有最大值,再把二次函數(shù)化為頂點式求解即可.

【詳解】

解：二次函數(shù)的解析式為y=-2χ2+4x+3,

a=-2<0,

U二次函數(shù)有最大值，

y=-2x2+4x+3=-2(x-2x+l)+5=-2(x-l)2+5,

□當(dāng)尸1時，二次函數(shù)有最大值5,

故選D.

【點睛】

本題主要考查了二次函數(shù)的最值問題，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解.

3.如圖，在ΛBC中，ZC=90o,AB=IOcm,BC=8cm,點尸從點A沿AC向點C以ICmZS

的速度運動，同時點Q從點C沿CB向點B以2cm∕s的速度運動(點。運動到點8停止)，在

運動過程中，四邊形PABQ的面積最小值為（)

【答案】D

【分析】

在∕?ΔABC中，利用勾股定理可得AC=6cm,設(shè)運動時間為f（0≤f44）,?^??PC=（6-t）cm,

CQ=2tcm,利用分割圖形求面積法可得SlM小距=/一8+24,利用配方法即可求出四邊形

PABQ的面積最小值.

【詳解】

解：在∕?ΔA3C中，ZC=90o,Afi=IOcw,BC=8cm,

：.AB=yjAB1-BC2=6cm>

設(shè)運動時間為"0≤/≤4),則PC=(6-t)cm,CQ=2tcm,

??S四邊形QBQ=

4SMRC

=^ACBC-^PCCQ

=gx6x8-；(6-r)x2z

=r2-6r+24=α-3)2+15

???當(dāng)f=3時，四邊形PABQ的面積取最小值，最小值為15c掰2.

故答案為：D

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的最值，勾股定理.利用分割圖形求面積法找出SIMWW=/一6r+24是

解題的關(guān)鍵.

4.已知二次函數(shù)y=f-2∕nx（"?為常數(shù)），當(dāng)T≤x≤2H寸，函數(shù)值N的最小值為—2,則〃?

的值是（）

A.—B.夜C.±—或&D.--或近

【答案】D

【分析】

先確定拋物線的對稱軸為直線X=加，解答時，分加＜-l,-1＜加＜2,/”＞2三種情形求解即

可.

【詳解】

解：二次函數(shù)y=f-2g（加為常數(shù)），

拋物線的對稱軸為直線x=--=m,

當(dāng)m<-?時，-l<x<2表示的數(shù)在對稱軸的右側(cè)，

:二次函數(shù)y=?V2-2,nx（加為常數(shù)）中，α=l>0,

□在對稱軸的右側(cè)，y隨X的增大而增大，

3

當(dāng)X=-I時，函數(shù)V取得最小值，即l+2w=-2,解得m=-/；

當(dāng)-1<,"V2時，

,二次函數(shù)y=χ2-2∕nr（加為常數(shù)）中，α=l>0,函數(shù)有最小值，

當(dāng)x=m時,y取得最小值,即m2-2m2—2,

解得"尸④或"尸-血（不在范圍內(nèi)，舍去）；

當(dāng)m>2時,

；二次函數(shù)y=χ2-2mx（WJ為常數(shù)）中，α=l>0,

∏在對稱軸的左側(cè)，y隨X的增大而減小，

3

□當(dāng)尸2時，函數(shù)y取得最小值，即44%-2,解得加=彳，（不在范圍內(nèi)，舍去）

綜上所述，〃，的值為血或

故選D.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的對稱軸，最值，函數(shù)的增減性，利用分類思想，靈活運用二次函數(shù)的

增減性確定最值是解題的關(guān)鍵.

5.關(guān)于X的方程以2+?r+c=0有兩個不相等的實根為、x2,若毛=2百，貝∣j46-9αc的最大

值是（）

A.1B.五C.√3D.2

【答案】D

【分析】

根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求得兩根之和和兩根之積，再根據(jù)兩根關(guān)系，求得系數(shù)

的關(guān)系，代入代數(shù)式，配方法化簡求值即可.

【詳解】

解：由方程Or2+fec+c=O有兩個不相等的實根須、×ι

bc

可得，QW0,X+X=?----,XX=—

λ212a

22

x,=2x∣,可得3%=一2,2xl=-,g∣J2(--)=-

aa3aa

化簡得9αc=2b^

則4h-9ac=-2h2+4?=-2(h2-2b)=-2(?-I)2+2

故4∕>-9αc最大值為2

故選D

【點睛】

此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，涉及了配方法求解代數(shù)式的最大值，根據(jù)一元二

次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

6.已知二次函數(shù)y∣=sχ2+"χ-3(機#0)經(jīng)過點(2,-3).不論m取何實數(shù)，若直線以=配戶發(fā)

總經(jīng)過力的頂點，則k的取值可以是()

A.-3B.-1C.OD.2

【答案】A

【分析】

將將點(2,-3)坐標(biāo)代入拋物線求得〃=-2”的關(guān)系，再求得拋物線頂點坐標(biāo)，將頂點

坐標(biāo)代入直線解析式，求得&與m的關(guān)系，即可求解.

【詳解】

解：將點(2,-3)坐標(biāo)代入拋物線g的表達式得：-3=4加+2〃-3,

解得：n=-2m,故拋物線y∣=mχ2_2mx-3,

□yι=∕nχ2-2mx-^i=m(X-I)2-w-3

J拋物線M的頂點坐標(biāo)為：(1,-3-W,

代入夕2="^^+A得：-3-m=m2+k,

.，°/1、2M

k--m^-m-3=-(m+-)-----

24

故人有最大值，此時，，"=-：時，最大值為-??,

24

故人≤-二，

4

故選：A.

【點睛】

此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)求解女與“，的函數(shù)關(guān)系是解題

的關(guān)鍵.

7.對于拋物線>=3丁-1,下列說法不正確的是()

A,向上平移一個單位可得到拋物線y=3YB.當(dāng)X=O時，函數(shù)有最小值-1

C.當(dāng)x<0時，y隨X的增大而增大D.與拋物線y=-3χ2+ι關(guān)于X軸對稱

【答案】C

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)圖象的幾何變換、二次函數(shù)的性質(zhì)逐項排查即可解答.

【詳解】

解：/、向上平移一個單位可得到拋物線N=3d,說法正確，故本選項不符合題意；

8.由于o=3>0,該拋物線的開口方向向上，且頂點坐標(biāo)是(0,-1),則當(dāng)產(chǎn)0時，函數(shù)有最

小值-1,說法正確，故本選項不符合題意；

C、由于對稱軸是y軸且拋物線的開口方向向上，則當(dāng)x<0時，y隨的增大而減小，說法錯

誤，故本選項符合題意；

D、拋物線y=3fτ與拋物線y=-3∕+l關(guān)于X軸對稱，說法正確，故本選項不符合題意.

故選C.

【點睛】

本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與幾何變換、二次函數(shù)的最值等知識點，解答

靈活利用二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

8.已知二次函數(shù)y=(〃?-2)X2+2HX+“L3的圖像與X軸有兩個交點(x∣,O),(X2,0),

則下列說法：□該二次函數(shù)的圖像一定過定點(—1,-5)；U若該函數(shù)圖像開口向下，則％

的取值范圍為：^<m<2；口當(dāng)〃?>2,且l≤x≤2時，y的最大值為4用一5；正確的有()

A.□□B.□□C.□□D.□□□

【答案】A

【分析】

由拋物線的開口方向判斷，與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關(guān)系進行推理，

進而對所得結(jié)論進行判斷.

【詳解】

解：Qy=(m-2)x2+2mx+m-3=m(x+l)2-2x2-3,

當(dāng)X=-I時，y=-5,故該函數(shù)圖象一定過定點(-1,-5),故「正確；

「若該函數(shù)圖象開口向下，則加-2<O,且/>0,

=b2-4ac^20m-24>O,解得：wι>?,且MV2,

故，”的取值范圍為：∣<m<2,故;正確；

當(dāng)〃?>2,函數(shù)的對稱軸在y軸左側(cè)，

當(dāng)l≤r≤2時，y的最大值在x=2處取得，

故P的最大為：(加-2)×4+2∕w×2÷w-3=9w-l1,故□錯誤；

故選A.

【點睛】

本題主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會利用對稱軸的范圍求2α與b的關(guān)系，以

及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運用.

9.如圖，已知二次函數(shù)的圖象(0≤x<l+2√2).關(guān)于該函數(shù)在所給自變量取值范圍內(nèi)，下

B.有最小值-2,有最大值-1.5

C.有最小值-2,有最大值2

D.有最小值-1.5,有最大值2

【答案】C

【分析】

由函數(shù)圖象可看出其最大值和最小值，可求得答案.

【詳解】

解：由圖象可知當(dāng)x=l時，)，有最小值-2,

當(dāng)X=I+2夜時，y有最大值2,

□函數(shù)有最小值-2,有最大值2,

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了二次函數(shù)的最值，正確識別函數(shù)圖象、理解最值的意義是解題的關(guān)鍵.

10.已知二次函數(shù)y=-(X-I)2+10,當(dāng)機Wx≤%且機"<0時，y的最小值為2機，y的最

大值為2”，貝的值為()

53

A.3B.-C.2D.-

22

【答案】C

【分析】

山題意可得加<0,?>0,則y的最小值為2,〃為負數(shù)，最大值為2〃為正數(shù).分兩種情況討

論：□當(dāng)"VI時，X=加時，y取最小值，求出機的值，當(dāng)X="時，y取最大值，可求得〃

的值，即可得到m+"的值；當(dāng)"≥1時,，當(dāng)X=W時，y取最小值，求出m的值，當(dāng)X=I

時，y取最大值，求出"的值，或X="時，y取最小值，x=l時，y取最大值，分別求出m,

”的值，故可求解.

【詳解】

解：二次函數(shù)y=-(X-I)2+10的大致圖象如下：

□∕w<0,〃>0,

口當(dāng)n<1時，x=tn時，y取最小值，即2m=-(∕w-1)2÷10,

解得：m=-3.

當(dāng)X=〃時，y取最大值，即2〃=-(/?-1)2÷10,

解得：〃=3或〃=-3(均不合題意，舍去)；

當(dāng)〃≥1時，當(dāng)犬=加時，y取最小值，即2加=-(/H-1)2+IO,

解得：m=-3.

當(dāng)x=l時?，y取最大值，即2〃=-(1-1)2÷10,

解得：〃=5,

或X=〃時，y取最小值，x=l時，歹取最大值，

2m=-(/7-1)2+10,H=5,

□m=-3,

所以m+n=-3÷5=2.

故選：C.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的最值問題，二次函數(shù)的增減性，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

11.如圖，矩形/8CQ中，BC=4,4B=3,點E為CD邊上一動點、(不與C、。重合)，以

4

CE為邊向外作矩形CEFG,月.CS=]CR連接即7，點。是線段呂尸的中點，連接

根據(jù)矩形的性質(zhì)證明AO￡F仝AOMB,得出族=BW,OE=QM,再根據(jù)已知設(shè)EC=3x,

則CG=JEF=3M=4x,再根據(jù)勾股定理求出EM=J259-32x+16，求出到/的最小值即可.

【詳解】

.。為B/中點，EF//BG,

.-.OB=OF9ZEFO=MBOf

在AOE尸和AOAffirh,

NEFO=NMBO

OF=OB

NEoF=/MOB

.?.Δ0JEF≡Δ0MB(A5A),

EF=BM,OE=OM,

設(shè)EC=3x(0<3xv3),

則CG=E產(chǎn)=BM=4式，

..MC≈BC-BM=4-4X9

:.EM=4EC1+MC1=7(3X)2+(4-4X)2=√25x2-32x÷16，

當(dāng)EM最小時，OE最小，此時X=—?

48

SPEC=3x=-,

,-.OE=-EM=-.

25

故答案為：y.

【點睛】

本題考查矩形的性質(zhì)以及三角形全等的判定，關(guān)鍵是對知識的掌握和綜合運用.

12.如圖，正方形ABCD的邊長為1,點E在邊AB上運動(不與點A,8重合)，ZDAM=45°,

點尸在射線AM上，且AF=&BE，C尸與A。相交于點G,連接EC、EF、EG.則下列

結(jié)論：□NECF=45O;□FE平分NAFG；□BE+DG=EG;□△后!尸的面積的最大值是，；

其中正確的結(jié)論是.

【答案】□口

【分析】

正確，如圖1中，在BC上截取8H=8E,連接EH.證明△的學(xué)AEHC(SAS)即可解決問

題；

一錯誤，山(1)可得NEFC=45。，ZEFA=ZCEH<45°,由此即可判定EE不平分NAFG;

正確，如圖2中，延長AO到H,使得OH=BE,連接CH,則ACBE名aCDH(S45),再

證明AGCEmAGCH(SAS)即可解決問題.

借誤，如圖1,設(shè)BE=BH=X,則AE=CW=I-X,利用三角形的面積公式構(gòu)建二次函數(shù),

利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題.

【詳解】

解：如圖1中，在BC上截取8H=3E,連接EH.

圖1

.?,EH=s∕2BE,ABEH=45°,

AF=CBE，

AF=EH,

ΛDAM=ΛEHB=45o,NBAD=90o,

.?.ZFAE=ZEHC=135o,

TBA=BC,BE=BH,

:.AE=HC,

AFAEmAEHC(SAS),

：.EF=EC,ZAEF=NECB,

NEeH+NCEB=90。,

:.ZAEF+ZCEB=90°,

NFEC=90°,

:.NECF=ZEFC=45。,故正確；

「在RfZXBEC中，"=90°,

ZBEC<90°,

□ZSEW+ZCfiW<90°,

450+ZCEH<90°,

即NCEH<45°,

ΛFAE^ΛEHC,

ZfiE4=NCEH<45°,

又NEFC=45°,

AEFA≠ΛEFC,

FE不平分NAFG,故錯誤；

如圖2中，延長力。到〃，使得DH=BE,連接C”,

圖2

又,BC=DC,NB=NHDC=9CP,

ΔCBE^ΛCDH(SAS),

.-.AECB=ADCH,CE=CH,

:.NECH=NBCD=90°,

.-.ZECG=ZGCH=45°,

又?.CG=CG,CE=CH,

:.∕?GCE^/XGCH(SAS),

..EG=GH,

GH=DG+DH,

..EG=BE+DG,故正確；

如圖1,設(shè)BE=BH=X,貝IJAE=CH=I-X,

=

??^?ΛEF=AHCE2CH?BE

=^(l-χ)?Λ

121

=——廠+—X

22

當(dāng)X=4時.，一心的面枳取得最大值，最大值為：，故二錯誤，

2o

故答案為：

【點睛】

本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是

學(xué)會添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

13.如圖，矩形ABC。的四個頂點都在正三角形EFG的邊上.已知.￡FG的邊長為6,記矩

形ABC。的面積為S,則當(dāng)AB=時，S有最大值是.

【答案】3∣√3

【分析】

求出4F=5G=3-gx,解直角三角形求出/D,再根據(jù)矩形的面積公式求出面積S關(guān)于X的

函數(shù)關(guān)系式，把解析式化成頂點式，再得出答案即可.

【詳解】

解：□□EFG的正三角形，

□□G=□尸=60°,

□四邊形。48。是矩形，

o

UAD=BCfDC=ABiQDAB=JCBA=90f

□□C=口C5G=90o,

在LE4。和GBC中

ZF=ZG

<ZDAF=NCBG,

AD=BC

Γ?[2FAD3UGBC(AAS)f

UAF=BG1

UFG=6fAB=xf

AF=BG=×(6-χ)=3-“

N尸=60°,NΠ4尸=90°,

ZfDA=30。，

FD=2x(3」X)=6-x

2

AD=y∣FD2-FA2=^(6-x)2-(3-∣x)2=3√3-冬,

矩形/BCD的面積S==DxXB=((3√5-爭)x,

即S關(guān)于X的函數(shù)表達式是：S=-^-X2+3^X,

2

ΩO<AB<FGfFG=6,

□自變量X的取值范圍是OVjVV6,

S=--X2+3>∕3x

2

=當(dāng)…2+券，

-更<0,

2

口開口向下，有最大值，

當(dāng)x=3時，S的最大值是更，

2

故答案為：3,述.

2

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的解析式,二次函數(shù)的最值,等邊三角形的性質(zhì),矩形的性質(zhì)等知識點，

能求出AF和AD的長解此題的關(guān)鍵.

14.如圖，在矩形/88中，Aβ=2cm,AO=5cm,點尸為邊4。上一個動點，連接CP,

點P繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。得到點P,連接CP'并延長到點E,使CE=2CP,以CP、CE

為鄰邊作矩形PCE尸,連接DE、。/7,則,￡>“"和,DCE面積之和的最小值為.

31

【答案】V

4

【分析】

過點。作D”PC于H,設(shè)PZAx,然后利用勾股定理求出尸C,CH,E尸的長，然后表示

出面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】

解：如圖，過點。作ZWIPC于，，設(shè)尸Z)=X,

四邊形/8S是矩形，

JAB=CD=Icm,□PDC=90o,

PC=yjDP2+CD2=√4+x2cm，

DllPC,

gPCgPH=；CDgPD

CDgPD2x

DH=cm

PC?∣4+X2

CH=yJCD2-DH2=,4cm,

√4+X2

四邊形PCE尸是矩形，

EF=PC=λ∕4+x2cm，

EC=2PC=2√4+x2cm，

=，44+￡2J4+f--12x]+L2J4+χ2XJ

SADEF+SADCE

2I√4÷X2J2√4+X2

1,31

U當(dāng)X=5時,SADEF+SADCE有最小值彳，

31

故答案為：—.

4

【點睛】

本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積，二次函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵在于能

夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解.

15.對于二次函數(shù)y=f-4x+3,圖象的對稱軸為,當(dāng)自變量X滿足a≤χ≤3

時，函數(shù)值V的取值范圍為τ≤y≤o,則〃的取值范圍為.

【答案】直線x=2l≤α≤2

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)對稱軸公式代入，可得到對稱軸；利用配方法求出頂點坐標(biāo)，令y=o,可得

到點力,8的坐標(biāo)分別為(1,0),(3,0),畫出圖形，觀察圖形，即可求解.

【詳解】

解：口二次函數(shù)y=f-4x+3,

對稱軸為直線X=-二=2；

2x1

?=x2-4x+3=(x-2)2-11

□當(dāng)x=2時，函數(shù)有最小值，最小值為y=τ,

當(dāng)N=O時，有χ2-4χ+3=0,

解得：X∣=1,*2=3,

如圖所示，點48的坐標(biāo)分別為(1,0),(3,0),

1當(dāng)l≤x≤3時，-l<y≤O,

αVX≤3時，函數(shù)值y的取值范圍為T≤y40,

從圖象中可得到T4y≤0時，l<a≤2.

故答案為：直線x=2；l≤α≤2.

【點睛】

本題考查的是拋物線與X軸的交點，主要考查函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟練掌握函數(shù)與坐

標(biāo)軸的交點、頂點坐標(biāo)的求法，及這些點代表的意義及函數(shù)特征是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

16.一塊材料的形狀是銳角三角形/8C,邊BC=l20mm,高4>80∕n∕n,把它加工成正方形

零件如圖1,使正方形的一邊在8。上，其余兩個頂點分別在42,ACl..

(1)求證：□NEF□□∕BC:

(2)求這個正方形零件的邊長；

(3)如果把它加工成矩形零件如圖2,當(dāng)EG寬為多少加機時，矩形有最大面積，最大面積

是多少？

【答案】(1)見解析；(2)正方形零件的邊長為48M加；(3)當(dāng)EG=40時，此時矩形面積

最大，最大面積是2400"”"2.

【分析】

(I)根據(jù)矩形的對邊平行得到8CE廣，利用“平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊或其

他兩邊的延長線，得到的三角形與原三角形相似”判定即可.

(2)設(shè)正方形零件的邊長為X"?"，，則S=E尸=x,ZK=80-x,根據(jù)EF8C,得到AEFABC,

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，解方程即可得到結(jié)果；

(3)根據(jù)矩形面積公式得到關(guān)于α的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)求出矩形的最大值.

【詳解】

解：(1)□正方形EGHF,

DEFDBC,

^UAEF3JABC；

(2)口∕5C中8C邊上的高/O與所相交于點K,

設(shè)EG=EF=x,

?ΔUAEFABC,

AD與AK是對應(yīng)邊上的高，

EFAK

-=—f

BCAD

X80-x

=,

120---80

□x=48,

正方形零件的邊長為48〃?加；

(3)/18。中8。邊上的高4。與小相交于點K,

設(shè)EG=a,

矩形EGHF,

Γ?EFBCf

UJAEF3UABC9

AD與力K是對應(yīng)邊上的高，

EFAK

BC-AD,

EFSO-a

120^80*

3

EF=I20--a,

2

333

矩形面積S=α(?20--a)=--a2+120a=-—(α-40)2+2400,

222

當(dāng)α=40時，此時矩形面枳最大，最大面積是2400團〃?2,

即：當(dāng)EG=40時，此時矩形面積最大，最大面積是2400"”"2.

【點睛】

本題是相似形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì),

解本題的關(guān)鍵是判斷出AEFABC.

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-Jχ2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸交于A、B、C

三點，其中點A的坐標(biāo)為(0,8),點B的坐標(biāo)為(-4,0).

(I)求該二次函數(shù)的表達式及點C的坐標(biāo)；

(2)點。為該二次函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象上的動點，連接AC、CD,以AC、CD為鄰邊作

平行四邊形ACDE,設(shè)平行四邊形ACDE的面積為S.

口求S的最大值；

」當(dāng)5取最大值時，P為該二次函數(shù)對稱軸上一點，當(dāng)點￡>關(guān)于直線CP的對稱點E落在y軸

上時，求點P的坐標(biāo).

【答案】(1)尸―/+x+8,C點坐標(biāo)為(8,0)；(2)「32：P(2,2)或(2,6)

【分析】

(1)把4點和8點坐標(biāo)代入尸-$2+fcv+c得到關(guān)于b、c的方程組，然后解方程組求出b、

c即可得到拋物線的解析式；然后計算函數(shù)值為0時對應(yīng)的自變量的值即可得到C點坐標(biāo)

(2)設(shè)直線即交X軸于尸,過點C作CHGDE于H,先求出直線AC的解析式為y=r+8,

然后設(shè)Q(α,-a2+a+S),直線OE的解析式為，=τ+4求出直線。E的解析式，從而

求出廠的坐標(biāo)得到6的長，即可得到C4的長，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

(3)設(shè)E(0,m),P(2,n),根據(jù)題意可得CZ>CE,PD=PECD2=CE2,PD2=PE2.

先求出。點坐標(biāo)，然后利用兩點距離公式求解即可.

【詳解】

解：(1)把力(0,8),8(40)代入產(chǎn)?1χ2+隊÷c得

?C=S

∣-4-4?+c=0,

{b=?

解得。，

[c=8

所以拋物線的解析式為產(chǎn)+x+8；

4

當(dāng)尸0時，-：/+丁+8=0,解得xι=-4,X2=8,

所以C點坐標(biāo)為(8,0)；

(2)口如圖，設(shè)直線EO交X軸于F,過點C作C“：IDE于，,

C(8,0),A(0,8),設(shè)直線/C的解析式為y="+8,

0=84+8解得Z=T

直線/C的解析式為y=-X+8,

設(shè)D(a,~^-a2+a+S),直線。E的解析式為y=-X+A,

4

--a2+a+S=-a+h.

4'

解得4=-∕+2α+8

直線DE的解析式為y——X—/+2〃+8,

4

廠是直線。E與X軸的交點，

F(—er+2tz÷8,0),

4

6=-,/+24+8-8=-^/+24

44

O∕=OC=8

ACO=CAgHFC=450,AC=√O42+OC2=8√2

CH=HF,

CH2+HF'=CF2，

CH=-CF,

2

+24)=-2(/-84+16)+32=-2(α-4)2+32當(dāng)

SYACDE~ACgcH=8>∕2X

0=4時,S有最大值32；

□當(dāng)S取最大值時，α=4,

D(4,8)二次函數(shù)的對稱軸2x'2)，

由題意可得，CD=CE,PD=PE即CO?=CE"PD2=PE2

設(shè)E(O,m)即(8-4)2+麒=々+/，

解得"i=±4,

即E(0,4)或(0,-4),

設(shè)尸(2,〃),

(2-4)2+(〃-8)2=(2-O)?+(〃-4『或(2-4)2+(〃-8))=(2-O)2+(〃+4)2,

解得〃=2或"=6,

UP(2,2)或(2,6).

【點睛】

本題主要考查了二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，勾股定理，兩點距離公式,

平行四邊形的性質(zhì)等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解.

18.已知二次函數(shù)y=2χ2-χ+l,當(dāng)-lSκ≤l時，求函數(shù)y的最小值和最大值.彤彤的解答

如下：

解：當(dāng)X=-I時，則y=2x(-1)2-(-1)+1=4；

當(dāng)X=I時，則y=2χp-1+1=2；

所以函數(shù)y的最小值為2,最大值為4.

彤彤的解答正確嗎？如果不正確，寫出正確的解答.

【答案】不正確，二次函數(shù)的最大值為4,最小值為1

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，先求出其對稱軸，然后確定函數(shù)圖像的增減性，利用增減性和對稱性

求解即可得到答案.

【詳解】

解：彤彤的解答不正確，

y=2x2-x+l

h-11

口二次函數(shù)的的對稱軸X=-S=——=3

2a42

-1<—<1>且2>0,

2

當(dāng)X=T時，二次函數(shù)有最小值y=2x(g)-→1=1,

二次函數(shù)在-l≤χ≤;時，y隨X增大而減小，二次函數(shù)在g≤χ≤l時，y隨X增大而增大,

3」?

222

為x=-l時，：次函數(shù)有最大值y=2χ(-l)2-(-l)+l=4,

!二次函數(shù)的最大值為4,最小值為1.

【點睛】

本題主要考查了二次函數(shù)的對稱性和增減性，二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌

握相關(guān)知識進行求解.

19.已知二次函數(shù)y=-x2+fcv+c圖象的頂點坐標(biāo)為(1,16).

(1)求b,C的值；

(2)是否存在實數(shù)加，〃(加V〃)，使當(dāng)陽≤x≤〃時，二次函數(shù)的最小值是4加，最大值是4〃.若

存在，求出加，〃的值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)?=2,c=l5；(2)∕M=-5,/7=4

【分析】

(1)先根據(jù)對稱軸求得6,進而把點(1,16)代入解析式即可求得c；

2

(2)分三種情況：。、若Λ≤1,有t-汴+2加+15=4∕w□,?W÷2"+15=4-□,m<nQt由此求出

2

m、〃的值相同，不合題意；b、若m≥l,有：■加2+2〃?+15=4〃□,-π+2n+15=4∕n□,m<nJ9

由此確定M=〃=3,不合題意；c、若∕wVl,此時函數(shù)的最大值為16,4/7=16,得出

〃=4,再由最小值是4加，確定"7<1,且-加2+2m+15=4%解得符合條件的〃?的值，便可得

出結(jié)果.

【詳解】

解：(1)□二次函數(shù)產(chǎn)?/+瓜+°圖象的頂點坐標(biāo)為(1,16).

一擊j

b=2,

□y=x2+2x+c,

把(1,16)代入得，16=∕+2+c,

□c=15；

(2)存在，理由如下，

分三種情況：

a、n<?,有：-加2+2加+15=4〃?」，-∕72+2π÷15=4/7,m<n?,

解得加=〃，不合題意；

2

b、m>?,有：?加+2m+15=4鹿U,-π+2∕ι+15=4∕7z□,m<n?J9

-得：(〃-m)(〃?+〃)=6(n-m),n-m>O,

□W+H=6,

代入「解得：∕n=3,w=3；

不合題意，

Cs若MV1,

1此時函數(shù)的最大值為16,

□4n=16,

□Λ=4,

□當(dāng)x=m時，-W2+2∕H+15=4f∏,

解得〃?i=?5,加2=3(舍去)，

當(dāng)x=n時,-,I2÷2∕7+15=4/72,

□/6+8+15=4加,

7

解得〃尸了(舍去)，

4

綜上所述：m=-5,n=4.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，關(guān)鍵是分情況討論和根據(jù)特征點解題.

20.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=0χ2+bχ-4經(jīng)過力(-4,0),C(2,0)兩點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點〃為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點"的橫坐標(biāo)為相，□4MH的面積為S.求S

關(guān)于〃?的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值.

【答案】(1)y=gχ2+χ-4.(2)S關(guān)于用的函數(shù)關(guān)系式為S=―/-4/〃，S的最大值

為4.

【分析】

(1)將將/(-4,O),C(2,0)代入y=αr2+反-4,可求出。力，即可確定解析式；

,

(2)過點M作MNACΓ'.?N,可得SAW=Saw+S神初儂~ΛM從而得到S關(guān)丁An

的函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的性質(zhì)得出最大值，即可求解.

【詳解】

解(1)將力(-4,0),C(2,0)代入y=α√+瓜-4,得：

16a-4?-4=0

，解得：

4a+26-4=0

拋物線解析式為:V=--*r2+x-4；

2

(2)如圖，過點M作MN匚/C于點M

‘拋物線'=5丁+彳-4與y軸交于點8,

當(dāng)X=O時，y--4,

β(0,-4),即08=4,

點〃為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點M的橫坐標(biāo)為m,

ON--m,MN=-----/2一勿+4

2

AN=In-(-4)=7zz+4,

□

SS22

.ΛBU=Sw+‰jmeB-,AOB=^(4+Λ7)[-∣ffl-Λ7+4j+?∣f-∣ffl-Λ7+4+4j(-ffl)-?×4

=-m2-4z?=-(m+2)~+4(-4<m<0).

當(dāng)加=-2時，S有最大值，最大值為4，

S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式為S=-加-4/M,S的最大值為4.

【點睛】

本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值，用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的

關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵.

21.拋物線丫=江+法+3過點A(To),點8(3,0),頂點為C.

(1)求拋物線的表達式及點C的坐標(biāo)；

(2)如圖1,點尸在拋物線上，連接CP并延長交X軸于點￡>,連接AC,若AZMC是以AC

為底的等腰三角形，求點尸的坐標(biāo)；

(3)如圖2,在(2)的條件下，點E是線段AC上(與點A,C不重合)的動點，連接PE,

作ZPEF=NCAB,邊E尸交X軸于點尸，設(shè)點尸的橫坐標(biāo)為機，求加的取值范圍.

720S

2

【答案】(I)y=-x+2x+3,C(I,4);(2)P(-,y)i(3)-?<m<-

【分析】

(1)將48的坐標(biāo)代入解析式，待定系數(shù)法求解析式即可，根據(jù)頂點在對稱軸上，求得對

稱軸，代入解析式即可的頂點C的坐標(biāo)；

(2)設(shè)。3,0),根據(jù)是以Ae為底的等腰三角形，根據(jù)AD=CD,求得O點的坐

標(biāo)，進而求得8解析式，聯(lián)立二次函數(shù)解析式，解方程組即可求得尸點的坐標(biāo)；

(3)根據(jù)題意，可得ACEPSA4FE,設(shè)AE=〃，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，線段成比例,

O-

可得加=-4(”2-2不r〃)-1,根據(jù)配方法可得加的最大值,根據(jù)點E是線段AC上(與點A,

C不重合)的動點，可得用的最小值，即可求得，"的范圍.

【詳解】

(I)拋物線丫=々+灰+3過點A(T,0),點8(3,0),

6Z-?+3=0

‰+3?+3=O

.?.y=—χ1+2x+3,

b2,

?r≈-Z-=-?=1?代入y=-χ2+2x+3,

2a20×(-ln)

解得：y=4,

.??頂點C(1,4),

(2)設(shè)。3,0),

A(-l,0),C(l,4),z?D4C是以AC為底的等腰三角形,

AD=CD

222

EPλ∕(J+l)=λ∕(rf-l)+4

(√+l)2=(J-I)2+42

解得”=4

.?.D(4,0)

C(l,4),f>(4,0)

設(shè)直線S的解析式為

(4k+b=0

[k+b=4

解得

7

3

b,=—16

3

??.直線8的解析式為y=-∣4x+1y6

416

V=——x+—

聯(lián)立《33

y=—x~+2,x+3

7

Xi=-

,3W=1

解得：,

20y=4

%。2

7?f)

(3)「點尸的橫坐標(biāo)為“，A(-l,0),C(l,4),P(-,-)

3y

.?.AC=√(l+l)2+42=2√5.AF=m+l

CP=J(W)2+(%)2=型

V399

設(shè)AE=",!ill]Cf=2√5-?.

△D4C是以Ac為底的等腰三角形，

.'.ZDAC=ZDCA

/PEF=NCAB=/EAF,NCEF=NEAF+ZAFE=NPEF+NCEP

,?ACEP=ΛAFE

.?∕?CEP^∕?AFE

.AFAE

~CE~~CP

m+?_n

即云仁二及

9

gL

整理得m=—("~—2Λ∕5M)—1

ιn=--—(n-?/?)2+?^-<-

2044

當(dāng)E點與C點重合時，產(chǎn)與A點重合，由題意，點E是線段AC上(與點A,C不重合)的

動點，

A(T,0)

.^.m>-?

二，"的取值范圍為：-?<m≤-.

4

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，待定

系數(shù)法求解析式，等腰三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，綜合運用